Mathématiques Expertes Terminale

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3. Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2
P.40-42

Entraînement


3
Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

105
FLASH

Résoudre dans l’équation .
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106
FLASH

Déterminer deux nombres complexes et sachant que leur somme est égale à et que leur produit est égal à .
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107
FLASH
VRAI / FAUX

L’affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« Les polynômes et définis sur par et ont un facteur commun de la forme avec réel. »
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Pour les exercices
108
à 
112

Résoudre dans chacune des équations proposées. On écrira les solutions sous forme algébrique.

108
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.
Voir la correction

109
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.
Voir la correction

110
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.
Voir la correction

111
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.


5.


6.
Voir la correction

112
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.
Voir la correction

Pour les exercices
113
et 
114


Résoudre dans chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

113
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.
Voir la correction

114
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.
Voir la correction

115
ALGO
[Calculer.]
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions dans d’une équation du second degré à coefficients réels avec et leurs valeurs.


2. Programmer cet algorithme en Python.

Aide
On définit un nombre complexe sous Python en écrivant complex (a,b).


À savoir
Python note le nombre complexe .



  
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Pour les exercices
116
et 
117


Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres complexes et dont on donne la somme et le produit , puis les écrire sous forme algébrique.

116
[Calculer.] ◉◉
1. et .


2. et .


3. et .


4. et .
Voir la correction

117
[Calculer.]
1. et .


2. et .


3. et .


4. et .
Voir la correction

118
[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients complexes suivants sous la forme avce et , puis les factoriser par dans

1.


2.


3.


4.


5.
Voir la correction

119
[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients réels suivants en produit de facteurs de la forme avec dans .

1.


2.


3.


4.


5.


6.


Aide
Pour 5. , remarquer que se factorise par .
Voir la correction

120
[Calculer.] ◉◉
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par .

1. Montrer que est une racine du polynôme .


2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .


Aide
On obtient .


3. Résoudre alors dans l’équation .
Voir la correction

121
[Calculer.]
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par .

1. Déterminer une racine réelle, notée , du polynôme .


2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .


3. Résoudre alors dans l’équation .
Voir la correction

122
[Calculer.] ◉◉
On considère le polynôme à coefficients complexes défini sur par :
.

1. Montrer que est une racine du polynôme .


2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .


3. Résoudre alors dans l’équation .
On écrira les solutions sous forme algébrique.
Voir la correction

123
[Calculer.]
On considère le polynôme à coefficients complexes défini sur par :
.

1. Montrer que le polynôme admet dans une racine imaginaire pure (avec réel) que l’on déterminera.


2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .


3. Résoudre alors dans l’équation .
On écrira les solutions sous forme algébrique.
Voir la correction

124
[Calculer.] ◉◉◉
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par :

1. Vérifier que n’est pas une racine du polynôme .


2. Pour , on pose .
a. Exprimer en fonction de .


b. Calculer pour et l’exprimer en fonction de .


3. En déduire les racines dans du polynôme .
On écrira les solutions sous forme algébrique.
Voir la correction

125
[Calculer.]
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par :
.

1. a. Vérifier que n’est pas une racine du polynôme .


b. Pour , on pose .
Calculer pour et l’exprimer en fonction de .


2. En déduire les racines dans du polynôme .
On écrira les solutions sous forme algébrique.
Voir la correction

126
[Calculer.]
On veut résoudre dans l’équation suivante :
.

Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par  :
.

1. a. Montrer que n’est pas une racine du polynôme .


b. Pour , on pose .
Calculer pour et l’exprimer en fonction de .


2. a. Résoudre dans l’équation suivante :
.


b. Résoudre dans les équations et .


3. En déduire les solutions dans de l’équation .
On les écrira sous forme algébrique.
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127
[Calculer.] ◉◉◉
On considère trois nombres complexes , et et le polynôme défini sur par :
.

1. Développer le polynôme et l’écrire sous la forme en exprimant les coefficients complexes , , et en fonction de , et .


2. À l’aide des expressions obtenues précédemment, déterminer les nombres , et tels que :
.
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128
GEOGEBRA
[Représenter.]
On souhaite étudier les racines d’un polynôme symétrique de degré à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme défini sur par , où et sont deux réels tels que .

1. Montrer qu’un nombre complexe est une racine dans du polynôme si, et seulement si, est solution d’une équation de la forme est un réel que l’on exprimera en fonction des réels et .


2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur