Nombres complexes

Les méthodes de résolution des équations ont progressé depuis l'Antiquité (voir

pages 12 et 13

du manuel de première). Les algébristes italiens de la Renaissance travaillent sur des méthodes pour résoudre celles du 3^e et du 4^e degré. Scipione del Ferro (1465‑1526), professeur à l'université de Bologne, détermine des méthodes, qu'il ne divulgue pratiquement pas, pour résoudre des équations de degré 3. Quelques années plus tard, cependant, le mathématicien Niccolò Tartaglia (1499‑1557) remporte un concours contre un des élèves de Del Ferro portant sur la résolution des équations du 3^e degré, montrant ainsi qu'il connaît lui aussi une méthode pour résoudre ces équations. Tartaglia révèle sa méthode de résolution à Girolamo Cardano (1501‑1576), qui la publie quelques années plus tard et sans l'accord de Tartaglia dans Ars Magna (1545). Le principe des méthodes utilisées (dites « de Cardan ») permet de transformer une équation du 3^e degré en une équation du second degré. Cardan écrit au chapitre XXXVII de l'Ars Magna que certaines équations ont des solutions évidentes que ces formules ne permettent pas d'obtenir. En cherchant à résoudre l'équation x(10-x)=40, il trouve deux solutions qu'il note, même si ça n'a pas de sens, 5 . \tilde{p} . \mathrm{R} . \tilde{m} .15 et 5 . \tilde{m} . \mathrm{R} . \tilde{m} .15, c'est‑à‑dire 5+\sqrt{-15} et 5-\sqrt{-15} de nos jours. Il qualifie sa découverte de « tanto sottile quanto inutile », mais un nouveau type de nombres vient cependant d'être découvert.
Quelques années plus tard, Rafael Bombelli (1526‑1572) publie l'Algebra, un traité d'algèbre dans lequel il améliore les notations de l'époque, donne des règles opératoires sur ces nouveaux nombres découverts par Cardan et montre qu'ils peuvent tous se ramener à \sqrt{-1}. En utilisant ces nombres, on peut alors résoudre toutes les équations du 3^e degré. Ces nombres seront par la suite appelés imaginaires par Descartes et enfin complexes par Gauss, puis utilisés par tous au même titre que les nombres déjà connus.

Après la découverte de Cardan et les règles de calcul que leur a données Bombelli, l'utilisation des nombres complexes entre dans les pratiques. Même si les mathématiciens n'arrivent toujours pas à leur donner un sens concret, ces nouveaux nombres ne provoquent pas une crise de pensée, contrairement à la découverte des irrationnels chez les Grecs durant l'Antiquité. Descartes (1596‑1650) les qualifie d'imaginaires et leur donne, comme Albert Girard (1595‑1632), une forme symbolique. L'ensemble des travaux de tous ces mathématiciens révèle l'importance des notations mathématiques et souligne la différence entre formules de résolution symbolique et méthodes d'approximation. Euler (1707‑1783), lui‑même, utilise ces nombres dans bien des circonstances. Il remarque que la notation \sqrt{-1} n'est pas cohérente avec toutes les propriétés des racines carrées réelles et propose de la remplacer par \mathrm{i}. Le nombre \mathrm{i} vérifie donc \mathrm{i}^2 = -1. On doit à Euler l'une des plus belles formules de l'histoire des mathématiques, \mathrm{e}^{i\pi} + 1 = 0, qui regroupe toutes les catégories de nombres connus.

De plus en plus de résultats apparaissent avec l'utilisation des nombres complexes et il est temps de chercher à enfin donner du sens à ce qu'on appelle encore aujourd'hui les nombres imaginaires. Le premier à présenter un article sur l'interprétation géométrique des nombres complexes est Caspar Wessel (1745‑1818) en 1797. Quelques années plus tard, c'est Jean‑Robert Argand (1768‑1822) qui interprète l'ensemble des nombres complexes comme une extension à deux dimensions des nombres réels. Gauss (1777‑1855) viendra mettre la touche finale à la construction proposée par Argand. Les nombres imaginaires sont alors appelés complexes, et deviennent aussi concrets que les nombres réels.
À noter enfin que le mathématicien Felix Klein (1849‑1925) introduit dans son programme d'Erlangen (1872) l'utilisation des complexes pour l'étude des similitudes directes du plan (voir

Vers le supérieur p. 84

).