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3. Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2
P.40-42

Entraînement


3
Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

105
FLASH

Résoudre dans l’équation .

106
FLASH

Déterminer deux nombres complexes et sachant que leur somme est égale à et que leur produit est égal à .

107
FLASH
VRAI / FAUX

L’affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« Les polynômes et définis sur par et ont un facteur commun de la forme avec réel. »

Pour les exercices
108
à 
112

Résoudre dans chacune des équations proposées. On écrira les solutions sous forme algébrique.

108
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.

109
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.

110
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.

111
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.


5.


6.

112
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.

Pour les exercices
113
et 
114


Résoudre dans chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

113
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.

114
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.

115
ALGO
[Calculer.]
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui retourne le nombre de solutions dans d’une équation du second degré à coefficients réels avec et leurs valeurs.


2. Programmer cet algorithme en Python.

Aide
On définit un nombre complexe sous Python en écrivant complex (a,b).


À savoir
Python note le nombre complexe .



  

Pour les exercices
116
et 
117


Dans chacun des cas suivants, calculer les nombres complexes et dont on donne la somme et le produit , puis les écrire sous forme algébrique.

116
[Calculer.] ◉◉
1. et .


2. et .


3. et .


4. et .

117
[Calculer.]
1. et .


2. et .


3. et .


4. et .

118
[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients complexes suivants sous la forme avce et , puis les factoriser par dans

1.


2.


3.


4.


5.

119
[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients réels suivants en produit de facteurs de la forme avec dans .

1.


2.


3.


4.


5.


6.


Aide
Pour 5. , remarquer que se factorise par .

120
[Calculer.] ◉◉
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par .

1. Montrer que est une racine du polynôme .


2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .


Aide
On obtient .


3. Résoudre alors dans l’équation .

121
[Calculer.]
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par .

1. Déterminer une racine réelle, notée , du polynôme .


2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .


3. Résoudre alors dans l’équation .

122
[Calculer.] ◉◉
On considère le polynôme à coefficients complexes défini sur par :
.

1. Montrer que est une racine du polynôme .


2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .


3. Résoudre alors dans l’équation .
On écrira les solutions sous forme algébrique.

123
[Calculer.]
On considère le polynôme à coefficients complexes défini sur par :
.

1. Montrer que le polynôme admet dans une racine imaginaire pure (avec réel) que l’on déterminera.


2. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe , .


3. Résoudre alors dans l’équation .
On écrira les solutions sous forme algébrique.

124
[Calculer.] ◉◉◉
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par :

1. Vérifier que n’est pas une racine du polynôme .


2. Pour , on pose .
a. Exprimer en fonction de .


b. Calculer pour et l’exprimer en fonction de .


3. En déduire les racines dans du polynôme .
On écrira les solutions sous forme algébrique.

125
[Calculer.]
Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par :
.

1. a. Vérifier que n’est pas une racine du polynôme .


b. Pour , on pose .
Calculer pour et l’exprimer en fonction de .


2. En déduire les racines dans du polynôme .
On écrira les solutions sous forme algébrique.

126
[Calculer.]
On veut résoudre dans l’équation suivante :
.

Soit le polynôme à coefficients réels défini sur par  :
.

1. a. Montrer que n’est pas une racine du polynôme .


b. Pour , on pose .
Calculer pour et l’exprimer en fonction de .


2. a. Résoudre dans l’équation suivante :
.


b. Résoudre dans les équations et .


3. En déduire les solutions dans de l’équation .
On les écrira sous forme algébrique.

127
[Calculer.] ◉◉◉
On considère trois nombres complexes , et et le polynôme défini sur par :
.

1. Développer le polynôme et l’écrire sous la forme en exprimant les coefficients complexes , , et en fonction de , et .


2. À l’aide des expressions obtenues précédemment, déterminer les nombres , et tels que :