Exercices de synthèse

137

[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^6-1$.
a. Factoriser l'expression $u^3-v^3$ pour tous nombres complexes $u$ et $v$.

b. En remarquant que $z^6={\left(z^2\right)}^3$, déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $z\in \mathbb{C}$, $\mathrm{P}(z)=\left(z^2-1\right)\left(a{z}^4+b{z}^2+c\right)$.

2. a. Calculer ${\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$ et ${\left(\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$.

b. En déduire les six racines dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$.

138

[Calculer, Raisonner.]
1. On considère l'équation du second degré à coefficients complexes :
a. Montrer que, pour tout nombre complexe $z$,

$z^2-(6+2\mathrm{i})z=(z-(3+\mathrm{i}){)}^2-8-6\mathrm{i}$.

b. En déduire que l'équation $(\mathrm{E})$ équivaut à $(z-(3+\mathrm{i}){)}^2=1$.

c. Résoudre alors l'équation $(\mathrm{E})$ dans $\mathbb{C}$.

2. En appliquant une méthode analogue, résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation du second degré à coefficients complexes :

$\left({\mathrm{E}}^{\prime }\right):z^2+(2+4\mathrm{i})z+6+4\mathrm{i}=0$.

141

[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d'un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On appelle $\text{J}$ le point de coordonnées $(0;1)$.
À tout nombre complexe $z\ne \mathrm{i}$, on associe le nombre complexe $z^{\prime }=\frac{\mathrm{i}z}{\mathrm{i}-z}$.
On écrit $z=x+\mathrm{i}y$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+\mathrm{i}{y}^{\prime }$ où $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ sont quatre nombres réels.
Soit $\mathrm{M}(x;y)$ un point du plan distinct de $\text{J}$ et ${\mathrm{M}}^{\prime }\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ le point qui lui est associé par la transformation $z\mapsto z^{\prime }$.

1. Déterminer les éventuels points $\mathrm{M}(x;y)$ du plan pour lesquels ${\mathrm{M}}^{\prime }$ et $\text{M}$ sont confondus.

2. Déterminer les coordonnées du point ${\mathrm{I}}^{\prime }$ associé au point $\mathrm{I}(1;0)$.

3. Déterminer les coordonnées du point$\text{ A}$ tel que le point associé ${\mathrm{A}}^{\prime }$ ait pour coordonnées $(2;0)$.

4. Déterminer une équation de l'ensemble ${\mathrm{E}}_1$ des points $\mathrm{M}(x;y)$, distincts de $\text{J}$, tels que $z^{\prime }$ soit un réel et préciser sa nature.

5. Déterminer une équation de l'ensemble ${\mathrm{E}}_2$ des points $\mathrm{M}(x;y)$, distincts de $\text{J}$, tels que $z^{\prime }$ soit un imaginaire pur et préciser sa nature.

142

Devoir maison

[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d'un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
À tout nombre complexe $z$, on associe le nombre complexe $z^{\prime }=\frac{2\mathrm{i}-z^2}{z\times \overline{z}+1}$.
On écrit $z=x+\mathrm{i}y$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+\mathrm{i}{y}^{\prime }$ où $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ sont quatre réels.
Soit $\mathrm{M}(x;y)$ un point du plan et ${\mathrm{M}}^{\prime }\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ le point qui lui est associé par la transformation $z\mapsto z^{\prime }$.

1. Justifier que le nombre complexe $z^{\prime }$ est défini pour tout $z\in \mathbb{C}$.

2. Existe‑t‑il des valeurs de $z$ telles que $z^{\prime }$ soit égal à $1$ ? Justifier.

3. a. Démontrer que $z^{\prime }$ est réel si, et seulement si, $(z-\overline{z})(z+\overline{z})=4\mathrm{i}$.

b. Déterminer l'ensemble ${\mathrm{E}}_1$ des points $\mathrm{M}(x;y)$ tels que $z^{\prime }$ soit un réel.

4. Déterminer l'ensemble ${\mathrm{E}}_2$ des points $\mathrm{M}(x;y)$ tels que $z^{\prime }$ soit un imaginaire pur.

143

[Chercher, Représenter.]
Équation à paramètre

On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^2-2z+9$.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $\mathrm{P}(z)=6$.

2. Soit $m$ un réel. On considère l'équation $(\mathrm{E}):\mathrm{P}(z)=m$ d'inconnue $z$ dans $\mathbb{C}$.
Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $(\mathrm{E})$ admet‑elle deux solutions complexes conjuguées ? Justifier.

3. On munit le plan d'un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
On écrit $z=x+\mathrm{i}y$ et $z^{\prime }=\mathrm{P}(z)=x^{\prime }+\mathrm{i}{y}^{\prime }$ où $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ désignent quatre réels.
a. Exprimer la forme algébrique de $\mathrm{P}(z)$ en fonction de $x$ et $y$.

b. Déterminer l'ensemble$\text{ E}$ des points $\mathrm{M}(x;y)$ tels que $z^{\prime }$ soit un réel.

144

En électronique

[Calculer, Modéliser.]
On représente parfois les résistances de certains composants électroniques par des nombres complexes.


Par exemple, l'impédance d'une résistance pure est représentée par le nombre réel ${\text{Z}}_{\mathrm{R}}=\mathrm{R}$. C'est le seul composant à avoir une impédance réelle, tandis que l'impédance d'une bobine d'inductance $\text{L}$ est représentée par le nombre complexe ${\text{Z}}_{\mathrm{L}}=\mathrm{iL}\omega$ où $\omega$ désigne la pulsation du signal et dépend de l'intensité du courant présent dans le circuit.
Lorsqu'ils sont montés en parallèle, ces composants peuvent être remplacés par un composant unique associé à l'impédance $\text{Z}$ vérifiant $\frac{1}{\mathrm{Z}}=\frac{1}{{\mathrm{Z}}_{\mathrm{R}}}+\frac{1}{{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}}.$
Donner la forme algébrique de l'impédance $\text{Z}$ en fonction de $\text{R}$, de$\text{ L}$ et de $\omega$.