Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants.
1.z1=−2
2.z2=−43i
3.z3=i−2
4.z4=z1+z2
5.z5=z2×z3
6.z6=z2(z3+z4)
Voir les réponses
77
FLASH
Calculer chacun des nombres suivants et les écrire sous forme algébrique.
1.z1=10−(2+3i)
2.z2=(2−3i)(i+2)
3.z3=(2i+41)
4.z4=(1−4ii+3)
Voir les réponses
78
FLASH
VRAI / FAUX
Justifier si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.
La solution dans C de l’équation −zˉ1=3+2i est −133−132i.
Voir les réponses
Voir les réponses
79
[Calculer.]◉◉◉
Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.
1.a=0
2.b=i
3.c=−i
4.d=1+i
5.e=1−i
6.f=3+2i
7.g=21−2i
8.h=22+2i2
Voir les réponses
Pour les exercices
80
à
83
Écrire sous forme algébrique le nombre complexe donné puis déterminer la forme algébrique de son conjugué.
Voir les réponses
80
[Calculer.] 1.a=3(1+i)−2i(1−2i)
2.b=2(1−i)+22i(1+i)
3.c=23i(1+21i)−21(2i+1)
4.d=22(21+21i)−i22(2+i)
Voir les réponses
Voir les réponses
81
[Calculer.] 1.a=(1+i)(2−3i)
2.b=(−1−i)(3−2i)
3.c=(2+i3)(−22+3i3)
4.d=(21−23i)(23+21i)
Voir les réponses
Voir les réponses
82
[Calculer.] 1.a=(1+i)2
2.b=(1−i)2
3.c=(1+i)(1−i)
4.d=(2−i3)(i3+2)
Voir les réponses
Voir les réponses
83
[Calculer.] 1.a=(2−i)3
2.b=(2+2i)4
3.c=(2i−21)4
Voir les réponses
Pour les exercices
84
à
87
Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.
Voir les réponses
84
[Calculer.]◉◉◉ 1.a=3i1
2.b=2+i1
3.c=2i−31
4.d=3+i21
Voir les réponses
Voir les réponses
85
[Calculer.]◉◉◉ 1.a=3i−31
2.b=21+i231
3.c=22−i1
4.d=−22−i221
Voir les réponses
Voir les réponses
86
[Calculer.] 1.a=2+i3i
2.b=2i1+i
3.c=2−3i1+2i
4.d=3−2i2−3i
Voir les réponses
Voir les réponses
87
[Calculer.] 1.a=2+i2+i3
2.b=3+i2i−2
3.c=−1+i21−i23
4.d=−23−21i22+i22
Voir les réponses
Voir les réponses
88
[Raisonner.]
[DÉMO]
Soient a, b, c et d quatre nombres réels et z et z′ les nombres complexes définis par z=a+ib et z′=a′+ib′.
1. Montrer que z+z′=z+z′.
2.a. Écrire le produit z×z′ sous forme algébrique.
b. En déduire (z×z′)=z×z′.
Voir les réponses
Voir les réponses
89
[Raisonner.]
[DÉMO]
Soient z et z′ deux nombres complexes avec z′ non nul.
Démontrer que (z′z)=z′z.
Voir les réponses
Voir les réponses
90
[Raisonner.]
[DÉMO]
Soit z un nombre complexe.
1. Pour tout entier naturel n, on appelle Pn la proposition « zn=(zˉ)n ».
Démontrer, par récurrence, que la proposition Pn est vraie pour tout entier naturel n.
2. On suppose z=0 et on note n un entier strictement négatif.
a. Exprimer z−n en fonction de zn.
b. À l’aide de la question 1., justifier que zn=(zˉ)n.
3. Conclure.
Voir les réponses
Voir les réponses
91
ALGO
[Calculer.]
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du conjugué z de z lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de z.
Voir les réponses
92
ALGO
[Calculer.]
Écrire un algorithme qui prend en arguments la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe z et qui retourne :
« 0 n’a pas d’inverse » si z est égal à 0 ;
la partie réelle et la partie imaginaire de son inverse z1 sinon.
Voir les réponses
93
ALGO
[Calculer.] 1. Écrire un algorithme qui prend en arguments les parties réelle et imaginaire de deux nombres complexes z1 et z2 et qui retourne :
« le quotient n’existe pas » si z2 est égal à 0 ;
la partie réelle et la partie imaginaire de z2z1 sinon.
2. Implémenter cet algorithme et le tester pour z=4+2i3−i.
Pour les exercices
94
à
97
Résoudre dans C chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
Voir les réponses
94
[Calculer.]◉◉◉ 1.iz+3(z−i)=0
2.(4+i)z=4−z
3.(2i+1)z=1+i−2iz
4.z−2z+1=3i
Voir les réponses
Voir les réponses
95
[Calculer.] 1.(5+2i)z−2=i
2.2i(1−2z)+z=iz−1
3.2iz−i=2(z−5)+i
4.z−1z−2i+1+i=0
Voir les réponses
Voir les réponses
96
[Calculer.]◉◉◉ 1.z=2z
2.z−2=3i+2z
3.i−1z−iz=i+11
4.z×z=2z−1
5.zˉ−1=z×zˉ−i
Voir les réponses
Voir les réponses
97
[Raisonner, Calculer.] 1.z=z
2.z=−z
3.z=iz
4.z=−iz
5.z2=z×z
Voir les réponses
Voir les réponses
98
[Calculer.]
Résoudre dans C chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants.
Aide
On commencera par écrire le système uniquement en fonction de z1 et z2 et sans conjugué.
1.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧21z1+z221z1+i×z2=2=0
2.{3z1−2z2z1+2z2=4i−2=2
3.{z1−z2z1+2z2=3−4i=8−i
4.{6z1−3z23z1−z2=12+i=6
Voir les réponses
Pour les exercices
99
à
101
Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Voir les réponses
99
VRAI / FAUX
[Calculer.]
Soient z1=1−3i et z2=2i+3.
1. « Le conjugué de la somme z1+z2 est égal à 4+i. »
2. « Le conjugué du produit z1×z2 est égal à 9−7i. »
3. « Le conjugué de (z1)3 est égal à −26−18i. »
4. « Le conjugué de (z1×z2)2 est égal à 112−66i. »
Voir les réponses
Voir les réponses
100
VRAI / FAUX
[Raisonner.] 1. « 21−21i est l’inverse de 1+i. »
2. « Les nombres complexes 1+i1 et 1−i1 ont la même partie réelle. »
3. « 1−i4+2i est le conjugué de 1−3i. »
4. « (1+i)3 est le conjugué de 1+i4. »
5. « Le conjugué de (1+2i)(2i+3) est (1−2i)(2i−3). »
6. « Soient z1=1−i1+i et z2=1+i1−i. Alors z1+z2∈R et z1−z2∈iR. »
Voir les réponses
Voir les réponses
101
VRAI / FAUX
[Raisonner.] 1. « Le nombre complexe −2−21i est le conjugué de la solution dans C de l’équation iz−3+i=(2+i)z+1. »
2. « Le nombre complexe −1−3i est solution de l’équation 2i×z=5(1−i)−z. »
3. « L’équation 2z−i×z=3+i+2z n’a pas de solution dans C. »
4. « Les nombres complexes z1 et z2 vérifiant {2z1−z2z1+2z2=1+3i=3+i sont conjugués »
Voir les réponses
Voir les réponses
102
DEVOIR MAISON
[Raisonner.]◉◉◉
Soit z un nombre complexe non nul.
Indiquer pour chacun des nombres suivant, s’il s’agit d’un nombre réel ou d’un nombre imaginaire pur.
Justifier.
1.z1=z+z
2.z2=z−z
3.z3=z2+(z)2
4.z4=z2−(z)2
5.z5=z−zˉz+z avec z=zˉ
6.z6=z+zˉz−z avec z=−zˉ
7.z7=z×zˉz2+(z)2
8.z8=z×zˉz2−(z)2
Voir les réponses
Voir les réponses
103
[Démontrer.] 1. Montrer que, pour tout nombre complexe z=0, le nombre complexe z1+z1 est un nombre réel.
2. Montrer que, pour tout nombre complexe z=0, le nombre complexe z1−z1 est un nombre imaginaire pur.
Voir les réponses
Voir les réponses
104
[Raisonner.]
Soient deux nombres complexes z=a+ib et z′=a′+ib′ où a, b, a′ et b′ sont des réels vérifiant 1+zz′=0.
On suppose que a2+b2=1 et a′2+b′2=1.
Montrer que le quotient 1+zz′z+z′ est un réel.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service. Pour plus d’informations, cliquez ici.