Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 1

Entraînement 2

Nombres complexes conjugués

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

111

;

116

120

Parcours 2 : exercices

;

112

122

Parcours 3 : exercices

;

102

;

124

;

127

130

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Flash

Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants.

z_{1} = - 2

z_{2} = - \frac{3 i}{4}

z_{3} = i - 2

z_{4} = z_{1} + z_{2}

z_{5} = z_{2} \times z_{3}

z_{6} = z_{2} (z_{3} + z_{4})

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Flash

Calculer chacun des nombres suivants et les écrire sous forme algébrique.

z_{1} = \overline{10 - (2 + 3 i)}

z_{2} = \overline{(2 - 3 i) (i + 2)}

z_{3} = \overline{(\frac{1}{2 i + 4})}

z_{4} = \overline{(\frac{i + 3}{1 - 4 i})}

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Flash

Vrai / Faux

Justifier si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
La solution dans

C

de l'équation

- \frac{1}{z ˉ} = 3 + 2 i

est

- \frac{3}{1 3} - \frac{2}{1 3} i

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79
[Calculer.]

Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.

a = \overline{0}

b = \overline{i}

c = \overline{- i}

d = \overline{1 + i}

e = \overline{1 - i}

f = \overline{3 + 2 i}

g = \overline{\frac{1}{2} - 2 i}

h = \overline{\frac{2}{2} + 2 i 2}

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Pour les exercices
80
à
83

Écrire sous forme algébrique le nombre complexe donné puis déterminer la forme algébrique de son conjugué.

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80
[Calculer.]
1.

a = 3 (1 + i) - 2 i (1 - 2 i)

b = 2 (1 - i) + 22 i (1 + i)

c = \frac{3}{2} i (1 + \frac{1}{2} i) - \frac{1}{2} (2 i + 1)

d = \frac{2}{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i) - i \frac{2}{2} (2 + i)

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81
[Calculer.]
1.

a = (1 + i) (2 - 3 i)

b = (- 1 - i) (3 - 2 i)

c = (2 + i 3) (- 22 + 3 i 3)

d = (\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i) (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i)

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82
[Calculer.]

a = (1 + i)^{2}

b = (1 - i)^{2}

c = (1 + i) (1 - i)

d = (2 - i 3) (i 3 + 2)

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83
[Calculer.]
1.

a = (2 - i)^{3}

b = (2 + 2 i)^{4}

c = (2 i - \frac{1}{2})^{4}

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Pour les exercices
84
à
87

Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.

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84
[Calculer.]

a = \frac{1}{3 i}

b = \frac{1}{2 + i}

c = \frac{1}{2 i - 3}

d = \frac{1}{3 + i 2}

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85
[Calculer.]

a = \frac{1}{3 i - 3}

b = \frac{1}{\frac{1}{2} + i \frac{3}{2}}

c = \frac{1}{2 2 - i}

d = \frac{1}{- \frac{2}{2} - i \frac{2}{2}}

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86
[Calculer.]
1.

a = \frac{3 i}{2 + i}

b = \frac{1 + i}{2 i}

c = \frac{1 + 2 i}{2 - 3 i}

d = \frac{2 - 3 i}{3 - 2 i}

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87
[Calculer.]
1.

a = \frac{2 + i 3}{2 + i}

b = \frac{2 i - 2}{3 + i}

c = \frac{\frac{1}{2} - i \frac{3}{2}}{- 1 + i}

d = \frac{\frac{2}{2} + i \frac{2}{2}}{- \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i}

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88
Démo
[Raisonner.]
Soient

a

b

c

d

quatre nombres réels et

z

z^{'}

les nombres complexes définis par

z = a + i b

z^{'} = a^{'} + i b^{'}

1. Montrer que

\overline{z + z^{'}} = \overline{z} + \overline{z^{'}}

2. a. Écrire le produit

z \times z^{'}

sous forme algébrique.

b. En déduire

\overline{(z \times z^{'})} = \overline{z} \times \overline{z^{'}}

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89
Démo
[Raisonner.]
Soient

z

z^{'}

deux nombres complexes avec

z^{'}

non nul.
Démontrer que

\overline{(\frac{z}{z ^{'}})} = \frac{z}{z ^{'}}

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90
Démo
[Raisonner.]
Soit

z

un nombre complexe.

1. Pour tout entier naturel

n

, on appelle

P_{n}

la proposition «

\overline{z^{n}} = (\overset{z}{ˉ})^{n}

».
Démontrer, par récurrence, que la proposition

P_{n}

est vraie pour tout entier naturel

n

2. On suppose

z \neq = 0

et on note

n

un entier strictement négatif.
a. Exprimer

z^{- n}

en fonction de

z^{n} .

b. À l'aide de la question 1., justifier que

\overline{z^{n}} = (\overset{z}{ˉ})^{n} .

3. Conclure.

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91
Algo
[Calculer.]
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du conjugué

\overline{z}

z

lorsque l'utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de

z

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92
Algo
[Calculer.]
Écrire un algorithme qui prend en arguments la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe

z

et qui retourne :

« $0$ n'a pas d'inverse » si $z$ est égal à $0$ ;
la partie réelle et la partie imaginaire de son inverse $\frac{1}{z}$ sinon.

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93
Algo
[Calculer.]
1. Écrire un algorithme qui prend en arguments les parties réelle et imaginaire de deux nombres complexes

z_{1}

z_{2}

et qui retourne :

« le quotient n'existe pas » si $z_{2}$ est égal à $0$ ;
la partie réelle et la partie imaginaire de $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ sinon.

2. Implémenter cet algorithme et le tester pour

z = \frac{3 - i}{4 + 2 i}

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Pour les exercices
94
à
97

Résoudre dans

C

chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

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94
[Calculer.]

i z + 3 (z - i) = 0

(4 + i) z = 4 - z

(2 i + 1) z = 1 + i - 2 i z

\frac{z + 1}{z - 2} = 3 i

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95
[Calculer.]

(5 + 2 i) \overline{z} - 2 = i

2 i (1 - 2 \overline{z}) + \overline{z} = i \overline{z} - 1

2 i \overline{z} - i = 2 (\overline{z} - 5) + i

\frac{z - 2 i}{z - 1} + 1 + i = 0

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96
[Calculer.]

z = \frac{z}{2}

z - 2 = 3 i + 2 \overline{z}

\frac{z}{i - 1} - i \overline{z} = \frac{1}{i + 1}

z \times \overline{z} = 2 z - 1

\overset{z}{ˉ} - 1 = z \times \overset{z}{ˉ} - i

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97
[Raisonner, Calculer.]
1.

z = \overline{z}

z = - \overline{z}

z = i \overline{z}

z = - i \overline{z}

z^{2} = z \times \overline{z}

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98
[Calculer.]
Résoudre dans

C

chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants.

On commencera par écrire le système uniquement en fonction de

z_{1}

z_{2}

et sans conjugué.

Aide

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ \frac{1}{2} z_{1} + z_{2} \frac{1}{2} \overline{z_{1}} + i \times \overline{z_{2}} = 2 = 0

{3 z_{1} - 2 z_{2} \overline{z_{1}} + 2 \overline{z_{2}} = 4 i - 2 = 2

{z_{1} - z_{2} \overline{z_{1}} + 2 \overline{z_{2}} = 3 - 4 i = 8 - i

{6 z_{1} - 3 z_{2} 3 \overline{z_{1}} - \overline{z_{2}} = 12 + i = 6

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Pour les exercices
99
à
101

Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

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99
Vrai / Faux
[Calculer.]
Soient

z_{1} = 1 - 3 i

z_{2} = 2 i + 3

1. « Le conjugué de la somme

z_{1} + z_{2}

est égal à

4 + i

. »

2. « Le conjugué du produit

z_{1} \times z_{2}

est égal à

9 - 7 i

. »

3. « Le conjugué de

(z_{1})^{3}

est égal à

- 26 - 18 i

. »

4. « Le conjugué de

(z_{1} \times \overline{z_{2}})^{2}

est égal à

112 - 66 i

. »

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100
Vrai / Faux
[Raisonner.]

1. «

\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

est l'inverse de

1 + i

. »

2. « Les nombres complexes

\frac{1}{1 + i}

\frac{1}{1 - i}

ont la même partie réelle. »

3. «

\frac{4}{1 - i}

Nombres complexes conjugués

Pour les exercices 80 à 83

Pour les exercices 84 à 87

Pour les exercices 94 à 97

Pour les exercices 99 à 101

Pour les exercices
80
à
83

Pour les exercices
84
à
87

Pour les exercices
94
à
97

Pour les exercices
99
à
101