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3. Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2
P.40-42

Entraînement


3
Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

105
FLASH

Résoudre dans l’équation .

106
FLASH

Déterminer deux nombres complexes et sachant que leur somme est égale à et que leur produit est égal à .

107
FLASH
VRAI / FAUX

L’affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« Les polynômes et définis sur par et ont un facteur commun de la forme avec réel. »

Pour les exercices
108
à 
112

Résoudre dans chacune des équations proposées. On écrira les solutions sous forme algébrique.

108
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.

109
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.

110
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.

111
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.


5.


6.

112
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.

Pour les exercices
113
et 
114


Résoudre dans chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

113
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.

114
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.

115
ALGO
[Calculer.]
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions dans d’une équation du second degré à coefficients réels avec et leurs valeurs.


2. Programmer cet algorithme en Python.

Aide
On définit un nombre complexe sous Python en écrivant complex (a,b).


À savoir
Python note le nombre complexe .



  

Pour les exercices
116
et 
117


Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres complexes et dont on donne la somme et le produit , puis les écrire sous forme algébrique.

116
[Calculer.] ◉◉
1. et .


2. et .


3. et .


4. et .

117
[Calculer.]
1. et .


2. et .


3. et .


4. et .

118
[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients complexes suivants sous la forme avce et , puis les factoriser par dans

1.


2.


3.


4.


5.

119
[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients réels suivants en produit de facteurs de la forme avec dans .

1.


2.


3.


4.


5.


6.


Aide
Pour 5. , remarquer que se factorise par .

120
[Calculer.] ◉◉
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par .

1. Montrer que est une racine du polynôme .


2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .


Aide
On obtient .


3. Résoudre alors dans l’équation .

121
[Calculer.]
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par .

1. Déterminer une racine réelle, notée , du polynôme .


2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .


3. Résoudre alors dans l’équation .

122
[Calculer.] ◉◉
On considère le polynôme à coefficients complexes défini sur par :
.

1. Montrer que est une racine du polynôme .


2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .


3. Résoudre alors dans l’équation .
On écrira les solutions sous forme algébrique.

123
[Calculer.]
On considère le polynôme à coefficients complexes défini sur par :
.

1. Montrer que le polynôme admet dans une racine imaginaire pure (avec réel) que l’on déterminera.


2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .


3. Résoudre alors dans l’équation .
On écrira les solutions sous forme algébrique.

124
[Calculer.] ◉◉◉
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par :

1. Vérifier que n’est pas une racine du polynôme .


2. Pour , on pose .
a. Exprimer en fonction de .


b. Calculer pour et l’exprimer en fonction de .


3. En déduire les racines dans du polynôme .
On écrira les solutions sous forme algébrique.

125
[Calculer.]
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par :
.

1. a. Vérifier que n’est pas une racine du polynôme .


b. Pour , on pose .
Calculer pour et l’exprimer en fonction de .


2. En déduire les racines dans du polynôme .
On écrira les solutions sous forme algébrique.

126
[Calculer.]
On veut résoudre dans l’équation suivante :
.

Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par  :
.

1. a. Montrer que n’est pas une racine du polynôme .


b. Pour , on pose .
Calculer pour et l’exprimer en fonction de .


2. a. Résoudre dans l’équation suivante :
.


b. Résoudre dans les équations et .


3. En déduire les solutions dans de l’équation .
On les écrira sous forme algébrique.

127
[Calculer.] ◉◉◉
On considère trois nombres complexes , et et le polynôme défini sur par :
.

1. Développer le polynôme et l’écrire sous la forme en exprimant les coefficients complexes , , et en fonction de , et .


2. À l’aide des expressions obtenues précédemment, déterminer les nombres , et tels que :
.

128
GEOGEBRA
[Représenter.]
On souhaite étudier les racines d’un polynôme symétrique de degré à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme défini sur par , où et sont deux réels tels que .

1. Montrer qu’un nombre complexe est une racine dans du polynôme si, et seulement si, est solution d’une équation de la forme est un réel que l’on exprimera en fonction des réels et .


2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur dans avec un incrément de et tracer la courbe représentative de la fonction définie sur par : .

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

b. Conjecturer pour quelles valeurs de la fonction admet deux racines réelles.


c. Démontrer cette conjecture.


3. a. Montrer que si le nombre complexe est une solution dans de l’équation , alors en est également une.


b. Montrer que si le nombre complexe est une solution non nulle dans de l’équation , alors en est également une.


c. En déduire que si , alors l’équation admet deux racines complexes à la fois inverses et conjuguées.


4. Déterminer, suivant les valeurs de , le nombre de racines réelles ou complexes du polynôme symétrique

129
GEOGEBRA
[Représenter.]
On souhaite étudier les racines réelles d’un polynôme symétrique de degré à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme défini sur par et sont deux réels tels que .

1. Montrer qu’un nombre complexe est une racine dans du polynôme si, et seulement si, est solution d’une équation de la forme est un réel que l’on exprimera en fonction de et .


2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur dans avec un incrément de et tracer la courbe représentative de la fonction définie sur par : .

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

b. À l’aide de la courbe représentative de , conjecturer une solution réelle évidente de l’équation .


c. Démontrer cette conjecture.


3. a. Vérifier que, pour tout  :
.


b. Montrer qu’il existe un polynôme symétrique de degré (voir exercice précédent) tel que, pour tout nombre complexe , .


c. Déterminer les valeurs de pour lesquelles le polynôme admet exactement trois racines réelles.


4. Application : Résoudre dans l’équation :
.

130
[Calculer.] ◉◉◉
On souhaite étudier les racines réelles d’un polynôme symétrique de degré à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme défini sur par , où , et sont trois réels tels que .

1. Montrer qu’un nombre complexe est une racine dans du polynôme si, et seulement si, est solution d’une équation de la forme et sont deux réels qu’on exprimera en fonction de , et .


2. a. Montrer que n’est pas solution de l’équation .


b. Soit .
Calculer, pour tout , .


c. On pose, pour , .
Exprimer en fonction de puis montrer que si, et seulement si, est solution d’une équation du second degré à coefficients réels.


3. On suppose que est un réel et solution de l’équation du second degré obtenue à la question 2. c..
Déterminer pour quelles valeurs de l’équation admet deux solutions réelles distinctes.


4. Résoudre dans l’équation .

Pour les exercices
131
à 
133


Pour chaque affirmation, justifier si elle est vraie ou fausse.

131
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « L’équation admet deux solutions réelles distinctes. »


2. « Les nombres complexes conjugués et sont solutions de l’équation . »


3. « Les solutions dans de l’équation sont les opposés des solutions dans de l’équation . »


4. « La partie réelle des solutions dans de l’équation est égale à . »

132
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « Le polynôme défini sur par se factorise dans par . »


2. « Les polynômes et définis sur par et ont un facteur commun dans . »


3. « Le polynôme défini sur par n’a pas de racine dans . »


Aide
On pourra calculer .

133
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « Deux nombres complexes conjugués dont la somme et le produit sont tous les deux égaux à sont les solutions dans de l’équation . »


2. « Si est une racine dans du polynôme défini sur par , alors son conjugué en est aussi une. »


3. « Le polynôme à coefficients complexes défini sur par admet trois racines distinctes dans . »


4. « Les polynômes et à coefficients complexes définis sur par et ont une racine imaginaire pure commune. »

134

Soit et le polynôme défini pour tout par .
On admet que admet racines distinctes.
Calculer le produit de ces racines, appelées racines de l’unité.
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