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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
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Capacités attendues
1. Effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes.
2. Résoudre dans \mathbb{C} une équation linéaire az = b avec a et b dans \mathbb{C}.
3. Résoudre dans \mathbb{C} une équation simple faisant intervenir z et \bar z.
4. Résoudre dans \mathbb{C} une équation polynomiale de degré 2 à coefficients réels.
5. Résoudre dans \mathbb{C} une équation polynomiale de degré 3 à coefficients réels dont une solution est connue.
6. Factoriser dans \mathbb{C} un polynôme dont une racine est connue.
2. Résoudre dans \mathbb{C} une équation linéaire az = b avec a et b dans \mathbb{C}.
3. Résoudre dans \mathbb{C} une équation simple faisant intervenir z et \bar z.
4. Résoudre dans \mathbb{C} une équation polynomiale de degré 2 à coefficients réels.
5. Résoudre dans \mathbb{C} une équation polynomiale de degré 3 à coefficients réels dont une solution est connue.
6. Factoriser dans \mathbb{C} un polynôme dont une racine est connue.
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En utilisant une relation de récurrence reliant des nombres complexes entre eux et en représentant les points obtenus, on trace des fractales comme cette horloge fractale. Parmi les plus célèbres, on peut citer l'ensemble de Mandelbrot, obtenu à partir de la relation z_{n+1}=\left(z_{n}\right)^{2}+c et z_{0}=0 où c est une constante complexe.
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Avant de commencer
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Développer et réduire les expressions.
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Prérequis
1. Développer des expressions algébriques avec la double distributivité et les identités remarquables.
2. Factoriser des expressions algébriques en utilisant un facteur commun ou des identités remarquables.
3. Résoudre un système linéaire de deux équations du premier degré à deux inconnues.
4. Résoudre dans \mathbb{R} les équations du second degré à coefficients réels.
5. Déterminer les racines d'une équation polynomiale à partir de ses racines évidentes.
2. Factoriser des expressions algébriques en utilisant un facteur commun ou des identités remarquables.
3. Résoudre un système linéaire de deux équations du premier degré à deux inconnues.
4. Résoudre dans \mathbb{R} les équations du second degré à coefficients réels.
5. Déterminer les racines d'une équation polynomiale à partir de ses racines évidentes.
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La notion de nombre complexe (due à Gauss) ne s'est imposée que très progressivement. Ainsi Augustin-Louis Cauchy (1789‑1857) décrit dans son Cours d'Analyse de 1821 une entité « imaginaire » telle que \sqrt -1 comme « une expression symbolique soumise à des règles fixes suivant des conventions établies » ou « un instrument de calcul qui ne signifie rien en lui‑même mais permet d'arriver plus rapidement à la solution des problèmes que l'on se pose ». Mais ses travaux sur les fonctions d'une « variable imaginaire » le conduiront à leur donner vers 1847 un véritable statut, en leur associant soit des « quantités géométriques » soit des « équivalences algébriques ».
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1
Utiliser la double distributivité
Soit x \in \mathbb{R}.
1. \mathrm{A}(x)=(2-3 x)(1+2 x)
2. \mathrm{B}(x)=\left(x-\frac{3}{2}\right)(4 x-3)
3. \mathrm{C}=(3-\sqrt{2})(2 \sqrt{2}+1)
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2
Utiliser les identités remarquables
1. \mathrm{A}=(2 \sqrt{3}+3)^{2}2. \mathrm{B}=(\sqrt{5}-1)^{2}
3. \mathrm{C}=(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})
4. \mathrm{D}=(1-2 \sqrt{3})^{4}
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3
Développer une expression littérale
Soit x \in \mathbb{R}.
1. \mathrm{A}(x)=(3 x-5)^{2}
2. \mathrm{B}(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}
3. \mathrm{C}(x)=(2-3 x)(3 x+2)
2. \mathrm{B}(x)=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}
3. \mathrm{C}(x)=(2-3 x)(3 x+2)
4. \mathrm{D}(x)=(x+1)^{3}
5. \mathrm{E}(x)=(2 x-1)^{4}
5. \mathrm{E}(x)=(2 x-1)^{4}
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4
Factoriser une expression littérale
Factoriser dans \mathbb{R} les expressions suivantes où x désigne un nombre réel.
1. \mathrm{A}(x)=(x+2)^{2}-(2 x+4)(x-1)
2. \mathrm{B}(x)=4 x^{2}-12 x+9
3. \mathrm{C}(x)=(x+1)^{2}-(3 x+2)^{2}
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5
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues
Résoudre dans \mathbb{R} les systèmes suivants d'inconnues x et y.
1. \left\{\begin{aligned} 2 x+y &=3 \\ x+y &=1 \end{aligned}\right.
2. \left\{\begin{aligned} 2 x-4 y &=5 \\ 3 x+y &=-3 \end{aligned}\right.
2. \left\{\begin{aligned} 2 x-4 y &=5 \\ 3 x+y &=-3 \end{aligned}\right.
3. \left\{\begin{array}{c}2 x+3 y=-1 \\ x-2 y=5\end{array}\right.
4. \left\{\begin{array}{l}3 x+4 y=-7 \\ 2 x+3 y=-6\end{array}\right.
4. \left\{\begin{array}{l}3 x+4 y=-7 \\ 2 x+3 y=-6\end{array}\right.
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6
Résoudre une équation du second degré dans \mathbb{R}
Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes.
1. (x+2)^{2}=(1-3 x)^{2}
2. 5 x^{2}+9 x-2=0
2. 5 x^{2}+9 x-2=0
3. x^{2}+1=2 x
4. x^{2}-3 x+1=3 x^{2}-8 x-2
4. x^{2}-3 x+1=3 x^{2}-8 x-2
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7
Déterminer les racines d'un trinôme
Après avoir déterminé une racine évidente du trinôme x^2 - 6x - 7, calculer la deuxième racine sans utiliser le discriminant.Ressource affichée de l'autre côté.
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8
Problème
Soit \text{P} la fonction polynôme de degré 3 définie, pour tout réel x, par \mathrm{P}(x)=15 x^{3}-x^{2}-12 x+4.
1. Montrer que -1 est une racine de \text{P}.
2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout réel x, \mathrm{P}(x)=(x+1)\left(a x^{2}+b x+c\right).
3. Résoudre dans \mathbb{R} l'équation \mathrm{P}(x)=0.
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