Soient a et b deux nombres réels non simultanément nuls et \alpha le nombre complexe défini par \alpha=a+\mathrm{i} b. On appelle (\mathrm{E}) l'équation z^{2}=\alpha d'inconnue z dans \mathbb{C}.

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Question préliminaire

1. Montrer que si z est solution de l'équation (\mathrm{E}), alors -z l'est également.

2. a. Résoudre dans \mathbb{C} l'équation z^{2}=-9.

b. Démontrer que tout nombre réel strictement négatif \alpha admet exactement deux racines carrées imaginaires pures dans \mathbb{C} que l'on exprimera en fonction de \alpha.

3. Plus généralement, on pose z=x+\mathrm{i} y
a. Calculer z^2 sous forme algébrique puis traduire l'équation (\mathrm{E}) en un système de deux équations à deux inconnues (x et y).

b. Calculer (z \times \overline{z})^{2} en fonction de \alpha et \overline \alpha, puis en déduire que x^{2}+y^{2}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.

c. À l'aide des résultats obtenus aux questions 3. a. et 3. b., exprimer x^2 et y^2 en fonction de a et b.

d. Que peut‑on dire des signes de x et y si b > 0 ? Et si b \lt 0 ?

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Objectif

À l'aide d'une des deux méthodes, déterminer sous forme algébrique les solutions de l'équation (\mathbf{E}) appelées racines carrées du nombre complexe \boldsymbol{\alpha}.

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Remarque

Python utilise la lettre \text{j} pour désigner le nombre complexe \text{i} comme, par exemple, dans l'affichage ci‑contre.

Capture d'écran de code Python: création et affichage d'un nombre complexe (3-4j) avec la fonction complex() et print().

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Méthode 1
GeoGebra

1. a. Avec le logiciel GeoGebra, créer deux curseurs a et b dans [-10 ; 10] avec un incrément de 1.

b. Tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur \mathbb{R}^{*} par f(x)=\frac{b}{2 x}.

c. Tracer les droites d_1 et d_2 d'équations respectives x=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}} et x=-\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}}.

Aide

Dans GeoGebra, la racine carrée se note sqrt.

2. À l'aide des curseurs, de la courbe représentative de f et des droites d_1 et d_2, conjecturer graphiquement les racines carrées des nombres complexes 3-4 i et -3-4 i.

Aide

On détermine d'abord les deux valeurs de x possibles puis on en déduit les valeurs de y correspondantes.

3. Démontrer ces conjectures à l'aide des formules établies dans les questions préliminaires.

GeoGebra

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Méthode 2
Python

On souhaite écrire un programme sous Python qui détermine les deux racines carrées du nombre complexe a+\mathrm{i} b. On note z=x+\mathrm{i} y une racine carrée de ce nombre.

1. Compléter la fonction RacineCarree d'arguments a et b qui permet de déterminer x et y en fonction de a et b d'après les formules établies dans les questions préliminaires. On peut ajouter des lignes au programme.

from math import *

def RacineCarree(a, b):
	Z = complex(a, b)
	X = ...
	x1 = sqrt(X)
	...

2. a. Utiliser ce programme pour afficher les deux racines carrées du nombre complexe 3-4 \mathrm{i}.

b. Quelles sont les solutions de l'équation z^{2}=-3-4 \mathrm{i} ?

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Racines carrées d'un nombre complexe

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