Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Entraînement 3

Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2

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Différenciation
Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ;  ;  ; et
Parcours 2 : exercices  ;  ;  ;  ;  ; et
Parcours 3 : exercices  ;  ;  ; et
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105
Flash

Résoudre dans l'équation .
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106
Flash

Déterminer deux nombres complexes et sachant que leur somme est égale à et que leur produit est égal à .
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107
Flash
Vrai / Faux

L'affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« Les polynômes et définis sur par et ont un facteur commun de la forme avec réel. »
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Pour les exercices
108
à
112

Résoudre dans chacune des équations proposées. On écrira les solutions sous forme algébrique.
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108
[Calculer.]
1.

2.

3.

4.
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109
[Calculer.]
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.
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110
[Calculer.]
1.

2.

3.

4.

5.
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111
[Calculer.]

1.

2.

3.

4.

5.

6.
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112
[Calculer.]

1.

2.

3.

4.
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Pour les exercices
113
et
114

Résoudre dans chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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113
[Calculer.]
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.
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114
[Calculer.]
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.
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115
Algo
[Calculer.]
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions dans d'une équation du second degré à coefficients réels avec et leurs valeurs.

2. Programmer cet algorithme en Python.
On définit un nombre complexe sous Python en écrivant complex (a,b).
Aide
À savoir
Python note le nombre complexe .


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Pour les exercices
116
et
117

Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres complexes et dont on donne la somme et le produit , puis les écrire sous forme algébrique.
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116
[Calculer.]

1. et .

2. et .

3. et .

4. et .
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117
[Calculer.]
1. et .

2. et .

3. et .

4. et .
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118
[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients complexes suivants sous la forme avce et , puis les factoriser par dans

1.

2.

3.

4.

5.
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119
[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients réels suivants en produit de facteurs de la forme avec dans .

1.

2.

3.

4.

5.
Remarquer que se factorise par
Aide

6.
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120
[Calculer.]

Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par .

1. Montrer que est une racine du polynôme .

2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .
On obtient
Aide

3. Résoudre alors dans l'équation .
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121
[Calculer.]
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par .

1. Déterminer une racine réelle, notée , du polynôme .

2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .

3. Résoudre alors dans l'équation .
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122
[Calculer.]

On considère le polynôme à coefficients complexes défini sur par :
.

1. Montrer que est une racine du polynôme .

2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .

3. Résoudre alors dans l'équation .
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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123
[Calculer.]
On considère le polynôme à coefficients complexes défini sur par :
.

1. Montrer que le polynôme admet dans une racine imaginaire pure (avec réel) que l'on déterminera.

2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .

3. Résoudre alors dans l'équation .
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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124
[Calculer.]

Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par :

1. Vérifier que n'est pas une racine du polynôme .

2. Pour , on pose .
a. Exprimer en fonction de .

b. Calculer pour et l'exprimer en fonction de .

3. En déduire les racines dans du polynôme .
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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125
[Calculer.]
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par :
.

1. a. Vérifier que n'est pas une racine du polynôme .

b. Pour , on pose .
Calculer pour et l'exprimer en fonction de .

2. En déduire les racines dans du polynôme .
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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126
[Calculer.]
On veut résoudre dans l'équation suivante :
.

Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par  :