3

Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

105

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $4 z^{2}+16=0$.

106

Déterminer deux nombres complexes $u$ et $v$ sachant que leur somme est égale à $3$ et que leur produit est égal à $5$.

107

VRAI / FAUX

L’affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« Les polynômes $\mathrm{P}_1$ et $\mathrm{P}_2$ définis sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}_{1}(z)=z^{3}+1$ et $\mathrm{P}_{2}(z)=z^{3}-z^{2}+2$ ont un facteur commun de la forme $z - a$ avec $a$ réel. »

Pour les exercices

108

à 

112

Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations proposées. On écrira les solutions sous forme algébrique.

108

[Calculer.]
1. $(z+3 \mathrm{i})(2 z-3+\mathrm{i})=0$


2. $(z-2 \mathrm{i})(\mathrm{i} z+1)=0$


3. $(\mathrm{i} z+1+\mathrm{i})(3 \mathrm{i} z-1)=0$


4. $((1+\mathrm{i}) z-1)((2+\mathrm{i}) z+1)=0$

109

[Calculer.]
1. $z^{2}+1=0$


2. $z^{2}+2=0$


3. $z^{2}+16=0$


4. $z^{2}+20=0$


5. $z^{2}+\dfrac{1}{4}=0$


6. $z^{2}+\dfrac{1}{3}=0$


7. $z^{2}+\dfrac{11}{4}=0$


8. $z^{2}+\dfrac{3}{2}=0$

110

[Calculer.]
1. $z^{2}+z=0$


2. $z^{2}+2 \mathrm{i} z=0$


3. $2 \mathrm{i} z^{2}+3 z=0$


4. $(1+\mathrm{i}) z^{2}=(2-\mathrm{i}) z$


5. $(1+2 \mathrm{i}) z^{2}+(2 \mathrm{i}-1) z=0$

111

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z^{2}+z+1=0$


2. $z^{2}+4 z+13=0$


3. $4 z^{2}-4 z+17=0$


4. $2 z^{2}+2 z+5=0$


5. $z^{2}-\sqrt{2} z+1=0$


6. $9 z^{2}-6 z+19=0$

112

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=-\dfrac{3}{z}$


2. $\dfrac{z}{4}=1-\dfrac{2}{z}$


3. $\dfrac{5}{z^{2}}=\dfrac{3}{z}-\dfrac{1}{2}$


4. $5 z-2=-\dfrac{26}{5 z}$

Pour les exercices

113

et 

114

Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

113

[Calculer.]
1. $z^{4}+z^{2}-6=0$


2. $z^{4}+z^{2}-2=0$


3. $z^{4}+3 z^{2}+2=0$


4. $8 z^{4}+6 z^{2}+1=0$


5. $8 z^{4}+22 z^{2}+15=0$


6. $z^{3}+5 z+\dfrac{4}{z}=0$


7. $z^{2}+2=\dfrac{3}{z^{2}}$


8. $\dfrac{2}{z^{4}}+\dfrac{7}{z^{2}}=-3$

114

[Calculer.]
1. $z^{4}-2 z^{2}-3=0$


2. $z^{4}-3 z^{2}-10=0$


3. $z^{4}-2 z^{2}-8=0$


4. $2 z^{4}-z^{2}-3=0$


5. $z^{3}-4 z=\dfrac{21}{z}$


6. $\dfrac{z^{3}}{4}=z+\dfrac{3}{z}$


7. $z^{5}-2 z=4 z^{3}+3 z$

115

ALGO

[Calculer.]
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions dans $\mathbb{C}$ d’une équation du second degré à coefficients réels $a z^{2}+b z+c=0$ avec $a \neq 0$ et leurs valeurs.


2. Programmer cet algorithme en Python.

Pour les exercices

116

et 

117

Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ dont on donne la somme $z_1 + z_2$ et le produit $z_1 z_2$, puis les écrire sous forme algébrique.

116

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z_{1}+z_{2}=6$ et $z_{1} z_{2}=13$.


2. $z_{1}+z_{2}=10$ et $z_{1} z_{2}=26$.


3. $z_{1}+z_{2}=1$ et $z_{1} z_{2}=1$.


4. $z_{1}+z_{2}=\sqrt{2}$ et $z_{1} z_{2}=\dfrac{3}{4}$.

117

[Calculer.]
1. $z_{1}+z_{2}=-1$ et $z_{1} z_{2}=\dfrac{5}{4}$.


2. $z_{1}+z_{2}=-2 \sqrt{2}$ et $z_{1} z_{2}=6$.


3. $z_{1}+z_{2}=-\sqrt{3}$ et $z_{1} z_{2}=1$.


4. $z_{1}+z_{2}=-\sqrt{2}$ et $z_{1} z_{2}=1$.

118

[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients complexes suivants sous la forme $z^{n}-a^{n}$ avce $a \in \mathbb{C}$ et $n \in \mathbb{N}^{*}$, puis les factoriser par $z - a$ dans $\mathbb{C}.$

1. $\mathrm{P}(z)=z^{3}+1$


2. $\mathrm{P}(z)=z^{3}-8$


3. $\mathrm{P}(z)=z^{3}+\mathrm{i}$


4. $\mathrm{P}(z)=z^{3}+8 \mathrm{i}$


5. $\mathrm{P}(z)=z^{5}-32 \mathrm{i}$

119

[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients réels suivants en produit de facteurs de la forme $z - \alpha$ avec $\alpha$ dans $\mathbb{C}$.

1. $\mathrm{P}(z)=z^{3}+4 z$


2. $\mathrm{P}(z)=z^{3}+z^{2}+z+1$


3. $\mathrm{P}(z)=z^{3}-2 z^{2}+z-2$


4. $\mathrm{P}(z)=z^{5}-z$


5. $\mathrm{P}(z)=z^{5}+3 z^{3}+z^{2}+3$


6. $\mathrm{P}(z)=z^{5}-z^{4}+5 z^{3}-5 z^{2}+4 z-4$

120

[Calculer.] ◉◉◉
Soit le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^{3}+z^{2}-2$.

1. Montrer que $1$ est une racine du polynôme $\text{P}$.


2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z-1)\left(a z^{2}+b z+c\right)$.




3. Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l’équation $\mathrm{P}(z)=0$.

121

[Calculer.]
Soit le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^{3}-4 z^{2}+6 z-4$.

1. Déterminer une racine réelle, notée $\alpha$, du polynôme $\text{P}$.


2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z-\alpha)\left(a z^{2}+b z+c\right)$.


3. Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l’équation $\mathrm{P}(z)=0$.

122

[Calculer.] ◉◉◉
On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients complexes défini sur $\mathbb{C}$ par : $\mathrm{P}(z)=z^{3}-2(\sqrt{2}-\mathrm{i}) z^{2}+(3-4 \mathrm{i} \sqrt{2}) z+6 \mathrm{i}$.
1. Montrer que $-2\mathrm{i}$ est une racine du polynôme $\text{P}$.


2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z+2 \mathrm{i})\left(a z^{2}+b z+c\right)$.


3. Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l’équation $\mathrm{P}(z)=0$.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

123

[Calculer.]
On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients complexes défini sur $\mathbb{C}$ par : $\mathrm{P}(z)=z^{3}-(4+\mathrm{i}) z^{2}+(5+4 \mathrm{i}) z-5 \mathrm{i}$.
1. Montrer que le polynôme $\text{P}$ admet dans $\mathbb{C}$ une racine imaginaire pure $\mathrm{i}\alpha$ (avec $\alpha$ réel) que l’on déterminera.


2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z-\mathrm{i} \alpha)\left(a z^{2}+b z+c\right)$.


3. Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l’équation $\mathrm{P}(z)=0$.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

124

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $\text{P}$ le polynôme à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par : $\mathrm{P}(z)=z^{4}+2 z^{3}-z^{2}+2 z+1.$
1. Vérifier que $0$ n’est pas une racine du polynôme $\text{P}$.


2. Pour $z \neq 0$, on pose $u=z+\dfrac{1}{z}$.
a. Exprimer $u^{2}-3$ en fonction de $z$.


b. Calculer $\dfrac{\mathrm{P}(z)}{z^{2}}$ pour $z \neq 0$ et l’exprimer en fonction de $u$.


3. En déduire les racines dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

125

[Calculer.]
Soit $\text{P}$ le polynôme à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par : $\mathrm{P}(z)=z^{4}+2 z^{3}-5 z^{2}-2 z+1$.
1. a. Vérifier que $0$ n’est pas une racine du polynôme $\text{P}$.


b. Pour $z \neq 0$, on pose $u=z-\dfrac{1}{z}$.
Calculer $\dfrac{\mathrm{P}(z)}{z^{2}}$ pour $z \neq 0$ et l’exprimer en fonction de $u$.


2. En déduire les racines dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

126

[Calculer.]
On veut résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation suivante : $(\mathrm{E}): z^{4}-(1+\sqrt{3}) z^{3}+(2+\sqrt{3}) z^{2}-(1+\sqrt{3}) z+1=0$.
Soit $\text{P}$ le polynôme à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par  : $\mathrm{P}(z)=z^{4}-(1+\sqrt{3}) z^{3}+(2+\sqrt{3}) z^{2}-(1+\sqrt{3}) z+1$.
1. a. Montrer que $0$ n’est pas une racine du polynôme $\text{P}$.


b. Pour $z \neq 0$, on pose $u=z+\dfrac{1}{z}$.
Calculer $\dfrac{\mathrm{P}(z)}{z^{2}}$ pour $z \neq 0$ et l’exprimer en fonction de $u$.


2. a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation suivante : $\left(\mathrm{E}_{1}\right): u^{2}-(1+\sqrt{3}) u+\sqrt{3}=0$.

b. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations $\left(\mathrm{E}_{2}\right): z+\dfrac{1}{z}=1$ et $\left(\mathrm{E}_{3}\right): z+\dfrac{1}{z}=\sqrt{3}$.


3. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $(\mathrm{E})$.
On les écrira sous forme algébrique.

127

[Calculer.] ◉◉◉
On considère trois nombres complexes $u$, $v$ et $w$ et le polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par :
$\mathrm{P}(z)=(z-u)(z-v)(z-w)$.
1. Développer le polynôme $\text{P}$ et l’écrire sous la forme $a z^{3}+b z^{2}+c z+d$ en exprimant les coefficients complexes $a$, $b$, $c$ et $d$ en fonction de $u$, $v$ et $w$.


2. À l’aide des expressions obtenues précédemment, déterminer les nombres $u$, $v$ et $w$ tels que : $\left\{\begin{aligned} u+v+w &=1 \\ u \times v+u \times w+v \times w &=1 \\ u \times v \times w &=1 \end{aligned}\right.$.

128

GEOGEBRA

[Représenter.]
On souhaite étudier les racines d’un polynôme symétrique de degré $2$ à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=a z^{2}+b z+a$, où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a \neq 0$.

1. Montrer qu’un nombre complexe $u$ est une racine dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ si, et seulement si, $u$ est solution d’une équation $(\mathrm{E})$ de la forme $z^{2}+\alpha z+1=0$ où $\alpha$ est un réel que l’on exprimera en fonction des réels $a$ et $b$.


2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur $\alpha$ dans $[-5 ; 5]$ avec un incrément de $0{,}1$ et tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^{2}+\alpha x+1$.


b. Conjecturer pour quelles valeurs de $\alpha$ la fonction $f$ admet deux racines réelles.


c. Démontrer cette conjecture.


3. a. Montrer que si le nombre complexe $u$ est une solution dans $\mathbb{C}$ de l’équation $(\mathrm{E})$, alors $u$ en est également une.


b. Montrer que si le nombre complexe $u$ est une solution non nulle dans $\mathbb{C}$ de l’équation $(\mathrm{E})$, alors $\dfrac{1}{u}$ en est également une.


c. En déduire que si $\alpha \in]-2 ; 2[$, alors l’équation $(\mathrm{E})$ admet deux racines complexes à la fois inverses et conjuguées.


4. Déterminer, suivant les valeurs de $\dfrac{b}{a}$, le nombre de racines réelles ou complexes du polynôme symétrique $\text{P}.$

129

GEOGEBRA

[Représenter.]
On souhaite étudier les racines réelles d’un polynôme symétrique de degré $3$ à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme $\mathrm{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=a z^{3}+b z^{2}+b z+a$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a \neq 0$.

1. Montrer qu’un nombre complexe $u$ est une racine dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ si, et seulement si, $u$ est solution d’une équation $(\mathrm{E})$ de la forme $z^{3}+\alpha z^{2}+\alpha z+1=0$ où $\alpha$ est un réel que l’on exprimera en fonction de $a$ et $b$.


2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur $\alpha$ dans $[-5 ; 5]$ avec un incrément de $0{,}1$ et tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^{3}+\alpha x^{2}+\alpha x+1$.


b. À l’aide de la courbe représentative de $f$, conjecturer une solution réelle évidente de l’équation $(\mathrm{E})$.


c. Démontrer cette conjecture.


3. a. Vérifier que, pour tout $z \in \mathbb{C}$ : $z^{3}+1=(z+1)\left(z^{2}-z+1\right)$.

b. Montrer qu’il existe un polynôme symétrique $\text{Q}$ de degré $2$ (voir exercice précédent) tel que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z+1) \mathrm{Q}(z)$.


c. Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles le polynôme $\text{P}$ admet exactement trois racines réelles.


4. Application : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $2 z^{3}+z^{2}+z+2=0$.

130

[Calculer.] ◉◉◉
On souhaite étudier les racines réelles d’un polynôme symétrique de degré $4$ à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=a z^{4}+b z^{3}+c z^{2}+b z+a$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels tels que $a \neq 0$.

1. Montrer qu’un nombre complexe $u$ est une racine dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ si, et seulement si, $u$ est solution d’une équation $(\mathrm{E})$ de la forme $z^{4}+\alpha z^{3}+\beta z^{2}+\alpha z+1=0$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels qu’on exprimera en fonction de $a$, $b$ et $c$.


2. a. Montrer que $0$ n’est pas solution de l’équation $(\mathrm{E})$.


b. Soit $\mathrm{Q}(z)=z^{4}+\alpha z^{3}+\beta z^{2}+\alpha z+1$.
Calculer, pour tout $z \in \mathbb{C}^{*}$, $\dfrac{\mathrm{Q}(z)}{z^{2}}$.


c. On pose, pour $z \in \mathbb{C}^{*}$, $\mathrm{Z}=z+\dfrac{1}{z}$.
Exprimer $z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}$ en fonction de $\mathrm{Z}$ puis montrer que $\mathrm{Q}(z)=0$ si, et seulement si, $\mathrm{Z}$ est solution d’une équation du second degré à coefficients réels.


3. On suppose que $\mathrm{Z}$ est un réel $k$ et solution de l’équation du second degré obtenue à la question 2. c..
Déterminer pour quelles valeurs de $k$ l’équation $z+\dfrac{1}{z}=k$ admet deux solutions réelles distinctes.


4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^{4}+2 z^{3}+3 z^{2}+2 z+1=0$.

Pour les exercices

131

à 

133

Pour chaque affirmation, justifier si elle est vraie ou fausse.

131

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « L’équation $3 z^{2}-2 z+1=0$ admet deux solutions réelles distinctes. »


2. « Les nombres complexes conjugués $2+\mathrm{i}$ et $2-\mathrm{i}$ sont solutions de l’équation $z+\dfrac{5}{z}=4$. »


3. « Les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $z^{2}-4 z+5=0$ sont les opposés des solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $z^{2}+4 z+5=0$. »


4. « La partie réelle des solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $z^{2}-6 z+10=0$ est égale à $3$. »

132

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « Le polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^{3}+1$ se factorise dans $\mathbb{C}$ par $z + 1$. »


2. « Les polynômes $\mathrm{P}_{1}$ et $\mathrm{P}_{2}$ définis sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}_{1}(z)=z^{4}-1$ et $\mathrm{P}_{2}(z)=z^{3}+1$ ont un facteur commun dans $\mathbb{C}$. »


3. « Le polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^{2}-\mathrm{i}$ n’a pas de racine dans $\mathbb{C}$. »

133

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « Deux nombres complexes conjugués dont la somme et le produit sont tous les deux égaux à $1$ sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $z^{2}-z+1=0$. »


2. « Si $z$ est une racine dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^{4}-2 z^{2}-3$, alors son conjugué $\overline z$ en est aussi une. »


3. « Le polynôme $\text{P}$ à coefficients complexes défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^{3}+\mathrm{i} z^{2}+z+\mathrm{i}$ admet trois racines distinctes dans $\mathbb{C}$. »


4. « Les polynômes $\mathrm{P}_{1}$ et $\mathrm{P}_{2}$ à coefficients complexes définis sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}_{1}(z)=z^{3}+\mathrm{i} z^{2}-2 z-2 \mathrm{i}$ et $\mathrm{P}_{2}(z)=z^{3}-\mathrm{i} z^{2}+2 z-2 \mathrm{i}$ ont une racine imaginaire pure commune. »

134

Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $\text{P}$ le polynôme défini pour tout $z \in \mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^{n}-1$.
On admet que $\text{P}$ admet $n$ racines distinctes.
Calculer le produit de ces $n$ racines, appelées racines de l’unité.