Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2

108

[Calculer.]

1. $(z+3\mathrm{i})(2z-3+\mathrm{i})=0$

2. $(z-2\mathrm{i})(\mathrm{i}z+1)=0$

3. $(\mathrm{i}z+1+\mathrm{i})(3\mathrm{i}z-1)=0$

4. $((1+\mathrm{i})z-1)((2+\mathrm{i})z+1)=0$

109

[Calculer.]

1. $z^2+1=0$

2. $z^2+2=0$

3. $z^2+16=0$

4. $z^2+20=0$

5. $z^2+\frac{1}{4}=0$

6. $z^2+\frac{1}{3}=0$

7. $z^2+\frac{11}{4}=0$

8. $z^2+\frac{3}{2}=0$

110

[Calculer.]

1. $z^2+z=0$

2. $z^2+2\mathrm{i}z=0$

3. $2\mathrm{i}{z}^2+3z=0$

4. $(1+\mathrm{i})z^2=(2-\mathrm{i})z$

5. $(1+2\mathrm{i})z^2+(2\mathrm{i}-1)z=0$

111

[Calculer.]

1. $z^2+z+1=0$

2. $z^2+4z+13=0$

3. $4z^2-4z+17=0$

4. $2z^2+2z+5=0$

5. $z^2-\sqrt{2}z+1=0$

6. $9z^2-6z+19=0$

112

[Calculer.]

1. $z=-\frac{3}{z}$

2. $\frac{z}{4}=1-\frac{2}{z}$

3. $\frac{5}{z^2}=\frac{3}{z}-\frac{1}{2}$

4. $5z-2=-\frac{26}{5z}$

113

[Calculer.]

1. $z^4+z^2-6=0$

2. $z^4+z^2-2=0$

3. $z^4+3z^2+2=0$

4. $8z^4+6z^2+1=0$

5. $8z^4+22z^2+15=0$

6. $z^3+5z+\frac{4}{z}=0$

7. $z^2+2=\frac{3}{z^2}$

8. $\frac{2}{z^4}+\frac{7}{z^2}=-3$

114

[Calculer.]

1. $z^4-2z^2-3=0$

2. $z^4-3z^2-10=0$

3. $z^4-2z^2-8=0$

4. $2z^4-z^2-3=0$

5. $z^3-4z=\frac{21}{z}$

6. $\frac{z^3}{4}=z+\frac{3}{z}$

7. $z^5-2z=4z^3+3z$

115

Algo

[Calculer.]
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions dans $\mathbb{C}$ d'une équation du second degré à coefficients réels $a{z}^2+bz+c=0$ avec $a\ne 0$ et leurs valeurs.

2. Programmer cet algorithme en Python.

Aide

On définit un nombre complexe $a+\mathrm{i}b$ sous Python en écrivant complex (a,b).

À savoir

Python note $\text{j}$ le nombre complexe $\text{i}$.

124

[Calculer.]
Soit $\text{P}$ le polynôme à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par :

1. Vérifier que $0$ n'est pas une racine du polynôme $\text{P}$.

2. Pour $z\ne 0$, on pose $u=z+\frac{1}{z}$.
a. Exprimer $u^2-3$ en fonction de $z$.

b. Calculer $\frac{\mathrm{P}(z)}{z^2}$ pour $z\ne 0$ et l'exprimer en fonction de $u$.

3. En déduire les racines dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

126

[Calculer.]
On veut résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante :
Soit $\text{P}$ le polynôme à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par  :

1. a. Montrer que $0$ n'est pas une racine du polynôme $\text{P}$.

b. Pour $z\ne 0$, on pose $u=z+\frac{1}{z}$.
Calculer $\frac{\mathrm{P}(z)}{z^2}$ pour $z\ne 0$ et l'exprimer en fonction de $u$.

2. a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante :

$\left({\mathrm{E}}_1\right):u^2-(1+\sqrt{3})u+\sqrt{3}=0$.

b. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations $\left({\mathrm{E}}_2\right):z+\frac{1}{z}=1$ et $\left({\mathrm{E}}_3\right):z+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$.

3. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $(\mathrm{E})$.
On les écrira sous forme algébrique.

128

GeoGebra

[Représenter.]
On souhaite étudier les racines d'un polynôme symétrique de degré $2$ à coefficients réels, c'est‑à‑dire un polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=a{z}^2+bz+a$, où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a\ne 0$.

1. Montrer qu'un nombre complexe $u$ est une racine dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ si, et seulement si, $u$ est solution d'une équation $(\mathrm{E})$ de la forme $z^2+\alpha z+1=0$ où $\alpha$ est un réel que l'on exprimera en fonction des réels $a$ et $b$.

2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur $\alpha$ dans $[-5;5]$ avec un incrément de $0,1$ et tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^2+\alpha x+1$.

b. Conjecturer pour quelles valeurs de $\alpha$ la fonction $f$ admet deux racines réelles.

c. Démontrer cette conjecture.

3. a. Montrer que si le nombre complexe $u$ est une solution dans $\mathbb{C}$ de l'équation $(\mathrm{E})$, alors $u$ en est également une.

b. Montrer que si le nombre complexe $u$ est une solution non nulle dans $\mathbb{C}$ de l'équation $(\mathrm{E})$, alors $\frac{1}{u}$ en est également une.

c. En déduire que si $\alpha \in ]-2;2[$, alors l'équation $(\mathrm{E})$ admet deux racines complexes à la fois inverses et conjuguées.

4. Déterminer, suivant les valeurs de $\frac{b}{a}$, le nombre de racines réelles ou complexes du polynôme symétrique $\text{P}.$

129

GeoGebra

[Représenter.]
On souhaite étudier les racines réelles d'un polynôme symétrique de degré $3$ à coefficients réels, c'est‑à‑dire un polynôme $\mathrm{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=a{z}^3+b{z}^2+bz+a$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a\ne 0$.

1. Montrer qu'un nombre complexe $u$ est une racine dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ si, et seulement si, $u$ est solution d'une équation $(\mathrm{E})$ de la forme $z^3+\alpha z^2+\alpha z+1=0$ où $\alpha$ est un réel que l'on exprimera en fonction de $a$ et $b$.

2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur $\alpha$ dans $[-5;5]$ avec un incrément de $0,1$ et tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^3+\alpha x^2+\alpha x+1$.

b. À l'aide de la courbe représentative de $f$, conjecturer une solution réelle évidente de l'équation $(\mathrm{E})$.

c. Démontrer cette conjecture.

3. a. Vérifier que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ :

$z^3+1=(z+1)\left(z^2-z+1\right)$.

b. Montrer qu'il existe un polynôme symétrique $\text{Q}$ de degré $2$ (voir exercice précédent) tel que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z+1)\mathrm{Q}(z)$.

c. Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles le polynôme $\text{P}$ admet exactement trois racines réelles.

4. Application : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :

$2z^3+z^2+z+2=0$.

130

[Calculer.]
On souhaite étudier les racines réelles d'un polynôme symétrique de degré $4$ à coefficients réels, c'est‑à‑dire un polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=a{z}^4+b{z}^3+c{z}^2+bz+a$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels tels que $a\ne 0$.

1. Montrer qu'un nombre complexe $u$ est une racine dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ si, et seulement si, $u$ est solution d'une équation $(\mathrm{E})$ de la forme $z^4+\alpha z^3+\beta z^2+\alpha z+1=0$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels qu'on exprimera en fonction de $a$, $b$ et $c$.

2. a. Montrer que $0$ n'est pas solution de l'équation $(\mathrm{E})$.

b. Soit $\mathrm{Q}(z)=z^4+\alpha z^3+\beta z^2+\alpha z+1$.
Calculer, pour tout $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, $\frac{\mathrm{Q}(z)}{z^2}$.

c. On pose, pour $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, $\mathrm{Z}=z+\frac{1}{z}$.
Exprimer $z^2+\frac{1}{z^2}$ en fonction de $\mathrm{Z}$ puis montrer que $\mathrm{Q}(z)=0$ si, et seulement si, $\mathrm{Z}$ est solution d'une équation du second degré à coefficients réels.

3. On suppose que $\mathrm{Z}$ est un réel $k$ et solution de l'équation du second degré obtenue à la question 2. c..
Déterminer pour quelles valeurs de $k$ l'équation $z+\frac{1}{z}=k$ admet deux solutions réelles distinctes.

4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^4+2z^3+3z^2+2z+1=0$.

133

Vrai / Faux

[Raisonner.]

1. « Deux nombres complexes conjugués dont la somme et le produit sont tous les deux égaux à $1$ sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^2-z+1=0$. »

2. « Si $z$ est une racine dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^4-2z^2-3$, alors son conjugué $\overline{z}$ en est aussi une. »

3. « Le polynôme $\text{P}$ à coefficients complexes défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^3+\mathrm{i}{z}^2+z+\mathrm{i}$ admet trois racines distinctes dans $\mathbb{C}$. »

4. « Les polynômes ${\mathrm{P}}_1$ et ${\mathrm{P}}_2$ à coefficients complexes définis sur $\mathbb{C}$ par ${\mathrm{P}}_1(z)=z^3+\mathrm{i}{z}^2-2z-2\mathrm{i}$ et ${\mathrm{P}}_2(z)=z^3-\mathrm{i}{z}^2+2z-2\mathrm{i}$ ont une racine imaginaire pure commune. »