Mathématiques
Terminale
Couverture Mathématiques Expertes Terminale

Mathématiques Expertes Terminale

Feuilleter la version papier
Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

TP2 : Racines carrées d’un nombre complexe
P.33
TP INFO


2
Racines carrées d’un nombre complexe




Énoncé

Soient et deux nombres réels non simultanément nuls et le nombre complexe défini par .
On appelle l’équation d’inconnue dans .

Objectif

À l’aide d’une des deux méthodes, déterminer sous forme algébrique les solutions de l’équation appelées racines carrées du nombre complexe .

Questions préliminaires :

1. Montrer que si est solution de l’équation , alors l’est également.


2. a. Résoudre dans l’équation .


b. Démontrer que tout nombre réel strictement négatif admet exactement deux racines carrées imaginaires pures dans que l’on exprimera en fonction de .


3. Plus généralement, on pose
a. Calculer sous forme algébrique puis traduire l’équation en un système de deux équations à deux inconnues ( et ).


b. Calculer en fonction de et , puis en déduire que .


c. À l’aide des résultats obtenus aux questions 3. a. et 3. b., exprimer et en fonction de et .


d. Que peut‑on dire des signes de et si  ? Et si  ?
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

1. a. Avec le logiciel GeoGebra, créer deux curseurs et dans avec un incrément de .

b. Tracer la courbe représentative de la fonction définie sur par .

c. Tracer les droites et d’équations respectives et .

Aide
 Dans GeoGebra, la racine carrée se note sqrt.


2. À l’aide des curseurs, de la courbe représentative de et des droites et , conjecturer graphiquement les racines carrées des nombres complexes et .


Aide
 On détermine d’abord les deux valeurs de possibles puis on en déduit les valeurs de correspondantes.


3. Démontrer ces conjectures à l’aide des formules établies dans les questions préliminaires.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On souhaite écrire un programme sous Python qui détermine les deux racines carrées du nombre complexe . On note une racine carrée de ce nombre.

1. Compléter la fonction RacineCarree d’arguments a et b qui permet de déterminer et en fonction de et d’après les formules établies dans les questions préliminaires. On peut ajouter des lignes au programme. 

from math import *

def RacineCarree(a, b):
	Z = complex(a, b)
	X = ...
	x1 = sqrt(X)
	...

2. a. Utiliser ce programme pour afficher les deux racines carrées du nombre complexe .

b. Quelles sont les solutions de l’équation