Auto-évaluation

9

Soient $z_1=2+3\mathrm{i}$ et $z_2=1-2\mathrm{i}$ deux nombres complexes. La forme algébrique de $z_1{z}_2$ est :
a. $-4-\mathrm{i}$
b. $8-\mathrm{i}$
c. $2+6\mathrm{i}$
d. $8+\mathrm{i}$

10

La partie imaginaire de $\frac{2+3\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}$ est égale à :
a. $-\frac{3}{2}$

b. $-\frac{3}{2}\mathrm{i}$

c. $\frac{7}{5}\mathrm{i}$

d. $\frac{7}{5}$

11

Le conjugué de $(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i}{)}^3$ est :
a. $-4\mathrm{i}$
b. $4\mathrm{i}$
c. $1-4\mathrm{i}$
d. $1+4\mathrm{i}$

12

Les racines complexes du polynôme $\text{P}$ défini dans $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^2-2z+10$ sont :
a. $3-\mathrm{i}$ et $3+\mathrm{i}$.
b. $1-3\mathrm{i}$ et $1+3\mathrm{i}$.
c. $2-2\mathrm{i}$ et $2+2\mathrm{i}$.
d. $1-3\mathrm{i}$ et $3+\mathrm{i}$.

13

L’inverse de ${\mathrm{i}}^5$ est :

×

a. un réel.

×

b. un imaginaire pur.

×

c. égal à ${\mathrm{i}}^3$.

×

d. égal à $-1$.

14

Le quotient $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ :

×

a. est un réel.

×

b. est un imaginaire pur.

×

c. est égal à $\mathrm{i}$.

×

d. a pour conjugué $-\mathrm{i}$.

15

On considère l’équation $(\mathrm{E}):z^3-1=0$.

×

a. $(\mathrm{E})$ admet trois solutions dans $\mathbb{C}$.

×

b. $(\mathrm{E})$ a pour solutions $1$, $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$.

×

c. $(\mathrm{E})$ admet une solution réelle et deux solutions complexes conjuguées.

×

d. $(\mathrm{E})$ a pour solutions $1$, $-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$.

16

Soit $\text{P}$ le polynôme défini dans $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^4+3z^2-4$. Alors le polynôme $\text{P}$ :

×

a. se factorise par $z-1$.

×

b. se factorise par $z+1$.

×

c. se factorise par $z+2\mathrm{i}$.

d. admet quatre racines réelles.

17

Soient $z_1$ et $z_2$ les nombres complexes définis par $z_1=1+\mathrm{i}$ et $z_2=\overline{z_1}$.

1. a. Calculer $z_1+z_2$ et $z_1\times z_2$.


b. Déterminer le polynôme unitaire $\text{P}$ de degré $2$ dont les racines sont $z_1$ et $z_2$.


2. Soit $\text{Q}$ le polynôme de degré $3$ défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{Q}(z)=z^3-6z^2+10z-8$.
a. Montrer que $\text{Q}$ se factorise par $\text{P}$ et déterminer le nombre complexe $\alpha$ tel que, pour tout $z\in \mathbb{C}$, $\mathrm{Q}(z)=(z-\alpha )\mathrm{P}(z)$.


b. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $\mathrm{Q}(z)=0$.

A

Le nombre complexe $z=(3+2\text{i}{)}^3$ :
a. est écrit sous forme algébrique.
b. a une partie réelle égale à $9$.
c. a une partie imaginaire égale à $46$.
d. est un imaginaire pur.

B

Vrai ou faux ? Le nombre ${\mathrm{i}}^{2021}$ est un réel.
a. Vrai
b. Faux

C

Dans $\mathbb{C}$, l’équation $3\overline{z}=2z+\overline{z}$ :
a. admet exactement deux solutions.
b. n’a aucune solution.
c. admet exactement une solution.
d. admet une infinité de solutions.

D

Dans $\mathbb{C}$, l’équation $\overline{\left(\overline{z}+2z\right)}=2-\text{i}$ :
a. admet exactement deux solutions.
b. n’a aucune solution.
c. admet exactement une solution.
d. admet une infinité de solutions.

E

Le conjugué de $z=\frac{1+2\text{i}}{2-\text{i}}$ est :

a. $\overline{z}=\frac{1-2\text{i}}{2-\text{i}}$.

×

b. $\overline{z}=\frac{1-2\text{i}}{2+\text{i}}$.

c. $\overline{z}=\text{i}$.

×

d. $\overline{z}=-\text{i}$.

F

Dans $\mathbb{C}$, l’équation $z^2-z+2=0$ :

a. admet deux solutions réelles distinctes.

×

b. admet deux solutions complexes conjuguées.

×

c. a un discriminant égal à $-7$.

d. admet comme solutions les nombres $-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{7}}{2}$ et $-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{7}}{2}$.

G

Le polynôme $P(z)=(z^2+1)(z^2-4z+4)$ :

a. est factorisable par $(z+2)$.

×

b. admet une racine double.

×

c. est factorisable par $(z+\text{i})$.

×

d. admet $-\text{i}$ comme racine.

H

Le polynôme $P(z)=(z^2-3z+5)(z^2+1)$ :

×

a. admet au plus quatre racines distinctes.

×

b. admet au moins une racine réelle.

c. est de degré $2$.

×

d. admet au moins une racine imaginaire pure.