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Suite de nombres complexes

On pose $q=\dfrac{-1}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}$.

1. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}$ en fontion de $z_n$, puis $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et de $b_n$.


2. À l’aide d’une feuille de calcul, on souhaite créer un tableau donnant les valeurs de $a_n$, $b_n$ et $u_n$ pour $n$ variant de $0$ à $30$.

a. Quelles formules doit‑on entrer dans les cellules B3 et C3 pour obtenir les valeurs de $a_n$ et $b_n$ pour $1 \leqslant n \leqslant 30$ par recopie vers le bas ?


b. Quelle formule doit‑on entrer dans la cellule D2 pour obtenir les valeurs de $u_n$ pour $0 \leqslant n \leqslant 30$ par recopie vers le bas ?


c. Quelle conjecture peut‑on faire pour la limite de la suite $(u_n)$ ?


3. Que se passe‑t‑il lorsque $q=2+2 \mathrm{i}$ ?

On pose $q=\dfrac{-1}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}$.

1. Créer les nombres complexes $\text{i}$ et $q$ sur Python avec le code suivant en conjecturant le fonctionnement de la commande complex.

2. On considère la fonction z d’arguments n et q ci‑dessous. Que permet‑elle de calculer ?

3. Les commandes z.real et z.imag permettent d’obtenir respectivement les parties réelle et imaginaire du complexe $z$.
Écrire une fonction U prenant en argument n et q et renvoyant la valeur de $u_n$ (penser à charger le module math pour le calcul d’une racine carrée).


4. À l’aide d’une boucle, afficher les valeurs de $u_n$ pour l’entier $n$ compris entre $1$ et $30$. Que peut‑on conjecturer à propos de la suite $(u_n)$ ?


5. Que se passe‑t‑il lorsque $q=2+2 \mathrm{i}$ ?