Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 1

TP INFO 2

Racines carrées d'un nombre complexe

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Énoncé

Soient

a

b

deux nombres réels non simultanément nuls et

α

le nombre complexe défini par

α = a + i b

. On appelle

(E)

l'équation

z^{2} = α

d'inconnue

z

dans

C

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Objectif

À l'aide d'une des deux méthodes, déterminer sous forme algébrique les solutions de l'équation $(E)$ appelées racines carrées du nombre complexe $α$ .

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Question préliminaire

1. Montrer que si

z

est solution de l'équation

(E)

, alors

- z

l'est également.

2. a. Résoudre dans

C

l'équation

z^{2} = - 9

b. Démontrer que tout nombre réel strictement négatif

α

admet exactement deux racines carrées imaginaires pures dans

C

que l'on exprimera en fonction de

α

3. Plus généralement, on pose

z = x + i y

a. Calculer

z^{2}

sous forme algébrique puis traduire l'équation

(E)

en un système de deux équations à deux inconnues (

x

y

b. Calculer

(z \times \overline{z})^{2}

en fonction de

α

\overline{α}

, puis en déduire que

x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}

c. À l'aide des résultats obtenus aux questions 3. a. et 3. b., exprimer

x^{2}

y^{2}

en fonction de

a

b

d. Que peut‑on dire des signes de

x

y

b > 0

? Et si

b < 0

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Remarque

Python utilise la lettre

j

pour désigner le nombre complexe

i

comme, par exemple, dans l'affichage ci‑contre.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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Méthode 1
GeoGebra

1. a. Avec le logiciel GeoGebra, créer deux curseurs

a

b

dans

[- 10; 10]

avec un incrément de

1

.

b. Tracer la courbe représentative de la fonction

f

définie sur

R^{*}

par

f (x) = \frac{b}{2 x}

.

c. Tracer les droites

d_{1}

d_{2}

d'équations respectives

x = \frac{a + a ^{2} + b ^{2}}{2}

x = - \frac{a + a ^{2} + b ^{2}}{2}

Dans GeoGebra, la racine carrée se note sqrt.

Aide

2. À l'aide des curseurs, de la courbe représentative de

f

et des droites

d_{1}

d_{2}

, conjecturer graphiquement les racines carrées des nombres complexes

3 - 4 i

- 3 - 4 i

On détermine d'abord les deux valeurs de

x

possibles puis on en déduit les valeurs de

y

correspondantes.

Aide

3. Démontrer ces conjectures à l'aide des formules établies dans les questions préliminaires.

GeoGebra

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Méthode 2
Python

On souhaite écrire un programme sous Python qui détermine les deux racines carrées du nombre complexe

a + i b

. On note

z = x + i y

une racine carrée de ce nombre.

1. Compléter la fonction RacineCarree d'arguments a et b qui permet de déterminer

x

y

en fonction de

a

b

d'après les formules établies dans les questions préliminaires. On peut ajouter des lignes au programme.

from math import *

def RacineCarree(a, b):
	Z = complex(a, b)
	X = ...
	x1 = sqrt(X)
	...

2. a. Utiliser ce programme pour afficher les deux racines carrées du nombre complexe

3 - 4 i

b. Quelles sont les solutions de l'équation

z^{2} = - 3 - 4 i

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