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2. Nombres complexes conjugués
P.38-40

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Entraînement


2
Nombres complexes conjugués





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

76
FLASH

Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants.

1. z1=2z_{1}=-2


2. z2=3i4z_{2}=-\dfrac{3 \mathrm{i}}{4}


3. z3=i2z_{3}=\mathrm{i}-2


4. z4=z1+z2z_{4}=z_{1}+z_{2}


5. z5=z2×z3z_{5}=z_{2} \times z_{3}


6. z6=z2(z3+z4)z_{6}=z_{2}\left(z_{3}+z_{4}\right)
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77
FLASH

Calculer chacun des nombres suivants et les écrire sous forme algébrique.

1. z1=10(2+3i)z_{1}=\overline{10-(2+3 \mathrm{i})}


2. z2=(23i)(i+2)z_{2}=\overline{(2-3 \mathrm{i})(\mathrm{i}+2)}


3. z3=(12i+4)z_{3}=\overline{\left(\dfrac{1}{2 \mathrm{i}+4}\right)}


4. z4=(i+314i)z_{4}=\overline{\left(\dfrac{\mathrm{i}+3}{1-4 \mathrm{i}}\right)}
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78
FLASH
VRAI / FAUX

Justifier si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.

La solution dans C\mathbb{C} de l’équation 1zˉ=3+2i-\dfrac{1}{\bar{z}}=3+2 \mathrm{i} est 313213i-\dfrac{3}{13}-\dfrac{2}{13} \mathrm{i}.
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79
[Calculer.] ◉◉
Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.

1. a=0a=\overline{0}


2. b=ib=\overline{\mathrm{i}}


3. c=ic=\overline{-\mathrm{i}}


4. d=1+id=\overline{1+\mathrm{i}}


5. e=1ie=\overline{1-\mathrm{i}}


6. f=3+2if=\overline{3+2 \mathrm{i}}


7. g=122ig=\overline{\dfrac{1}{2}-2 \mathrm{i}}


8. h=22+2i2h=\overline{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+2 \mathrm{i} \sqrt{2}}
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Pour les exercices
80
à 
83


Écrire sous forme algébrique le nombre complexe donné puis déterminer la forme algébrique de son conjugué.
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80
[Calculer.]
1. a=3(1+i)2i(12i)a=3(1+\mathrm{i})-2 \mathrm{i}(1-2 \mathrm{i})


2. b=2(1i)+22i(1+i)b=\sqrt{2}(1-\mathrm{i})+2 \sqrt{2} \mathrm{i}(1+\mathrm{i})


3. c=32i(1+12i)12(2i+1)c=\dfrac{3}{2} \mathrm{i}\left(1+\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)-\dfrac{1}{2}(2 \mathrm{i}+1)


4. d=22(12+12i)i22(2+i)d=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}(2+\mathrm{i})
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81
[Calculer.]
1. a=(1+i)(23i)a=(1+\mathrm{i})(2-3 \mathrm{i})


2. b=(1i)(32i)b=(-1-\mathrm{i})(3-2 \mathrm{i})


3. c=(2+i3)(22+3i3)c=(\sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{3})(-2 \sqrt{2}+3 \mathrm{i} \sqrt{3})


4. d=(1232i)(32+12i)d=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2} \mathrm{i}\right)\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)
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82
[Calculer.]
1. a=(1+i)2a=(1+\mathrm{i})^{2}


2. b=(1i)2b=(1-\mathrm{i})^{2}


3. c=(1+i)(1i)c=(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})


4. d=(2i3)(i3+2)d=(\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{3})(\mathrm{i} \sqrt{3}+\sqrt{2})
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83
[Calculer.]
1. a=(2i)3a=(2-\mathrm{i})^{3}


2. b=(2+2i)4b=(\sqrt{2}+2 \mathrm{i})^{4}


3. c=(2i12)4c=\left(2 \mathrm{i}-\dfrac{1}{2}\right)^{4}
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Pour les exercices
84
à 
87


Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.
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84
[Calculer.] ◉◉
1. a=13ia=\dfrac{1}{3 \mathrm{i}}


2. b=12+ib=\dfrac{1}{2+\mathrm{i}}


3. c=12i3c=\dfrac{1}{2 \mathrm{i}-3}


4. d=13+i2d=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\mathrm{i} \sqrt{2}}
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85
[Calculer.] ◉◉
1. a=13i3a=\dfrac{1}{3 \mathrm{i}-\sqrt{3}}


2. b=112+i32b=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}}


3. c=122ic=\dfrac{1}{2 \sqrt{2}-\mathrm{i}}


4. d=122i22d=\dfrac{1}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}}
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86
[Calculer.]
1. a=3i2+ia=\dfrac{3 \mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}


2. b=1+i2ib=\dfrac{1+\mathrm{i}}{2 \mathrm{i}}


3. c=1+2i23ic=\dfrac{1+2 \mathrm{i}}{2-3 \mathrm{i}}


4. d=23i32id=\dfrac{2-3 \mathrm{i}}{3-2 \mathrm{i}}
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87
[Calculer.]
1. a=2+i32+ia=\dfrac{\sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{3}}{2+\mathrm{i}}


2. b=2i23+ib=\dfrac{2 \mathrm{i}-\sqrt{2}}{3+\mathrm{i}}


3. c=12i321+ic=\dfrac{\dfrac{1}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{-1+\mathrm{i}}


4. d=22+i223212id=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i} }
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88
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient aa, bb, cc et dd quatre nombres réels et zz et zz^\prime les nombres complexes définis par z=a+ibz=a+\mathrm{i} b et z=a+ibz^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}.

1. Montrer que z+z=z+z\overline{z+z^{\prime}}=\overline{z}+\overline{z^{\prime}}.


2. a. Écrire le produit z×zz \times z^{\prime} sous forme algébrique.


b. En déduire (z×z)=z×z\overline{\left(z \times z^{\prime}\right)}=\overline{z} \times \overline{z^{\prime}}.
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89
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient zz et zz^\prime deux nombres complexes avec zz^\prime non nul.
Démontrer que (zz)=zz\overline{\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}}.
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90
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit zz un nombre complexe.

1. Pour tout entier naturel nn, on appelle Pn\mathrm{P}_{n} la proposition « zn=(zˉ)n\overline{z^{n}}=(\bar{z})^{n} ».
Démontrer, par récurrence, que la proposition Pn\mathrm{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel nn.


2. On suppose z0z \neq 0 et on note nn un entier strictement négatif.
a. Exprimer znz^{-n} en fonction de zn.z^n.


b. À l’aide de la question 1., justifier que zn=(zˉ)n.\overline{z^{n}}=(\bar{z})^{n}.


3. Conclure.
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91
ALGO
[Calculer.]
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du conjugué z\overline z de zz lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de zz.


  
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92
ALGO
[Calculer.]
Écrire un algorithme qui prend en arguments la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe zz et qui retourne :
  • « 00 n’a pas d’inverse » si zz est égal à 00 ;
  • la partie réelle et la partie imaginaire de son inverse 1z\dfrac{1}{z} sinon.


  
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93
ALGO
[Calculer.]
1. Écrire un algorithme qui prend en arguments les parties réelle et imaginaire de deux nombres complexes z1z_1 et z2z_2 et qui retourne :
  • « le quotient n’existe pas » si z2z_2 est égal à 00 ;
  • la partie réelle et la partie imaginaire de z1z2\dfrac{z_{1}}{z_{2}} sinon.

2. Implémenter cet algorithme et le tester pour z=3i4+2iz=\dfrac{3-\mathrm{i}}{4+2 \mathrm{i}}.



  
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Pour les exercices
94
à 
97


Résoudre dans C\mathbb{C} chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
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94
[Calculer.] ◉◉
1. iz+3(zi)=0\mathrm{i} z+3(z-\mathrm{i})=0


2. (4+i)z=4z(4+\mathrm{i}) z=4-z


3. (2i+1)z=1+i2iz(2 \mathrm{i}+1) z=1+\mathrm{i}-2 \mathrm{i} z


4. z+1z2=3i\dfrac{z+1}{z-2}=3 \mathrm{i}
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95
[Calculer.]
1. (5+2i)z2=i(5+2 \mathrm{i}) \overline{z}-2=\mathrm{i}


2. 2i(12z)+z=iz12 \mathrm{i}(1-2 \overline{z})+\overline{z}=\mathrm{i} \overline{z}-1


3. 2izi=2(z5)+i2 \mathrm{\mathrm{i}} \overline{z}-\mathrm{i}=2(\overline{z}-5)+\mathrm{i}


4. z2iz1+1+i=0\dfrac{\overline{z}-2 \mathrm{i}}{\overline{z}-1}+1+\mathrm{i}=0
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96
[Calculer.] ◉◉
1. z=z2z=\dfrac{\overline{z}}{2}


2. z2=3i+2zz-2=3 \mathrm{i}+2 \overline{z}


3. zi1iz=1i+1\dfrac{z}{\mathrm{i}-1}-\mathrm{i} \overline{z}=\dfrac{1}{\mathrm{i}+1}


4. z×z=2z1z \times \overline{z}=2 z-1


5. zˉ1=z×zˉi\bar{z}-1=z \times \bar{z}-\mathrm{i}
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97
[Raisonner,Calculer.]
1. z=zz=\overline{z}


2. z=zz=-\overline{z}


3. z=izz=\mathrm{i} \overline{z}


4. z=izz=-\mathrm{i} \overline{z}


5. z2=z×zz^{2}=z \times \overline{z}
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98
[Calculer.]
Résoudre dans C\mathbb{C} chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants.

Aide
On commencera par écrire le système uniquement en fonction de z1z_1 et z2z_2 et sans conjugué.


1. {12z1+z2=212z1+i×z2=0\left\{\begin{aligned} \dfrac{1}{2} z_{1}+z_{2} &=2 \\ \dfrac{1}{2} \overline{z_{1}}+\mathrm{i} \times \overline{z_{2}} &=0 \end{aligned}\right.


2. {3z12z2=4i2z1+2z2=2\left\{\begin{aligned} 3 z_{1}-2 z_{2}&=4 \mathrm{i}-2 \\ \overline{z_{1}}+2 \overline{z_{2}}&=2\end{aligned}\right.


3. {z1z2=34iz1+2z2=8i\left\{\begin{aligned} z_{1}-z_{2} &=3-4 \mathrm{i} \\ \overline{z_{1}}+2 \overline{z_{2}} &=8-\mathrm{i} \end{aligned}\right.


4. {6z13z2=12+i3z1z2=6\left\{\begin{aligned} 6 z_{1}-3 z_{2}&=12+\mathrm{i} \\ 3 \overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}&=6\end{aligned}\right.
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Pour les exercices
99
à 
101


Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
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99
VRAI / FAUX
[Calculer.]
Soient z1=13iz_{1}=1-3 \mathrm{i} et z2=2i+3z_{2}=2 \mathrm{i}+3.

1. « Le conjugué de la somme z1+z2z_1 + z_2 est égal à 4+i4+\mathrm{i}. »


2. « Le conjugué du produit z1×z2z_{1} \times z_{2} est égal à 97i9-7 \mathrm{i}. »


3. « Le conjugué de (z1)3\left(z_{1}\right)^{3} est égal à 2618i-26-18 \mathrm{i}. »


4. « Le conjugué de (z1×z2)2\left(z_{1} \times \overline{z_{2}}\right)^{2} est égal à 11266i112-66 \mathrm{i}. »
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100
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « 1212i\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i} est l’inverse de 1+i1+\mathrm{i}. »


2. « Les nombres complexes 11+i\dfrac{1}{1+\mathrm{i}} et 11i\dfrac{1}{1-\mathrm{i}} ont la même partie réelle. »


3. « 4+2i1i\dfrac{4+2 \mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} est le conjugué de 13i1-3 \mathrm{i}. »


4. « (1+i)3(1+\mathrm{i})^{3} est le conjugué de 41+i\dfrac{4}{1+\mathrm{i}}. »


5. « Le conjugué de (1+2i)(2i+3)(1+2 \mathrm{i})(2 \mathrm{i}+3) est (12i)(2i3)(1-2 \mathrm{i})(2 \mathrm{i}-3). »


6. « Soient z1=1+i1iz_{1}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} et z2=1i1+iz_{2}=\dfrac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}. Alors z1+z2Rz_{1}+z_{2} \in \mathbb{R} et z1z2iR.z_{1}-z_{2} \in \mathrm{i} \mathbb{R}. »
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101
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « Le nombre complexe 212i-2-\dfrac{1}{2} \mathrm{i} est le conjugué de la solution dans C\mathbb{C} de l’équation iz3+i=(2+i)z+1\mathrm{i} z-3+\mathrm{i}=(2+\mathrm{i}) z+1. »


2. « Le nombre complexe 13i-1-3 \mathrm{i} est solution de l’équation 2i×z=5(1i)z2 \mathrm{i} \times \overline{z}=5(1-\mathrm{i})-\overline{z}. »


3. « L’équation 2zi×z=3+i+2z2 z-\mathrm{i} \times \overline{z}=3+\mathrm{i}+2 \overline{z} n’a pas de solution dans C\mathbb{C}. »


4. « Les nombres complexes z1z_1 et z2z_2 vérifiant {2z1z2=1+3iz1+2z2=3+i\left\{\begin{aligned} 2 z_{1}-z_{2}&=1+3 \mathrm{i} \\ \overline{z_{1}}+2 \overline{z_{2}}&=3+\mathrm{i}\end{aligned}\right. sont conjugués »
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102
DEVOIR MAISON
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit zz un nombre complexe non nul.
Indiquer pour chacun des nombres suivant, s’il s’agit d’un nombre réel ou d’un nombre imaginaire pur.
Justifier.

1. z1=z+zz_{1}=z+\overline{z}


2. z2=zzz_{2}=z-\overline{z}


3. z3=z2+(z)2z_{3}=z^{2}+(\overline{z})^{2}


4. z4=z2(z)2z_{4}=z^{2}-(\overline{z})^{2}


5. z5=z+zzzˉz_{5}=\dfrac{z+\overline{z}}{z-\bar{z}} avec zzˉz \neq \bar{z}


6. z6=zzz+zˉz_{6}=\dfrac{z-\overline{z}}{z+\bar{z}} avec zzˉz \neq -\bar{z}


7. z7=z2+(z)2z×zˉz_{7}=\dfrac{z^{2}+(\overline{z})^{2}}{z \times \bar{z}}


8. z8=z2(z)2z×zˉz_{8}=\dfrac{z^{2}-(\overline{z})^{2}}{z \times \bar{z}}
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103
[Démontrer.]
1. Montrer que, pour tout nombre complexe z0z \neq 0, le nombre complexe 1z+1z\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{\overline{z}} est un nombre réel.


2. Montrer que, pour tout nombre complexe z0z \neq 0, le nombre complexe 1z1z\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{\overline{z}} est un nombre imaginaire pur.
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104
[Raisonner.]
Soient deux nombres complexes z=a+ibz=a+\mathrm{i} b et z=a+ibz^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}aa, bb, aa^\prime et bb^\prime sont des réels vérifiant 1+zz01+z z^{\prime} \neq 0.
On suppose que a2+b2=1a^{2}+b^{2}=1 et a2+b2=1a^{\prime 2}+b^{\prime 2}=1.
Montrer que le quotient z+z1+zz\dfrac{z+z^{\prime}}{1+z z^{\prime}} est un réel.
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