Équations polynomiales de degré supérieur ou égal à 2

Parcours 1 : exercices

55

 ;

59

 ;

79

 ;

84

 ;

94

 ;

111

 ;

116

et

120

Parcours 2 : exercices

57

 ;

60

 ;

67

 ;

85

 ;

96

 ;

112

et

122

Parcours 3 : exercices

65

 ;

102

 ;

124

 ;

127

et

130

105

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $4z^2+16=0$.

106

Déterminer deux nombres complexes $u$ et $v$ sachant que leur somme est égale à $3$ et que leur produit est égal à $5$.

107

Vrai / Faux

L'affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« Les polynômes ${\mathrm{P}}_1$ et ${\mathrm{P}}_2$ définis sur $\mathbb{C}$ par ${\mathrm{P}}_1(z)=z^3+1$ et ${\mathrm{P}}_2(z)=z^3-z^2+2$ ont un facteur commun de la forme $z-a$ avec $a$ réel. »

116

[Calculer.]
1. $z_1+z_2=6$ et $z_1{z}_2=13$.

2. $z_1+z_2=10$ et $z_1{z}_2=26$.

3. $z_1+z_2=1$ et $z_1{z}_2=1$.

4. $z_1+z_2=\sqrt{2}$ et $z_1{z}_2=\frac{3}{4}$.

117

[Calculer.]
1. $z_1+z_2=-1$ et $z_1{z}_2=\frac{5}{4}$.

2. $z_1+z_2=-2\sqrt{2}$ et $z_1{z}_2=6$.

3. $z_1+z_2=-\sqrt{3}$ et $z_1{z}_2=1$.

4. $z_1+z_2=-\sqrt{2}$ et $z_1{z}_2=1$.

118

[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients complexes suivants sous la forme $z^n-a^n$ avce $a\in \mathbb{C}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, puis les factoriser par $z-a$ dans $\mathbb{C}.$ 1. $\mathrm{P}(z)=z^3+1$

2. $\mathrm{P}(z)=z^3-8$

3. $\mathrm{P}(z)=z^3+\mathrm{i}$

4. $\mathrm{P}(z)=z^3+8\mathrm{i}$

5. $\mathrm{P}(z)=z^5-32\mathrm{i}$

119

[Calculer.]
Écrire chacun des polynômes à coefficients réels suivants en produit de facteurs de la forme $z-\alpha$ avec $\alpha$ dans $\mathbb{C}$. 1. $\mathrm{P}(z)=z^3+4z$

2. $\mathrm{P}(z)=z^3+z^2+z+1$

3. $\mathrm{P}(z)=z^3-2z^2+z-2$

4. $\mathrm{P}(z)=z^5-z$

5. $\mathrm{P}(z)=z^5+3z^3+z^2+3$

Remarquer que $z^5+3z^3$ se factorise par $z^3.$

Aide

6. $\mathrm{P}(z)=z^5-z^4+5z^3-5z^2+4z-4$

120

[Calculer.]
Soit le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^3+z^2-2$. 1. Montrer que $1$ est une racine du polynôme $\text{P}$.

2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z-1)\left(a{z}^2+bz+c\right)$.

On obtient $\mathrm{P}(z)=(z-1)\left(z^2+2z+2\right).$

Aide

3. Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l'équation $\mathrm{P}(z)=0$.

121

[Calculer.]
Soit le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^3-4z^2+6z-4$. 1. Déterminer une racine réelle, notée $\alpha$, du polynôme $\text{P}$.

2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z-\alpha )\left(a{z}^2+bz+c\right)$.

3. Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l'équation $\mathrm{P}(z)=0$.

122

[Calculer.]
On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients complexes défini sur $\mathbb{C}$ par : 1. Montrer que $-2\mathrm{i}$ est une racine du polynôme $\text{P}$.

2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z+2\mathrm{i})\left(a{z}^2+bz+c\right)$.

3. Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l'équation $\mathrm{P}(z)=0$.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

123

[Calculer.]
On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients complexes défini sur $\mathbb{C}$ par : 1. Montrer que le polynôme $\text{P}$ admet dans $\mathbb{C}$ une racine imaginaire pure $\mathrm{i}\alpha$ (avec $\alpha$ réel) que l'on déterminera.

2. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=(z-\mathrm{i}\alpha )\left(a{z}^2+bz+c\right)$.

3. Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l'équation $\mathrm{P}(z)=0$.
On écrira les solutions sous forme algébrique.