2

Nombres complexes conjugués

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

76

Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants.

1. $z_{1}=-2$


2. $z_{2}=-\dfrac{3 \mathrm{i}}{4}$


3. $z_{3}=\mathrm{i}-2$


4. $z_{4}=z_{1}+z_{2}$


5. $z_{5}=z_{2} \times z_{3}$


6. $z_{6}=z_{2}\left(z_{3}+z_{4}\right)$

77

Calculer chacun des nombres suivants et les écrire sous forme algébrique.

1. $z_{1}=\overline{10-(2+3 \mathrm{i})}$


2. $z_{2}=\overline{(2-3 \mathrm{i})(\mathrm{i}+2)}$


3. $z_{3}=\overline{\left(\dfrac{1}{2 \mathrm{i}+4}\right)}$


4. $z_{4}=\overline{\left(\dfrac{\mathrm{i}+3}{1-4 \mathrm{i}}\right)}$

78

VRAI / FAUX

Justifier si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.

La solution dans $\mathbb{C}$ de l’équation $-\dfrac{1}{\bar{z}}=3+2 \mathrm{i}$ est $-\dfrac{3}{13}-\dfrac{2}{13} \mathrm{i}$.

79

[Calculer.] ◉◉◉
Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.

1. $a=\overline{0}$


2. $b=\overline{\mathrm{i}}$


3. $c=\overline{-\mathrm{i}}$


4. $d=\overline{1+\mathrm{i}}$


5. $e=\overline{1-\mathrm{i}}$


6. $f=\overline{3+2 \mathrm{i}}$


7. $g=\overline{\dfrac{1}{2}-2 \mathrm{i}}$


8. $h=\overline{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+2 \mathrm{i} \sqrt{2}}$

Pour les exercices

80

à 

83

Écrire sous forme algébrique le nombre complexe donné puis déterminer la forme algébrique de son conjugué.

80

[Calculer.]
1. $a=3(1+\mathrm{i})-2 \mathrm{i}(1-2 \mathrm{i})$


2. $b=\sqrt{2}(1-\mathrm{i})+2 \sqrt{2} \mathrm{i}(1+\mathrm{i})$


3. $c=\dfrac{3}{2} \mathrm{i}\left(1+\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)-\dfrac{1}{2}(2 \mathrm{i}+1)$


4. $d=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}(2+\mathrm{i})$

81

[Calculer.]
1. $a=(1+\mathrm{i})(2-3 \mathrm{i})$


2. $b=(-1-\mathrm{i})(3-2 \mathrm{i})$


3. $c=(\sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{3})(-2 \sqrt{2}+3 \mathrm{i} \sqrt{3})$


4. $d=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2} \mathrm{i}\right)\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)$

82

[Calculer.]
1. $a=(1+\mathrm{i})^{2}$


2. $b=(1-\mathrm{i})^{2}$


3. $c=(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})$


4. $d=(\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{3})(\mathrm{i} \sqrt{3}+\sqrt{2})$

83

[Calculer.]
1. $a=(2-\mathrm{i})^{3}$


2. $b=(\sqrt{2}+2 \mathrm{i})^{4}$


3. $c=\left(2 \mathrm{i}-\dfrac{1}{2}\right)^{4}$

Pour les exercices

84

à 

87

Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.

84

[Calculer.] ◉◉◉
1. $a=\dfrac{1}{3 \mathrm{i}}$


2. $b=\dfrac{1}{2+\mathrm{i}}$


3. $c=\dfrac{1}{2 \mathrm{i}-3}$


4. $d=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\mathrm{i} \sqrt{2}}$

85

[Calculer.] ◉◉◉
1. $a=\dfrac{1}{3 \mathrm{i}-\sqrt{3}}$


2. $b=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$


3. $c=\dfrac{1}{2 \sqrt{2}-\mathrm{i}}$


4. $d=\dfrac{1}{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

86

[Calculer.]
1. $a=\dfrac{3 \mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}$


2. $b=\dfrac{1+\mathrm{i}}{2 \mathrm{i}}$


3. $c=\dfrac{1+2 \mathrm{i}}{2-3 \mathrm{i}}$


4. $d=\dfrac{2-3 \mathrm{i}}{3-2 \mathrm{i}}$

87

[Calculer.]
1. $a=\dfrac{\sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{3}}{2+\mathrm{i}}$


2. $b=\dfrac{2 \mathrm{i}-\sqrt{2}}{3+\mathrm{i}}$


3. $c=\dfrac{\dfrac{1}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{-1+\mathrm{i}}$


4. $d=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}}{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i} }$

88

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels et $z$ et $z^\prime$ les nombres complexes définis par $z=a+\mathrm{i} b$ et $z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}$.

1. Montrer que $\overline{z+z^{\prime}}=\overline{z}+\overline{z^{\prime}}$.


2. a. Écrire le produit $z \times z^{\prime}$ sous forme algébrique.


b. En déduire $\overline{\left(z \times z^{\prime}\right)}=\overline{z} \times \overline{z^{\prime}}$.

89

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $z$ et $z^\prime$ deux nombres complexes avec $z^\prime$ non nul.
Démontrer que $\overline{\left(\dfrac{z}{z^{\prime}}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime}}}$.

90

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soit $z$ un nombre complexe.

1. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $\mathrm{P}_{n}$ la proposition « $\overline{z^{n}}=(\bar{z})^{n}$ ».
Démontrer, par récurrence, que la proposition $\mathrm{P}_{n}$ est vraie pour tout entier naturel $n$.


2. On suppose $z \neq 0$ et on note $n$ un entier strictement négatif.
a. Exprimer $z^{-n}$ en fonction de $z^n.$


b. À l’aide de la question 1., justifier que $\overline{z^{n}}=(\bar{z})^{n}.$


3. Conclure.

91

ALGO

[Calculer.]
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du conjugué $\overline z$ de $z$ lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de $z$.

92

ALGO

[Calculer.]
Écrire un algorithme qui prend en arguments la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe $z$ et qui retourne :

• « $0$ n’a pas d’inverse » si $z$ est égal à $0$ ;
• la partie réelle et la partie imaginaire de son inverse $\dfrac{1}{z}$ sinon.

93

ALGO

[Calculer.]
1. Écrire un algorithme qui prend en arguments les parties réelle et imaginaire de deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ et qui retourne :

• « le quotient n’existe pas » si $z_2$ est égal à $0$ ;
• la partie réelle et la partie imaginaire de $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ sinon.

2. Implémenter cet algorithme et le tester pour $z=\dfrac{3-\mathrm{i}}{4+2 \mathrm{i}}$.

Pour les exercices

94

à 

97

Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

94

[Calculer.] ◉◉◉
1. $\mathrm{i} z+3(z-\mathrm{i})=0$


2. $(4+\mathrm{i}) z=4-z$


3. $(2 \mathrm{i}+1) z=1+\mathrm{i}-2 \mathrm{i} z$


4. $\dfrac{z+1}{z-2}=3 \mathrm{i}$

95

[Calculer.]
1. $(5+2 \mathrm{i}) \overline{z}-2=\mathrm{i}$


2. $2 \mathrm{i}(1-2 \overline{z})+\overline{z}=\mathrm{i} \overline{z}-1$


3. $2 \mathrm{\mathrm{i}} \overline{z}-\mathrm{i}=2(\overline{z}-5)+\mathrm{i}$


4. $\dfrac{\overline{z}-2 \mathrm{i}}{\overline{z}-1}+1+\mathrm{i}=0$

96

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=\dfrac{\overline{z}}{2}$


2. $z-2=3 \mathrm{i}+2 \overline{z}$


3. $\dfrac{z}{\mathrm{i}-1}-\mathrm{i} \overline{z}=\dfrac{1}{\mathrm{i}+1}$


4. $z \times \overline{z}=2 z-1$


5. $\bar{z}-1=z \times \bar{z}-\mathrm{i}$

97

[Raisonner,Calculer.]
1. $z=\overline{z}$


2. $z=-\overline{z}$


3. $z=\mathrm{i} \overline{z}$


4. $z=-\mathrm{i} \overline{z}$


5. $z^{2}=z \times \overline{z}$

98

[Calculer.]
Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants.



1. $\left\{\begin{aligned} \dfrac{1}{2} z_{1}+z_{2} &=2 \\ \dfrac{1}{2} \overline{z_{1}}+\mathrm{i} \times \overline{z_{2}} &=0 \end{aligned}\right.$


2. $\left\{\begin{aligned} 3 z_{1}-2 z_{2}&=4 \mathrm{i}-2 \\ \overline{z_{1}}+2 \overline{z_{2}}&=2\end{aligned}\right.$


3. $\left\{\begin{aligned} z_{1}-z_{2} &=3-4 \mathrm{i} \\ \overline{z_{1}}+2 \overline{z_{2}} &=8-\mathrm{i} \end{aligned}\right.$


4. $\left\{\begin{aligned} 6 z_{1}-3 z_{2}&=12+\mathrm{i} \\ 3 \overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}&=6\end{aligned}\right.$

Pour les exercices

99

à 

101

Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

99

VRAI / FAUX

[Calculer.]
Soient $z_{1}=1-3 \mathrm{i}$ et $z_{2}=2 \mathrm{i}+3$.

1. « Le conjugué de la somme $z_1 + z_2$ est égal à $4+\mathrm{i}$. »


2. « Le conjugué du produit $z_{1} \times z_{2}$ est égal à $9-7 \mathrm{i}$. »


3. « Le conjugué de $\left(z_{1}\right)^{3}$ est égal à $-26-18 \mathrm{i}$. »


4. « Le conjugué de $\left(z_{1} \times \overline{z_{2}}\right)^{2}$ est égal à $112-66 \mathrm{i}$. »

100

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}$ est l’inverse de $1+\mathrm{i}$. »


2. « Les nombres complexes $\dfrac{1}{1+\mathrm{i}}$ et $\dfrac{1}{1-\mathrm{i}}$ ont la même partie réelle. »


3. « $\dfrac{4+2 \mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ est le conjugué de $1-3 \mathrm{i}$. »


4. « $(1+\mathrm{i})^{3}$ est le conjugué de $\dfrac{4}{1+\mathrm{i}}$. »


5. « Le conjugué de $(1+2 \mathrm{i})(2 \mathrm{i}+3)$ est $(1-2 \mathrm{i})(2 \mathrm{i}-3)$. »


6. « Soient $z_{1}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ et $z_{2}=\dfrac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$. Alors $z_{1}+z_{2} \in \mathbb{R}$ et $z_{1}-z_{2} \in \mathrm{i} \mathbb{R}.$ »

101

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « Le nombre complexe $-2-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}$ est le conjugué de la solution dans $\mathbb{C}$ de l’équation $\mathrm{i} z-3+\mathrm{i}=(2+\mathrm{i}) z+1$. »


2. « Le nombre complexe $-1-3 \mathrm{i}$ est solution de l’équation $2 \mathrm{i} \times \overline{z}=5(1-\mathrm{i})-\overline{z}$. »


3. « L’équation $2 z-\mathrm{i} \times \overline{z}=3+\mathrm{i}+2 \overline{z}$ n’a pas de solution dans $\mathbb{C}$. »


4. « Les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ vérifiant $\left\{\begin{aligned} 2 z_{1}-z_{2}&=1+3 \mathrm{i} \\ \overline{z_{1}}+2 \overline{z_{2}}&=3+\mathrm{i}\end{aligned}\right.$ sont conjugués »

102

DEVOIR MAISON

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $z$ un nombre complexe non nul.
Indiquer pour chacun des nombres suivant, s’il s’agit d’un nombre réel ou d’un nombre imaginaire pur.
Justifier.

1. $z_{1}=z+\overline{z}$


2. $z_{2}=z-\overline{z}$


3. $z_{3}=z^{2}+(\overline{z})^{2}$


4. $z_{4}=z^{2}-(\overline{z})^{2}$


5. $z_{5}=\dfrac{z+\overline{z}}{z-\bar{z}}$ avec $z \neq \bar{z}$


6. $z_{6}=\dfrac{z-\overline{z}}{z+\bar{z}}$ avec $z \neq -\bar{z}$


7. $z_{7}=\dfrac{z^{2}+(\overline{z})^{2}}{z \times \bar{z}}$


8. $z_{8}=\dfrac{z^{2}-(\overline{z})^{2}}{z \times \bar{z}}$

103

[Démontrer.]
1. Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 0$, le nombre complexe $\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{\overline{z}}$ est un nombre réel.


2. Montrer que, pour tout nombre complexe $z \neq 0$, le nombre complexe $\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{\overline{z}}$ est un nombre imaginaire pur.

104

[Raisonner.]
Soient deux nombres complexes $z=a+\mathrm{i} b$ et $z^{\prime}=a^{\prime}+\mathrm{i} b^{\prime}$ où $a$, $b$, $a^\prime$ et $b^\prime$ sont des réels vérifiant $1+z z^{\prime} \neq 0$.
On suppose que $a^{2}+b^{2}=1$ et $a^{\prime 2}+b^{\prime 2}=1$.
Montrer que le quotient $\dfrac{z+z^{\prime}}{1+z z^{\prime}}$ est un réel.