Nombres complexes conjugués

79

[Calculer.]
Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.

1. a=\overline{0}

2. b=\overline{\mathrm{i}}

3. c=\overline{-\mathrm{i}}

4. d=\overline{1+\mathrm{i}}

5. e=\overline{1-\mathrm{i}}

6. f=\overline{3+2 \mathrm{i}}

7. g=\overline{\frac{1}{2}-2 \mathrm{i}}

8. h=\overline{\frac{\sqrt{2}}{2}+2 \mathrm{i} \sqrt{2}}

82

[Calculer.]

1. a=(1+\mathrm{i})^{2}

2. b=(1-\mathrm{i})^{2}

3. c=(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})

4. d=(\sqrt{2}-\mathrm{i} \sqrt{3})(\mathrm{i} \sqrt{3}+\sqrt{2})

90

Démo

[Raisonner.]
Soit z un nombre complexe.

1. Pour tout entier naturel n, on appelle \mathrm{P}_{n} la proposition « \overline{z^{n}}=(\bar{z})^{n} ».
Démontrer, par récurrence, que la proposition \mathrm{P}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.

2. On suppose z \neq 0 et on note n un entier strictement négatif.
a. Exprimer z^{-n} en fonction de z^n.

b. À l'aide de la question 1., justifier que \overline{z^{n}}=(\bar{z})^{n}.

3. Conclure.

91

Algo

[Calculer.]
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du conjugué \overline z de z lorsque l'utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de z.

92

Algo

[Calculer.]
Écrire un algorithme qui prend en arguments la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe z et qui retourne :

• « 0 n'a pas d'inverse » si z est égal à 0 ;
• la partie réelle et la partie imaginaire de son inverse \frac{1}{z} sinon.

93

Algo

[Calculer.]
1. Écrire un algorithme qui prend en arguments les parties réelle et imaginaire de deux nombres complexes z_1 et z_2 et qui retourne :

• « le quotient n'existe pas » si z_2 est égal à 0 ;
• la partie réelle et la partie imaginaire de \frac{z_{1}}{z_{2}} sinon.

2. Implémenter cet algorithme et le tester pour z=\frac{3-\mathrm{i}}{4+2 \mathrm{i}}.

94

[Calculer.]

1. \mathrm{i} z+3(z-\mathrm{i})=0

2. (4+\mathrm{i}) z=4-z

3. (2 \mathrm{i}+1) z=1+\mathrm{i}-2 \mathrm{i} z

4. \frac{z+1}{z-2}=3 \mathrm{i}

95

[Calculer.]

1. (5+2 \mathrm{i}) \overline{z}-2=\mathrm{i}

2. 2 \mathrm{i}(1-2 \overline{z})+\overline{z}=\mathrm{i} \overline{z}-1

3. 2 \mathrm{\mathrm{i}} \overline{z}-\mathrm{i}=2(\overline{z}-5)+\mathrm{i}

4. \frac{\overline{z}-2 \mathrm{i}}{\overline{z}-1}+1+\mathrm{i}=0

98

[Calculer.]
Résoudre dans \mathbb{C} chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants.

1. \left\{\begin{aligned} \frac{1}{2} z_{1}+z_{2} &=2 \\ \frac{1}{2} \overline{z_{1}}+\mathrm{i} \times \overline{z_{2}} &=0 \end{aligned}\right.

2. \left\{\begin{aligned} 3 z_{1}-2 z_{2}&=4 \mathrm{i}-2 \\ \overline{z_{1}}+2 \overline{z_{2}}&=2\end{aligned}\right.

3. \left\{\begin{aligned} z_{1}-z_{2} &=3-4 \mathrm{i} \\ \overline{z_{1}}+2 \overline{z_{2}} &=8-\mathrm{i} \end{aligned}\right.

4. \left\{\begin{aligned} 6 z_{1}-3 z_{2}&=12+\mathrm{i} \\ 3 \overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}&=6\end{aligned}\right.

99

Vrai / Faux

[Calculer.]
Soient z_{1}=1-3 \mathrm{i} et z_{2}=2 \mathrm{i}+3.

1. « Le conjugué de la somme z_1 + z_2 est égal à 4+\mathrm{i}. »

2. « Le conjugué du produit z_{1} \times z_{2} est égal à 9-7 \mathrm{i}. »

3. « Le conjugué de \left(z_{1}\right)^{3} est égal à -26-18 \mathrm{i}. »

4. « Le conjugué de \left(z_{1} \times \overline{z_{2}}\right)^{2} est égal à 112-66 \mathrm{i}. »

100

Vrai / Faux

[Raisonner.]

1. « \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i} est l'inverse de 1+\mathrm{i}. »

2. « Les nombres complexes \frac{1}{1+\mathrm{i}} et \frac{1}{1-\mathrm{i}} ont la même partie réelle. »

3. « \frac{4+2 \mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} est le conjugué de 1-3 \mathrm{i}. »

4. « (1+\mathrm{i})^{3} est le conjugué de \frac{4}{1+\mathrm{i}}. »

5. « Le conjugué de (1+2 \mathrm{i})(2 \mathrm{i}+3) est (1-2 \mathrm{i})(2 \mathrm{i}-3). »

6. « Soient z_{1}=\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} et z_{2}=\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}. Alors z_{1}+z_{2} \in \mathbb{R} et z_{1}-z_{2} \in \mathrm{i} \mathbb{R}. »

101

Vrai / Faux

[Raisonner.]

1. « Le nombre complexe -2-\frac{1}{2} \mathrm{i} est le conjugué de la solution dans \mathbb{C} de l'équation \mathrm{i} z-3+\mathrm{i}=(2+\mathrm{i}) z+1. »

2. « Le nombre complexe -1-3 \mathrm{i} est solution de l'équation 2 \mathrm{i} \times \overline{z}=5(1-\mathrm{i})-\overline{z}. »

3. « L'équation 2 z-\mathrm{i} \times \overline{z}=3+\mathrm{i}+2 \overline{z} n'a pas de solution dans \mathbb{C}. »

4. « Les nombres complexes z_1 et z_2 vérifiant \left\{\begin{aligned} 2 z_{1}-z_{2}&=1+3 \mathrm{i} \\ \overline{z_{1}}+2 \overline{z_{2}}&=3+\mathrm{i}\end{aligned}\right. sont conjugués »

102

Devoir maison

[Raisonner.]
Soit z un nombre complexe non nul.
Indiquer pour chacun des nombres suivant, s'il s'agit d'un nombre réel ou d'un nombre imaginaire pur.
Justifier.

1. z_{1}=z+\overline{z}

2. z_{2}=z-\overline{z}

3. z_{3}=z^{2}+(\overline{z})^{2}

4. z_{4}=z^{2}-(\overline{z})^{2}

5. z_{5}=\frac{z+\overline{z}}{z-\bar{z}} avec z \neq \bar{z}

6. z_{6}=\frac{z-\overline{z}}{z+\bar{z}} avec z \neq -\bar{z}

7. z_{7}=\frac{z^{2}+(\overline{z})^{2}}{z \times \bar{z}}

8. z_{8}=\frac{z^{2}-(\overline{z})^{2}}{z \times \bar{z}}