[Calculer, Communiquer.]
On considère le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(z)=z4−8z3+41z2−128z+400.
1. Montrer que si z est une racine du polynôme P, alors son conjugué z en est aussi une.
2.a. Soit b un réel. Déterminer P(ib) en fonction de b puis l'écrire sous forme algébrique .
b. Montrer que le polynôme P admet exactement deux racines imaginaires pures dans C et les calculer.
3. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z, P(z)=(z2+16)(az2+bz+c).
4. Résoudre dans C l'équation P(z)=0.
136
[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(u)=u4−1.
a. Factoriser le polynôme P dans C en produit de facteurs du premier degré à coefficients complexes.
b. En déduire les solutions dans C de l'équation P(u)=0.
2. On considère l'équation (E):(z−21−2z)4=1.
En utilisant les résultats de la question 1.b., résoudre l'équation (E) dans C.
137
[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(z)=z6−1.
a. Factoriser l'expression u3−v3 pour tous nombres complexes u et v.
b. En remarquant que z6=(z2)3, déterminer trois réels a, b et c tels que, pour tout z∈C, P(z)=(z2−1)(az4+bz2+c).
2.a. Calculer (21+i23)2 et (21−i23)2.
b. En déduire les six racines dans C du polynôme P.
138
[Calculer, Raisonner.]
1. On considère l'équation du second degré à coefficients complexes :
(E):z2−(6+2i)z+7+6i=0.
a. Montrer que, pour tout nombre complexe z,
z2−(6+2i)z=(z−(3+i))2−8−6i.
b. En déduire que l'équation (E) équivaut à (z−(3+i))2=1.
c. Résoudre alors l'équation (E) dans C.
2. En appliquant une méthode analogue, résoudre dans C l'équation du second degré à coefficients complexes :
(E′):z2+(2+4i)z+6+4i=0.
139
[Calculer, Chercher.]
On considère l'équation à coefficients complexes :
(E):2z2−(1+6i)z+3i=0.
1. Démontrer que l'équation (E) admet un unique nombre imaginaire pur comme solution et le déterminer.
2. L'équation (E) admet‑elle comme solution un nombre réel ? Justifier
3. Résoudre (E) dans C.
140
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (O;u,v). On appelle A le point de coordonnées (2;0).
À tout nombre complexe z=2, on associe le nombre complexe z′=2−z2−iz.
On écrit z=x+iy et z′=x′+iy′ où x, y, x′ et y′ sont des nombres réels.
Soit M(x;y) un point du plan distinct de A et M′(x′;y′) le point qui lui est associé par la transformation z↦z′.
Le but de l'exercice est de déterminer la nature de l'ensemble des points M quand z′ vérifie certaines conditions.
1. Soit B le point de coordonnées (2;1).
Déterminer les coordonnées (x′;y′) du point B′, image du point B par la transformation définie précédemment.
2. Soit C′ le point de coordonnées (1;2).
Déterminer les coordonnées (x;y) du point C dont l'image est le point C′.
3. Calculer z′ sous forme algébrique et exprimer sa partie réelle x′ et sa partie imaginaire y′ en fonction de x et y.
4. Déterminer une équation de l'ensemble E1 des points M(x;y), distincts de A, tels que z′ soit un réel et préciser sa nature.
5. Déterminer une équation de l'ensemble E2 des points M(x;y), distincts de A, tels que z′ soit un imaginaire
pur et préciser sa nature.
141
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (O;u,v). On appelle J le point de coordonnées (0;1).
À tout nombre complexe z=i, on associe le nombre complexe z′=i−ziz.
On écrit z=x+iy et z′=x′+iy′ où x, y, x′ et y′ sont
quatre nombres réels.
Soit M(x;y) un point du plan distinct de J et M′(x′;y′) le point qui lui est associé par la transformation z↦z′.
1. Déterminer les éventuels points M(x;y) du plan pour lesquels M′ et M sont confondus.
2. Déterminer les coordonnées du point I′ associé au point I(1;0).
3. Déterminer les coordonnées du point A tel que le point associé A′ ait pour coordonnées (2;0).
4. Déterminer une équation de l'ensemble E1 des points M(x;y), distincts de J, tels que z′ soit un réel et préciser sa nature.
5. Déterminer une équation de l'ensemble E2 des points M(x;y), distincts de J, tels que z′ soit un imaginaire
pur et préciser sa nature.
142
Devoir maison
[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (O;u,v).
À tout nombre complexe z, on associe le nombre complexe z′=z×z+12i−z2.
On écrit z=x+iy et z′=x′+iy′ où x, y, x′ et y′ sont quatre réels.
Soit M(x;y) un point du plan et M′(x′;y′) le point qui lui est associé par la transformation z↦z′.
1. Justifier que le nombre complexe z′ est défini pour tout z∈C.
2. Existe‑t‑il des valeurs de z telles que z′ soit égal à 1 ? Justifier.
3.a. Démontrer que z′ est réel si, et seulement si, (z−z)(z+z)=4i.
b. Déterminer l'ensemble E1 des points M(x;y) tels que z′ soit un réel.
4. Déterminer l'ensemble E2 des points M(x;y) tels que z′ soit un imaginaire pur.
143
[Chercher, Représenter.]
Équation à paramètre
On considère le polynôme P à coefficients réels défini sur C par P(z)=z2−2z+9.
1. Résoudre dans C l'équation P(z)=6.
2. Soit m un réel. On considère l'équation (E):P(z)=m d'inconnue z dans C.
Pour quelles valeurs de m l'équation (E) admet‑elle deux solutions complexes conjuguées ? Justifier.
3. On munit le plan d'un repère orthonormé (O;u,v).
On écrit z=x+iy et z′=P(z)=x′+iy′ où x, y, x′ et y′ désignent quatre réels.
a. Exprimer la forme algébrique de P(z) en fonction de x et y.
b. Déterminer l'ensemble E des points M(x;y) tels que z′ soit un réel.
144
En électronique
[Calculer, Modéliser.]
On représente parfois les résistances de certains composants électroniques par des nombres complexes.
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Par exemple, l'impédance d'une résistance pure est représentée par le nombre réel ZR=R. C'est le seul composant à avoir une impédance réelle, tandis que l'impédance d'une bobine d'inductance L est représentée par le nombre complexe ZL=iLω où ω désigne la pulsation du signal et dépend de l'intensité du courant présent dans le circuit.
Lorsqu'ils sont montés en parallèle, ces composants peuvent être remplacés par un composant unique associé à l'impédance Z vérifiant Z1=ZR1+ZL1. Donner la forme algébrique de l'impédance Z en fonction de R, de L et de ω.
À savoir
En électricité, le nombre complexe i est noté j pour qu'il n'y ait pas de confusion avec l'intensité du courant.
145
[Calculer, Chercher.]
Suite de nombres complexes
Soient α et β deux nombres réels. On définit une suite récurrente d'ordre 2 par la donnée de u0, de u1 et de la relation de récurrence (1):un+2=αun+1+βun, valable pour tout entier naturel n.
1.a. Soit r un nombre complexe non nul et (un) la suite
définie pour tout entier naturel n par un=rn.
Montrer que si (un) vérifie la relation (1), alors r est solution de l'équation (2):r2−αr−β=0.
b. On suppose que r1 et r2 sont les solutions dans C de l'équation (2).
Montrer que s'il existe λ et μ dans C tels que, pour tout entier naturel n, un=λr1n+μr2n, alors la suite (un) vérifie la relation (1).
2. On admet que si une suite (un) vérifie la relation (1), alors il existe deux nombres complexes λ et μ tels que, pour tout entier naturel n, un=λr1n+μr2n, où r1 et r2 désignent les solutions de l'équation r2=αr+β.
Soit (vn) la suite définie pour tout entier naturel n par : {v0vn+2=1;v1=2=4vn+1−5vn.
Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.
146
GeoGebra
Tableur
[Représenter, Communiquer.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (O;u,v).
Pour tout nombre complexe z, on définit le nombre complexe f(z)=21(1−i)z+21−21i.
On pose z0=2+i et, pour tout entier naturel n, zn+1=f(zn).
On écrit, pour tout entier naturel n, zn=xn+iyn avec xn et yn réels. On a ainsi x0=2 et y0=1.
Pour tout entier naturel n, on appelle Pn le point de coordonnées (xn;yn) dans le repère.
1.a. Calculer z1 et z2 et en déduire les coordonnées des points P1 et P2.
b. Pour tout entier naturel n non nul, exprimer xn+1 et yn+1 en fonction de xn et yn.
2.a. À l'aide du tableur de GeoGebra, représenter dans le repère les points Pn pour n allant de 0 à 30.
Après avoir complété le tableur avec deux colonnes xn et yn, sélectionner toutes les valeurs, faire un clic droit et choisir « Créer liste de points ».
Aide
GeoGebra
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b. Qu'observe‑t‑on ?
3. Soit J le point de coordonnées (0;−1). On définit, pour tout entier naturel n, la suite (dn) par dn=JPn.
a. Pour tout entier naturel n, exprimer dn en fonction de xn et yn.
b. À l'aide d'un tableur ou de GeoGebra, représenter le nuage de points de coordonnées (n;dn) dans un repère orthonormé. Qu'observe‑t‑on ?
c. Conjecturer la limite de la suite (dn).
4.a. Montrer qu'il existe un unique nombre complexe ω tel que f(ω)=ω.
b. Comment peut‑on interpréter les observations faites à la question 2.b. sur les points Pn ?
147
[Raisonner, Représenter.]
Suite de nombres complexes
Soit α un nombre complexe non nul et différent de 1.
On définit la suite (zn) de nombres complexes par z0=0 et, pour tout entier naturel n, zn+1=αzn−i.
1.a. Calculer z1, z2 et z3 en fonction de α.
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, zn=α−11−αn×i.
2. Uniquement dans cette question, on pose α=i.
a. Montrer que z4=0.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer zn+4 en fonction de n, puis en fonction de zn.
c. On munit le plan d'un repère orthonormé (O;u,v).
On pose, pour tout entier naturel n, zn=xn+iyn et on appelle Pn les points de coordonnées (xn;yn).
Placer les points P0, P1, P2, P3 et P4 dans le repère.
GeoGebra
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148
Approfondissement
[Chercher, Calculer.]
Partie A : Formules de Viète, cas n=3
On considère un polynôme P de degré 3 à coefficients réels défini dans C par P(z)=α3z3+α2z2+α1z+α0, où α3, α2, α1 et α0 sont réels tels que α3=0.
On appelle z1, z2 et z3 ses trois racines dans C, éventuellement confondues.
1. Factoriser P en produit de facteurs de degré 1.