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TP2 : Racines carrées d’un nombre complexe
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2
Racines carrées d’un nombre complexe




Énoncé

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Soient aa et bb deux nombres réels non simultanément nuls et α\alpha le nombre complexe défini par α=a+ib\alpha=a+\mathrm{i} b.
On appelle (E)(\mathrm{E}) l’équation z2=αz^{2}=\alpha d’inconnue zz dans C\mathbb{C}.

Objectif

À l’aide d’une des deux méthodes, déterminer sous forme algébrique les solutions de l’équation (E)(\mathbf{E}) appelées racines carrées du nombre complexe α\boldsymbol{\alpha}.

Questions préliminaires :

1. Montrer que si zz est solution de l’équation (E)(\mathrm{E}), alors z-z l’est également.


2. a. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation z2=9z^{2}=-9.


b. Démontrer que tout nombre réel strictement négatif α\alpha admet exactement deux racines carrées imaginaires pures dans C\mathbb{C} que l’on exprimera en fonction de α\alpha.


3. Plus généralement, on pose z=x+iyz=x+\mathrm{i} y
a. Calculer z2z^2 sous forme algébrique puis traduire l’équation (E)(\mathrm{E}) en un système de deux équations à deux inconnues (xx et yy).


b. Calculer (z×z)2(z \times \overline{z})^{2} en fonction de α\alpha et α\overline \alpha, puis en déduire que x2+y2=a2+b2x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.


c. À l’aide des résultats obtenus aux questions 3. a. et 3. b., exprimer x2x^2 et y2y^2 en fonction de aa et bb.


d. Que peut‑on dire des signes de xx et yy si b>0b > 0 ? Et si b<0b \lt 0 ?
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

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1. a. Avec le logiciel GeoGebra, créer deux curseurs aa et bb dans [10 ; 10][-10 ; 10] avec un incrément de 11.

b. Tracer la courbe représentative de la fonction ff définie sur R\mathbb{R}^{*} par f(x)=b2xf(x)=\dfrac{b}{2 x}.

c. Tracer les droites d1d_1 et d2d_2 d’équations respectives x=a+a2+b22x=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}} et x=a+a2+b22x=-\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}}.

Aide
Dans GeoGebra, la racine carrée se note sqrt.


2. À l’aide des curseurs, de la courbe représentative de ff et des droites d1d_1 et d2d_2, conjecturer graphiquement les racines carrées des nombres complexes 34i3-4 i et 34i-3-4 i.


Aide
On détermine d’abord les deux valeurs de xx possibles puis on en déduit les valeurs de yy correspondantes.


3. Démontrer ces conjectures à l’aide des formules établies dans les questions préliminaires.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
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On souhaite écrire un programme sous Python qui détermine les deux racines carrées du nombre complexe a+iba+\mathrm{i} b. On note z=x+iyz=x+\mathrm{i} y une racine carrée de ce nombre.

1. Compléter la fonction RacineCarree d’arguments a et b qui permet de déterminer xx et yy en fonction de aa et bb d’après les formules établies dans les questions préliminaires. On peut ajouter des lignes au programme.

from math import *

def RacineCarree(a, b):
	Z = complex(a, b)
	X = ...
	x1 = sqrt(X)
	...

2. a. Utiliser ce programme pour afficher les deux racines carrées du nombre complexe 34i3-4 \mathrm{i}.

b. Quelles sont les solutions de l’équation z2=34iz^{2}=-3-4 \mathrm{i} ?
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Remarque

Python utilise la lettre j\text{j} pour désigner le nombre complexe i\text{i} comme, par exemple, dans l’affichage ci‑contre.

MAT.T.1.TP.tp2_python2_retoucheok
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