18

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres complexes suivants. 1. a=3+2 \mathrm{i}

2. b=-2 \mathrm{i}+4

3. c=\frac{3+5 \mathrm{i}}{2}

4. d=\frac{2 \mathrm{i}-1}{\sqrt{2}}

5. e=4 \mathrm{i}

6. f=0

7. g=\mathrm{i}^{2}

8. h=\mathrm{i}^{7}

19

On considère un réel a et le nombre complexe z=a^{2}+1+2 \mathrm{i}\left(a^{2}-3\right). 1. Déterminer les éventuelles valeurs de a pour lesquelles z est un réel.

2. Déterminer les éventuelles valeurs de a pour lesquelles z est un imaginaire pur.

31

Soient a et b deux réels et z_1 et z_2 deux nombres complexes définis par z_{1}=a^{2}+a+\mathrm{i}\left(b^{2}+1\right) et z_{2}=3 a^{2}-3+2 \mathrm{i} b. Déterminer les éventuelles valeurs de a et b telles que z_1 et z_2 soient égaux.

32

Soient x un réel et deux nombres complexes z_1 et z_2 définis par z_{1}=3 x-3+\mathrm{i}\left(x^{2}+1\right) et z_{2}=x^{2}-x+\mathrm{i}\left(x^{2}-1\right). 1. Déterminer les éventuelles valeurs de x telles que z_1 + z_2 soit un imaginaire pur.

2. Déterminer les éventuelles valeurs de x telles que z_1 + z_2 soit un réel.

34

1. 2 z-3 \mathrm{i} \overline{z}=-5-\mathrm{i}

2. \mathrm{i} z+\overline{z}-3=7-\overline{z}+5 \mathrm{i}

3. 2 z-\mathrm{i} \overline{z}=\mathrm{i}(3+z)+\overline{z}

4. 2 \mathrm{i}(z+1)+3 \overline{z}+1=3 z-\mathrm{i}\left(\overline{z}+\frac{5}{2}\right)

39

40

Vrai / Faux

« Pour tout z \in \mathbb{C}, \overline{2+\mathrm{i} z}=2-\mathrm{i} z. »

45

Après avoir écrit chacune des expressions sous la forme z^{n}-a^{n} avec a \in \mathbb{C} et n \in \mathbb{N}^{*}, factoriser ces expressions le plus possible.

50

\mathrm{P}(z)=z^{4}-z^{3}-5 z^{2}-z-6 et a=\mathrm{i}.

Aide

Montrer que -\mathrm{i} est une racine du polynôme de degré 3 obtenu après la première factorisation.

51

Dans chacun des cas suivants, déterminer deux nombres complexes z_1 et z_2 sachant que leur somme est égale à \text{S} et que leur produit est égal à \text{P}.