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Racines carrées d’un nombre complexe

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non simultanément nuls et $\alpha$ le nombre complexe défini par $\alpha =a+\mathrm{i}b$.
On appelle $(\mathrm{E})$ l’équation $z^2=\alpha$ d’inconnue $z$ dans $\mathbb{C}$.

Questions préliminaires :

1. Montrer que si $z$ est solution de l’équation $(\mathrm{E})$, alors $-z$ l’est également.


2. a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $z^2=-9$.


b. Démontrer que tout nombre réel strictement négatif $\alpha$ admet exactement deux racines carrées imaginaires pures dans $\mathbb{C}$ que l’on exprimera en fonction de $\alpha$.


3. Plus généralement, on pose $z=x+\mathrm{i}y$
a. Calculer $z^2$ sous forme algébrique puis traduire l’équation $(\mathrm{E})$ en un système de deux équations à deux inconnues ($x$ et $y$).


b. Calculer $(z\times \overline{z}{)}^2$ en fonction de $\alpha$ et $\overline{\alpha }$, puis en déduire que $x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}$.


c. À l’aide des résultats obtenus aux questions 3. a. et 3. b., exprimer $x^2$ et $y^2$ en fonction de $a$ et $b$.


d. Que peut‑on dire des signes de $x$ et $y$ si $b>0$ ? Et si $b<0$ ?

Python utilise la lettre $\text{j}$ pour désigner le nombre complexe $\text{i}$ comme, par exemple, dans l’affichage ci‑contre.