3

Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

105

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $4z^2+16=0$.

106

Déterminer deux nombres complexes $u$ et $v$ sachant que leur somme est égale à $3$ et que leur produit est égal à $5$.

107

VRAI / FAUX

L’affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« Les polynômes ${\mathrm{P}}_1$ et ${\mathrm{P}}_2$ définis sur $\mathbb{C}$ par ${\mathrm{P}}_1(z)=z^3+1$ et ${\mathrm{P}}_2(z)=z^3-z^2+2$ ont un facteur commun de la forme $z-a$ avec $a$ réel. »

Pour les exercices

108

à 

112

Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations proposées. On écrira les solutions sous forme algébrique.

108

[Calculer.]
1. $(z+3\mathrm{i})(2z-3+\mathrm{i})=0$


2. $(z-2\mathrm{i})(\mathrm{i}z+1)=0$


3. $(\mathrm{i}z+1+\mathrm{i})(3\mathrm{i}z-1)=0$


4. $((1+\mathrm{i})z-1)((2+\mathrm{i})z+1)=0$

109

[Calculer.]
1. $z^2+1=0$


2. $z^2+2=0$


3. $z^2+16=0$


4. $z^2+20=0$


5. $z^2+\frac{1}{4}=0$


6. $z^2+\frac{1}{3}=0$


7. $z^2+\frac{11}{4}=0$


8. $z^2+\frac{3}{2}=0$

110

[Calculer.]
1. $z^2+z=0$


2. $z^2+2\mathrm{i}z=0$


3. $2\mathrm{i}{z}^2+3z=0$


4. $(1+\mathrm{i})z^2=(2-\mathrm{i})z$


5. $(1+2\mathrm{i})z^2+(2\mathrm{i}-1)z=0$

111

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z^2+z+1=0$


2. $z^2+4z+13=0$


3. $4z^2-4z+17=0$


4. $2z^2+2z+5=0$


5. $z^2-\sqrt{2}z+1=0$


6. $9z^2-6z+19=0$

112

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=-\frac{3}{z}$


2. $\frac{z}{4}=1-\frac{2}{z}$


3. $\frac{5}{z^2}=\frac{3}{z}-\frac{1}{2}$


4. $5z-2=-\frac{26}{5z}$

Pour les exercices

113

et 

114

Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

113

[Calculer.]
1. $z^4+z^2-6=0$


2. $z^4+z^2-2=0$


3. $z^4+3z^2+2=0$


4. $8z^4+6z^2+1=0$


5. $8z^4+22z^2+15=0$


6. $z^3+5z+\frac{4}{z}=0$


7. $z^2+2=\frac{3}{z^2}$


8. $\frac{2}{z^4}+\frac{7}{z^2}=-3$

114

[Calculer.]
1. $z^4-2z^2-3=0$


2. $z^4-3z^2-10=0$


3. $z^4-2z^2-8=0$


4. $2z^4-z^2-3=0$


5. $z^3-4z=\frac{21}{z}$


6. $\frac{z^3}{4}=z+\frac{3}{z}$


7. $z^5-2z=4z^3+3z$

115

ALGO

[Calculer.]
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions dans $\mathbb{C}$ d’une équation du second degré à coefficients réels $a{z}^2+bz+c=0$ avec $a\ne 0$ et leurs valeurs.


2. Programmer cet algorithme en Python.

Pour les exercices

116

et 

117

Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ dont on donne la somme $z_1+z_2$ et le produit $z_1{z}_2$, puis les écrire sous forme algébrique.

116

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z_1+z_2=6$ et $z_1{z}_2=13$.


2. $z_1+z_2=10$ et $z_1{z}_2=26$.


3. $z_1+z_2=1$ et $z_1{z}_2=1$.


4. $z_1+z_2=\sqrt{2}$ et $z_1{z}_2=\frac{3}{4}$.

117

[Calculer.]
1. $z_1+z_2=-1$ et $z_1{z}_2=\frac{5}{4}$.


2. $z_1+z_2=-2\sqrt{2}$ et $z_1{z}_2=6$.


3. $z_1+z_2=-\sqrt{3}$ et $z_1{z}_2=1$.


4. $z_1+z_2=-\sqrt{2}$ et $z_1{z}_2=1$.

118

[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients complexes suivants sous la forme $z^n-a^n$ avce $a\in \mathbb{C}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, puis les factoriser par $z-a$ dans $\mathbb{C}.$

1. $\mathrm{P}(z)=z^3+1$


2. $\mathrm{P}(z)=z^3-8$


3. $\mathrm{P}(z)=z^3+\mathrm{i}$


4. $\mathrm{P}(z)=z^3+8\mathrm{i}$


5. $\mathrm{P}(z)=z^5-32\mathrm{i}$

119

[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients réels suivants en produit de facteurs de la forme $z-\alpha$ avec $\alpha$ dans $\mathbb{C}$.

1. $\mathrm{P}(z)=z^3+4z$


2. $\mathrm{P}(z)=z^3+z^2+z+1$


3. $\mathrm{P}(z)=z^3-2z^2+z-2$


4. $\mathrm{P}(z)=z^5-z$


5. $\mathrm{P}(z)=z^5+3z^3+z^2+3$


6. $\mathrm{P}(z)=z^5-z^4+5z^3-5z^2+4z-4$

120

[Calculer.] ◉◉◉
Soit le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^3+z^2-2$.

1. Montrer que $1$ est une racine du polynôme $\text{P}$.


2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z-1)\left(a{z}^2+bz+c\right)$.




3. Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l’équation $\mathrm{P}(z)=0$.

121

[Calculer.]
Soit le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^3-4z^2+6z-4$.

1. Déterminer une racine réelle, notée $\alpha$, du polynôme $\text{P}$.


2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z-\alpha )\left(a{z}^2+bz+c\right)$.


3. Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l’équation $\mathrm{P}(z)=0$.

122

[Calculer.] ◉◉◉
On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients complexes défini sur $\mathbb{C}$ par : $\mathrm{P}(z)=z^3-2(\sqrt{2}-\mathrm{i})z^2+(3-4\mathrm{i}\sqrt{2})z+6\mathrm{i}$.
1. Montrer que $-2\mathrm{i}$ est une racine du polynôme $\text{P}$.


2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z+2\mathrm{i})\left(a{z}^2+bz+c\right)$.


3. Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l’équation $\mathrm{P}(z)=0$.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

123

[Calculer.]
On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients complexes défini sur $\mathbb{C}$ par : $\mathrm{P}(z)=z^3-(4+\mathrm{i})z^2+(5+4\mathrm{i})z-5\mathrm{i}$.
1. Montrer que le polynôme $\text{P}$ admet dans $\mathbb{C}$ une racine imaginaire pure $\mathrm{i}\alpha$ (avec $\alpha$ réel) que l’on déterminera.


2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z-\mathrm{i}\alpha )\left(a{z}^2+bz+c\right)$.


3. Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l’équation $\mathrm{P}(z)=0$.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

124

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $\text{P}$ le polynôme à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par : $\mathrm{P}(z)=z^4+2z^3-z^2+2z+1.$
1. Vérifier que $0$ n’est pas une racine du polynôme $\text{P}$.


2. Pour $z\ne 0$, on pose $u=z+\frac{1}{z}$.
a. Exprimer $u^2-3$ en fonction de $z$.


b. Calculer $\frac{\mathrm{P}(z)}{z^2}$ pour $z\ne 0$ et l’exprimer en fonction de $u$.


3. En déduire les racines dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

125

[Calculer.]
Soit $\text{P}$ le polynôme à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par : $\mathrm{P}(z)=z^4+2z^3-5z^2-2z+1$.
1. a. Vérifier que $0$ n’est pas une racine du polynôme $\text{P}$.


b. Pour $z\ne 0$, on pose $u=z-\frac{1}{z}$.
Calculer $\frac{\mathrm{P}(z)}{z^2}$ pour $z\ne 0$ et l’exprimer en fonction de $u$.


2. En déduire les racines dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

126

[Calculer.]
On veut résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation suivante : $(\mathrm{E}):z^4-(1+\sqrt{3})z^3+(2+\sqrt{3})z^2-(1+\sqrt{3})z+1=0$.
Soit $\text{P}$ le polynôme à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par  : $\mathrm{P}(z)=z^4-(1+\sqrt{3})z^3+(2+\sqrt{3})z^2-(1+\sqrt{3})z+1$.
1. a. Montrer que $0$ n’est pas une racine du polynôme $\text{P}$.


b. Pour $z\ne 0$, on pose $u=z+\frac{1}{z}$.
Calculer $\frac{\mathrm{P}(z)}{z^2}$ pour $z\ne 0$ et l’exprimer en fonction de $u$.


2. a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation suivante : $\left({\mathrm{E}}_1\right):u^2-(1+\sqrt{3})u+\sqrt{3}=0$.

b. Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations $\left({\mathrm{E}}_2\right):z+\frac{1}{z}=1$ et $\left({\mathrm{E}}_3\right):z+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$.


3. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $(\mathrm{E})$.
On les écrira sous forme algébrique.

127

[Calculer.] ◉◉◉
On considère trois nombres complexes $u$, $v$ et $w$ et le polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par :
$\mathrm{P}(z)=(z-u)(z-v)(z-w)$.
1. Développer le polynôme $\text{P}$ et l’écrire sous la forme $a{z}^3+b{z}^2+cz+d$ en exprimant les coefficients complexes $a$, $b$, $c$ et $d$ en fonction de $u$, $v$ et $w$.


2. À l’aide des expressions obtenues précédemment, déterminer les nombres $u$, $v$ et $w$ tels que : $\{\begin{array}{rl}u+v+w& =1\\ u\times v+u\times w+v\times w& =1\\ u\times v\times w& =1\end{array}$.

128

GEOGEBRA

[Représenter.]
On souhaite étudier les racines d’un polynôme symétrique de degré $2$ à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=a{z}^2+bz+a$, où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a\ne 0$.

1. Montrer qu’un nombre complexe $u$ est une racine dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ si, et seulement si, $u$ est solution d’une équation $(\mathrm{E})$ de la forme $z^2+\alpha z+1=0$ où $\alpha$ est un réel que l’on exprimera en fonction des réels $a$ et $b$.


2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur $\alpha$ dans $[-5;5]$ avec un incrément de $0,1$ et tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^2+\alpha x+1$.


b. Conjecturer pour quelles valeurs de $\alpha$ la fonction $f$ admet deux racines réelles.


c. Démontrer cette conjecture.


3. a. Montrer que si le nombre complexe $u$ est une solution dans $\mathbb{C}$ de l’équation $(\mathrm{E})$, alors $u$ en est également une.


b. Montrer que si le nombre complexe $u$ est une solution non nulle dans $\mathbb{C}$ de l’équation $(\mathrm{E})$, alors $\frac{1}{u}$ en est également une.


c. En déduire que si $\alpha \in ]-2;2[$, alors l’équation $(\mathrm{E})$ admet deux racines complexes à la fois inverses et conjuguées.


4. Déterminer, suivant les valeurs de $\frac{b}{a}$, le nombre de racines réelles ou complexes du polynôme symétrique $\text{P}.$

129

GEOGEBRA

[Représenter.]
On souhaite étudier les racines réelles d’un polynôme symétrique de degré $3$ à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme $\mathrm{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=a{z}^3+b{z}^2+bz+a$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a\ne 0$.

1. Montrer qu’un nombre complexe $u$ est une racine dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ si, et seulement si, $u$ est solution d’une équation $(\mathrm{E})$ de la forme $z^3+\alpha z^2+\alpha z+1=0$ où $\alpha$ est un réel que l’on exprimera en fonction de $a$ et $b$.


2. a. Avec GeoGebra, créer un curseur $\alpha$ dans $[-5;5]$ avec un incrément de $0,1$ et tracer la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^3+\alpha x^2+\alpha x+1$.


b. À l’aide de la courbe représentative de $f$, conjecturer une solution réelle évidente de l’équation $(\mathrm{E})$.


c. Démontrer cette conjecture.


3. a. Vérifier que, pour tout $z\in \mathbb{C}$ : $z^3+1=(z+1)\left(z^2-z+1\right)$.

b. Montrer qu’il existe un polynôme symétrique $\text{Q}$ de degré $2$ (voir exercice précédent) tel que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z+1)\mathrm{Q}(z)$.


c. Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles le polynôme $\text{P}$ admet exactement trois racines réelles.


4. Application : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $2z^3+z^2+z+2=0$.

130

[Calculer.] ◉◉◉
On souhaite étudier les racines réelles d’un polynôme symétrique de degré $4$ à coefficients réels, c’est‑à‑dire un polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=a{z}^4+b{z}^3+c{z}^2+bz+a$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels tels que $a\ne 0$.

1. Montrer qu’un nombre complexe $u$ est une racine dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ si, et seulement si, $u$ est solution d’une équation $(\mathrm{E})$ de la forme $z^4+\alpha z^3+\beta z^2+\alpha z+1=0$ où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels qu’on exprimera en fonction de $a$, $b$ et $c$.


2. a. Montrer que $0$ n’est pas solution de l’équation $(\mathrm{E})$.


b. Soit $\mathrm{Q}(z)=z^4+\alpha z^3+\beta z^2+\alpha z+1$.
Calculer, pour tout $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, $\frac{\mathrm{Q}(z)}{z^2}$.


c. On pose, pour $z\in {\mathbb{C}}^{\ast }$, $\mathrm{Z}=z+\frac{1}{z}$.
Exprimer $z^2+\frac{1}{z^2}$ en fonction de $\mathrm{Z}$ puis montrer que $\mathrm{Q}(z)=0$ si, et seulement si, $\mathrm{Z}$ est solution d’une équation du second degré à coefficients réels.


3. On suppose que $\mathrm{Z}$ est un réel $k$ et solution de l’équation du second degré obtenue à la question 2. c..
Déterminer pour quelles valeurs de $k$ l’équation $z+\frac{1}{z}=k$ admet deux solutions réelles distinctes.


4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^4+2z^3+3z^2+2z+1=0$.

Pour les exercices

131

à 

133

Pour chaque affirmation, justifier si elle est vraie ou fausse.

131

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « L’équation $3z^2-2z+1=0$ admet deux solutions réelles distinctes. »


2. « Les nombres complexes conjugués $2+\mathrm{i}$ et $2-\mathrm{i}$ sont solutions de l’équation $z+\frac{5}{z}=4$. »


3. « Les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $z^2-4z+5=0$ sont les opposés des solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $z^2+4z+5=0$. »


4. « La partie réelle des solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $z^2-6z+10=0$ est égale à $3$. »

132

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « Le polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^3+1$ se factorise dans $\mathbb{C}$ par $z+1$. »


2. « Les polynômes ${\mathrm{P}}_1$ et ${\mathrm{P}}_2$ définis sur $\mathbb{C}$ par ${\mathrm{P}}_1(z)=z^4-1$ et ${\mathrm{P}}_2(z)=z^3+1$ ont un facteur commun dans $\mathbb{C}$. »


3. « Le polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^2-\mathrm{i}$ n’a pas de racine dans $\mathbb{C}$. »

133

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « Deux nombres complexes conjugués dont la somme et le produit sont tous les deux égaux à $1$ sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $z^2-z+1=0$. »


2. « Si $z$ est une racine dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^4-2z^2-3$, alors son conjugué $\overline{z}$ en est aussi une. »


3. « Le polynôme $\text{P}$ à coefficients complexes défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^3+\mathrm{i}{z}^2+z+\mathrm{i}$ admet trois racines distinctes dans $\mathbb{C}$. »


4. « Les polynômes ${\mathrm{P}}_1$ et ${\mathrm{P}}_2$ à coefficients complexes définis sur $\mathbb{C}$ par ${\mathrm{P}}_1(z)=z^3+\mathrm{i}{z}^2-2z-2\mathrm{i}$ et ${\mathrm{P}}_2(z)=z^3-\mathrm{i}{z}^2+2z-2\mathrm{i}$ ont une racine imaginaire pure commune. »

134

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $\text{P}$ le polynôme défini pour tout $z\in \mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^n-1$.
On admet que $\text{P}$ admet $n$ racines distinctes.
Calculer le produit de ces $n$ racines, appelées racines de l’unité.