Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Histoire des mathématiques : Nombres complexes
Histoirep. 12-13
Activités - Histoire des mathématiques
Histoirep. 14-15
Nombres complexes : point de vue algébrique
Ouverturep. 16-17
Activités
Activitép. 18-19
1. L’ensemble C des nombres complexes
Coursp. 20-22
2. Nombres complexes conjugués
Coursp. 23-25
3. Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2
Coursp. 26-29
L'essentiel
Fiches de révision - Exclusivité numériquep. 30
Auto-évaluation
Auto-évaluationp. 31
TP1 : Suite de nombres complexes
TP / TICEp. 32
TP2 : Racines carrées d’un nombre complexe
TP / TICEp. 33
Travailler les automatismes
Exercicesp. 34-35
1. L’ensemble C des nombres complexes
Exercicesp. 36-37
2. Nombres complexes conjugués
Exercicesp. 38-40
3. Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2
Exercicesp. 40-42
Synthèse
Synthèsep. 44-47
Exercices de révision
Exercices de révision - Exclusivité numérique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Exercices transversaux
Exercicesp. 238-243
Se préparer au Grand Oral
Grand oral
Présentation du Grand Oral
Grand oral
Conseils pour le Grand Oral
Méthode
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Entraînement 3

Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2

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Différenciation
Parcours 1 : exercices
55
 ;
59
 ;
79
 ;
84
 ;
94
 ;
111
 ;
116
 et
120

Parcours 2 : exercices
57
 ;
60
 ;
67
 ;
85
 ;
96
 ;
112
 et
122

Parcours 3 : exercices
65
 ;
102
 ;
124
 ;
127
 et
130
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105
Flash

Résoudre dans \mathbb{C} l'équation 4 z^{2}+16=0.
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106
Flash

Déterminer deux nombres complexes u et v sachant que leur somme est égale à 3 et que leur produit est égal à 5.
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107
Flash
Vrai / Faux

L'affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« Les polynômes \mathrm{P}_1 et \mathrm{P}_2 définis sur \mathbb{C} par \mathrm{P}_{1}(z)=z^{3}+1 et \mathrm{P}_{2}(z)=z^{3}-z^{2}+2 ont un facteur commun de la forme z - a avec a réel. »
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Pour les exercices
108
à
112

Résoudre dans \mathbb{C} chacune des équations proposées. On écrira les solutions sous forme algébrique.
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108
 [Calculer.]
1. (z+3 \mathrm{i})(2 z-3+\mathrm{i})=0
2. (z-2 \mathrm{i})(\mathrm{i} z+1)=0
3. (\mathrm{i} z+1+\mathrm{i})(3 \mathrm{i} z-1)=0
4. ((1+\mathrm{i}) z-1)((2+\mathrm{i}) z+1)=0
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109
 [Calculer.]
1. z^{2}+1=0
2. z^{2}+2=0
3. z^{2}+16=0
4. z^{2}+20=0
5. z^{2}+\frac{1}{4}=0
6. z^{2}+\frac{1}{3}=0
7. z^{2}+\frac{11}{4}=0
8. z^{2}+\frac{3}{2}=0
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110
 [Calculer.]
1. z^{2}+z=0
2. z^{2}+2 \mathrm{i} z=0
3. 2 \mathrm{i} z^{2}+3 z=0
4. (1+\mathrm{i}) z^{2}=(2-\mathrm{i}) z
5. (1+2 \mathrm{i}) z^{2}+(2 \mathrm{i}-1) z=0
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111
 [Calculer.]

1. z^{2}+z+1=0
2. z^{2}+4 z+13=0
3. 4 z^{2}-4 z+17=0
4. 2 z^{2}+2 z+5=0
5. z^{2}-\sqrt{2} z+1=0
6. 9 z^{2}-6 z+19=0
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112
 [Calculer.]

1. z=-\frac{3}{z}
2. \frac{z}{4}=1-\frac{2}{z}
3. \frac{5}{z^{2}}=\frac{3}{z}-\frac{1}{2}
4. 5 z-2=-\frac{26}{5 z}
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Pour les exercices
113
et
114

Résoudre dans \mathbb{C} chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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113
 [Calculer.]
1. z^{4}+z^{2}-6=0
2. z^{4}+z^{2}-2=0
3. z^{4}+3 z^{2}+2=0
4. 8 z^{4}+6 z^{2}+1=0
5. 8 z^{4}+22 z^{2}+15=0
6. z^{3}+5 z+\frac{4}{z}=0
7. z^{2}+2=\frac{3}{z^{2}}
8. \frac{2}{z^{4}}+\frac{7}{z^{2}}=-3
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114
 [Calculer.]
1. z^{4}-2 z^{2}-3=0
2. z^{4}-3 z^{2}-10=0
3. z^{4}-2 z^{2}-8=0
4. 2 z^{4}-z^{2}-3=0
5. z^{3}-4 z=\frac{21}{z}
6. \frac{z^{3}}{4}=z+\frac{3}{z}
7. z^{5}-2 z=4 z^{3}+3 z
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115
Algo
 [Calculer.]
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions dans \mathbb{C} d'une équation du second degré à coefficients réels a z^{2}+b z+c=0 avec a \neq 0 et leurs valeurs.
2. Programmer cet algorithme en Python.
Aide
On définit un nombre complexe a+\mathrm{i} b sous Python en écrivant complex (a,b).
À savoir
Python note \text{j} le nombre complexe \text{i}.
 









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Pour les exercices 
116
 et 
117

  
  


Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres complexes z_1 et z_2 dont on donne la somme z_1 + z_2 et le produit z_1 z_2, puis les écrire sous forme algébrique.



    
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116

[Calculer.]





1. z_{1}+z_{2}=6 et z_{1} z_{2}=13.






2. z_{1}+z_{2}=10 et z_{1} z_{2}=26.






3. z_{1}+z_{2}=1 et z_{1} z_{2}=1.






4. z_{1}+z_{2}=\sqrt{2} et z_{1} z_{2}=\frac{3}{4}.



  

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117

[Calculer.]



1. z_{1}+z_{2}=-1 et z_{1} z_{2}=\frac{5}{4}.






2. z_{1}+z_{2}=-2 \sqrt{2} et z_{1} z_{2}=6.






3. z_{1}+z_{2}=-\sqrt{3} et z_{1} z_{2}=1.






4. z_{1}+z_{2}=-\sqrt{2} et z_{1} z_{2}=1.



  

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118

[Calculer.]



Écrire chacun des polynômes à coefficients complexes suivants sous la forme z^{n}-a^{n} avce a \in \mathbb{C} et n \in \mathbb{N}^{*}, puis les factoriser par z - a dans \mathbb{C}.



1. \mathrm{P}(z)=z^{3}+1






2. \mathrm{P}(z)=z^{3}-8






3. \mathrm{P}(z)=z^{3}+\mathrm{i}






4. \mathrm{P}(z)=z^{3}+8 \mathrm{i}






5. \mathrm{P}(z)=z^{5}-32 \mathrm{i}



  

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119

[Calculer.]



Écrire chacun des polynômes à coefficients réels suivants en produit de facteurs de la forme z - \alpha avec \alpha dans \mathbb{C}.



1. \mathrm{P}(z)=z^{3}+4 z






2. \mathrm{P}(z)=z^{3}+z^{2}+z+1






3. \mathrm{P}(z)=z^{3}-2 z^{2}+z-2






4. \mathrm{P}(z)=z^{5}-z






5. \mathrm{P}(z)=z^{5}+3 z^{3}+z^{2}+3



    
  
Aide

    
  
Remarquer que z^{5}+3 z^{3} se factorise par z^3.






6. \mathrm{P}(z)=z^{5}-z^{4}+5 z^{3}-5 z^{2}+4 z-4



  

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120

[Calculer.]





Soit le polynôme \text{P} à coefficients réels défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{3}+z^{2}-2.



1. Montrer que 1 est une racine du polynôme \text{P}.






2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, \mathrm{P}(z)=(z-1)\left(a z^{2}+b z+c\right).



    
  
Aide

    
  
On obtient \mathrm{P}(z)=(z-1)\left(z^{2}+2 z+2\right).






3. Résoudre alors dans \mathbb{C} l'équation \mathrm{P}(z)=0.



  

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121

[Calculer.]



Soit le polynôme \text{P} à coefficients réels défini sur \mathbb{C} par \mathrm{P}(z)=z^{3}-4 z^{2}+6 z-4.





1. Déterminer une racine réelle, notée \alpha, du polynôme \text{P}.






2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, \mathrm{P}(z)=(z-\alpha)\left(a z^{2}+b z+c\right).






3. Résoudre alors dans \mathbb{C} l'équation \mathrm{P}(z)=0.



  

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122

[Calculer.]





On considère le polynôme \text{P} à coefficients complexes défini sur \mathbb{C} par : 


\mathrm{P}(z)=z^{3}-2(\sqrt{2}-\mathrm{i}) z^{2}+(3-4 \mathrm{i} \sqrt{2}) z+6 \mathrm{i}.





1. Montrer que -2\mathrm{i} est une racine du polynôme \text{P}.






2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, \mathrm{P}(z)=(z+2 \mathrm{i})\left(a z^{2}+b z+c\right).