[Représenter.
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On souhaite étudier les racines d’un polynôme symétrique de degré
2 à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme
P défini sur
C par
P(z)=az2+bz+a, où
a et
b sont deux réels tels que
a=0.
1. Montrer qu’un nombre complexe
u est une racine dans
C du polynôme
P si, et seulement si,
u est solution d’une équation
(E) de la forme
z2+αz+1=0 où
α est un réel que l’on exprimera en fonction des réels
a et
b.
2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur
α dans
[−5 ; 5] avec un incrément de
0,1 et tracer la courbe représentative de la fonction
f définie sur
R par :
f(x)=x2+αx+1.
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b. Conjecturer pour quelles valeurs de
α la fonction
f admet deux racines réelles.
c. Démontrer cette conjecture.
3. a. Montrer que si le nombre complexe
u est une solution dans
C de l’équation
(E), alors
u en est également une.
b. Montrer que si le nombre complexe
u est une solution non nulle dans
C de l’équation
(E), alors
u1 en est également une.
c. En déduire que si
α∈]−2 ; 2[, alors l’équation
(E) admet deux racines complexes à la fois inverses et conjuguées.
4. Déterminer, suivant les valeurs de
ab, le nombre de racines réelles ou complexes du polynôme symétrique
P.