Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
TP INFO 1

Suite de nombres complexes

Énoncé
Soient et deux réels non simultanément nuls et soit le nombre complexe . On définit sur  :
  • une suite de nombres complexes telle que et, pour tout entier naturel ,  ;
  • les suites de nombres réels , et définies, pour tout entier naturel , par , et .

Objectif

Étudier la convergence de la suite pour différentes valeurs de à l'aide d'une des deux méthodes.
Question préliminaire
1. Pour cette question uniquement, on pose .
a. Calculer , , et , puis en déduire les valeurs de , , , et .

b. Conjecturer, pour tout entier naturel , une expression de en fonction de .

c. Démontrer cette conjecture et en déduire la convergence de la suite .

On pourra démontrer que, pour tout entier ,
Aide

2. Répondre aux questions précédentes avec .

Méthode 1
Tableur

On pose .

1. Exprimer, pour tout entier naturel , en fontion de , puis et en fonction de et de .

2. À l'aide d'une feuille de calcul, on souhaite créer un tableau donnant les valeurs de , et pour variant de à .

Maths expertes - Chapitre 1 - Nombres complexes, point de vue algébrique - TP1 Suite de nombres complexes
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a. Quelles formules doit‑on entrer dans les cellules B3 et C3 pour obtenir les valeurs de et pour par recopie vers le bas ?


b. Quelle formule doit‑on entrer dans la cellule D2 pour obtenir les valeurs de pour par recopie vers le bas ?

c. Quelle conjecture peut‑on faire pour la limite de la suite  ?

3. Que se passe‑t‑il lorsque  ?

Méthode 2
Python

On pose .

1. Créer les nombres complexes et sur Python avec le code suivant en conjecturant le fonctionnement de la commande complex.

Maths expertes - Chapitre 1 - Nombres complexes, point de vue algébrique - TP1 Suite de nombres complexes
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2. On considère la fonction z d'arguments n et q ci‑dessous. Que permet‑elle de calculer ?

Maths expertes - Chapitre 1 - Nombres complexes, point de vue algébrique - TP1 Suite de nombres complexes
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3. Les commandes z.real et z.imag permettent d'obtenir respectivement les parties réelle et imaginaire du complexe .
Écrire une fonction U prenant en argument n et q et renvoyant la valeur de (penser à charger le module math pour le calcul d'une racine carrée).

4. À l'aide d'une boucle, afficher les valeurs de pour l'entier compris entre et . Que peut‑on conjecturer à propos de la suite  ?

5. Que se passe‑t‑il lorsque  ?




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