[Calculer, Communiquer.]
On considère le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(z)=z4−8z3+41z2−128z+400.
1. Montrer que si z est une racine du polynôme P, alors son conjugué z en est aussi une.
2.a. Soit b un réel. Déterminer P(ib) en fonction de b puis l’écrire sous forme algébrique .
b. Montrer que le polynôme P admet exactement deux racines imaginaires pures dans C et les calculer.
3. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, P(z)=(z2+16)(az2+bz+c).
4. Résoudre dans C l’équation P(z)=0.
136
[Calculer, Chercher.] 1. On considère le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(u)=u4−1.
a. Factoriser le polynôme P dans C en produit de facteurs du premier degré à coefficients complexes.
b. En déduire les solutions dans C de l’équation P(u)=0.
2. On considère l’équation (E):(z−21−2z)4=1.
En utilisant les résultats de la question 1.b., résoudre l’équation (E) dans C.
137
[Calculer, Chercher.] 1. On considère le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(z)=z6−1.
a. Factoriser l’expression u3−v3 pour tous nombres complexes u et v.
b. En remarquant que z6=(z2)3, déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout z∈C, P(z)=(z2−1)(az4+bz2+c).
2.a. Calculer (21+i23)2 et (21−i23)2.
b. En déduire les six racines dans C du polynôme P.
138
[Calculer, Raisonner.] 1. On considère l’équation du second degré à coefficients complexes :
(E):z2−(6+2i)z+7+6i=0.
a. Montrer que, pour tout nombre complexe z,
z2−(6+2i)z=(z−(3+i))2−8−6i.
b. En déduire que l’équation (E) équivaut à (z−(3+i))2=1.
c. Résoudre alors l’équation (E) dans C.
2. En appliquant une méthode analogue, résoudre dans C l’équation du second degré à coefficients complexes :
(E′):z2+(2+4i)z+6+4i=0.
139
[Calculer, Chercher.]
On considère l’équation à coefficients complexes :
(E):2z2−(1+6i)z+3i=0.
1. Démontrer que l’équation (E) admet un unique nombre imaginaire pur comme solution et le déterminer.
2. L’équation (E) admet‑elle comme solution un nombre réel ? Justifier
3. Résoudre (E) dans C.
140
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé (O;u,v). On appelle A le point de coordonnées (2;0).
À tout nombre complexe z=2, on associe le nombre complexe z′=2−z2−iz.
On écrit z=x+iy et z′=x′+iy′ où x, y, x′ et y′ sont des nombres réels.
Soit M(x;y) un point du plan distinct de A et M′(x′;y′) le point qui lui est associé par la transformation z↦z′.
Le but de l’exercice est de déterminer la nature de l’ensemble des points M quand z′ vérifie certaines conditions.
1. Soit B le point de coordonnées (2;1).
Déterminer les coordonnées (x′;y′) du point B′, image du point B par la transformation définie précédemment.
2. Soit C′ le point de coordonnées (1;2).
Déterminer les coordonnées (x;y) du point C dont l’image est le point C′.
3. Calculer z′ sous forme algébrique et exprimer sa partie réelle x′ et sa partie imaginaire y′ en fonction de x et y.
4. Déterminer une équation de l’ensemble E1 des points M(x;y), distincts de A, tels que z′ soit un réel et préciser sa nature.
5. Déterminer une équation de l’ensemble E2 des points M(x;y), distincts de A, tels que z′ soit un imaginaire
pur et préciser sa nature.
141
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé (O;u,v). On appelle J le point de coordonnées (0;1).
À tout nombre complexe z=i, on associe le nombre complexe z′=i−ziz.
On écrit z=x+iy et z′=x′+iy′ où x, y, x′ et y′ sont
quatre nombres réels.
Soit M(x;y) un point du plan distinct de J et M′(x′;y′) le point qui lui est associé par la transformation z↦z′.
1. Déterminer les éventuels points M(x;y) du plan pour lesquels M′ et M sont confondus.
2. Déterminer les coordonnées du point I′ associé au point I(1;0).
3. Déterminer les coordonnées du point A tel que le point associé A′ ait pour coordonnées (2;0).
4. Déterminer une équation de l’ensemble E1 des points M(x;y), distincts de J, tels que z′ soit un réel et préciser sa nature.
5. Déterminer une équation de l’ensemble E2 des points M(x;y), distincts de J, tels que z′ soit un imaginaire
pur et préciser sa nature.
142
DEVOIR MAISON
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé (O;u,v).
À tout nombre complexe z, on associe le nombre complexe z′=z×z+12i−z2.
On écrit z=x+iy et z′=x′+iy′ où x, y, x′ et y′ sont quatre réels.
Soit M(x;y) un point du plan et M′(x′;y′) le point qui lui est associé par la transformation z↦z′.
1. Justifier que le nombre complexe z′ est défini pour tout z∈C.
2. Existe‑t‑il des valeurs de z telles que z′ soit égal à 1 ? Justifier.
3.a. Démontrer que z′ est réel si, et seulement si, (z−z)(z+z)=4i.
b. Déterminer l’ensemble E1 des points M(x;y) tels que z′ soit un réel.
4. Déterminer l’ensemble E2 des points M(x;y) tels que z′ soit un imaginaire pur.
143
[Chercher, Représenter.] Équation à paramètre
On considère le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(z)=z2−2z+9.
1. Résoudre dans C l’équation P(z)=6.
2. Soit m un réel. On considère l’équation (E):P(z)=m d’inconnue z dans C.
Pour quelles valeurs de m l’équation (E) admet‑elle deux solutions complexes conjuguées ? Justifier.
3. On munit le plan d’un repère orthonormé (O;u,v).
On écrit z=x+iy et z′=P(z)=x′+iy′ où x, y, x′ et y′ désignent quatre réels.
a. Exprimer la forme algébrique de P(z) en fonction de x et y.
b. Déterminer l’ensemble E des points M(x;y) tels que z′ soit un réel.
144
EN ÉLECTRONIQUE
[Calculer, Modéliser.]
On représente parfois les résistances de certains composants électroniques par des nombres complexes.
Par exemple, l’impédance d’une résistance pure est représentée par le nombre réel ZR=R. C’est le seul composant à avoir une impédance réelle, tandis que l’impédance d’une bobine d’inductance L est représentée par le nombre complexe ZL=iLω où ω désigne la pulsation du signal et dépend de l’intensité du courant présent dans le circuit.
Lorsqu’ils sont montés en parallèle, ces composants peuvent être remplacés par un composant unique associé à l’impédance Z vérifiant Z1=ZR1+ZL1.
Donner la forme algébrique de l’impédance Z en fonction de R, de L et de ω.
À SAVOIR
En électricité, le nombre complexe i est noté j pour qu’il n’y ait pas de confusion avec l’intensité du courant.
145
[Calculer, Chercher.] Suite de nombres complexes
Soient α et β deux nombres réels. On définit une suite récurrente d’ordre 2 par la donnée de u0, de u1 et de la relation de récurrence (1):un+2=αun+1+βun, valable pour tout entier naturel n.
1.a. Soit r un nombre complexe non nul et (un) la suite
définie pour tout entier naturel n par un=rn.
Montrer que si (un) vérifie la relation (1), alors r est solution de l’équation (2):r2−αr−β=0.
b. On suppose que r1 et r2 sont les solutions dans C de l’équation (2).
Montrer que s’il existe λ et μ dans C tels que, pour tout entier naturel n, un=λr1n+μr2n, alors la suite (un) vérifie la relation (1).
2. On admet que si une suite (un) vérifie la relation (1), alors il existe deux nombres complexes λ et μ tels que, pour tout entier naturel n, un=λr1n+μr2n, où r1 et r2 désignent les solutions de l’équation r2=αr+β.
Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par : {v0vn+2=1;v1=2=4vn+1−5vn.
Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.
146
GEOGEBRA
TABLEUR
[Représenter, Communiquer.]
On munit le plan d’un repère orthonormé (O;u,v).
Pour tout nombre complexe z, on définit le nombre complexe f(z)=21(1−i)z+21−21i.
On pose z0=2+i et, pour tout entier naturel n, zn+1=f(zn).
On écrit, pour tout entier naturel n, zn=xn+iyn avec xn et yn réels. On a ainsi x0=2 et y0=1.
Pour tout entier naturel n, on appelle Pn le point de coordonnées (xn;yn) dans le repère.
1.a. Calculer z1 et z2 et en déduire les coordonnées des points P1 et P2.
b. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer xn+1 et yn+1 en fonction de xn et yn.
2.a. À l’aide du tableur de GeoGebra, représenter dans le repère les points Pn pour n allant de 0 à 30.
Aide
Après avoir complété le tableur avec deux colonnes xn et yn, sélectionner toutes les valeurs, faire un clic droit et choisir « Créer liste de points ».
Lancer le module Geogebra
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b. Qu’observe‑t‑on ?
3. Soit J le point de coordonnées (0;−1). On définit, pour tout entier naturel n, la suite (dn) par dn=JPn.
a. Pour tout entier naturel n, exprimer dn en fonction de xn et yn.
b. À l’aide d’un tableur ou de GeoGebra, représenter le nuage de points de coordonnées (n;dn) dans un repère orthonormé. Qu’observe‑t‑on ?
c. Conjecturer la limite de la suite (dn).
4.a. Montrer qu’il existe un unique nombre complexe ω tel que f(ω)=ω.
b. Comment peut‑on interpréter les observations faites à la question 2.b. sur les points Pn ?
147
[Raisonner, Représenter.] Suite de nombres complexes
Soit α un nombre complexe non nul et différent de 1.
On définit la suite (zn) de nombres complexes par z0=0 et, pour tout entier naturel n, zn+1=αzn−i.
1.a. Calculer z1, z2 et z3 en fonction de α.
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, zn=α−11−αn×i.
2. Uniquement dans cette question, on pose α=i.
a. Montrer que z4=0.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer zn+4 en fonction de n, puis en fonction de zn.
c. On munit le plan d’un repère orthonormé (O;u,v).
On pose, pour tout entier naturel n, zn=xn+iyn et on appelle Pn les points de coordonnées (xn;yn).
Placer les points P0, P1, P2, P3 et P4 dans le repère.
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148
APPROFONDISSEMENT
[Chercher, Calculer.] Partie A : Formules de Viète, cas n=3
On considère un polynôme P de degré 3 à coefficients réels défini dans C par P(z)=α3z3+α2z2+α1z+α0, où α3, α2, α1 et α0 sont réels tels que α3=0.
On appelle z1, z2 et z3 ses trois racines dans C, éventuellement confondues.
1. Factoriser P en produit de facteurs de degré 1.
2. Montrer que z1+z2+z3=−α3α2 et z1z2z3=−α3α0.
Partie B : Formules de Viète, cas n=4
On considère un polynôme P de degré 4 à coefficients réels défini dans C par P(z)=α4z4+α3z3+α2z2+α1z+α0, où α4, α3, α2, α1 et α0 sont réels tels que α4=0.
On appelle z1, z2, z3 et z4 ses quatre racines dans C, éventuellement confondues.
Montrer que z1+z2+z3+z4=−α4α3 et z1z2z3z4=α4α0.
Partie C : Formules de Viète, cas général
Soient n un entier naturel non nul et P un polynôme de degré n à coefficients réels défini dans C par P(z)=αnzn+…+α0.
On admet qu’un tel polynôme admet nécessairement n racines z1;…;zn (éventuellement confondues).
1. Justifier que, pour tout z∈C, on a P(z)=αn(z−z1)…(z−zn).
2. Démontrer les formules de Viète explicitées dans le cours.
149
APPROFONDISSEMENT
[Chercher, Communiquer.] Résolution par radicaux des équations de degré 3
Partie A : Retour sur la méthode de Cardan
On considère l’équation (E):x3+px=q où p et q sont réels.
On souhaite obtenir une méthode pour calculer une solution réelle x d’une équation de cette forme.
On cherche x sous la forme x=u+v avec u et v réels.
1. Montrer que si x=u+v, alors x3=u3+v3+3u×v×x.
2. En déduire que si on obtient des réels u et v tels que ⎩⎪⎨⎪⎧u3+v3u×v=q=−3p alors x=u+v est une solution de (E).
3.a. On pose s=u3 et t=v3.
Montrer que les systèmes ⎩⎪⎨⎪⎧u3+v3u×v=q=−3p et ⎩⎪⎨⎪⎧s2−qs−27p3t=0=q−s sont équivalents.
b. Expliquer comment obtenir une solution x cherchée.
4.Application : Avec la méthode de Cardan, trouver la solution réelle positive de l’équation x3+24x=56.
5. Peut‑on appliquer la méthode de Cardan à l’équation de Bombelli x3−15x−4=0 ? Justifier.
Partie B : Résolution d’une équation de degré 3
Soient a, b, c et d quatre nombres réels avec a=0. On considère l’équation (E′):ax3+bx2+cx+d=0.
1. On pose x=X−3ab.
Montrer que résoudre l’équation (E′) équivaut à résoudre X3+pX=0=q où p et q sont deux réels qu’on exprimera en fonction de a, b, c et d.
2.Application : En utilisant la question 1. puis la partie A (méthode de Cardan), résoudre l’équation x3−2x2+x−2=0.
150
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Raisonner.] Partie A : Racine carrée d’un nombre complexe
Soit α=a+ib un nombre complexe, où a et b sont réels. On cherche à déterminer s’il existe un nombre complexe z tel que z2=α.
On pose z=x+iy, où x et y sont deux réels.
1. Montrer que si z est une solution de l’équation z2=α, alors il en est de même de −z.
2. Montrer que z est solution de z2=α si, et seulement si,x et y vérifient le système suivant :
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x2−y22xyx2+y2=a=b=a2+b2.
3.a. Montrer que si b>0, alors une solution de l’équation z2=α est donnée par
21(a+a2+b2)+i21(a2+b2−a).
Déterminer une deuxième solution de l’équation étudiée.
b. Montrer que si b<0, alors une solution de l’équation z2=α est donnée par
21(a+a2+b2)−i21(a2+b2−a).
Déterminer une deuxième solution de l’équation dans ce cas.
4. À l’aide de la question 2., déterminer tous les nombres complexes z tels que :
a.z2=2i
b.z2=3−4i
Partie B : Résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes
Soient a, b et c trois nombres complexes avec a=0. On souhaite résoudre dans C l’équation az2+bz+c=0.
1. Montrer que résoudre l’équation az2+bz+c=0 équivaut à résoudre l’équation a(z+2ab)2−4aΔ=0 en posant Δ=b2−4ac.
2. Soit δ∈C tel que δ2=Δ.
Montrer que les solutions de l’équation az2+bz+c=0 sont données par 2a−b−δ et 2a−b+δ.
3.Application : Résoudre dans C l’équation : z2+(3i−4)z+1−7i=0.
Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d’appui à des questions de Grand Oral.
Voici un exemple, basé sur l’enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.
1.Sur la formule du binôme de Newton
Rappeler l’énoncé de la formule du binôme de Newton dans C.
Démontrer cette formule en utilisant des arguments de dénombrement et de combinatoire.
2.Sur la résolution des équations du second degré
Rappeler une expression des solutions de l’équation à coefficients réels az2+bz+c=0 (a=0) lorsque Δ<0.
Ces résultats s’utilisent lors de l’étude de suites linéaires récurrentes d’ordre 2 (aun+2=bun+1+cun) et dans l’étude des équations différentielles linéaires d’ordre 2 (af′′+bf′+cf=0).
Se renseigner sur ces méthodes de résolution et exposer un exemple au jury.