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3. Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2
P.40-42

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Entraînement


3
Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

105
FLASH

Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation 4z2+16=04 z^{2}+16=0.
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106
FLASH

Déterminer deux nombres complexes uu et vv sachant que leur somme est égale à 33 et que leur produit est égal à 55.
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107
FLASH
VRAI / FAUX

L’affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« Les polynômes P1\mathrm{P}_1 et P2\mathrm{P}_2 définis sur C\mathbb{C} par P1(z)=z3+1\mathrm{P}_{1}(z)=z^{3}+1 et P2(z)=z3z2+2\mathrm{P}_{2}(z)=z^{3}-z^{2}+2 ont un facteur commun de la forme zaz - a avec aa réel. »
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Pour les exercices
108
à 
112

Résoudre dans C\mathbb{C} chacune des équations proposées. On écrira les solutions sous forme algébrique.
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108
[Calculer.]
1. (z+3i)(2z3+i)=0(z+3 \mathrm{i})(2 z-3+\mathrm{i})=0


2. (z2i)(iz+1)=0(z-2 \mathrm{i})(\mathrm{i} z+1)=0


3. (iz+1+i)(3iz1)=0(\mathrm{i} z+1+\mathrm{i})(3 \mathrm{i} z-1)=0


4. ((1+i)z1)((2+i)z+1)=0((1+\mathrm{i}) z-1)((2+\mathrm{i}) z+1)=0
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109
[Calculer.]
1. z2+1=0z^{2}+1=0


2. z2+2=0z^{2}+2=0


3. z2+16=0z^{2}+16=0


4. z2+20=0z^{2}+20=0


5. z2+14=0z^{2}+\dfrac{1}{4}=0


6. z2+13=0z^{2}+\dfrac{1}{3}=0


7. z2+114=0z^{2}+\dfrac{11}{4}=0


8. z2+32=0z^{2}+\dfrac{3}{2}=0
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110
[Calculer.]
1. z2+z=0z^{2}+z=0


2. z2+2iz=0z^{2}+2 \mathrm{i} z=0


3. 2iz2+3z=02 \mathrm{i} z^{2}+3 z=0


4. (1+i)z2=(2i)z(1+\mathrm{i}) z^{2}=(2-\mathrm{i}) z


5. (1+2i)z2+(2i1)z=0(1+2 \mathrm{i}) z^{2}+(2 \mathrm{i}-1) z=0
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111
[Calculer.] ◉◉
1. z2+z+1=0z^{2}+z+1=0


2. z2+4z+13=0z^{2}+4 z+13=0


3. 4z24z+17=04 z^{2}-4 z+17=0


4. 2z2+2z+5=02 z^{2}+2 z+5=0


5. z22z+1=0z^{2}-\sqrt{2} z+1=0


6. 9z26z+19=09 z^{2}-6 z+19=0
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112
[Calculer.] ◉◉
1. z=3zz=-\dfrac{3}{z}


2. z4=12z\dfrac{z}{4}=1-\dfrac{2}{z}


3. 5z2=3z12\dfrac{5}{z^{2}}=\dfrac{3}{z}-\dfrac{1}{2}


4. 5z2=265z5 z-2=-\dfrac{26}{5 z}
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Pour les exercices
113
et 
114


Résoudre dans C\mathbb{C} chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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113
[Calculer.]
1. z4+z26=0z^{4}+z^{2}-6=0


2. z4+z22=0z^{4}+z^{2}-2=0


3. z4+3z2+2=0z^{4}+3 z^{2}+2=0


4. 8z4+6z2+1=08 z^{4}+6 z^{2}+1=0


5. 8z4+22z2+15=08 z^{4}+22 z^{2}+15=0


6. z3+5z+4z=0z^{3}+5 z+\dfrac{4}{z}=0


7. z2+2=3z2z^{2}+2=\dfrac{3}{z^{2}}


8. 2z4+7z2=3\dfrac{2}{z^{4}}+\dfrac{7}{z^{2}}=-3
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114
[Calculer.]
1. z42z23=0z^{4}-2 z^{2}-3=0


2. z43z210=0z^{4}-3 z^{2}-10=0


3. z42z28=0z^{4}-2 z^{2}-8=0


4. 2z4z23=02 z^{4}-z^{2}-3=0


5. z34z=21zz^{3}-4 z=\dfrac{21}{z}


6. z34=z+3z\dfrac{z^{3}}{4}=z+\dfrac{3}{z}


7. z52z=4z3+3zz^{5}-2 z=4 z^{3}+3 z
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115
ALGO
[Calculer.]
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions dans C\mathbb{C} d’une équation du second degré à coefficients réels az2+bz+c=0a z^{2}+b z+c=0 avec a0a \neq 0 et leurs valeurs.


2. Programmer cet algorithme en Python.

Aide
On définit un nombre complexe a+iba+\mathrm{i} b sous Python en écrivant complex (a,b).


À savoir
Python note j\text{j} le nombre complexe i\text{i}.



  
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Pour les exercices
116
et 
117


Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres complexes z1z_1 et z2z_2 dont on donne la somme z1+z2z_1 + z_2 et le produit z1z2z_1 z_2, puis les écrire sous forme algébrique.
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116
[Calculer.] ◉◉
1. z1+z2=6z_{1}+z_{2}=6 et z1z2=13z_{1} z_{2}=13.


2. z1+z2=10z_{1}+z_{2}=10 et z1z2=26z_{1} z_{2}=26.


3. z1+z2=1z_{1}+z_{2}=1 et z1z2=1z_{1} z_{2}=1.


4. z1+z2=2z_{1}+z_{2}=\sqrt{2} et z1z2=34z_{1} z_{2}=\dfrac{3}{4}.
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117
[Calculer.]
1. z1+z2=1z_{1}+z_{2}=-1 et z1z2=54z_{1} z_{2}=\dfrac{5}{4}.


2. z1+z2=22z_{1}+z_{2}=-2 \sqrt{2} et z1z2=6z_{1} z_{2}=6.


3. z1+z2=3z_{1}+z_{2}=-\sqrt{3} et z1z2=1z_{1} z_{2}=1.


4. z1+z2=2z_{1}+z_{2}=-\sqrt{2} et z1z2=1z_{1} z_{2}=1.
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118
[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients complexes suivants sous la forme znanz^{n}-a^{n} avce aCa \in \mathbb{C} et nNn \in \mathbb{N}^{*}, puis les factoriser par zaz - a dans C.\mathbb{C}.

1. P(z)=z3+1\mathrm{P}(z)=z^{3}+1


2. P(z)=z38\mathrm{P}(z)=z^{3}-8


3. P(z)=z3+i\mathrm{P}(z)=z^{3}+\mathrm{i}


4. P(z)=z3+8i\mathrm{P}(z)=z^{3}+8 \mathrm{i}


5. P(z)=z532i\mathrm{P}(z)=z^{5}-32 \mathrm{i}
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119
[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients réels suivants en produit de facteurs de la forme zαz - \alpha avec α\alpha dans C\mathbb{C}.

1. P(z)=z3+4z\mathrm{P}(z)=z^{3}+4 z


2. P(z)=z3+z2+z+1\mathrm{P}(z)=z^{3}+z^{2}+z+1


3. P(z)=z32z2+z2\mathrm{P}(z)=z^{3}-2 z^{2}+z-2


4. P(z)=z5z\mathrm{P}(z)=z^{5}-z


5. P(z)=z5+3z3+z2+3\mathrm{P}(z)=z^{5}+3 z^{3}+z^{2}+3


6. P(z)=z5z4+5z35z2+4z4\mathrm{P}(z)=z^{5}-z^{4}+5 z^{3}-5 z^{2}+4 z-4


Aide
Pour 5. , remarquer que z5+3z3z^{5}+3 z^{3} se factorise par z3z^3.
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120
[Calculer.] ◉◉
Soit le polynôme P\text{P} à coefficients réels défini sur C\mathbb{C} par P(z)=z3+z22\mathrm{P}(z)=z^{3}+z^{2}-2.

1. Montrer que 11 est une racine du polynôme P\text{P}.


2. Déterminer les réels aa, bb et cc tels que, pour tout nombre complexe zz, P(z)=(z1)(az2+bz+c)\mathrm{P}(z)=(z-1)\left(a z^{2}+b z+c\right).


Aide
On obtient P(z)=(z1)(z2+2z+2)\mathrm{P}(z)=(z-1)\left(z^{2}+2 z+2\right).


3. Résoudre alors dans C\mathbb{C} l’équation P(z)=0\mathrm{P}(z)=0.
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121
[Calculer.]
Soit le polynôme P\text{P} à coefficients réels défini sur C\mathbb{C} par P(z)=z34z2+6z4\mathrm{P}(z)=z^{3}-4 z^{2}+6 z-4.

1. Déterminer une racine réelle, notée α\alpha, du polynôme P\text{P}.


2. Déterminer les réels aa, bb et cc tels que, pour tout nombre complexe zz, P(z)=(zα)(az2+bz+c)\mathrm{P}(z)=(z-\alpha)\left(a z^{2}+b z+c\right).


3. Résoudre alors dans C\mathbb{C} l’équation P(z)=0\mathrm{P}(z)=0.
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122
[Calculer.] ◉◉
On considère le polynôme P\text{P} à coefficients complexes défini sur C\mathbb{C} par :
P(z)=z32(2i)z2+(34i2)z+6i\mathrm{P}(z)=z^{3}-2(\sqrt{2}-\mathrm{i}) z^{2}+(3-4 \mathrm{i} \sqrt{2}) z+6 \mathrm{i}.

1. Montrer que 2i-2\mathrm{i} est une racine du polynôme P\text{P}.


2. Déterminer les réels aa, bb et cc tels que, pour tout nombre complexe zz, P(z)=(z+2i)(az2+bz+c)\mathrm{P}(z)=(z+2 \mathrm{i})\left(a z^{2}+b z+c\right).


3. Résoudre alors dans C\mathbb{C} l’équation P(z)=0\mathrm{P}(z)=0.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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123
[Calculer.]
On considère le polynôme P\text{P} à coefficients complexes défini sur C\mathbb{C} par :
P(z)=z3(4+i)z2+(5+4i)z5i\mathrm{P}(z)=z^{3}-(4+\mathrm{i}) z^{2}+(5+4 \mathrm{i}) z-5 \mathrm{i}.

1. Montrer que le polynôme P\text{P} admet dans C\mathbb{C} une racine imaginaire pure iα\mathrm{i}\alpha (avec α\alpha réel) que l’on déterminera.


2. Déterminer les réels aa, bb et cc tels que, pour tout nombre complexe zz, P(z)=(ziα)(az2+bz+c)\mathrm{P}(z)=(z-\mathrm{i} \alpha)\left(a z^{2}+b z+c\right).


3. Résoudre alors dans C\mathbb{C} l’équation P(z)=0\mathrm{P}(z)=0.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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124
[Calculer.] ◉◉◉
Soit P\text{P} le polynôme à coefficients réels défini sur C\mathbb{C} par :
P(z)=z4+2z3z2+2z+1.\mathrm{P}(z)=z^{4}+2 z^{3}-z^{2}+2 z+1.

1. Vérifier que 00 n’est pas une racine du polynôme P\text{P}.


2. Pour z0z \neq 0, on pose u=z+1zu=z+\dfrac{1}{z}.
a. Exprimer u23u^{2}-3 en fonction de zz.


b. Calculer P(z)z2\dfrac{\mathrm{P}(z)}{z^{2}} pour z0z \neq 0 et l’exprimer en fonction de uu.


3. En déduire les racines dans C\mathbb{C} du polynôme P\text{P}.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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125
[Calculer.]
Soit P\text{P} le polynôme à coefficients réels défini sur C\mathbb{C} par :
P(z)=z4+2z35z22z+1\mathrm{P}(z)=z^{4}+2 z^{3}-5 z^{2}-2 z+1.

1. a. Vérifier que 00 n’est pas une racine du polynôme P\text{P}.


b. Pour z0z \neq 0, on pose u=z1zu=z-\dfrac{1}{z}.
Calculer P(z)z2\dfrac{\mathrm{P}(z)}{z^{2}} pour z0z \neq 0 et l’exprimer en fonction de uu.


2. En déduire les racines dans C\mathbb{C} du polynôme P\text{P}.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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126
[Calculer.]
On veut résoudre dans C\mathbb{C} l’équation suivante :
(E):z4(1+3)z3+(2+3)z2(1+3)z+1=0(\mathrm{E}): z^{4}-(1+\sqrt{3}) z^{3}+(2+\sqrt{3}) z^{2}-(1+\sqrt{3}) z+1=0.

Soit P\text{P} le polynôme à coefficients réels défini sur C\mathbb{C} par  :
P(z)=z4(1+3)z3+(2+3)z2(1+3)z+1\mathrm{P}(z)=z^{4}-(1+\sqrt{3}) z^{3}+(2+\sqrt{3}) z^{2}-(1+\sqrt{3}) z+1.

1. a. Montrer que 00 n’est pas une racine du polynôme P\text{P}.


b. Pour z0z \neq 0, on pose u=z+1zu=z+\dfrac{1}{z}.
Calculer P(z)z2\dfrac{\mathrm{P}(z)}{z^{2}} pour z0z \neq 0 et l’exprimer en fonction de uu.


2. a. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation suivante :
(E1):u2(1+3)u+3=0\left(\mathrm{E}_{1}\right): u^{2}-(1+\sqrt{3}) u+\sqrt{3}=0.


b. Résoudre dans C\mathbb{C} les équations (E2):z+1z=1\left(\mathrm{E}_{2}\right): z+\dfrac{1}{z}=1 et (E3):z+1z=3\left(\mathrm{E}_{3}\right): z+\dfrac{1}{z}=\sqrt{3}.


3. En déduire les solutions dans C\mathbb{C} de l’équation (E)(\mathrm{E}).
On les écrira sous forme algébrique.
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127
[Calculer.] ◉◉◉
On considère trois nombres complexes uu, vv et ww et le polynôme P\text{P} défini sur C\mathbb{C} par :
P(z)=(zu)(zv)(zw)\mathrm{P}(z)=(z-u)(z-v)(z-w).

1. Développer le polynôme P\text{P} et l’écrire sous la forme az3+bz2+cz+da z^{3}+b z^{2}+c z+d en exprimant les coefficients complexes aa, bb, cc et dd en fonction de uu, vv et ww.


2. À l’aide des expressions obtenues précédemment, déterminer les nombres uu, vv et ww tels que :
{u+v+w=1u×v+u×w+v×w=1u×v×w=1\left\{\begin{aligned} u+v+w &=1 \\ u \times v+u \times w+v \times w &=1 \\ u \times v \times w &=1 \end{aligned}\right..
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128
GEOGEBRA
[Représenter.]
On souhaite étudier les racines d’un polynôme symétrique de degré 22 à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme P\text{P} défini sur C\mathbb{C} par P(z)=az2+bz+a\mathrm{P}(z)=a z^{2}+b z+a, où aa et bb sont deux réels tels que a0a \neq 0.

1. Montrer qu’un nombre complexe uu est une racine dans C\mathbb{C} du polynôme P\text{P} si, et seulement si, uu est solution d’une équation (E)(\mathrm{E}) de la forme z2+αz+1=0z^{2}+\alpha z+1=0α\alpha est un réel que l’on exprimera en fonction des réels aa et bb.


2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur α\alpha dans [5 ; 5][-5 ; 5] avec un incrément de 0,10{,}1 et tracer la courbe représentative de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=x2+αx+1f(x)=x^{2}+\alpha x+1.

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b. Conjecturer pour quelles valeurs de α\alpha la fonction ff admet deux racines réelles.


c. Démontrer cette conjecture.


3. a. Montrer que si le nombre complexe uu est une solution dans C\mathbb{C} de l’équation (E)(\mathrm{E}), alors uu en est également une.


b. Montrer que si le nombre complexe uu est une solution non nulle dans C\mathbb{C} de l’équation (E)(\mathrm{E}), alors 1u\dfrac{1}{u} en est également une.


c. En déduire que si α]2 ; 2[\alpha \in]-2 ; 2[, alors l’équation (E)(\mathrm{E}) admet deux racines complexes à la fois inverses et conjuguées.


4. Déterminer, suivant les valeurs de ba\dfrac{b}{a}, le nombre de racines réelles ou complexes du polynôme symétrique P.\text{P}.
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129
GEOGEBRA
[Représenter.]
On souhaite étudier les racines réelles d’un polynôme symétrique de degré 33 à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme P\mathrm{P} défini sur C\mathbb{C} par P(z)=az3+bz2+bz+a\mathrm{P}(z)=a z^{3}+b z^{2}+b z+aaa et bb sont deux réels tels que a0a \neq 0.

1. Montrer qu’un nombre complexe uu est une racine dans C\mathbb{C} du polynôme P\text{P} si, et seulement si, uu est solution d’une équation (E)(\mathrm{E}) de la forme z3+αz2+αz+1=0z^{3}+\alpha z^{2}+\alpha z+1=0α\alpha est un réel que l’on exprimera en fonction de aa et bb.


2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur α\alpha dans [5 ; 5][-5 ; 5] avec un incrément de 0,10{,}1 et tracer la courbe représentative de la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=x3+αx2+αx+1f(x)=x^{3}+\alpha x^{2}+\alpha x+1.

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b. À l’aide de la courbe représentative de ff, conjecturer une solution réelle évidente de l’équation (E)(\mathrm{E}).


c. Démontrer cette conjecture.


3. a. Vérifier que, pour tout zCz \in \mathbb{C} :
z3+1=(z+1)(z2z+1)z^{3}+1=(z+1)\left(z^{2}-z+1\right).


b. Montrer qu’il existe un polynôme symétrique Q\text{Q} de degré 22 (voir exercice précédent) tel que, pour tout nombre complexe zz, P(z)=(z+1)Q(z)\mathrm{P}(z)=(z+1) \mathrm{Q}(z).


c. Déterminer les valeurs de α\alpha pour lesquelles le polynôme P\text{P} admet exactement trois racines réelles.


4. Application : Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation :
2z3+z2+z+2=02 z^{3}+z^{2}+z+2=0.
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130
[Calculer.] ◉◉◉
On souhaite étudier les racines réelles d’un polynôme symétrique de degré 44 à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme P\text{P} défini sur C\mathbb{C} par P(z)=az4+bz3+cz2+bz+a\mathrm{P}(z)=a z^{4}+b z^{3}+c z^{2}+b z+a, où aa, bb et cc sont trois réels tels que a0a \neq 0.

1. Montrer qu’un nombre complexe uu est une racine dans C\mathbb{C} du polynôme P\text{P} si, et seulement si, uu est solution d’une équation (E)(\mathrm{E}) de la forme z4+αz3+βz2+αz+1=0z^{4}+\alpha z^{3}+\beta z^{2}+\alpha z+1=0α\alpha et β\beta sont deux réels qu’on exprimera en fonction de aa, bb et cc.


2. a. Montrer que 00 n’est pas solution de l’équation (E)(\mathrm{E}).


b. Soit Q(z)=z4+αz3+βz2+αz+1\mathrm{Q}(z)=z^{4}+\alpha z^{3}+\beta z^{2}+\alpha z+1.
Calculer, pour tout zCz \in \mathbb{C}^{*}, Q(z)z2\dfrac{\mathrm{Q}(z)}{z^{2}}.


c. On pose, pour zCz \in \mathbb{C}^{*}, Z=z+1z\mathrm{Z}=z+\dfrac{1}{z}.
Exprimer z2+1z2z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}} en fonction de Z\mathrm{Z} puis montrer que Q(z)=0\mathrm{Q}(z)=0 si, et seulement si, Z\mathrm{Z} est solution d’une équation du second degré à coefficients réels.


3. On suppose que Z\mathrm{Z} est un réel kk et solution de l’équation du second degré obtenue à la question 2. c..
Déterminer pour quelles valeurs de kk l’équation z+1z=kz+\dfrac{1}{z}=k admet deux solutions réelles distinctes.


4. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation z4+2z3+3z2+2z+1=0z^{4}+2 z^{3}+3 z^{2}+2 z+1=0.
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Pour les exercices
131
à 
133


Pour chaque affirmation, justifier si elle est vraie ou fausse.
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131
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « L’équation 3z22z+1=03 z^{2}-2 z+1=0 admet deux solutions réelles distinctes. »


2. « Les nombres complexes conjugués 2+i2+\mathrm{i} et 2i2-\mathrm{i} sont solutions de l’équation z+5z=4z+\dfrac{5}{z}=4. »


3. « Les solutions dans C\mathbb{C} de l’équation z24z+5=0z^{2}-4 z+5=0 sont les opposés des solutions dans C\mathbb{C} de l’équation z2+4z+5=0z^{2}+4 z+5=0. »


4. « La partie réelle des solutions dans C\mathbb{C} de l’équation z26z+10=0z^{2}-6 z+10=0 est égale à 33. »
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132
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « Le polynôme P\text{P} défini sur C\mathbb{C} par P(z)=z3+1\mathrm{P}(z)=z^{3}+1 se factorise dans C\mathbb{C} par z+1z + 1. »


2. « Les polynômes P1\mathrm{P}_{1} et P2\mathrm{P}_{2} définis sur C\mathbb{C} par P1(z)=z41\mathrm{P}_{1}(z)=z^{4}-1 et P2(z)=z3+1\mathrm{P}_{2}(z)=z^{3}+1 ont un facteur commun dans C\mathbb{C}. »


3. « Le polynôme P\text{P} défini sur C\mathbb{C} par P(z)=z2i\mathrm{P}(z)=z^{2}-\mathrm{i} n’a pas de racine dans C\mathbb{C}. »


Aide
On pourra calculer (2+i2)2\left(\sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{2}\right)^{2}.
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133
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « Deux nombres complexes conjugués dont la somme et le produit sont tous les deux égaux à 11 sont les solutions dans C\mathbb{C} de l’équation z2z+1=0z^{2}-z+1=0. »


2. « Si zz est une racine dans C\mathbb{C} du polynôme P\text{P} défini sur C\mathbb{C} par P(z)=z42z23\mathrm{P}(z)=z^{4}-2 z^{2}-3, alors son conjugué z\overline z en est aussi une. »


3. « Le polynôme P\text{P} à coefficients complexes défini sur C\mathbb{C} par P(z)=z3+iz2+z+i\mathrm{P}(z)=z^{3}+\mathrm{i} z^{2}+z+\mathrm{i} admet trois racines distinctes dans C\mathbb{C}. »


4. « Les polynômes P1\mathrm{P}_{1} et P2\mathrm{P}_{2} à coefficients complexes définis sur C\mathbb{C} par P1(z)=z3+iz22z2i\mathrm{P}_{1}(z)=z^{3}+\mathrm{i} z^{2}-2 z-2 \mathrm{i} et P2(z)=z3iz2+2z2i\mathrm{P}_{2}(z)=z^{3}-\mathrm{i} z^{2}+2 z-2 \mathrm{i} ont une racine imaginaire pure commune. »
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134

Soit nNn \in \mathbb{N}^{*} et P\text{P} le polynôme défini pour tout zCz \in \mathbb{C} par P(z)=zn1\mathrm{P}(z)=z^{n}-1.
On admet que P\text{P} admet nn racines distinctes.
Calculer le produit de ces nn racines, appelées racines de l’unité.
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