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P.44-47

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135
[Calculer, Communiquer.]
On considère le polynôme P\text{P} à coefficients réels défini sur C\mathbb{C} par P(z)=z48z3+41z2128z+400\mathrm{P}(z)=z^{4}-8 z^{3}+41 z^{2}-128 z+400.

1. Montrer que si zz est une racine du polynôme P\text{P}, alors son conjugué z\overline z en est aussi une.


2. a. Soit bb un réel. Déterminer P(ib)\mathrm{P}(\mathrm{i} b) en fonction de bb puis l’écrire sous forme algébrique .


b. Montrer que le polynôme P\text{P} admet exactement deux racines imaginaires pures dans C\mathbb{C} et les calculer.


3. Déterminer les réels aa, bb et cc tels que, pour tout nombre complexe zz, P(z)=(z2+16)(az2+bz+c).\mathrm{P}(z)=\left(z^{2}+16\right)\left(a z^{2}+b z+c\right).


4. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation P(z)=0\mathrm{P}(z)=0.
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136
[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme P\text{P} à coefficients réels défini sur C\mathbb{C} par P(u)=u41\mathrm{P}(u)=u^{4}-1.
a. Factoriser le polynôme P\text{P} dans C\mathbb{C} en produit de facteurs du premier degré à coefficients complexes.


b. En déduire les solutions dans C\mathbb{C} de l’équation P(u)=0\mathrm{P}(u)=0.


2. On considère l’équation (E):(12zz2)4=1(\mathrm{E}):\left(\dfrac{1-2 z}{z-2}\right)^{4}=1.
En utilisant les résultats de la question 1. b., résoudre l’équation (E)(\mathrm{E}) dans C\mathbb{C}.
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137
[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme P\text{P} à coefficients réels défini sur C\mathbb{C} par P(z)=z61\mathrm{P}(z)=z^{6}-1.
a. Factoriser l’expression u3v3u^3 - v^3 pour tous nombres complexes uu et vv.


b. En remarquant que z6=(z2)3z^{6}=\left(z^{2}\right)^{3}, déterminer trois réels aa, bb et cc tels que, pour tout zCz \in \mathbb{C}, P(z)=(z21)(az4+bz2+c)\mathrm{P}(z)=\left(z^{2}-1\right)\left(a z^{4}+b z^{2}+c\right).


2. a. Calculer (12+i32)2\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} et (12i32)2\left(\dfrac{1}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.


b. En déduire les six racines dans C\mathbb{C} du polynôme P\text{P}.
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138
[Calculer, Raisonner.]
1. On considère l’équation du second degré à coefficients complexes :
(E):z2(6+2i)z+7+6i=0(\mathrm{E}): z^{2}-(6+2 \mathrm{i}) z+7+6 \mathrm{i}=0.

a. Montrer que, pour tout nombre complexe zz,
z2(6+2i)z=(z(3+i))286iz^{2}-(6+2 \mathrm{i}) z=(z-(3+\mathrm{i}))^{2}-8-6 \mathrm{i}.


b. En déduire que l’équation (E)(\mathrm{E}) équivaut à (z(3+i))2=1(z-(3+\mathrm{i}))^{2}=1.


c. Résoudre alors l’équation (E)(\mathrm{E}) dans C\mathbb{C}.


2. En appliquant une méthode analogue, résoudre dans C\mathbb{C} l’équation du second degré à coefficients complexes :
(E):z2+(2+4i)z+6+4i=0\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): z^{2}+(2+4 \mathrm{i}) z+6+4 \mathrm{i}=0.
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139
[Calculer, Chercher.]
On considère l’équation à coefficients complexes :
(E):2z2(1+6i)z+3i=0(\mathrm{E}): 2 z^{2}-(1+6 \mathrm{i}) z+3 \mathrm{i}=0.

1. Démontrer que l’équation (E)(\mathrm{E}) admet un unique nombre imaginaire pur comme solution et le déterminer.


2. L’équation (E)(\mathrm{E}) admet‑elle comme solution un nombre réel ? Justifier


3. Résoudre (E)(\mathrm{E}) dans C\mathbb{C}.
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140
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé (O ; u , v)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}). On appelle A\text{A} le point de coordonnées (2 ; 0)(2 ; 0).
À tout nombre complexe z2z \neq 2, on associe le nombre complexe z=2iz2zz^{\prime}=\dfrac{2-\mathrm{i} z}{2-z}.
On écrit z=x+iyz=x+\mathrm{i} y et z=x+iyz^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime}xx, yy, xx^\prime et yy^\prime sont des nombres réels.
Soit M(x ; y)\mathrm{M}(x ; y) un point du plan distinct de A\text{A} et M(x ; y)\mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) le point qui lui est associé par la transformation zz.z \mapsto z^{\prime}.
Le but de l’exercice est de déterminer la nature de l’ensemble des points M\text{M} quand zz^\prime vérifie certaines conditions.

1. Soit B\text{B} le point de coordonnées (2 ; 1)(2 ; 1).
Déterminer les coordonnées (x ; y)\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) du point B\mathrm{B}^\prime, image du point B\text{B} par la transformation définie précédemment.


2. Soit C\mathrm{C}^\prime le point de coordonnées (1 ; 2)(1 ; 2).
Déterminer les coordonnées (x ; y)(x ; y) du point C\text{C} dont l’image est le point C\mathrm{C}^\prime.


3. Calculer zz^\prime sous forme algébrique et exprimer sa partie réelle xx^\prime et sa partie imaginaire yy^\prime en fonction de xx et yy.


4. Déterminer une équation de l’ensemble E1\mathrm{E}_{1} des points M(x ; y)\mathrm{M}(x ; y), distincts de A\text{A}, tels que zz^\prime soit un réel et préciser sa nature.


5. Déterminer une équation de l’ensemble E2\mathrm{E}_{2} des points M(x ; y)\mathrm{M}(x ; y), distincts de A\text{A}, tels que zz^\prime soit un imaginaire pur et préciser sa nature.
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141
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé (O ; u , v)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}). On appelle J\text{J} le point de coordonnées (0 ; 1)(0 ; 1).
À tout nombre complexe ziz \neq \mathrm{i}, on associe le nombre complexe z=izizz^{\prime}=\dfrac{\mathrm{i} z}{\mathrm{i}-z}.
On écrit z=x+iyz=x+\mathrm{i} y et z=x+iyz^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime}xx, yy, xx^\prime et yy^\prime sont quatre nombres réels.
Soit M(x ; y)\mathrm{M}(x ; y) un point du plan distinct de J\text{J} et M(x ; y)\mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) le point qui lui est associé par la transformation zzz \mapsto z^{\prime}.

1. Déterminer les éventuels points M(x ; y)\mathrm{M}(x ; y) du plan pour lesquels M\mathrm{M}^\prime et M\text{M} sont confondus.


2. Déterminer les coordonnées du point I\mathrm{I}^\prime associé au point I(1 ; 0)\mathrm{I}(1 ; 0).


3. Déterminer les coordonnées du point A\text{ A} tel que le point associé A\mathrm{A}^\prime ait pour coordonnées (2 ; 0)(2 ; 0).


4. Déterminer une équation de l’ensemble E1\mathrm{E}_{1} des points M(x ; y)\mathrm{M}(x ; y), distincts de J\text{J}, tels que zz^\prime soit un réel et préciser sa nature.


5. Déterminer une équation de l’ensemble E2\mathrm{E}_{2} des points M(x ; y)\mathrm{M}(x ; y), distincts de J\text{J}, tels que zz^\prime soit un imaginaire pur et préciser sa nature.
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142
DEVOIR MAISON
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé (O ; u , v)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
À tout nombre complexe zz, on associe le nombre complexe z=2iz2z×z+1z^{\prime}=\dfrac{2 \mathrm{i}-z^{2}}{z \times \overline{z}+1}.
On écrit z=x+iyz=x+\mathrm{i} y et z=x+iyz^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime}xx, yy, xx^\prime et yy^\prime sont quatre réels.
Soit M(x ; y)\mathrm{M}(x ; y) un point du plan et M(x ; y)\mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) le point qui lui est associé par la transformation zzz \mapsto z^{\prime}.

1. Justifier que le nombre complexe zz^\prime est défini pour tout zCz \in \mathbb{C}.


2. Existe‑t‑il des valeurs de zz telles que zz^\prime soit égal à 11 ? Justifier.


3. a. Démontrer que zz^\prime est réel si, et seulement si, (zz)(z+z)=4i(z-\overline{z})(z+\overline{z})=4 \mathrm{i}.


b. Déterminer l’ensemble E1\mathrm{E}_{1} des points M(x ; y)\mathrm{M}(x ; y) tels que zz^\prime soit un réel.


4. Déterminer l’ensemble E2\mathrm{E}_{2} des points M(x ; y)\mathrm{M}(x ; y) tels que zz^\prime soit un imaginaire pur.
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143
[Chercher, Représenter.]
Équation à paramètre

On considère le polynôme P\text{P} à coefficients réels défini sur C\mathbb{C} par P(z)=z22z+9\mathrm{P}(z)=z^{2}-2 z+9.

1. Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation P(z)=6\mathrm{P}(z)=6.


2. Soit mm un réel. On considère l’équation (E):P(z)=m(\mathrm{E}): \mathrm{P}(z)=m d’inconnue zz dans C\mathbb{C}.
Pour quelles valeurs de mm l’équation (E)(\mathrm{E}) admet‑elle deux solutions complexes conjuguées ? Justifier.


3. On munit le plan d’un repère orthonormé (O ; u , v)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
On écrit z=x+iyz=x+\mathrm{i} y et z=P(z)=x+iyz^{\prime}=\mathrm{P}(z)=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime}x x, y y, xx^{\prime} et yy^{\prime} désignent quatre réels.
a. Exprimer la forme algébrique de P(z)\mathrm{P}(z) en fonction de xx et yy.


b. Déterminer l’ensemble E\text{ E} des points M(x ; y)\mathrm{M}(x ; y) tels que zz^{\prime} soit un réel.
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144
EN ÉLECTRONIQUE
[Calculer, Modéliser.]
On représente parfois les résistances de certains composants électroniques par des nombres complexes.

MAT.T.1.ExSynthese.circuit_electro_retoucheok

Par exemple, l’impédance d’une résistance pure est représentée par le nombre réel ZR=R\text{Z}_{\mathrm{R}}=\mathrm{R}. C’est le seul composant à avoir une impédance réelle, tandis que l’impédance d’une bobine d’inductance L\text{L} est représentée par le nombre complexe ZL=iLω\text{Z}_{\mathrm{L}}=\mathrm{iL} \omegaω\omega désigne la pulsation du signal et dépend de l’intensité du courant présent dans le circuit.
Lorsqu’ils sont montés en parallèle, ces composants peuvent être remplacés par un composant unique associé à l’impédance Z\text{Z} vérifiant 1Z=1ZR+1ZL.\dfrac{1}{\mathrm{Z}}=\dfrac{1}{\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}}+\dfrac{1}{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}.
Donner la forme algébrique de l’impédance Z\text{Z} en fonction de R\text{R}, de L\text{ L} et de ω\omega.



À SAVOIR

En électricité, le nombre complexe i\text{ i} est noté j\text{j} pour qu’il n’y ait pas de confusion avec l’intensité du courant.

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145
[Calculer, Chercher.]
Suite de nombres complexes

Soient α\alpha et β\beta deux nombres réels. On définit une suite récurrente d’ordre 22 par la donnée de u0u_0, de u1u_1 et de la relation de récurrence (1):un+2=αun+1+βun(1): u_{n+2}=\alpha u_{n+1}+\beta u_{n}, valable pour tout entier naturel nn.

1. a. Soit rr un nombre complexe non nul et (un)(u_n) la suite définie pour tout entier naturel nn par un=rnu_n = r^n.
Montrer que si (un)(u_n) vérifie la relation (1)(1), alors rr est solution de l’équation (2):r2αrβ=0\text {(2)}: r^{2}-\alpha r-\beta=0.


b. On suppose que r1r_1 et r2r_2 sont les solutions dans C\mathbb{C} de l’équation (2)(2).
Montrer que s’il existe λ\lambda et μ\mu dans C\mathbb{C} tels que, pour tout entier naturel nn, un=λr1n+μr2nu_{n}=\lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n}, alors la suite (un)(u_n) vérifie la relation (1)(1).


2. On admet que si une suite (un)(u_n) vérifie la relation (1)(1), alors il existe deux nombres complexes λ\lambda et μ\mu tels que, pour tout entier naturel nn, un=λr1n+μr2nu_{n}=\lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n}, où r1r_1 et r2r_2 désignent les solutions de l’équation r2=αr+βr^{2}=\alpha r+\beta.
Soit (vn)(v_n) la suite définie pour tout entier naturel nn par : {v0=1 ; v1=2vn+2=4vn+15vn\left\{\begin{aligned}v_{0}&=1 ; v_{1}=2 \\ v_{n+2}&=4 v_{n+1}-5 v_{n}\end{aligned}\right..
Exprimer, pour tout entier naturel nn, vnv_n en fonction de nn.
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146
GEOGEBRA
TABLEUR
[Représenter, Communiquer.]
On munit le plan d’un repère orthonormé (O ; u , v)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
Pour tout nombre complexe zz, on définit le nombre complexe f(z)=12(1i)z+1212if(z)=\dfrac{1}{2}(1-\mathrm{i}) z+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}.
On pose z0=2+iz_{0}=2+\mathrm{i} et, pour tout entier naturel nn, zn+1=f(zn)z_{n+1}=f\left(z_{n}\right).
On écrit, pour tout entier naturel nn, zn=xn+iynz_{n}=x_{n}+\mathrm{i} y_{n} avec xnx_n et yny_n réels. On a ainsi x0=2x_0 =2 et y0=1y_0 = 1.
Pour tout entier naturel nn, on appelle Pn\mathrm{P}_{n} le point de coordonnées (xn ; yn)(x_n ; y_n) dans le repère.

1. a. Calculer z1z_1 et z2z_2 et en déduire les coordonnées des points P1\mathrm{P}_{1} et P2\mathrm{P}_{2}.


b. Pour tout entier naturel nn non nul, exprimer xn+1x_{n+1} et yn+1y_{n+1} en fonction de xnx_n et yny_n.


2. a. À l’aide du tableur de GeoGebra, représenter dans le repère les points Pn\mathrm{P}_{n} pour nn allant de 00 à 3030.

Aide
Après avoir complété le tableur avec deux colonnes xnx_n et yny_n, sélectionner toutes les valeurs, faire un clic droit et choisir « Créer liste de points ».


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b. Qu’observe‑t‑on ?


3. Soit J\text{J} le point de coordonnées (0 ;1)(0 ;-1). On définit, pour tout entier naturel nn, la suite (dn)(d_n) par dn=JPnd_{n}=\mathrm{JP}_{n}.
a. Pour tout entier naturel nn, exprimer dnd_n en fonction de xnx_n et yny_n.


b. À l’aide d’un tableur ou de GeoGebra, représenter le nuage de points de coordonnées (n ; dn)(n ; d_n) dans un repère orthonormé. Qu’observe‑t‑on ?


c. Conjecturer la limite de la suite (dn)(d_n).


4. a. Montrer qu’il existe un unique nombre complexe ω\omega tel que f(ω)=ωf(\omega)=\omega.


b. Comment peut‑on interpréter les observations faites à la question 2. b. sur les points Pn\mathrm{P}_n ?
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147
[Raisonner, Représenter.]
Suite de nombres complexes

Soit α\alpha un nombre complexe non nul et différent de 11.
On définit la suite (zn)(z_n) de nombres complexes par z0=0z_{0}=0 et, pour tout entier naturel nn, zn+1=αzniz_{n+1}=\alpha z_{n}-\mathrm{i}.

1. a. Calculer z1z_1, z2z_2 et z3z_3 en fonction de α\alpha.


b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, zn=1αnα1×iz_{n}=\dfrac{1-\alpha^{n}}{\alpha-1} \times \mathrm{i}.


2. Uniquement dans cette question, on pose α=i\alpha=\mathrm{i}.
a. Montrer que z4=0z_4 = 0.


b. Pour tout entier naturel nn, exprimer zn+4z_{n+4} en fonction de nn, puis en fonction de znz_n.


c. On munit le plan d’un repère orthonormé (O ; u , v)(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v}).
On pose, pour tout entier naturel nn, zn=xn+iynz_{n}=x_{n}+\mathrm{i} y_{n} et on appelle Pn\mathrm{P}_n les points de coordonnées (xn ; yn)(x_n ; y_n).
Placer les points P0\mathrm{P}_0, P1\mathrm{P}_1, P2\mathrm{P}_2, P3\mathrm{P}_3 et P4\mathrm{P}_4 dans le repère.

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148
APPROFONDISSEMENT
[Chercher, Calculer.]
Partie A : Formules de Viète, cas n=3\boldsymbol{n = 3}
On considère un polynôme P\text{P} de degré 33 à coefficients réels défini dans C\mathbb{C} par P(z)=α3z3+α2z2+α1z+α0\mathrm{P}(z)=\alpha_{3} z^{3}+\alpha_{2} z^{2}+\alpha_{1} z+\alpha_{0}, où α3\alpha_3, α2\alpha_2, α1\alpha_1 et α0\alpha_0 sont réels tels que α30\alpha_3 \neq 0.
On appelle z1z_1, z2z_2 et z3z_3 ses trois racines dans C\mathbb{C}, éventuellement confondues.

1. Factoriser P\text{P} en produit de facteurs de degré 11.


2. Montrer que z1+z2+z3=α2α3z_{1}+z_{2}+z_{3}=-\dfrac{\alpha_{2}}{\alpha_{3}} et z1z2z3=α0α3z_{1} z_{2} z_{3}=-\dfrac{\alpha_{0}}{\alpha_{3}}.


Partie B : Formules de Viète, cas n=4\boldsymbol{n = 4}
On considère un polynôme P\text{P} de degré 44 à coefficients réels défini dans C\mathbb{C} par P(z)=α4z4+α3z3+α2z2+α1z+α0\mathrm{P}(z)=\alpha_{4} z^{4}+\alpha_{3} z^{3}+\alpha_{2} z^{2}+\alpha_{1} z+\alpha_{0}, où α4\alpha_4, α3\alpha_3, α2\alpha_2, α1\alpha_1 et α0\alpha_0 sont réels tels que α40\alpha_4 \neq 0.
On appelle z1z_1, z2z_2, z3z_3 et z4z_4 ses quatre racines dans C\mathbb{C}, éventuellement confondues.
Montrer que z1+z2+z3+z4=α3α4z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=-\dfrac{\alpha_{3}}{\alpha_{4}} et z1z2z3z4=α0α4z_{1} z_{2} z_{3} z_{4}=\dfrac{\alpha_{0}}{\alpha_{4}}.


Partie C : Formules de Viète, cas général
Soient nn un entier naturel non nul et P\text{P} un polynôme de degré nn à coefficients réels défini dans C\mathbb{C} par P(z)=αnzn++α0\mathrm{P}(z)=\alpha_{n} z^{n}+\ldots+\alpha_{0}.
On admet qu’un tel polynôme admet nécessairement nn racines z1 ;  ; znz_{1} ; \ldots ; z_{n} (éventuellement confondues).

1. Justifier que, pour tout zCz \in \mathbb{C}, on a P(z)=αn(zz1)(zzn)\mathrm{P}(z)=\alpha_{n}\left(z-z_{1}\right) \ldots\left(z-z_{n}\right).


2. Démontrer les formules de Viète explicitées dans le cours.
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149
APPROFONDISSEMENT
[Chercher, Communiquer.]
Résolution par radicaux des équations de degré 3

Partie A  : Retour sur la méthode de Cardan

On considère l’équation (E):x3+px=q(\mathrm{E}): x^{3}+p x=qpp et qq sont réels.
On souhaite obtenir une méthode pour calculer une solution réelle xx d’une équation de cette forme.
On cherche xx sous la forme x=u+vx = u + v avec uu et vv réels.

1. Montrer que si x=u+vx = u + v, alors x3=u3+v3+3u×v×xx^{3}=u^{3}+v^{3}+3 u \times v \times x.


2. En déduire que si on obtient des réels uu et vv tels que {u3+v3=qu×v=p3\left\{\begin{aligned} u^{3}+v^{3} &=q \\ u \times v &=-\dfrac{p}{3} \end{aligned}\right. alors x=u+vx = u + v est une solution de (E)(\mathrm{E}).


3. a. On pose s=u3s = u^3 et t=v3t = v^3.
Montrer que les systèmes {u3+v3=qu×v=p3\left\{\begin{aligned} u^{3}+v^{3} &=q \\ u \times v &=-\dfrac{p}{3} \end{aligned}\right. et {s2qsp327=0t=qs\left\{\begin{aligned} s^{2}-q s-\dfrac{p^{3}}{27} &=0 \\ t &=q-s \end{aligned}\right. sont équivalents.


b. Expliquer comment obtenir une solution xx cherchée.


4. Application : Avec la méthode de Cardan, trouver la solution réelle positive de l’équation x3+24x=56x^{3}+24 x=56.


5. Peut‑on appliquer la méthode de Cardan à l’équation de Bombelli x315x4=0x^{3}-15 x-4=0 ? Justifier.


Partie B : Résolution d’une équation de degré 3
Soient aa, bb, cc et dd quatre nombres réels avec a0a \neq 0. On considère l’équation (E):ax3+bx2+cx+d=0\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0.

1. On pose x=Xb3ax=\mathrm{X}-\dfrac{b}{3 a}.
Montrer que résoudre l’équation (E)(\mathrm{E}^{\prime}) équivaut à résoudre X3+pX=0=q\mathrm{X}^{3}+p \mathrm{X}=0=qpp et qq sont deux réels qu’on exprimera en fonction de aa, bb, cc et dd.


2. Application : En utilisant la question 1. puis la partie A (méthode de Cardan), résoudre l’équation x32x2+x2=0x^{3}-2 x^{2}+x-2=0.
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150
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Raisonner.]
Partie A : Racine carrée d’un nombre complexe
Soit α=a+ib\alpha=a+\mathrm{i} b un nombre complexe, où aa et bb sont réels. On cherche à déterminer s’il existe un nombre complexe zz tel que z2=α.z^{2}=\alpha.
On pose z=x+iyz=x+\mathrm{i} y, où xx et yy sont deux réels.

1. Montrer que si zz est une solution de l’équation z2=αz^{2}=\alpha, alors il en est de même de z-z.


2. Montrer que zz est solution de z2=αz^{2}=\alpha si, et seulement si,x x et yy vérifient le système suivant :
{x2y2=a2xy=bx2+y2=a2+b2\left\{\begin{aligned} x^{2}-y^{2} &=a \\ 2 x y &=b \\ x^{2}+y^{2} &=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \end{aligned}\right..


3. a. Montrer que si b>0b > 0, alors une solution de l’équation z2=αz^{2}=\alpha est donnée par
12(a+a2+b2)+i12(a2+b2a)\sqrt{\dfrac{1}{2}(a+\sqrt{a^{2}+b^{2}})}+\mathrm{i} \sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}.
Déterminer une deuxième solution de l’équation étudiée.


b. Montrer que si b<0b \lt 0, alors une solution de l’équation z2=αz^{2}=\alpha est donnée par
12(a+a2+b2)i12(a2+b2a)\sqrt{\dfrac{1}{2}(a+\sqrt{a^{2}+b^{2}})}-\mathrm{i} \sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}.
Déterminer une deuxième solution de l’équation dans ce cas.


4. À l’aide de la question 2., déterminer tous les nombres complexes zz tels que :
a. z2=2iz^{2}=2 \mathrm{i}


b. z2=34iz^{2}=3-4 \mathrm{i}


Partie B : Résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes
Soient aa, bb et cc trois nombres complexes avec a0a \neq 0. On souhaite résoudre dans C\mathbb{C} l’équation az2+bz+c=0a z^{2}+b z+c=0.

1. Montrer que résoudre l’équation az2+bz+c=0a z^{2}+b z+c=0 équivaut à résoudre l’équation a(z+b2a)2Δ4a=0a\left(z+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a}=0 en posant Δ=b24ac\Delta=b^{2}-4a c.


2. Soit δC\delta \in \mathbb{C} tel que δ2=Δ\delta^{2}=\Delta.
Montrer que les solutions de l’équation az2+bz+c=0a z^{2}+b z+c=0 sont données par bδ2a\dfrac{-b-\delta}{2 a} et b+δ2a\dfrac{-b+\delta}{2 a}.


3. Application : Résoudre dans C\mathbb{C} l’équation : z2+(3i4)z+17i=0z^{2}+(3 \mathrm{i}-4) z+1-7 \mathrm{i}=0.
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Expertes
;  ;  ;  ;  ;  et  p.238

Le Grand Oral

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Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d’appui à des questions de Grand Oral.
Voici un exemple, basé sur l’enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.

1. Sur la formule du binôme de Newton
Rappeler l’énoncé de la formule du binôme de Newton dans C\mathbb{C}.
Démontrer cette formule en utilisant des arguments de dénombrement et de combinatoire.


2. Sur la résolution des équations du second degré
Rappeler une expression des solutions de l’équation à coefficients réels az2+bz+c=0a z^{2}+b z+c=0 (a0a \neq 0) lorsque Δ<0\Delta\lt0.
Ces résultats s’utilisent lors de l’étude de suites linéaires récurrentes d’ordre 2 (aun+2=bun+1+cuna u_{n+2}=b u_{n+1}+c u_{n}) et dans l’étude des équations différentielles linéaires d’ordre 2 (af+bf+cf=0a f^{\prime \prime}+b f^{\prime}+c f=0).
Se renseigner sur ces méthodes de résolution et exposer un exemple au jury.


Méthodologie
Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 244
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