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135
[Calculer, Communiquer.]
On considère le polynôme à coefficients réels défini sur par .

1. Montrer que si est une racine du polynôme , alors son conjugué en est aussi une.


2. a. Soit un réel. Déterminer en fonction de puis l’écrire sous forme algébrique .


b. Montrer que le polynôme admet exactement deux racines imaginaires pures dans et les calculer.


3. Déterminer les réels , et tels que, pour tout nombre complexe ,


4. Résoudre dans l’équation .
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136
[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme à coefficients réels défini sur par .
a. Factoriser le polynôme dans en produit de facteurs du premier degré à coefficients complexes.


b. En déduire les solutions dans de l’équation .


2. On considère l’équation .
En utilisant les résultats de la question 1. b., résoudre l’équation dans .
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137
[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme à coefficients réels défini sur par .
a. Factoriser l’expression pour tous nombres complexes et .


b. En remarquant que , déterminer trois réels , et tels que, pour tout , .


2. a. Calculer et .


b. En déduire les six racines dans du polynôme .
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138
[Calculer, Raisonner.]
1. On considère l’équation du second degré à coefficients complexes :
.

a. Montrer que, pour tout nombre complexe ,
.


b. En déduire que l’équation équivaut à .


c. Résoudre alors l’équation dans .


2. En appliquant une méthode analogue, résoudre dans l’équation du second degré à coefficients complexes :
.
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139
[Calculer, Chercher.]
On considère l’équation à coefficients complexes :
.

1. Démontrer que l’équation admet un unique nombre imaginaire pur comme solution et le déterminer.


2. L’équation admet‑elle comme solution un nombre réel ? Justifier


3. Résoudre dans .
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140
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé . On appelle le point de coordonnées .
À tout nombre complexe , on associe le nombre complexe .
On écrit et , , et sont des nombres réels.
Soit un point du plan distinct de et le point qui lui est associé par la transformation
Le but de l’exercice est de déterminer la nature de l’ensemble des points quand vérifie certaines conditions.

1. Soit le point de coordonnées .
Déterminer les coordonnées du point , image du point par la transformation définie précédemment.


2. Soit le point de coordonnées .
Déterminer les coordonnées du point dont l’image est le point .


3. Calculer sous forme algébrique et exprimer sa partie réelle et sa partie imaginaire en fonction de et .


4. Déterminer une équation de l’ensemble des points , distincts de , tels que soit un réel et préciser sa nature.


5. Déterminer une équation de l’ensemble des points , distincts de , tels que soit un imaginaire pur et préciser sa nature.
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141
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé . On appelle le point de coordonnées .
À tout nombre complexe , on associe le nombre complexe .
On écrit et , , et sont quatre nombres réels.
Soit un point du plan distinct de et le point qui lui est associé par la transformation .

1. Déterminer les éventuels points du plan pour lesquels et sont confondus.


2. Déterminer les coordonnées du point associé au point .


3. Déterminer les coordonnées du point tel que le point associé ait pour coordonnées .


4. Déterminer une équation de l’ensemble des points , distincts de , tels que soit un réel et préciser sa nature.


5. Déterminer une équation de l’ensemble des points , distincts de , tels que soit un imaginaire pur et préciser sa nature.
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142
DEVOIR MAISON
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé .
À tout nombre complexe , on associe le nombre complexe .
On écrit et , , et sont quatre réels.
Soit un point du plan et le point qui lui est associé par la transformation .

1. Justifier que le nombre complexe est défini pour tout .


2. Existe‑t‑il des valeurs de telles que soit égal à  ? Justifier.


3. a. Démontrer que est réel si, et seulement si, .


b. Déterminer l’ensemble des points tels que soit un réel.


4. Déterminer l’ensemble des points tels que soit un imaginaire pur.
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143
[Chercher, Représenter.]
Équation à paramètre

On considère le polynôme à coefficients réels défini sur par .

1. Résoudre dans l’équation .


2. Soit un réel. On considère l’équation d’inconnue dans .
Pour quelles valeurs de l’équation admet‑elle deux solutions complexes conjuguées ? Justifier.


3. On munit le plan d’un repère orthonormé .
On écrit et , , et désignent quatre réels.
a. Exprimer la forme algébrique de en fonction de et .


b. Déterminer l’ensemble des points tels que soit un réel.
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144
EN ÉLECTRONIQUE
[Calculer, Modéliser.]
On représente parfois les résistances de certains composants électroniques par des nombres complexes.

MAT.T.1.ExSynthese.circuit_electro_retoucheok

Par exemple, l’impédance d’une résistance pure est représentée par le nombre réel . C’est le seul composant à avoir une impédance réelle, tandis que l’impédance d’une bobine d’inductance est représentée par le nombre complexe désigne la pulsation du signal et dépend de l’intensité du courant présent dans le circuit.
Lorsqu’ils sont montés en parallèle, ces composants peuvent être remplacés par un composant unique associé à l’impédance vérifiant
Donner la forme algébrique de l’impédance en fonction de , de et de .



À SAVOIR

En électricité, le nombre complexe est noté pour qu’il n’y ait pas de confusion avec l’intensité du courant.

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145
[Calculer, Chercher.]
Suite de nombres complexes

Soient et deux nombres réels. On définit une suite récurrente d’ordre par la donnée de , de et de la relation de récurrence , valable pour tout entier naturel .

1. a. Soit un nombre complexe non nul et la suite définie pour tout entier naturel par .
Montrer que si vérifie la relation , alors est solution de l’équation .


b. On suppose que et sont les solutions dans de l’équation .
Montrer que s’il existe et dans tels que, pour tout entier naturel , , alors la suite vérifie la relation .


2. On admet que si une suite vérifie la relation , alors il existe deux nombres complexes et tels que, pour tout entier naturel , , où et désignent les solutions de l’équation .
Soit la suite définie pour tout entier naturel par : .
Exprimer, pour tout entier naturel , en fonction de .
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146
GEOGEBRA
TABLEUR
[Représenter, Communiquer.]
On munit le plan d’un repère orthonormé .
Pour tout nombre complexe , on définit le nombre complexe .
On pose et, pour tout entier naturel , .
On écrit, pour tout entier naturel , avec et réels. On a ainsi et .
Pour tout entier naturel , on appelle le point de coordonnées dans le repère.

1. a. Calculer et et en déduire les coordonnées des points et .


b. Pour tout entier naturel non nul, exprimer et en fonction de et .


2. a. À l’aide du tableur de GeoGebra, représenter dans le repère les points pour allant de à .

Aide
Après avoir complété le tableur avec deux colonnes et , sélectionner toutes les valeurs, faire un clic droit et choisir « Créer liste de points ».


Lancer le module Geogebra
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b. Qu’observe‑t‑on ?


3. Soit le point de coordonnées . On définit, pour tout entier naturel , la suite par .
a. Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de et .


b. À l’aide d’un tableur ou de GeoGebra, représenter le nuage de points de coordonnées dans un repère orthonormé. Qu’observe‑t‑on ?


c. Conjecturer la limite de la suite .


4. a. Montrer qu’il existe un unique nombre complexe tel que .


b. Comment peut‑on interpréter les observations faites à la question 2. b. sur les points  ?
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147
[Raisonner, Représenter.]
Suite de nombres complexes

Soit un nombre complexe non nul et différent de .
On définit la suite de nombres complexes par et, pour tout entier naturel , .

1. a. Calculer , et en fonction de .


b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .


2. Uniquement dans cette question, on pose .
a. Montrer que .


b. Pour tout entier naturel , exprimer en fonction de , puis en fonction de .


c. On munit le plan d’un repère orthonormé .
On pose, pour tout entier naturel , et on appelle les points de coordonnées .
Placer les points , , , et dans le repère.

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148
APPROFONDISSEMENT
[Chercher, Calculer.]
Partie A : Formules de Viète, cas
On considère un polynôme de degré à coefficients réels défini dans par , où , , et sont réels tels que .
On appelle , et ses trois racines dans , éventuellement confondues.

1. Factoriser en produit de facteurs de degré .


2. Montrer que et .


Partie B : Formules de Viète, cas
On considère un polynôme de degré à coefficients réels défini dans par , où , , , et sont réels tels que .
On appelle , , et ses quatre racines dans , éventuellement confondues.
Montrer que et .


Partie C : Formules de Viète, cas général
Soient un entier naturel non nul et un polynôme de degré à coefficients réels défini dans par .
On admet qu’un tel polynôme admet nécessairement racines (éventuellement confondues).

1. Justifier que, pour tout , on a .


2. Démontrer les formules de Viète explicitées dans le cours.
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149
APPROFONDISSEMENT
[Chercher, Communiquer.]
Résolution par radicaux des équations de degré 3

Partie A  : Retour sur la méthode de Cardan

On considère l’équation et sont réels.
On souhaite obtenir une méthode pour calculer une solution réelle d’une équation de cette forme.
On cherche sous la forme avec et réels.

1. Montrer que si , alors .


2. En déduire que si on obtient des réels et tels que alors est une solution de .


3. a. On pose et .
Montrer que les systèmes et sont équivalents.


b. Expliquer comment obtenir une solution cherchée.


4. Application : Avec la méthode de Cardan, trouver la solution réelle positive de l’équation .


5. Peut‑on appliquer la méthode de Cardan à l’équation de Bombelli  ? Justifier.


Partie B : Résolution d’une équation de degré 3
Soient , , et quatre nombres réels avec . On considère l’équation .

1. On pose .
Montrer que résoudre l’équation équivaut à résoudre et sont deux réels qu’on exprimera en fonction de , , et .


2. Application : En utilisant la question 1. puis la partie A (méthode de Cardan), résoudre l’équation .
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150
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Raisonner.]
Partie A : Racine carrée d’un nombre complexe
Soit un nombre complexe, où et sont réels. On cherche à déterminer s’il existe un nombre complexe tel que
On pose , où et sont deux réels.

1. Montrer que si est une solution de l’équation , alors il en est de même de .


2. Montrer que est solution de si, et seulement si, et vérifient le système suivant :
.


3. a. Montrer que si , alors une solution de l’équation est donnée par
.
Déterminer une deuxième solution de l’équation étudiée.


b. Montrer que si , alors une solution de l’équation est donnée par
.
Déterminer une deuxième solution de l’équation dans ce cas.


4. À l’aide de la question 2., déterminer tous les nombres complexes tels que :
a.


b.


Partie B : Résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes
Soient , et trois nombres complexes avec . On souhaite résoudre dans l’équation .

1. Montrer que résoudre l’équation équivaut à résoudre l’équation en posant .


2. Soit tel que .
Montrer que les solutions de l’équation sont données par et .


3. Application : Résoudre dans l’équation : .
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices Transversaux Mathématiques Expertes
;  ;  ;  ;  ;  et  p.238

Le Grand Oral

Entraînez-vous au Grand Oral et enregistrez-vous sur LLS.fr/GrandOralMaths


Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d’appui à des questions de Grand Oral.
Voici un exemple, basé sur l’enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.

1. Sur la formule du binôme de Newton
Rappeler l’énoncé de la formule du binôme de Newton dans .
Démontrer cette formule en utilisant des arguments de dénombrement et de combinatoire.


2. Sur la résolution des équations du second degré
Rappeler une expression des solutions de l’équation à coefficients réels () lorsque .
Ces résultats s’utilisent lors de l’étude de suites linéaires récurrentes d’ordre 2 () et dans l’étude des équations différentielles linéaires d’ordre 2 ().
Se renseigner sur ces méthodes de résolution et exposer un exemple au jury.


Méthodologie
Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 244
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