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Activités - Histoire des mathématiques
P.14-15

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Activités

Histoire des mathématiques




A
L’Algebra et il più di meno


Une équation du second degré avec Cardan

Dans son livre l’Ars Magna, Cardan s’intéresse au problème consistant à trouver deux nombres tels que leur somme soit égale à et dont le produit vaut .

Maths expertes - Histoire des mathématiques - Ars Magna
Maths expertes - Histoire des mathématiques - Ars Magna
Extrait du chapitre XXXVII de l’Ars Magna de Cardan.

1
Montrer que le problème revient à résoudre l’équation et vérifier que cette équation n’a pas de solution réelle.


2
Cardan utilise une méthode similaire à celle de Diophante pour la résoudre (voir activité p. 88).
Il explique que sa méthode donne comme solutions et , tout en précisant que n’a pas de sens.
En faisant comme si existait et vérifiait la propriété valable pour tout réel positif, calculer et . Que remarque‑t‑on ? Un nouveau nombre est né.
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Maths expertes - Histoire des mathématiques - Algebra


Extrait de l’Algebra de Rafael Bombelli.

Remarque

  • più : (ou )
  • meno : (ou )
  • uia : multiplié par
  •  : fait
  • di meno :


Bombelli et les équations du troisième degré

Rafael Bombelli publie son Algebra en 1572. Pour résoudre des équations, il améliore les méthodes de Cardan‑Tartaglia‑Del Ferro, propose de nouvelles techniques, ainsi que des notations symboliques plus efficaces. De plus, il prouve que toutes les racines carrées de nombres négatifs peuvent s’écrire en fonction de , qu’il nomme « più di meno », et que c’est un nombre comme les autres que l’on peut utiliser dans les calculs. Il donne alors les règles de signes à appliquer (en version originale ci‑contre).

1
À partir du texte de Bombelli, compléter le tableau ci‑dessous.


Pour une équation de la forme , grâce à l’usage de ses notations symboliques, Bombelli montre que, lorsque , une solution est égale à , avec .

2
Cas de l’équation .
a) Vérifier que l’on peut appliquer la formule donnée par Bombelli.


b) Développer et puis, en utilisant la formule de Bombelli et le fait que , déterminer une solution entière de l’équation .


3
Page 294 de son Algebra, Bombelli aborde le cas de l’équation , qu’il note .

Maths expertes - Histoire des mathématiques - Algebra

Extrait de l’Algebra de Rafael Bombelli.

a) Expliquer pourquoi on ne peut pas appliquer la formule de Bombelli.


b) Vérifier que est solution de l’équation.


c) Vérifier que les formules établies par Bombelli donneraient pour solution .


d) Développer et conclure.
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B
La formule d’Euler


Euler a montré que, en notation moderne, .
Pour un entier naturel non nul , il développe et écrit :

1
Lorsque prend des valeurs infiniment grandes, Euler dit que , , etc. sont négligeables à côté de .
Que peut‑on alors dire des fractions et , lorsque devient infiniment grand  ?


2
En notant , montrer alors que lorsque devient infiniment grand.


3
En raisonnant de façon similaire, Euler montre que et que
En admettant que la formule reste vraie lorsque est un nombre complexe, vérifier que .


Maths expertes - Histoire des mathématiques - Leonhard Euler - Introduction à l'analyse infinitésimale
  
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4
En prenant , en déduire que .
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C
Les nombres complexes et la géométrie


Maths expertes - Activités - Histoire des mathématiques - Les nombres complexes et la géométrie

On munit le plan complexe d’un repère orthonormé direct
Dans son programme d’Erlangen en 1872, Felix Klein caractérise les transformations du plan en utilisant les nombres complexes.
Soient et les points d’affixe respective et .
Si est l’image de par la rotation de centre d’affixe et d’angle , alors .
Soient un quadrilatère quelconque et , , et les centres respectifs des carrés construits sur les côtés de , à l’extérieur de .
est donc l’image de par la rotation de centre et d’angle .
On appelle , , , , , , et les affixes respectives de , , , , , , et .

1
Montrer que . En procédant de même, déterminer , et en fonction de , , et .


2
Montrer que . En déduire que et que .


Nous venons de démontrer le théorème de Van Aubel.
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