2

Nombres complexes conjugués

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

76

Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants.

1. $z_1=-2$


2. $z_2=-\frac{3\mathrm{i}}{4}$


3. $z_3=\mathrm{i}-2$


4. $z_4=z_1+z_2$


5. $z_5=z_2\times z_3$


6. $z_6=z_2\left(z_3+z_4\right)$

77

Calculer chacun des nombres suivants et les écrire sous forme algébrique.

1. $z_1=\overline{10-(2+3\mathrm{i})}$


2. $z_2=\overline{(2-3\mathrm{i})(\mathrm{i}+2)}$


3. $z_3=\overline{\left(\frac{1}{2\mathrm{i}+4}\right)}$


4. $z_4=\overline{\left(\frac{\mathrm{i}+3}{1-4\mathrm{i}}\right)}$

78

VRAI / FAUX

Justifier si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.

La solution dans $\mathbb{C}$ de l’équation $-\frac{1}{\bar{z}}=3+2\mathrm{i}$ est $-\frac{3}{13}-\frac{2}{13}\mathrm{i}$.

79

[Calculer.] ◉◉◉
Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.

1. $a=\overline{0}$


2. $b=\overline{\mathrm{i}}$


3. $c=\overline{-\mathrm{i}}$


4. $d=\overline{1+\mathrm{i}}$


5. $e=\overline{1-\mathrm{i}}$


6. $f=\overline{3+2\mathrm{i}}$


7. $g=\overline{\frac{1}{2}-2\mathrm{i}}$


8. $h=\overline{\frac{\sqrt{2}}{2}+2\mathrm{i}\sqrt{2}}$

Pour les exercices

80

à 

83

Écrire sous forme algébrique le nombre complexe donné puis déterminer la forme algébrique de son conjugué.

80

[Calculer.]
1. $a=3(1+\mathrm{i})-2\mathrm{i}(1-2\mathrm{i})$


2. $b=\sqrt{2}(1-\mathrm{i})+2\sqrt{2}\mathrm{i}(1+\mathrm{i})$


3. $c=\frac{3}{2}\mathrm{i}\left(1+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)-\frac{1}{2}(2\mathrm{i}+1)$


4. $d=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)-\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}(2+\mathrm{i})$

81

[Calculer.]
1. $a=(1+\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})$


2. $b=(-1-\mathrm{i})(3-2\mathrm{i})$


3. $c=(\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{3})(-2\sqrt{2}+3\mathrm{i}\sqrt{3})$


4. $d=\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\mathrm{i}\right)\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)$

82

[Calculer.]
1. $a=(1+\mathrm{i}{)}^2$


2. $b=(1-\mathrm{i}{)}^2$


3. $c=(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})$


4. $d=(\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{3})(\mathrm{i}\sqrt{3}+\sqrt{2})$

83

[Calculer.]
1. $a=(2-\mathrm{i}{)}^3$


2. $b=(\sqrt{2}+2\mathrm{i}{)}^4$


3. $c={\left(2\mathrm{i}-\frac{1}{2}\right)}^4$

Pour les exercices

84

à 

87

Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.

84

[Calculer.] ◉◉◉
1. $a=\frac{1}{3\mathrm{i}}$


2. $b=\frac{1}{2+\mathrm{i}}$


3. $c=\frac{1}{2\mathrm{i}-3}$


4. $d=\frac{1}{\sqrt{3}+\mathrm{i}\sqrt{2}}$

85

[Calculer.] ◉◉◉
1. $a=\frac{1}{3\mathrm{i}-\sqrt{3}}$


2. $b=\frac{1}{\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}}$


3. $c=\frac{1}{2\sqrt{2}-\mathrm{i}}$


4. $d=\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}}$

86

[Calculer.]
1. $a=\frac{3\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}$


2. $b=\frac{1+\mathrm{i}}{2\mathrm{i}}$


3. $c=\frac{1+2\mathrm{i}}{2-3\mathrm{i}}$


4. $d=\frac{2-3\mathrm{i}}{3-2\mathrm{i}}$

87

[Calculer.]
1. $a=\frac{\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2+\mathrm{i}}$


2. $b=\frac{2\mathrm{i}-\sqrt{2}}{3+\mathrm{i}}$


3. $c=\frac{\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}}{-1+\mathrm{i}}$


4. $d=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}}$

88

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels et $z$ et $z^{\prime }$ les nombres complexes définis par $z=a+\mathrm{i}b$ et $z^{\prime }=a^{\prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime }$.

1. Montrer que $\overline{z+z^{\prime }}=\overline{z}+\overline{z^{\prime }}$.


2. a. Écrire le produit $z\times z^{\prime }$ sous forme algébrique.


b. En déduire $\overline{\left(z\times z^{\prime }\right)}=\overline{z}\times \overline{z^{\prime }}$.

89

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $z$ et $z^{\prime }$ deux nombres complexes avec $z^{\prime }$ non nul.
Démontrer que $\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime }}}$.

90

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soit $z$ un nombre complexe.

1. Pour tout entier naturel $n$, on appelle ${\mathrm{P}}_n$ la proposition « $\overline{z^n}=(\bar{z}{)}^n$ ».
Démontrer, par récurrence, que la proposition ${\mathrm{P}}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.


2. On suppose $z\ne 0$ et on note $n$ un entier strictement négatif.
a. Exprimer $z^{-n}$ en fonction de $z^n.$


b. À l’aide de la question 1., justifier que $\overline{z^n}=(\bar{z}{)}^n.$


3. Conclure.

91

ALGO

[Calculer.]
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du conjugué $\overline{z}$ de $z$ lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de $z$.

92

ALGO

[Calculer.]
Écrire un algorithme qui prend en arguments la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe $z$ et qui retourne :

• « $0$ n’a pas d’inverse » si $z$ est égal à $0$ ;
• la partie réelle et la partie imaginaire de son inverse $\frac{1}{z}$ sinon.

93

ALGO

[Calculer.]
1. Écrire un algorithme qui prend en arguments les parties réelle et imaginaire de deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ et qui retourne :

• « le quotient n’existe pas » si $z_2$ est égal à $0$ ;
• la partie réelle et la partie imaginaire de $\frac{z_1}{z_2}$ sinon.

2. Implémenter cet algorithme et le tester pour $z=\frac{3-\mathrm{i}}{4+2\mathrm{i}}$.

Pour les exercices

94

à 

97

Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

94

[Calculer.] ◉◉◉
1. $\mathrm{i}z+3(z-\mathrm{i})=0$


2. $(4+\mathrm{i})z=4-z$


3. $(2\mathrm{i}+1)z=1+\mathrm{i}-2\mathrm{i}z$


4. $\frac{z+1}{z-2}=3\mathrm{i}$

95

[Calculer.]
1. $(5+2\mathrm{i})\overline{z}-2=\mathrm{i}$


2. $2\mathrm{i}(1-2\overline{z})+\overline{z}=\mathrm{i}\overline{z}-1$


3. $2\mathrm{i}\overline{z}-\mathrm{i}=2(\overline{z}-5)+\mathrm{i}$


4. $\frac{\overline{z}-2\mathrm{i}}{\overline{z}-1}+1+\mathrm{i}=0$

96

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=\frac{\overline{z}}{2}$


2. $z-2=3\mathrm{i}+2\overline{z}$


3. $\frac{z}{\mathrm{i}-1}-\mathrm{i}\overline{z}=\frac{1}{\mathrm{i}+1}$


4. $z\times \overline{z}=2z-1$


5. $\bar{z}-1=z\times \bar{z}-\mathrm{i}$

97

[Raisonner, Calculer.]
1. $z=\overline{z}$


2. $z=-\overline{z}$


3. $z=\mathrm{i}\overline{z}$


4. $z=-\mathrm{i}\overline{z}$


5. $z^2=z\times \overline{z}$

98

[Calculer.]
Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants.



1. $\{\begin{array}{rl}\frac{1}{2}{z}_1+z_2& =2\\ \frac{1}{2}\overline{z_1}+\mathrm{i}\times \overline{z_2}& =0\end{array}$


2. $\{\begin{array}{rl}3z_1-2z_2& =4\mathrm{i}-2\\ \overline{z_1}+2\overline{z_2}& =2\end{array}$


3. $\{\begin{array}{rl}{z}_1-z_2& =3-4\mathrm{i}\\ \overline{z_1}+2\overline{z_2}& =8-\mathrm{i}\end{array}$


4. $\{\begin{array}{rl}6z_1-3z_2& =12+\mathrm{i}\\ 3\overline{z_1}-\overline{z_2}& =6\end{array}$

Pour les exercices

99

à 

101

Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

99

VRAI / FAUX

[Calculer.]
Soient $z_1=1-3\mathrm{i}$ et $z_2=2\mathrm{i}+3$.

1. « Le conjugué de la somme $z_1+z_2$ est égal à $4+\mathrm{i}$. »


2. « Le conjugué du produit $z_1\times z_2$ est égal à $9-7\mathrm{i}$. »


3. « Le conjugué de ${\left(z_1\right)}^3$ est égal à $-26-18\mathrm{i}$. »


4. « Le conjugué de ${\left(z_1\times \overline{z_2}\right)}^2$ est égal à $112-66\mathrm{i}$. »

100

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$ est l’inverse de $1+\mathrm{i}$. »


2. « Les nombres complexes $\frac{1}{1+\mathrm{i}}$ et $\frac{1}{1-\mathrm{i}}$ ont la même partie réelle. »


3. « $\frac{4+2\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ est le conjugué de $1-3\mathrm{i}$. »


4. « $(1+\mathrm{i}{)}^3$ est le conjugué de $\frac{4}{1+\mathrm{i}}$. »


5. « Le conjugué de $(1+2\mathrm{i})(2\mathrm{i}+3)$ est $(1-2\mathrm{i})(2\mathrm{i}-3)$. »


6. « Soient $z_1=\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ et $z_2=\frac{1-\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$. Alors $z_1+z_2\in \mathbb{R}$ et $z_1-z_2\in \mathrm{i}\mathbb{R}.$ »

101

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « Le nombre complexe $-2-\frac{1}{2}\mathrm{i}$ est le conjugué de la solution dans $\mathbb{C}$ de l’équation $\mathrm{i}z-3+\mathrm{i}=(2+\mathrm{i})z+1$. »


2. « Le nombre complexe $-1-3\mathrm{i}$ est solution de l’équation $2\mathrm{i}\times \overline{z}=5(1-\mathrm{i})-\overline{z}$. »


3. « L’équation $2z-\mathrm{i}\times \overline{z}=3+\mathrm{i}+2\overline{z}$ n’a pas de solution dans $\mathbb{C}$. »


4. « Les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ vérifiant $\{\begin{array}{rl}2z_1-z_2& =1+3\mathrm{i}\\ \overline{z_1}+2\overline{z_2}& =3+\mathrm{i}\end{array}$ sont conjugués »

102

DEVOIR MAISON

[Raisonner.] ◉◉◉
Soit $z$ un nombre complexe non nul.
Indiquer pour chacun des nombres suivant, s’il s’agit d’un nombre réel ou d’un nombre imaginaire pur.
Justifier.

1. $z_1=z+\overline{z}$


2. $z_2=z-\overline{z}$


3. $z_3=z^2+(\overline{z}{)}^2$


4. $z_4=z^2-(\overline{z}{)}^2$


5. $z_5=\frac{z+\overline{z}}{z-\bar{z}}$ avec $z\ne \bar{z}$


6. $z_6=\frac{z-\overline{z}}{z+\bar{z}}$ avec $z\ne -\bar{z}$


7. $z_7=\frac{z^2+(\overline{z}{)}^2}{z\times \bar{z}}$


8. $z_8=\frac{z^2-(\overline{z}{)}^2}{z\times \bar{z}}$

103

[Démontrer.]
1. Montrer que, pour tout nombre complexe $z\ne 0$, le nombre complexe $\frac{1}{z}+\frac{1}{\overline{z}}$ est un nombre réel.


2. Montrer que, pour tout nombre complexe $z\ne 0$, le nombre complexe $\frac{1}{z}-\frac{1}{\overline{z}}$ est un nombre imaginaire pur.

104

[Raisonner.]
Soient deux nombres complexes $z=a+\mathrm{i}b$ et $z^{\prime }=a^{\prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime }$ où $a$, $b$, $a^{\prime }$ et $b^{\prime }$ sont des réels vérifiant $1+z{z}^{\prime }\ne 0$.
On suppose que $a^2+b^2=1$ et $a^{\prime 2}+b^{\prime 2}=1$.
Montrer que le quotient $\frac{z+z^{\prime }}{1+z{z}^{\prime }}$ est un réel.