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Nombres complexes : point de vue algébrique
P.16-17

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Chapitre 1


Nombres complexes, point de vue algébrique





Nombres complexes, point de vue algébrique. Horloge fractale


En utilisant une relation de récurrence reliant des nombres complexes entre eux et en représentant les points obtenus, on trace des fractales comme cette horloge fractale. Parmi les plus célèbres, on peut citer l’ensemble de Mandelbrot, obtenu à partir de la relation zn+1=(zn)2+cz_{n+1}=\left(z_{n}\right)^{2}+c et z0=0z_{0}=0cc est une constante complexe.

Capacités attendues - chapitre 1

1. Effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes.

2. Résoudre dans C\mathbb{C} une équation linéaire az=baz = b avec aa et bb dans C\mathbb{C}.

3. Résoudre dans C\mathbb{C} une équation simple faisant intervenir zz et zˉ\bar z.

4. Résoudre dans C\mathbb{C} une équation polynomiale de degré 2 à coefficients réels.

5. Résoudre dans C\mathbb{C} une équation polynomiale de degré 3 à coefficients réels dont une solution est connue.

6. Factoriser dans C\mathbb{C} un polynôme dont une racine est connue.

Avant de commencer

Prérequis

1. Développer des expressions algébriques avec la double distributivité et les identités remarquables.
2. Factoriser des expressions algébriques en utilisant un facteur commun ou des identités remarquables.
3. Résoudre un système linéaire de deux équations du premier degré à deux inconnues.
4. Résoudre dans R\mathbb{R} les équations du second degré à coefficients réels.
5. Déterminer les racines d’une équation polynomiale à partir de ses racines évidentes.

Pour les exercices
1
à 
3

Développer et réduire les expressions.
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1
Utiliser la double distributivité

Soit xRx \in \mathbb{R}.

1. A(x)=(23x)(1+2x)\mathrm{A}(x)=(2-3 x)(1+2 x)


2. B(x)=(x32)(4x3)\mathrm{B}(x)=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)(4 x-3)


3. C=(32)(22+1)\mathrm{C}=(3-\sqrt{2})(2 \sqrt{2}+1)
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2
Utiliser les identités remarquables

1. A=(23+3)2\mathrm{A}=(2 \sqrt{3}+3)^{2}


2. B=(51)2\mathrm{B}=(\sqrt{5}-1)^{2}


3. C=(2+3)(32)\mathrm{C}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})


4. D=(123)4\mathrm{D}=(1-2 \sqrt{3})^{4}
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3
Développer une expression littérale

Soit xRx \in \mathbb{R}.

1. A(x)=(3x5)2\mathrm{A}(x)=(3 x-5)^{2}


2. B(x)=(x+12)2\mathrm{B}(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}


3. C(x)=(23x)(3x+2)\mathrm{C}(x)=(2-3 x)(3 x+2)


4. D(x)=(x+1)3\mathrm{D}(x)=(x+1)^{3}


5. E(x)=(2x1)4\mathrm{E}(x)=(2 x-1)^{4}
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4
Factoriser une expression littérale

Factoriser dans R\mathbb{R} les expressions suivantes où xx désigne un nombre réel.

1. A(x)=(x+2)2(2x+4)(x1)\mathrm{A}(x)=(x+2)^{2}-(2 x+4)(x-1)


2. B(x)=4x212x+9\mathrm{B}(x)=4 x^{2}-12 x+9


3. C(x)=(x+1)2(3x+2)2\mathrm{C}(x)=(x+1)^{2}-(3 x+2)^{2}
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5
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

Résoudre dans R\mathbb{R} les systèmes suivants d’inconnues xx et yy.

1. {2x+y=3x+y=1\left\{\begin{aligned} 2 x+y &=3 \\ x+y &=1 \end{aligned}\right.


2. {2x4y=53x+y=3\left\{\begin{aligned} 2 x-4 y &=5 \\ 3 x+y &=-3 \end{aligned}\right.


3. {2x+3y=1x2y=5\left\{\begin{array}{c}2 x+3 y=-1 \\ x-2 y=5\end{array}\right.


4. {3x+4y=72x+3y=6\left\{\begin{array}{l}3 x+4 y=-7 \\ 2 x+3 y=-6\end{array}\right.
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6
Résoudre une équation du second degré dans R\mathbb{R}

Résoudre dans R\mathbb{R} les équations suivantes.

1. (x+2)2=(13x)2(x+2)^{2}=(1-3 x)^{2}


2. 5x2+9x2=05 x^{2}+9 x-2=0


3. x2+1=2xx^{2}+1=2 x


4. x23x+1=3x28x2x^{2}-3 x+1=3 x^{2}-8 x-2
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7
Déterminer les racines d’un trinôme

Après avoir déterminé une racine évidente du trinôme x26x7x^2 - 6x - 7, calculer la deuxième racine sans utiliser le discriminant.
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8
Problème

Soit P\text{P} la fonction polynôme de degré 33 définie, pour tout réel xx, par P(x)=15x3x212x+4\mathrm{P}(x)=15 x^{3}-x^{2}-12 x+4.

1. Montrer que 1-1 est une racine de P\text{P}.


2. Déterminer les réels aa, bb et cc tels que, pour tout réel xx, P(x)=(x+1)(ax2+bx+c)\mathrm{P}(x)=(x+1)\left(a x^{2}+b x+c\right).


3. Résoudre dans R\mathbb{R} l’équation P(x)=0\mathrm{P}(x)=0.
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Anecdote

Maths expertes - Chapitre 1 - Nombres complexes, point de vue algébrique- Ouverture - Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

La notion de nombre complexe (due à Gauss) ne s’est imposée que très progressivement. Ainsi Augustin-Louis Cauchy (1789‑1857) décrit dans son Cours d’Analyse de 1821 une entité « imaginaire » telle que 1\sqrt -1 comme « une expression symbolique soumise à des règles fixes suivant des conventions établies » ou « un instrument de calcul qui ne signifie rien en lui‑même mais permet d’arriver plus rapidement à la solution des problèmes que l’on se pose ». Mais ses travaux sur les fonctions d’une « variable imaginaire » le conduiront à leur donner vers 1847 un véritable statut, en leur associant soit des « quantités géométriques » soit des « équivalences algébriques ».
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