une suite de nombres complexes $(z_{n})$ telle que $z_{0} = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $z_{n + 1} = q z_{n}$ ;
les suites de nombres réels $(a_{n})$ , $(b_{n})$ et $(u_{n})$ définies, pour tout entier naturel $n$ , par $a_{n} = Re (z_{n})$ , $b_{n} = Im (z_{n})$ et $u_{n} = a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ .

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Objectif

Étudier la convergence de la suite $(u_{n})$ pour différentes valeurs de $q$ à l'aide d'une des deux méthodes.

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Question préliminaire

1. Pour cette question uniquement, on pose

q = i

.
a. Calculer

z_{1}

z_{2}

z_{3}

z_{4}

, puis en déduire les valeurs de

u_{0}

u_{1}

u_{2}

u_{3}

u_{4}

b. Conjecturer, pour tout entier naturel

n

, une expression de

u_{n}

en fonction de

n

c. Démontrer cette conjecture et en déduire la convergence de la suite

(u_{n})

Aide

On pourra démontrer que, pour tout entier

n

u_{n + 1} = u_{n} .

2. Répondre aux questions précédentes avec

q = 2 i

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Méthode 1
Tableur

On pose

q = \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2} i

1. Exprimer, pour tout entier naturel

n

z_{n + 1}

en fontion de

z_{n}

, puis

a_{n + 1}

b_{n + 1}

en fonction de

a_{n}

et de

b_{n}

2. À l'aide d'une feuille de calcul, on souhaite créer un tableau donnant les valeurs de

a_{n}

b_{n}

u_{n}

pour

n

variant de

0

30

Tableau mathématiques : colonnes 'n', 'an', 'bn', 'un' ; lignes avec valeurs numériques pour exercice.

a. Quelles formules doit‑on entrer dans les cellules B3 et C3 pour obtenir les valeurs de

a_{n}

b_{n}

pour

1 ⩽ n ⩽ 30

par recopie vers le bas ?

b. Quelle formule doit‑on entrer dans la cellule D2 pour obtenir les valeurs de

u_{n}

pour

0 ⩽ n ⩽ 30

par recopie vers le bas ?

c. Quelle conjecture peut‑on faire pour la limite de la suite

(u_{n})

3. Que se passe‑t‑il lorsque

q = 2 + 2 i

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Méthode 2
Python

On pose

q = \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2} i

1. Créer les nombres complexes

i

q

sur Python avec le code suivant en conjecturant le fonctionnement de la commande complex.

Code Python définissant les nombres complexes i et q.

2. On considère la fonction z d'arguments n et q ci‑dessous. Que permet‑elle de calculer ?

Capture d'écran de code Python : fonction récursive z(n, q) calculant une suite de nombres complexes.

3. Les commandes z.real et z.imag permettent d'obtenir respectivement les parties réelle et imaginaire du complexe

z

.
Écrire une fonction U prenant en argument n et q et renvoyant la valeur de

u_{n}

(penser à charger le module math pour le calcul d'une racine carrée).

4. À l'aide d'une boucle, afficher les valeurs de

u_{n}

pour l'entier

n

compris entre

1

30

. Que peut‑on conjecturer à propos de la suite

(u_{n})

5. Que se passe‑t‑il lorsque

q = 2 + 2 i

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Oups, une coquille

Ch. 1 Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2 Nombres complexes, point de vue géométrique

Ch. 3 Divisibilité dans Z

Ch. 4PGCD et applications

Ch. 5 Nombres premiers

Ch. 6Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7Suites et matrices

Cahier d'algorithmique et de programmation

Suite de nombres complexes

Objectif

Méthode 1Tableur

Méthode 2Python

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Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique

Ch. 3
Divisibilité dans Z

Ch. 4
PGCD et applications

Ch. 5
Nombres premiers

Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7
Suites et matrices

Méthode 1
Tableur

Méthode 2
Python