Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2

108

[Calculer.]

1. (z+3 \mathrm{i})(2 z-3+\mathrm{i})=0

2. (z-2 \mathrm{i})(\mathrm{i} z+1)=0

3. (\mathrm{i} z+1+\mathrm{i})(3 \mathrm{i} z-1)=0

4. ((1+\mathrm{i}) z-1)((2+\mathrm{i}) z+1)=0

109

[Calculer.]

1. z^{2}+1=0

2. z^{2}+2=0

3. z^{2}+16=0

4. z^{2}+20=0

5. z^{2}+\frac{1}{4}=0

6. z^{2}+\frac{1}{3}=0

7. z^{2}+\frac{11}{4}=0

8. z^{2}+\frac{3}{2}=0

110

[Calculer.]

1. z^{2}+z=0

2. z^{2}+2 \mathrm{i} z=0

3. 2 \mathrm{i} z^{2}+3 z=0

4. (1+\mathrm{i}) z^{2}=(2-\mathrm{i}) z

5. (1+2 \mathrm{i}) z^{2}+(2 \mathrm{i}-1) z=0

111

[Calculer.]

1. z^{2}+z+1=0

2. z^{2}+4 z+13=0

3. 4 z^{2}-4 z+17=0

4. 2 z^{2}+2 z+5=0

5. z^{2}-\sqrt{2} z+1=0

6. 9 z^{2}-6 z+19=0

112

[Calculer.]

1. z=-\frac{3}{z}

2. \frac{z}{4}=1-\frac{2}{z}

3. \frac{5}{z^{2}}=\frac{3}{z}-\frac{1}{2}

4. 5 z-2=-\frac{26}{5 z}

113

[Calculer.]

1. z^{4}+z^{2}-6=0

2. z^{4}+z^{2}-2=0

3. z^{4}+3 z^{2}+2=0

4. 8 z^{4}+6 z^{2}+1=0

5. 8 z^{4}+22 z^{2}+15=0

6. z^{3}+5 z+\frac{4}{z}=0

7. z^{2}+2=\frac{3}{z^{2}}

8. \frac{2}{z^{4}}+\frac{7}{z^{2}}=-3

114

[Calculer.]

1. z^{4}-2 z^{2}-3=0

2. z^{4}-3 z^{2}-10=0

3. z^{4}-2 z^{2}-8=0

4. 2 z^{4}-z^{2}-3=0

5. z^{3}-4 z=\frac{21}{z}

6. \frac{z^{3}}{4}=z+\frac{3}{z}

7. z^{5}-2 z=4 z^{3}+3 z

115

Algo

[Calculer.]
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions dans \mathbb{C} d'une équation du second degré à coefficients réels a z^{2}+b z+c=0 avec a \neq 0 et leurs valeurs.

2. Programmer cet algorithme en Python.

Aide

On définit un nombre complexe a+\mathrm{i} b sous Python en écrivant complex (a,b).

À savoir

Python note \text{j} le nombre complexe \text{i}.

124

[Calculer.]
Soit \text{P} le polynôme à coefficients réels défini sur \mathbb{C} par :

1. Vérifier que 0 n'est pas une racine du polynôme \text{P}.

2. Pour z \neq 0, on pose u=z+\frac{1}{z}.
a. Exprimer u^{2}-3 en fonction de z.

b. Calculer \frac{\mathrm{P}(z)}{z^{2}} pour z \neq 0 et l'exprimer en fonction de u.

3. En déduire les racines dans \mathbb{C} du polynôme \text{P}.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

126

[Calculer.]
On veut résoudre dans \mathbb{C} l'équation suivante :
Soit \text{P} le polynôme à coefficients réels défini sur \mathbb{C} par  :

1. a. Montrer que 0 n'est pas une racine du polynôme \text{P}.

b. Pour z \neq 0, on pose u=z+\frac{1}{z}.
Calculer \frac{\mathrm{P}(z)}{z^{2}} pour z \neq 0 et l'exprimer en fonction de u.

2. a. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation suivante :

\left(\mathrm{E}_{1}\right): u^{2}-(1+\sqrt{3}) u+\sqrt{3}=0.

b. Résoudre dans \mathbb{C} les équations \left(\mathrm{E}_{2}\right): z+\frac{1}{z}=1 et \left(\mathrm{E}_{3}\right): z+\frac{1}{z}=\sqrt{3}.

3. En déduire les solutions dans \mathbb{C} de l'équation (\mathrm{E}).
On les écrira sous forme algébrique.

128

GeoGebra

[Représenter.]
On souhaite étudier les racines d'un polynôme symétrique de degré 2 à coefficients réels, c'est‑à‑dire un polynôme \text{P} défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=a z^{2}+b z+a, où a et b sont deux réels tels que a \neq 0.

1. Montrer qu'un nombre complexe u est une racine dans \mathbb{C} du polynôme \text{P} si, et seulement si, u est solution d'une équation (\mathrm{E}) de la forme z^{2}+\alpha z+1=0 où \alpha est un réel que l'on exprimera en fonction des réels a et b.

2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur \alpha dans [-5 ; 5] avec un incrément de 0{,}1 et tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x)=x^{2}+\alpha x+1.

b. Conjecturer pour quelles valeurs de \alpha la fonction f admet deux racines réelles.

c. Démontrer cette conjecture.

3. a. Montrer que si le nombre complexe u est une solution dans \mathbb{C} de l'équation (\mathrm{E}), alors u en est également une.

b. Montrer que si le nombre complexe u est une solution non nulle dans \mathbb{C} de l'équation (\mathrm{E}), alors \frac{1}{u} en est également une.

c. En déduire que si \alpha \in]-2 ; 2[, alors l'équation (\mathrm{E}) admet deux racines complexes à la fois inverses et conjuguées.

4. Déterminer, suivant les valeurs de \frac{b}{a}, le nombre de racines réelles ou complexes du polynôme symétrique \text{P}.

129

GeoGebra

[Représenter.]
On souhaite étudier les racines réelles d'un polynôme symétrique de degré 3 à coefficients réels, c'est‑à‑dire un polynôme \mathrm{P} défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=a z^{3}+b z^{2}+b z+a où a et b sont deux réels tels que a \neq 0.

1. Montrer qu'un nombre complexe u est une racine dans \mathbb{C} du polynôme \text{P} si, et seulement si, u est solution d'une équation (\mathrm{E}) de la forme z^{3}+\alpha z^{2}+\alpha z+1=0 où \alpha est un réel que l'on exprimera en fonction de a et b.

2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur \alpha dans [-5 ; 5] avec un incrément de 0{,}1 et tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R} par : f(x)=x^{3}+\alpha x^{2}+\alpha x+1.

b. À l'aide de la courbe représentative de f, conjecturer une solution réelle évidente de l'équation (\mathrm{E}).

c. Démontrer cette conjecture.

3. a. Vérifier que, pour tout z \in \mathbb{C} :

z^{3}+1=(z+1)\left(z^{2}-z+1\right).

b. Montrer qu'il existe un polynôme symétrique \text{Q} de degré 2 (voir exercice précédent) tel que, pour tout nombre complexe z, \mathrm{P}(z)=(z+1) \mathrm{Q}(z).

c. Déterminer les valeurs de \alpha pour lesquelles le polynôme \text{P} admet exactement trois racines réelles.

4. Application : Résoudre dans \mathbb{C} l'équation :

2 z^{3}+z^{2}+z+2=0.

130

[Calculer.]
On souhaite étudier les racines réelles d'un polynôme symétrique de degré 4 à coefficients réels, c'est‑à‑dire un polynôme \text{P} défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=a z^{4}+b z^{3}+c z^{2}+b z+a, où a, b et c sont trois réels tels que a \neq 0.

1. Montrer qu'un nombre complexe u est une racine dans \mathbb{C} du polynôme \text{P} si, et seulement si, u est solution d'une équation (\mathrm{E}) de la forme z^{4}+\alpha z^{3}+\beta z^{2}+\alpha z+1=0 où \alpha et \beta sont deux réels qu'on exprimera en fonction de a, b et c.

2. a. Montrer que 0 n'est pas solution de l'équation (\mathrm{E}).

b. Soit \mathrm{Q}(z)=z^{4}+\alpha z^{3}+\beta z^{2}+\alpha z+1.
Calculer, pour tout z \in \mathbb{C}^{*}, \frac{\mathrm{Q}(z)}{z^{2}}.

c. On pose, pour z \in \mathbb{C}^{*}, \mathrm{Z}=z+\frac{1}{z}.
Exprimer z^{2}+\frac{1}{z^{2}} en fonction de \mathrm{Z} puis montrer que \mathrm{Q}(z)=0 si, et seulement si, \mathrm{Z} est solution d'une équation du second degré à coefficients réels.

3. On suppose que \mathrm{Z} est un réel k et solution de l'équation du second degré obtenue à la question 2. c..
Déterminer pour quelles valeurs de k l'équation z+\frac{1}{z}=k admet deux solutions réelles distinctes.

4. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation z^{4}+2 z^{3}+3 z^{2}+2 z+1=0.

133

Vrai / Faux

[Raisonner.]

1. « Deux nombres complexes conjugués dont la somme et le produit sont tous les deux égaux à 1 sont les solutions dans \mathbb{C} de l'équation z^{2}-z+1=0. »

2. « Si z est une racine dans \mathbb{C} du polynôme \text{P} défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{4}-2 z^{2}-3, alors son conjugué \overline z en est aussi une. »

3. « Le polynôme \text{P} à coefficients complexes défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{3}+\mathrm{i} z^{2}+z+\mathrm{i} admet trois racines distinctes dans \mathbb{C}. »

4. « Les polynômes \mathrm{P}_{1} et \mathrm{P}_{2} à coefficients complexes définis sur \mathbb{C} par \mathrm{P}_{1}(z)=z^{3}+\mathrm{i} z^{2}-2 z-2 \mathrm{i} et \mathrm{P}_{2}(z)=z^{3}-\mathrm{i} z^{2}+2 z-2 \mathrm{i} ont une racine imaginaire pure commune. »