Soient a et b deux nombres réels non simultanément nuls et α le nombre complexe défini par α=a+ib.
On appelle (E) l’équation z2=α d’inconnue z dans C.
Objectif
À l’aide d’une des deux méthodes, déterminer sous forme algébrique les solutions de l’équation (E) appelées racines carrées du nombre complexe α.
Questions préliminaires :
1. Montrer que si z est solution de l’équation (E), alors −z l’est également.
2.a. Résoudre dans C l’équation z2=−9.
b. Démontrer que tout nombre réel strictement négatif α admet exactement deux racines carrées imaginaires pures dans C que l’on exprimera en fonction de α.
3. Plus généralement, on pose z=x+iy a. Calculer z2 sous forme algébrique puis traduire l’équation (E) en un système de deux équations à deux inconnues (x et y).
b. Calculer (z×z)2 en fonction de α et α, puis en déduire que x2+y2=a2+b2.
c. À l’aide des résultats obtenus aux questions 3.a. et 3.b., exprimer x2 et y2 en fonction de a et b.
d. Que peut‑on dire des signes de x et y si b>0 ? Et si b<0 ?
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA
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1.a. Avec le logiciel GeoGebra, créer deux curseurs a et b dans [−10;10] avec un incrément de 1.
b. Tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur R∗ par f(x)=2xb.
c. Tracer les droites d1 et d2 d’équations respectives x=2a+a2+b2 et x=−2a+a2+b2.
Aide
Dans GeoGebra, la racine carrée se note sqrt.
2. À l’aide des curseurs, de la courbe représentative de f et des droites d1 et d2, conjecturer graphiquement les racines carrées des nombres complexes 3−4i et −3−4i.
Aide
On détermine d’abord les deux valeurs de x possibles puis on en déduit les valeurs de y correspondantes.
3. Démontrer ces conjectures à l’aide des formules établies dans les questions préliminaires.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
On souhaite écrire un programme sous Python qui détermine les deux racines carrées du nombre complexe a+ib. On note z=x+iy une racine carrée de ce nombre.
1. Compléter la fonction RacineCarree d’arguments a et b qui permet de déterminer x et y en fonction de a et b d’après les formules établies dans les questions préliminaires. On peut ajouter des lignes au programme.
from math import *
def RacineCarree(a, b):
Z = complex(a, b)
X = ...
x1 = sqrt(X)
...
2.a. Utiliser ce programme pour afficher les deux racines carrées du nombre complexe 3−4i.
b. Quelles sont les solutions de l’équation z2=−3−4i ?
Remarque
Python utilise la lettre j pour désigner le nombre complexe i comme, par exemple, dans l’affichage ci‑contre.
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