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TP1 : Suite de nombres complexes
P.32

TP INFO


1
Suite de nombres complexes




Énoncé

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Soient et deux réels non simultanément nuls et soit le nombre complexe .
On définit sur  :
  • une suite de nombres complexes telle que et, pour tout entier naturel ,  ;
  • les suites de nombres réels , et définies, pour tout entier naturel , par , et .

Objectif

Étudier la convergence de la suite pour différentes valeurs de à l’aide d’une des deux méthodes.

Questions préliminaires :

1. Pour cette question uniquement, on pose .
a. Calculer , , et , puis en déduire les valeurs de , , , et .


b. Conjecturer, pour tout entier naturel , une expression de en fonction de .


c. Démontrer cette conjecture et en déduire la convergence de la suite .


Aide
On pourra démontrer que, pour tout entier ,


2. Répondre aux questions précédentes avec .
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR
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On pose .

1. Exprimer, pour tout entier naturel , en fontion de , puis et en fonction de et de .


2. À l’aide d’une feuille de calcul, on souhaite créer un tableau donnant les valeurs de , et pour variant de à .

Maths expertes - Chapitre 1 - Nombres complexes, point de vue algébrique - TP1 Suite de nombres complexes

a. Quelles formules doit‑on entrer dans les cellules B3 et C3 pour obtenir les valeurs de et pour par recopie vers le bas ?


b. Quelle formule doit‑on entrer dans la cellule D2 pour obtenir les valeurs de pour par recopie vers le bas ?


c. Quelle conjecture peut‑on faire pour la limite de la suite  ?


3. Que se passe‑t‑il lorsque  ?
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
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On pose .

1. Créer les nombres complexes et sur Python avec le code suivant en conjecturant le fonctionnement de la commande complex.


Maths expertes - Chapitre 1 - Nombres complexes, point de vue algébrique - TP1 Suite de nombres complexes

2. On considère la fonction z d’arguments n et q ci‑dessous. Que permet‑elle de calculer ?


Maths expertes - Chapitre 1 - Nombres complexes, point de vue algébrique - TP1 Suite de nombres complexes

3. Les commandes z.real et z.imag permettent d’obtenir respectivement les parties réelle et imaginaire du complexe .
Écrire une fonction U prenant en argument n et q et renvoyant la valeur de (penser à charger le module math pour le calcul d’une racine carrée).


4. À l’aide d’une boucle, afficher les valeurs de pour l’entier compris entre et . Que peut‑on conjecturer à propos de la suite  ?


5. Que se passe‑t‑il lorsque  ?




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