Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
TP INFO 2
Racines carrées d'un nombre complexe
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Énoncé
Soient a et b deux nombres réels non simultanément nuls et \alpha le nombre complexe défini par \alpha=a+\mathrm{i} b.
On appelle (\mathrm{E}) l'équation z^{2}=\alpha d'inconnue z dans \mathbb{C}.
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Question préliminaire
1. Montrer que si z est solution de l'équation (\mathrm{E}), alors -z l'est également.
2. a. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation z^{2}=-9.
b. Démontrer que tout nombre réel strictement négatif \alpha admet exactement deux racines carrées imaginaires pures dans \mathbb{C} que l'on exprimera en fonction de \alpha.
3. Plus généralement, on pose z=x+\mathrm{i} y
a. Calculer z^2 sous forme algébrique puis traduire l'équation (\mathrm{E}) en un système de deux équations à deux inconnues (x et y).
b. Calculer (z \times \overline{z})^{2} en fonction de \alpha et \overline \alpha, puis en déduire que x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
c. À l'aide des résultats obtenus aux questions 3. a. et 3. b., exprimer x^2 et y^2 en fonction de a et b.
d. Que peut‑on dire des signes de x et y si b > 0 ? Et si b \lt 0 ?
2. a. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation z^{2}=-9.
b. Démontrer que tout nombre réel strictement négatif \alpha admet exactement deux racines carrées imaginaires pures dans \mathbb{C} que l'on exprimera en fonction de \alpha.
3. Plus généralement, on pose z=x+\mathrm{i} y
a. Calculer z^2 sous forme algébrique puis traduire l'équation (\mathrm{E}) en un système de deux équations à deux inconnues (x et y).
b. Calculer (z \times \overline{z})^{2} en fonction de \alpha et \overline \alpha, puis en déduire que x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
c. À l'aide des résultats obtenus aux questions 3. a. et 3. b., exprimer x^2 et y^2 en fonction de a et b.
d. Que peut‑on dire des signes de x et y si b > 0 ? Et si b \lt 0 ?
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Objectif
À l'aide d'une des deux méthodes, déterminer sous forme algébrique les solutions de l'équation (\mathbf{E}) appelées racines carrées du nombre complexe \boldsymbol{\alpha}.
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Python utilise la lettre \text{j} pour désigner le nombre complexe \text{i} comme, par exemple, dans l'affichage ci‑contre.
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Méthode 1GeoGebra
1. a. Avec le logiciel GeoGebra, créer deux curseurs a et b dans [-10 ; 10] avec un incrément de 1.
b. Tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R}^{*} par f(x)=\frac{b}{2 x}.
c. Tracer les droites d_1 et d_2 d'équations respectives x=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}} et x=-\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}}.
2. À l'aide des curseurs, de la courbe représentative de f et des droites d_1 et d_2, conjecturer graphiquement les racines carrées des nombres complexes 3-4 i et -3-4 i.
b. Tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R}^{*} par f(x)=\frac{b}{2 x}.
c. Tracer les droites d_1 et d_2 d'équations respectives x=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}} et x=-\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}}.
Aide
Dans GeoGebra, la racine carrée se note sqrt.
2. À l'aide des curseurs, de la courbe représentative de f et des droites d_1 et d_2, conjecturer graphiquement les racines carrées des nombres complexes 3-4 i et -3-4 i.
Aide
On détermine d'abord les deux valeurs de x possibles puis on en déduit les valeurs de y correspondantes.
3. Démontrer ces conjectures à l'aide des formules établies dans les questions préliminaires.
GeoGebra
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Méthode 2Python
1. Compléter la fonction RacineCarree d'arguments a et b qui permet de déterminer x et y en fonction de a et b d'après les formules établies dans les questions préliminaires. On peut ajouter des lignes au programme.
from math import * def RacineCarree(a, b): Z = complex(a, b) X = ... x1 = sqrt(X) ...
2. a. Utiliser ce programme pour afficher les deux racines carrées du nombre complexe 3-4 \mathrm{i}.
b. Quelles sont les solutions de l'équation z^{2}=-3-4 \mathrm{i} ?
b. Quelles sont les solutions de l'équation z^{2}=-3-4 \mathrm{i} ?
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