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TP2 : Racines carrées d’un nombre complexe
P.33

TP INFO


2
Racines carrées d’un nombre complexe




Énoncé

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Soient et deux nombres réels non simultanément nuls et le nombre complexe défini par .
On appelle l’équation d’inconnue dans .

Objectif

À l’aide d’une des deux méthodes, déterminer sous forme algébrique les solutions de l’équation appelées racines carrées du nombre complexe .

Questions préliminaires :

1. Montrer que si est solution de l’équation , alors l’est également.


2. a. Résoudre dans l’équation .


b. Démontrer que tout nombre réel strictement négatif admet exactement deux racines carrées imaginaires pures dans que l’on exprimera en fonction de .


3. Plus généralement, on pose
a. Calculer sous forme algébrique puis traduire l’équation en un système de deux équations à deux inconnues ( et ).


b. Calculer en fonction de et , puis en déduire que .


c. À l’aide des résultats obtenus aux questions 3. a. et 3. b., exprimer et en fonction de et .


d. Que peut‑on dire des signes de et si  ? Et si  ?
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

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1. a. Avec le logiciel GeoGebra, créer deux curseurs et dans avec un incrément de .

b. Tracer la courbe représentative de la fonction définie sur par .

c. Tracer les droites et d’équations respectives et .

Aide
Dans GeoGebra, la racine carrée se note sqrt.


2. À l’aide des curseurs, de la courbe représentative de et des droites et , conjecturer graphiquement les racines carrées des nombres complexes et .


Aide
On détermine d’abord les deux valeurs de possibles puis on en déduit les valeurs de correspondantes.


3. Démontrer ces conjectures à l’aide des formules établies dans les questions préliminaires.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
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On souhaite écrire un programme sous Python qui détermine les deux racines carrées du nombre complexe . On note une racine carrée de ce nombre.

1. Compléter la fonction RacineCarree d’arguments a et b qui permet de déterminer et en fonction de et d’après les formules établies dans les questions préliminaires. On peut ajouter des lignes au programme.

from math import *

def RacineCarree(a, b):
	Z = complex(a, b)
	X = ...
	x1 = sqrt(X)
	...

2. a. Utiliser ce programme pour afficher les deux racines carrées du nombre complexe .

b. Quelles sont les solutions de l’équation  ?
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Remarque

Python utilise la lettre pour désigner le nombre complexe comme, par exemple, dans l’affichage ci‑contre.

MAT.T.1.TP.tp2_python2_retoucheok
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