Synthèse

135

[Calculer, Communiquer.]
On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^{4}-8 z^{3}+41 z^{2}-128 z+400$.

1. Montrer que si $z$ est une racine du polynôme $\text{P}$, alors son conjugué $\overline z$ en est aussi une.


2. a. Soit $b$ un réel. Déterminer $\mathrm{P}(\mathrm{i} b)$ en fonction de $b$ puis l’écrire sous forme algébrique .


b. Montrer que le polynôme $\text{P}$ admet exactement deux racines imaginaires pures dans $\mathbb{C}$ et les calculer.


3. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=\left(z^{2}+16\right)\left(a z^{2}+b z+c\right).$


4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $\mathrm{P}(z)=0$.

136

[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(u)=u^{4}-1$.
a. Factoriser le polynôme $\text{P}$ dans $\mathbb{C}$ en produit de facteurs du premier degré à coefficients complexes.


b. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $\mathrm{P}(u)=0$.


2. On considère l’équation $(\mathrm{E}):\left(\dfrac{1-2 z}{z-2}\right)^{4}=1$.
En utilisant les résultats de la question 1. b., résoudre l’équation $(\mathrm{E})$ dans $\mathbb{C}$.

137

[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^{6}-1$.
a. Factoriser l’expression $u^3 - v^3$ pour tous nombres complexes $u$ et $v$.


b. En remarquant que $z^{6}=\left(z^{2}\right)^{3}$, déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $z \in \mathbb{C}$, $\mathrm{P}(z)=\left(z^{2}-1\right)\left(a z^{4}+b z^{2}+c\right)$.


2. a. Calculer $\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$ et $\left(\dfrac{1}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$.


b. En déduire les six racines dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$.

138

[Calculer, Raisonner.]
1. On considère l’équation du second degré à coefficients complexes : $(\mathrm{E}): z^{2}-(6+2 \mathrm{i}) z+7+6 \mathrm{i}=0$.
a. Montrer que, pour tout nombre complexe $z$, $z^{2}-(6+2 \mathrm{i}) z=(z-(3+\mathrm{i}))^{2}-8-6 \mathrm{i}$.

b. En déduire que l’équation $(\mathrm{E})$ équivaut à $(z-(3+\mathrm{i}))^{2}=1$.


c. Résoudre alors l’équation $(\mathrm{E})$ dans $\mathbb{C}$.


2. En appliquant une méthode analogue, résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation du second degré à coefficients complexes : $\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): z^{2}+(2+4 \mathrm{i}) z+6+4 \mathrm{i}=0$.

139

[Calculer, Chercher.]
On considère l’équation à coefficients complexes : $(\mathrm{E}): 2 z^{2}-(1+6 \mathrm{i}) z+3 \mathrm{i}=0$.
1. Démontrer que l’équation $(\mathrm{E})$ admet un unique nombre imaginaire pur comme solution et le déterminer.


2. L’équation $(\mathrm{E})$ admet‑elle comme solution un nombre réel ? Justifier


3. Résoudre $(\mathrm{E})$ dans $\mathbb{C}$.

140

[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé $(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})$. On appelle $\text{A}$ le point de coordonnées $(2 ; 0)$.
À tout nombre complexe $z \neq 2$, on associe le nombre complexe $z^{\prime}=\dfrac{2-\mathrm{i} z}{2-z}$.
On écrit $z=x+\mathrm{i} y$ et $z^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime}$ où $x$, $y$, $x^\prime$ et $y^\prime$ sont des nombres réels.
Soit $\mathrm{M}(x ; y)$ un point du plan distinct de $\text{A}$ et $\mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ le point qui lui est associé par la transformation $z \mapsto z^{\prime}.$
Le but de l’exercice est de déterminer la nature de l’ensemble des points $\text{M}$ quand $z^\prime$ vérifie certaines conditions.

1. Soit $\text{B}$ le point de coordonnées $(2 ; 1)$.
Déterminer les coordonnées $\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ du point $\mathrm{B}^\prime$, image du point $\text{B}$ par la transformation définie précédemment.


2. Soit $\mathrm{C}^\prime$ le point de coordonnées $(1 ; 2)$.
Déterminer les coordonnées $(x ; y)$ du point $\text{C}$ dont l’image est le point $\mathrm{C}^\prime$.


3. Calculer $z^\prime$ sous forme algébrique et exprimer sa partie réelle $x^\prime$ et sa partie imaginaire $y^\prime$ en fonction de $x$ et $y$.


4. Déterminer une équation de l’ensemble $\mathrm{E}_{1}$ des points $\mathrm{M}(x ; y)$, distincts de $\text{A}$, tels que $z^\prime$ soit un réel et préciser sa nature.


5. Déterminer une équation de l’ensemble $\mathrm{E}_{2}$ des points $\mathrm{M}(x ; y)$, distincts de $\text{A}$, tels que $z^\prime$ soit un imaginaire pur et préciser sa nature.

141

[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé $(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})$. On appelle $\text{J}$ le point de coordonnées $(0 ; 1)$.
À tout nombre complexe $z \neq \mathrm{i}$, on associe le nombre complexe $z^{\prime}=\dfrac{\mathrm{i} z}{\mathrm{i}-z}$.
On écrit $z=x+\mathrm{i} y$ et $z^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime}$ où $x$, $y$, $x^\prime$ et $y^\prime$ sont quatre nombres réels.
Soit $\mathrm{M}(x ; y)$ un point du plan distinct de $\text{J}$ et $\mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ le point qui lui est associé par la transformation $z \mapsto z^{\prime}$.

1. Déterminer les éventuels points $\mathrm{M}(x ; y)$ du plan pour lesquels $\mathrm{M}^\prime$ et $\text{M}$ sont confondus.


2. Déterminer les coordonnées du point $\mathrm{I}^\prime$ associé au point $\mathrm{I}(1 ; 0)$.


3. Déterminer les coordonnées du point$\text{ A}$ tel que le point associé $\mathrm{A}^\prime$ ait pour coordonnées $(2 ; 0)$.


4. Déterminer une équation de l’ensemble $\mathrm{E}_{1}$ des points $\mathrm{M}(x ; y)$, distincts de $\text{J}$, tels que $z^\prime$ soit un réel et préciser sa nature.


5. Déterminer une équation de l’ensemble $\mathrm{E}_{2}$ des points $\mathrm{M}(x ; y)$, distincts de $\text{J}$, tels que $z^\prime$ soit un imaginaire pur et préciser sa nature.

142

DEVOIR MAISON

[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé $(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})$.
À tout nombre complexe $z$, on associe le nombre complexe $z^{\prime}=\dfrac{2 \mathrm{i}-z^{2}}{z \times \overline{z}+1}$.
On écrit $z=x+\mathrm{i} y$ et $z^{\prime}=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime}$ où $x$, $y$, $x^\prime$ et $y^\prime$ sont quatre réels.
Soit $\mathrm{M}(x ; y)$ un point du plan et $\mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ le point qui lui est associé par la transformation $z \mapsto z^{\prime}$.

1. Justifier que le nombre complexe $z^\prime$ est défini pour tout $z \in \mathbb{C}$.


2. Existe‑t‑il des valeurs de $z$ telles que $z^\prime$ soit égal à $1$ ? Justifier.


3. a. Démontrer que $z^\prime$ est réel si, et seulement si, $(z-\overline{z})(z+\overline{z})=4 \mathrm{i}$.


b. Déterminer l’ensemble $\mathrm{E}_{1}$ des points $\mathrm{M}(x ; y)$ tels que $z^\prime$ soit un réel.


4. Déterminer l’ensemble $\mathrm{E}_{2}$ des points $\mathrm{M}(x ; y)$ tels que $z^\prime$ soit un imaginaire pur.

143

[Chercher, Représenter.]
Équation à paramètre

On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^{2}-2 z+9$.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $\mathrm{P}(z)=6$.


2. Soit $m$ un réel. On considère l’équation $(\mathrm{E}): \mathrm{P}(z)=m$ d’inconnue $z$ dans $\mathbb{C}$.
Pour quelles valeurs de $m$ l’équation $(\mathrm{E})$ admet‑elle deux solutions complexes conjuguées ? Justifier.


3. On munit le plan d’un repère orthonormé $(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})$.
On écrit $z=x+\mathrm{i} y$ et $z^{\prime}=\mathrm{P}(z)=x^{\prime}+\mathrm{i} y^{\prime}$ où $x$, $y$, $x^{\prime}$ et $y^{\prime}$ désignent quatre réels.
a. Exprimer la forme algébrique de $\mathrm{P}(z)$ en fonction de $x$ et $y$.


b. Déterminer l’ensemble$\text{ E}$ des points $\mathrm{M}(x ; y)$ tels que $z^{\prime}$ soit un réel.

144

EN ÉLECTRONIQUE

[Calculer, Modéliser.]
On représente parfois les résistances de certains composants électroniques par des nombres complexes.

Par exemple, l’impédance d’une résistance pure est représentée par le nombre réel $\text{Z}_{\mathrm{R}}=\mathrm{R}$. C’est le seul composant à avoir une impédance réelle, tandis que l’impédance d’une bobine d’inductance $\text{L}$ est représentée par le nombre complexe $\text{Z}_{\mathrm{L}}=\mathrm{iL} \omega$ où $\omega$ désigne la pulsation du signal et dépend de l’intensité du courant présent dans le circuit.
Lorsqu’ils sont montés en parallèle, ces composants peuvent être remplacés par un composant unique associé à l’impédance $\text{Z}$ vérifiant $\dfrac{1}{\mathrm{Z}}=\dfrac{1}{\mathrm{Z}_{\mathrm{R}}}+\dfrac{1}{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}.$
Donner la forme algébrique de l’impédance $\text{Z}$ en fonction de $\text{R}$, de$\text{ L}$ et de $\omega$.

145

[Calculer, Chercher.]
Suite de nombres complexes

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels. On définit une suite récurrente d’ordre $2$ par la donnée de $u_0$, de $u_1$ et de la relation de récurrence $(1): u_{n+2}=\alpha u_{n+1}+\beta u_{n}$, valable pour tout entier naturel $n$.

1. a. Soit $r$ un nombre complexe non nul et $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = r^n$.
Montrer que si $(u_n)$ vérifie la relation $(1)$, alors $r$ est solution de l’équation $\text {(2)}: r^{2}-\alpha r-\beta=0$.


b. On suppose que $r_1$ et $r_2$ sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $(2)$.
Montrer que s’il existe $\lambda$ et $\mu$ dans $\mathbb{C}$ tels que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n}$, alors la suite $(u_n)$ vérifie la relation $(1)$.


2. On admet que si une suite $(u_n)$ vérifie la relation $(1)$, alors il existe deux nombres complexes $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=\lambda r_{1}^{n}+\mu r_{2}^{n}$, où $r_1$ et $r_2$ désignent les solutions de l’équation $r^{2}=\alpha r+\beta$.
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $\left\{\begin{aligned}v_{0}&=1 ; v_{1}=2 \\ v_{n+2}&=4 v_{n+1}-5 v_{n}\end{aligned}\right.$.
Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.

146

GEOGEBRA

TABLEUR

[Représenter, Communiquer.]
On munit le plan d’un repère orthonormé $(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})$.
Pour tout nombre complexe $z$, on définit le nombre complexe $f(z)=\dfrac{1}{2}(1-\mathrm{i}) z+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}$.
On pose $z_{0}=2+\mathrm{i}$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=f\left(z_{n}\right)$.
On écrit, pour tout entier naturel $n$, $z_{n}=x_{n}+\mathrm{i} y_{n}$ avec $x_n$ et $y_n$ réels. On a ainsi $x_0 =2$ et $y_0 = 1$.
Pour tout entier naturel $n$, on appelle $\mathrm{P}_{n}$ le point de coordonnées $(x_n ; y_n)$ dans le repère.

1. a. Calculer $z_1$ et $z_2$ et en déduire les coordonnées des points $\mathrm{P}_{1}$ et $\mathrm{P}_{2}$.


b. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.


2. a. À l’aide du tableur de GeoGebra, représenter dans le repère les points $\mathrm{P}_{n}$ pour $n$ allant de $0$ à $30$.




b. Qu’observe‑t‑on ?


3. Soit $\text{J}$ le point de coordonnées $(0 ;-1)$. On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $(d_n)$ par $d_{n}=\mathrm{JP}_{n}$.
a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $d_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.


b. À l’aide d’un tableur ou de GeoGebra, représenter le nuage de points de coordonnées $(n ; d_n)$ dans un repère orthonormé. Qu’observe‑t‑on ?


c. Conjecturer la limite de la suite $(d_n)$.


4. a. Montrer qu’il existe un unique nombre complexe $\omega$ tel que $f(\omega)=\omega$.


b. Comment peut‑on interpréter les observations faites à la question 2. b. sur les points $\mathrm{P}_n$ ?

147

[Raisonner, Représenter.]
Suite de nombres complexes

Soit $\alpha$ un nombre complexe non nul et différent de $1$.
On définit la suite $(z_n)$ de nombres complexes par $z_{0}=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=\alpha z_{n}-\mathrm{i}$.

1. a. Calculer $z_1$, $z_2$ et $z_3$ en fonction de $\alpha$.


b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $z_{n}=\dfrac{1-\alpha^{n}}{\alpha-1} \times \mathrm{i}$.


2. Uniquement dans cette question, on pose $\alpha=\mathrm{i}$.
a. Montrer que $z_4 = 0$.


b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+4}$ en fonction de $n$, puis en fonction de $z_n$.


c. On munit le plan d’un repère orthonormé $(\mathrm{O} ; \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v})$.
On pose, pour tout entier naturel $n$, $z_{n}=x_{n}+\mathrm{i} y_{n}$ et on appelle $\mathrm{P}_n$ les points de coordonnées $(x_n ; y_n)$.
Placer les points $\mathrm{P}_0$, $\mathrm{P}_1$, $\mathrm{P}_2$, $\mathrm{P}_3$ et $\mathrm{P}_4$ dans le repère.

148

APPROFONDISSEMENT

[Chercher, Calculer.]
Partie A : Formules de Viète, cas $\boldsymbol{n = 3}$
On considère un polynôme $\text{P}$ de degré $3$ à coefficients réels défini dans $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=\alpha_{3} z^{3}+\alpha_{2} z^{2}+\alpha_{1} z+\alpha_{0}$, où $\alpha_3$, $\alpha_2$, $\alpha_1$ et $\alpha_0$ sont réels tels que $\alpha_3 \neq 0$.
On appelle $z_1$, $z_2$ et $z_3$ ses trois racines dans $\mathbb{C}$, éventuellement confondues.

1. Factoriser $\text{P}$ en produit de facteurs de degré $1$.


2. Montrer que $z_{1}+z_{2}+z_{3}=-\dfrac{\alpha_{2}}{\alpha_{3}}$ et $z_{1} z_{2} z_{3}=-\dfrac{\alpha_{0}}{\alpha_{3}}$.


Partie B : Formules de Viète, cas $\boldsymbol{n = 4}$
On considère un polynôme $\text{P}$ de degré $4$ à coefficients réels défini dans $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=\alpha_{4} z^{4}+\alpha_{3} z^{3}+\alpha_{2} z^{2}+\alpha_{1} z+\alpha_{0}$, où $\alpha_4$, $\alpha_3$, $\alpha_2$, $\alpha_1$ et $\alpha_0$ sont réels tels que $\alpha_4 \neq 0$.
On appelle $z_1$, $z_2$, $z_3$ et $z_4$ ses quatre racines dans $\mathbb{C}$, éventuellement confondues.
Montrer que $z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=-\dfrac{\alpha_{3}}{\alpha_{4}}$ et $z_{1} z_{2} z_{3} z_{4}=\dfrac{\alpha_{0}}{\alpha_{4}}$.


Partie C : Formules de Viète, cas général
Soient $n$ un entier naturel non nul et $\text{P}$ un polynôme de degré $n$ à coefficients réels défini dans $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=\alpha_{n} z^{n}+\ldots+\alpha_{0}$.
On admet qu’un tel polynôme admet nécessairement $n$ racines $z_{1} ; \ldots ; z_{n}$ (éventuellement confondues).

1. Justifier que, pour tout $z \in \mathbb{C}$, on a $\mathrm{P}(z)=\alpha_{n}\left(z-z_{1}\right) \ldots\left(z-z_{n}\right)$.


2. Démontrer les formules de Viète explicitées dans le cours.

149

APPROFONDISSEMENT

[Chercher, Communiquer.]
Résolution par radicaux des équations de degré 3

Partie A  : Retour sur la méthode de Cardan
On considère l’équation $(\mathrm{E}): x^{3}+p x=q$ où $p$ et $q$ sont réels.
On souhaite obtenir une méthode pour calculer une solution réelle $x$ d’une équation de cette forme.
On cherche $x$ sous la forme $x = u + v$ avec $u$ et $v$ réels.

1. Montrer que si $x = u + v$, alors $x^{3}=u^{3}+v^{3}+3 u \times v \times x$.


2. En déduire que si on obtient des réels $u$ et $v$ tels que $\left\{\begin{aligned} u^{3}+v^{3} &=q \\ u \times v &=-\dfrac{p}{3} \end{aligned}\right.$ alors $x = u + v$ est une solution de $(\mathrm{E})$.


3. a. On pose $s = u^3$ et $t = v^3$.
Montrer que les systèmes $\left\{\begin{aligned} u^{3}+v^{3} &=q \\ u \times v &=-\dfrac{p}{3} \end{aligned}\right.$ et $\left\{\begin{aligned} s^{2}-q s-\dfrac{p^{3}}{27} &=0 \\ t &=q-s \end{aligned}\right.$ sont équivalents.


b. Expliquer comment obtenir une solution $x$ cherchée.


4. Application : Avec la méthode de Cardan, trouver la solution réelle positive de l’équation $x^{3}+24 x=56$.


5. Peut‑on appliquer la méthode de Cardan à l’équation de Bombelli $x^{3}-15 x-4=0$ ? Justifier.


Partie B : Résolution d’une équation de degré 3
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels avec $a \neq 0$. On considère l’équation $\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): a x^{3}+b x^{2}+c x+d=0$.

1. On pose $x=\mathrm{X}-\dfrac{b}{3 a}$.
Montrer que résoudre l’équation $(\mathrm{E}^{\prime})$ équivaut à résoudre $\mathrm{X}^{3}+p \mathrm{X}=0=q$ où $p$ et $q$ sont deux réels qu’on exprimera en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$.


2. Application : En utilisant la question 1. puis la partie A (méthode de Cardan), résoudre l’équation $x^{3}-2 x^{2}+x-2=0$.

150

APPROFONDISSEMENT

[Calculer, Raisonner.]
Partie A : Racine carrée d’un nombre complexe
Soit $\alpha=a+\mathrm{i} b$ un nombre complexe, où $a$ et $b$ sont réels. On cherche à déterminer s’il existe un nombre complexe $z$ tel que $z^{2}=\alpha.$
On pose $z=x+\mathrm{i} y$, où $x$ et $y$ sont deux réels.

1. Montrer que si $z$ est une solution de l’équation $z^{2}=\alpha$, alors il en est de même de $-z$.


2. Montrer que $z$ est solution de $z^{2}=\alpha$ si, et seulement si,$x$ et $y$ vérifient le système suivant : $\left\{\begin{aligned} x^{2}-y^{2} &=a \\ 2 x y &=b \\ x^{2}+y^{2} &=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \end{aligned}\right.$.

3. a. Montrer que si $b > 0$, alors une solution de l’équation $z^{2}=\alpha$ est donnée par $\sqrt{\dfrac{1}{2}(a+\sqrt{a^{2}+b^{2}})}+\mathrm{i} \sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}$. Déterminer une deuxième solution de l’équation étudiée.


b. Montrer que si $b \lt 0$, alors une solution de l’équation $z^{2}=\alpha$ est donnée par $\sqrt{\dfrac{1}{2}(a+\sqrt{a^{2}+b^{2}})}-\mathrm{i} \sqrt{\dfrac{1}{2}(\sqrt{a^{2}+b^{2}}-a)}$. Déterminer une deuxième solution de l’équation dans ce cas.


4. À l’aide de la question 2., déterminer tous les nombres complexes $z$ tels que :
a. $z^{2}=2 \mathrm{i}$


b. $z^{2}=3-4 \mathrm{i}$


Partie B : Résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres complexes avec $a \neq 0$. On souhaite résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $a z^{2}+b z+c=0$.

1. Montrer que résoudre l’équation $a z^{2}+b z+c=0$ équivaut à résoudre l’équation $a\left(z+\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}-\dfrac{\Delta}{4 a}=0$ en posant $\Delta=b^{2}-4a c$.


2. Soit $\delta \in \mathbb{C}$ tel que $\delta^{2}=\Delta$.
Montrer que les solutions de l’équation $a z^{2}+b z+c=0$ sont données par $\dfrac{-b-\delta}{2 a}$ et $\dfrac{-b+\delta}{2 a}$.


3. Application : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $z^{2}+(3 \mathrm{i}-4) z+1-7 \mathrm{i}=0$.