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Activités - Histoire des mathématiques
P.14-15

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Activités

Histoire des mathématiques




A
L’Algebra et il più di meno


Une équation du second degré avec Cardan

Dans son livre l’Ars Magna, Cardan s’intéresse au problème consistant à trouver deux nombres tels que leur somme soit égale à 1010 et dont le produit vaut 4040.

Maths expertes - Histoire des mathématiques - Ars Magna
Maths expertes - Histoire des mathématiques - Ars Magna
Extrait du chapitre XXXVII de l’Ars Magna de Cardan.

1
Montrer que le problème revient à résoudre l’équation x210x+40=0x^{2}-10 x+40=0 et vérifier que cette équation n’a pas de solution réelle.


2
Cardan utilise une méthode similaire à celle de Diophante pour la résoudre (voir activité p. 88).
Il explique que sa méthode donne comme solutions a=5+15a=5+\sqrt{-15} et b=515b=5-\sqrt{-15}, tout en précisant que 15\sqrt{-15} n’a pas de sens.
En faisant comme si 15\sqrt{-15} existait et vérifiait la propriété (x)2=x(\sqrt{x})^{2}=x valable pour tout réel positif, calculer a+ba + b et abab. Que remarque‑t‑on ? Un nouveau nombre est né.
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Maths expertes - Histoire des mathématiques - Algebra


Extrait de l’Algebra de Rafael Bombelli.

Remarque

  • più : ++ (ou +1+1)
  • meno : - (ou 1-1)
  • uia : multiplié par
  •  : fait
  • di meno : 1\sqrt{-1}


Bombelli et les équations du troisième degré

Rafael Bombelli publie son Algebra en 1572. Pour résoudre des équations, il améliore les méthodes de Cardan‑Tartaglia‑Del Ferro, propose de nouvelles techniques, ainsi que des notations symboliques plus efficaces. De plus, il prouve que toutes les racines carrées de nombres négatifs peuvent s’écrire en fonction de 1\sqrt{-1} , qu’il nomme « più di meno », et que c’est un nombre comme les autres que l’on peut utiliser dans les calculs. Il donne alors les règles de signes à appliquer (en version originale ci‑contre).

1
À partir du texte de Bombelli, compléter le tableau ci‑dessous.

1\boldsymbol{1} 1\boldsymbol{-1} 1\boldsymbol{\sqrt{-1}} 1\boldsymbol{-\sqrt{-1}}
1\boldsymbol{\sqrt{-1}}
1\boldsymbol{-\sqrt{-1}}

Pour une équation de la forme x3=px+qx^{3}=p x+q, grâce à l’usage de ses notations symboliques, Bombelli montre que, lorsque (q2)2(p3)3\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2} \geqslant\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}, une solution est égale à q2+Δ3+q2Δ3\sqrt[3]{\dfrac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\sqrt[3]{\dfrac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}, avec Δ=(q2)2(p3)3\Delta=\left(\dfrac{q}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{p}{3}\right)^{3}.

2
Cas de l’équation x3=6x+20x^{3}=-6 x+20.
a) Vérifier que l’on peut appliquer la formule donnée par Bombelli.


b) Développer (1+3)3(1+\sqrt{3})^{3} et (13)3(1-\sqrt{3})^{3} puis, en utilisant la formule de Bombelli et le fait que 108=63\sqrt{108}=6 \sqrt{3}, déterminer une solution entière de l’équation x3=6x+20x^{3}=-6 x+20.


3
Page 294 de son Algebra, Bombelli aborde le cas de l’équation x3=15x+4x^{3}=15 x+4, qu’il note 1˘3.a15˘1p.4\mathop{\breve{1}}\limits\limits^{3}.a\mathop{\breve{15}}\limits\limits^{1}p.4.

Maths expertes - Histoire des mathématiques - Algebra

Extrait de l’Algebra de Rafael Bombelli.

a) Expliquer pourquoi on ne peut pas appliquer la formule de Bombelli.


b) Vérifier que 44 est solution de l’équation.


c) Vérifier que les formules établies par Bombelli donneraient pour solution 2+1113+21113\sqrt[3]{2+11 \sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2-11 \sqrt{-1}}.


d) Développer (2+1)3(2+\sqrt{-1})^{3} et conclure.
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B
La formule d’Euler


Euler a montré que, en notation moderne, ex=limn+(1+xn)n\mathrm{e}^{x}=\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}.
Pour un entier naturel non nul nn, il développe (1+xn)n\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n} et écrit :
(1+xn)n=1+x+n(n1)2n×nx2+n(n1)(n2)3n×2n×nx3+n(n1)(n2)(n3)4n×3n×2n×nx4+\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}=1+x+\dfrac{n(n-1)}{2 n \times n} x^{2}+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3 n \times 2 n \times n} x^{3}+\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 n \times 3 n \times 2 n \times n} x^{4}+\dots

1
Lorsque nn prend des valeurs infiniment grandes, Euler dit que 11, 22, etc. sont négligeables à côté de nn.
Que peut‑on alors dire des fractions n1n\dfrac{n-1}{n} et (n1)(n2)2n×n\dfrac{(n-1)(n-2)}{2 n \times n}, lorsque nn devient infiniment grand  ?


2
En notant n!=n(n1)(n2)××2×1n !=n(n-1)(n-2) \times \cdots \times 2 \times 1, montrer alors que (1+xn)n=1+x+12x2+16x3++1j!xj+\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}=1+x+\dfrac{1}{2} x^{2}+\dfrac{1}{6} x^{3}+\dots+\dfrac{1}{j !} x^{j}+\cdots lorsque nn devient infiniment grand.


3
En raisonnant de façon similaire, Euler montre que cos(x)=112!x2+14!x416!x6+\cos (x)=1-\dfrac{1}{2 !} x^{2}+\dfrac{1}{4 !} x^{4}-\dfrac{1}{6 !} x^{6}+\cdots et que sin(x)=x13!x3+15!x517!x7+\sin (x)=x-\dfrac{1}{3 !} x^{3}+\dfrac{1}{5 !} x^{5}-\dfrac{1}{7 !} x^{7}+\cdots
En admettant que la formule ex=limn+(1+xn)n\mathrm{e}^{x}=\lim \limits_{\substack{n \rightarrow+\infty}}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n} reste vraie lorsque xx est un nombre complexe, vérifier que cos(x)+isin(x)=eix\cos (x)+\mathrm{i}\operatorname{sin}(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}.


Maths expertes - Histoire des mathématiques - Leonhard Euler - Introduction à l'analyse infinitésimale
  
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4
En prenant x=πx = \pi, en déduire que eiπ+1=0\mathrm{e}^{\mathrm{i} \pi}+1=0.
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C
Les nombres complexes et la géométrie


Maths expertes - Activités - Histoire des mathématiques - Les nombres complexes et la géométrie

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct (O;u,v)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{v})
Dans son programme d’Erlangen en 1872, Felix Klein caractérise les transformations du plan en utilisant les nombres complexes.
Soient A\text{A} et B\text{B} les points d’affixe respective aa et bb.
Si A\text{A} est l’image de B\text{B} par la rotation de centre Ω\Omega d’affixe ω\omega et d’angle θ\theta, alors aω=eiθ(bω)a-\omega=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}(b-\omega).
Soient ABCD\text{ABCD} un quadrilatère quelconque et P\text{P}, Q\text{Q}, R\text{R} et S\text{S} les centres respectifs des carrés construits sur les côtés de ABCD\text{ABCD}, à l’extérieur de ABCD\text{ABCD}.
A\text{A} est donc l’image de B\text{B} par la rotation de centre P\text{P} et d’angle π2\dfrac{\pi}{2}.
On appelle aa, bb, cc, dd, pp, qq, rr et ss les affixes respectives de A\text{A}, B\text{B}, C\text{C}, D\text{D}, P\text{P}, Q\text{Q}, R\text{R} et S\text{S}.

1
Montrer que p=aib1ip=\dfrac{a-\mathrm{i} b}{1-\mathrm{i}}. En procédant de même, déterminer rr, ss et qq en fonction de aa, bb, cc et dd.


2
Montrer que sqrp=i\dfrac{s-q}{r-p}=\mathrm{i}. En déduire que QS=PR\mathrm{QS}=\mathrm{PR} et que (PS)(QR)(\mathrm{PS}) \perp(\mathrm{QR}).


Nous venons de démontrer le théorème de Van Aubel.
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