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TP1 : Suite de nombres complexes
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1
Suite de nombres complexes




Énoncé

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Soient α\alpha et β\beta deux réels non simultanément nuls et soit qq le nombre complexe q=α+iβq=\alpha+\mathrm{i} \beta.
On définit sur N\mathbb{N} :
  • une suite de nombres complexes (zn)(z_n) telle que z0=1z_0 = 1 et, pour tout entier naturel nn, zn+1=qznz_{n+1}=q z_{n} ;
  • les suites de nombres réels (an)(a_n), (bn)(b_n) et (un)(u_n) définies, pour tout entier naturel nn, par an=Re(zn)a_{n}=\operatorname{Re}\left(z_{n}\right), bn=Im(zn)b_{n}=\operatorname{Im}\left(z_{n}\right) et un=an2+bn2u_{n}=\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}.

Objectif

Étudier la convergence de la suite (un)\boldsymbol{(u_n)} pour différentes valeurs de q\boldsymbol{q} à l’aide d’une des deux méthodes.

Questions préliminaires :

1. Pour cette question uniquement, on pose q=iq=\mathrm{i}.
a. Calculer z1z_1, z2z_2, z3z_3 et z4z_4, puis en déduire les valeurs de u0u_0, u1u_1, u2u_2, u3u_3 et u4u_4.


b. Conjecturer, pour tout entier naturel nn, une expression de unu_n en fonction de nn.


c. Démontrer cette conjecture et en déduire la convergence de la suite (un)(u_n).


Aide
On pourra démontrer que, pour tout entier nn, un+1=un.u_{n+1}=u_{n}.


2. Répondre aux questions précédentes avec q=2iq=2\mathrm{i}.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR
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On pose q=1212iq=\dfrac{-1}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}.

1. Exprimer, pour tout entier naturel nn, zn+1z_{n+1} en fontion de znz_n, puis an+1a_{n+1} et bn+1b_{n+1} en fonction de ana_n et de bnb_n.


2. À l’aide d’une feuille de calcul, on souhaite créer un tableau donnant les valeurs de ana_n, bnb_n et unu_n pour nn variant de 00 à 3030.

Maths expertes - Chapitre 1 - Nombres complexes, point de vue algébrique - TP1 Suite de nombres complexes

a. Quelles formules doit‑on entrer dans les cellules B3 et C3 pour obtenir les valeurs de ana_n et bnb_n pour 1n301 \leqslant n \leqslant 30 par recopie vers le bas ?


b. Quelle formule doit‑on entrer dans la cellule D2 pour obtenir les valeurs de unu_n pour 0n300 \leqslant n \leqslant 30 par recopie vers le bas ?


c. Quelle conjecture peut‑on faire pour la limite de la suite (un)(u_n) ?


3. Que se passe‑t‑il lorsque q=2+2iq=2+2 \mathrm{i} ?
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
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On pose q=1212iq=\dfrac{-1}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}.

1. Créer les nombres complexes i\text{i} et qq sur Python avec le code suivant en conjecturant le fonctionnement de la commande complex.


Maths expertes - Chapitre 1 - Nombres complexes, point de vue algébrique - TP1 Suite de nombres complexes

2. On considère la fonction z d’arguments n et q ci‑dessous. Que permet‑elle de calculer ?


Maths expertes - Chapitre 1 - Nombres complexes, point de vue algébrique - TP1 Suite de nombres complexes

3. Les commandes z.real et z.imag permettent d’obtenir respectivement les parties réelle et imaginaire du complexe zz.
Écrire une fonction U prenant en argument n et q et renvoyant la valeur de unu_n (penser à charger le module math pour le calcul d’une racine carrée).


4. À l’aide d’une boucle, afficher les valeurs de unu_n pour l’entier nn compris entre 11 et 3030. Que peut‑on conjecturer à propos de la suite (un)(u_n) ?


5. Que se passe‑t‑il lorsque q=2+2iq=2+2 \mathrm{i} ?




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