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105
Flash
Résoudre dans C l'équation 4z2+16=0.
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106
Flash
Déterminer deux nombres complexes u et v sachant que leur somme est égale à 3 et que leur produit est égal à 5.
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107
Flash
Vrai / Faux
L'affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.
« Les polynômes P1 et P2 définis sur C par P1(z)=z3+1 et P2(z)=z3−z2+2 ont un facteur commun de la forme z−a avec a réel. »
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Pour les exercices
108
à
112
Résoudre dans C chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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108
[Calculer.]
1.(z+3i)(2z−3+i)=0
2.(z−2i)(iz+1)=0
3.(iz+1+i)(3iz−1)=0
4.((1+i)z−1)((2+i)z+1)=0
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109
[Calculer.]
1.z2+1=0
2.z2+2=0
3.z2+16=0
4.z2+20=0
5.z2+41=0
6.z2+31=0
7.z2+411=0
8.z2+23=0
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110
[Calculer.]
1.z2+z=0
2.z2+2iz=0
3.2iz2+3z=0
4.(1+i)z2=(2−i)z
5.(1+2i)z2+(2i−1)z=0
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111
[Calculer.]
1.z2+z+1=0
2.z2+4z+13=0
3.4z2−4z+17=0
4.2z2+2z+5=0
5.z2−2z+1=0
6.9z2−6z+19=0
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112
[Calculer.]
1.z=−z3
2.4z=1−z2
3.z25=z3−21
4.5z−2=−5z26
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Pour les exercices
113
et
114
Résoudre dans C chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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113
[Calculer.]
1.z4+z2−6=0
2.z4+z2−2=0
3.z4+3z2+2=0
4.8z4+6z2+1=0
5.8z4+22z2+15=0
6.z3+5z+z4=0
7.z2+2=z23
8.z42+z27=−3
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114
[Calculer.]
1.z4−2z2−3=0
2.z4−3z2−10=0
3.z4−2z2−8=0
4.2z4−z2−3=0
5.z3−4z=z21
6.4z3=z+z3
7.z5−2z=4z3+3z
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115
Algo
[Calculer.] 1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions dans C d'une équation du second degré à coefficients réels az2+bz+c=0 avec a=0 et leurs valeurs.
2. Programmer cet algorithme en Python.
On définit un nombre complexe a+ib sous Python en écrivant complex (a,b).
Aide
À savoir
Python note j le nombre complexe i.
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Pour les exercices
116
et
117
Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres complexes z1 et z2 dont on donne la somme z1+z2 et le produit z1z2, puis les écrire sous forme algébrique.
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116
[Calculer.]
1.z1+z2=6 et z1z2=13.
2.z1+z2=10 et z1z2=26.
3.z1+z2=1 et z1z2=1.
4.z1+z2=2 et z1z2=43.
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117
[Calculer.] 1.z1+z2=−1 et z1z2=45.
2.z1+z2=−22 et z1z2=6.
3.z1+z2=−3 et z1z2=1.
4.z1+z2=−2 et z1z2=1.
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118
[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients complexes suivants sous la forme zn−an avce a∈C et n∈N∗, puis les factoriser par z−a dans C.
1.P(z)=z3+1
2.P(z)=z3−8
3.P(z)=z3+i
4.P(z)=z3+8i
5.P(z)=z5−32i
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119
[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients réels suivants en produit de facteurs de la forme z−α avec α dans C.
1.P(z)=z3+4z
2.P(z)=z3+z2+z+1
3.P(z)=z3−2z2+z−2
4.P(z)=z5−z
5.P(z)=z5+3z3+z2+3
Remarquer que z5+3z3 se factorise par z3.
Aide
6.P(z)=z5−z4+5z3−5z2+4z−4
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120
[Calculer.]
Soit le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(z)=z3+z2−2.
1. Montrer que 1 est une racine du polynôme P.
2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, P(z)=(z−1)(az2+bz+c).
On obtient P(z)=(z−1)(z2+2z+2).
Aide
3. Résoudre alors dans C l'équation P(z)=0.
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121
[Calculer.]
Soit le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(z)=z3−4z2+6z−4.
1. Déterminer une racine réelle, notée α, du polynôme P.
2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, P(z)=(z−α)(az2+bz+c).
3. Résoudre alors dans C l'équation P(z)=0.
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122
[Calculer.]
On considère le polynôme P à coefficients complexes défini sur C par :
P(z)=z3−2(2−i)z2+(3−4i2)z+6i.
1. Montrer que −2i est une racine du polynôme P.
2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, P(z)=(z+2i)(az2+bz+c).
3. Résoudre alors dans C l'équation P(z)=0.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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123
[Calculer.]
On considère le polynôme P à coefficients complexes défini sur C par :
P(z)=z3−(4+i)z2+(5+4i)z−5i.
1. Montrer que le polynôme P admet dans C une racine imaginaire pure iα (avec α réel) que l'on déterminera.
2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, P(z)=(z−iα)(az2+bz+c).
3. Résoudre alors dans C l'équation P(z)=0.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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124
[Calculer.]
Soit P le polynôme à coefficients réels défini sur C par :
P(z)=z4+2z3−z2+2z+1.
1. Vérifier que 0 n'est pas une racine du polynôme P.
2. Pour z=0, on pose u=z+z1.
a. Exprimer u2−3 en fonction de z.
b. Calculer z2P(z) pour z=0 et l'exprimer en fonction de u.
3. En déduire les racines dans C du polynôme P.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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125
[Calculer.]
Soit P le polynôme à coefficients réels défini sur C par :
P(z)=z4+2z3−5z2−2z+1.
1.a. Vérifier que 0 n'est pas une racine du polynôme P.
b. Pour z=0, on pose u=z−z1.
Calculer z2P(z) pour z=0 et l'exprimer en fonction de u.
2. En déduire les racines dans C du polynôme P.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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126
[Calculer.]
On veut résoudre dans C l'équation suivante :
(E):z4−(1+3)z3+(2+3)z2−(1+3)z+1=0.
Soit P le polynôme à coefficients réels défini sur C par :