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2. Nombres complexes conjugués
P.38-40

Entraînement


2
Nombres complexes conjugués





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

76
FLASH

Écrire sous forme algébrique le conjugué de chacun des nombres suivants.

1.


2.


3.


4.


5.


6.

77
FLASH

Calculer chacun des nombres suivants et les écrire sous forme algébrique.

1.


2.


3.


4.

78
FLASH
VRAI / FAUX

Justifier si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.

La solution dans de l’équation est .

79
[Calculer.] ◉◉
Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.

1.


2.


3.


4.


5.


6.


7.


8.

Pour les exercices
80
à 
83


Écrire sous forme algébrique le nombre complexe donné puis déterminer la forme algébrique de son conjugué.

80
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.

81
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.

82
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.

83
[Calculer.]
1.


2.


3.

Pour les exercices
84
à 
87


Écrire sous forme algébrique chacun des nombres proposés.

84
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.

85
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.

86
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.

87
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.

88
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient , , et quatre nombres réels et et les nombres complexes définis par et .

1. Montrer que .


2. a. Écrire le produit sous forme algébrique.


b. En déduire .

89
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient et deux nombres complexes avec non nul.
Démontrer que .

90
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit un nombre complexe.

1. Pour tout entier naturel , on appelle la proposition «  ».
Démontrer, par récurrence, que la proposition est vraie pour tout entier naturel .


2. On suppose et on note un entier strictement négatif.
a. Exprimer en fonction de


b. À l’aide de la question 1., justifier que


3. Conclure.

91
ALGO
[Calculer.]
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du conjugué de lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de .


  

92
ALGO
[Calculer.]
Écrire un algorithme qui prend en arguments la partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe et qui retourne :
  • «  n’a pas d’inverse » si est égal à  ;
  • la partie réelle et la partie imaginaire de son inverse sinon.


  

93
ALGO
[Calculer.]
1. Écrire un algorithme qui prend en arguments les parties réelle et imaginaire de deux nombres complexes et et qui retourne :
  • « le quotient n’existe pas » si est égal à  ;
  • la partie réelle et la partie imaginaire de sinon.

2. Implémenter cet algorithme et le tester pour .



  

Pour les exercices
94
à 
97


Résoudre dans chacune des équations proposées.
On écrira les solutions sous forme algébrique.

94
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.

95
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.

96
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.


5.

97
[Raisonner, Calculer.]
1.


2.


3.


4.


5.

98
[Calculer.]
Résoudre dans chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants.

Aide
On commencera par écrire le système uniquement en fonction de et et sans conjugué.


1.


2.


3.


4.

Pour les exercices
99
à 
101


Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

99
VRAI / FAUX
[Calculer.]
Soient et .

1. « Le conjugué de la somme est égal à . »


2. « Le conjugué du produit est égal à . »


3. « Le conjugué de est égal à . »


4. « Le conjugué de est égal à . »

100
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. «  est l’inverse de . »


2. « Les nombres complexes et ont la même partie réelle. »


3. «  est le conjugué de . »


4. «  est le conjugué de . »


5. « Le conjugué de est . »


6. « Soient et . Alors et  »

101
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « Le nombre complexe est le conjugué de la solution dans de l’équation . »


2. « Le nombre complexe est solution de l’équation . »


3. « L’équation n’a pas de solution dans . »


4. « Les nombres complexes et vérifiant sont conjugués »

102
DEVOIR MAISON
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit un nombre complexe non nul.
Indiquer pour chacun des nombres suivant, s’il s’agit d’un nombre réel ou d’un nombre imaginaire pur.
Justifier.

1.


2.


3.


4.


5. avec


6. avec


7.


8.

103
[Démontrer.]
1. Montrer que, pour tout nombre complexe , le nombre complexe est un nombre réel.


2. Montrer que, pour tout nombre complexe , le nombre complexe est un nombre imaginaire pur.

104
[Raisonner.]
Soient deux nombres complexes et , , et sont des réels vérifiant .
On suppose que et .
Montrer que le quotient est un réel.
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