Soient α et β deux réels non simultanément nuls et soit q le nombre complexe q=α+iβ.
On définit sur N :
une suite de nombres complexes (zn) telle que z0=1 et, pour tout entier naturel n, zn+1=qzn ;
les suites de nombres réels (an), (bn) et (un) définies, pour tout entier naturel n, par an=Re(zn), bn=Im(zn) et un=an2+bn2.
Objectif
Étudier la convergence de la suite (un) pour différentes valeurs de q à l’aide d’une des deux méthodes.
Questions préliminaires :
1. Pour cette question uniquement, on pose q=i.
a. Calculer z1, z2, z3 et z4, puis en déduire les valeurs de u0, u1, u2, u3 et u4.
b. Conjecturer, pour tout entier naturel n, une expression de un en fonction de n.
c. Démontrer cette conjecture et en déduire la convergence de la suite (un).
Aide
On pourra démontrer que,
pour tout entier n, un+1=un.
2. Répondre aux questions précédentes avec q=2i.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR
On pose q=2−1−21i.
1. Exprimer, pour tout entier naturel n, zn+1 en fontion de zn, puis an+1 et bn+1 en fonction de an et de bn.
2. À l’aide d’une feuille de calcul, on souhaite créer un tableau donnant les valeurs de an, bn et un pour n variant de 0 à 30.
a. Quelles formules doit‑on entrer dans les cellules B3 et C3 pour obtenir les valeurs de an et bn pour 1⩽n⩽30 par recopie vers le bas ?
b. Quelle formule doit‑on entrer dans la cellule D2 pour obtenir les valeurs de un pour 0⩽n⩽30 par recopie vers le bas ?
c. Quelle conjecture peut‑on faire pour la limite de la suite (un) ?
3. Que se passe‑t‑il lorsque q=2+2i ?
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
On pose q=2−1−21i.
1. Créer les nombres complexes i et q sur Python avec le code suivant en conjecturant le fonctionnement de la commande complex.
2. On considère la fonction z d’arguments n et q ci‑dessous. Que permet‑elle de calculer ?
3. Les commandes z.real et z.imag permettent d’obtenir respectivement les parties réelle et imaginaire du complexe z.
Écrire une fonction U prenant en argument n et q et renvoyant la valeur de un (penser à charger le module math pour le calcul d’une racine carrée).
4. À l’aide d’une boucle, afficher les valeurs de un pour l’entier n compris entre 1 et 30. Que peut‑on conjecturer à propos de la suite (un) ?
5. Que se passe‑t‑il lorsque q=2+2i ?
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