Synthèse

135

[Calculer, Communiquer.]
On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^4-8z^3+41z^2-128z+400$.

1. Montrer que si $z$ est une racine du polynôme $\text{P}$, alors son conjugué $\overline{z}$ en est aussi une.


2. a. Soit $b$ un réel. Déterminer $\mathrm{P}(\mathrm{i}b)$ en fonction de $b$ puis l’écrire sous forme algébrique .


b. Montrer que le polynôme $\text{P}$ admet exactement deux racines imaginaires pures dans $\mathbb{C}$ et les calculer.


3. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$, $\mathrm{P}(z)=\left(z^2+16\right)\left(a{z}^2+bz+c\right).$


4. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $\mathrm{P}(z)=0$.

136

[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(u)=u^4-1$.
a. Factoriser le polynôme $\text{P}$ dans $\mathbb{C}$ en produit de facteurs du premier degré à coefficients complexes.


b. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $\mathrm{P}(u)=0$.


2. On considère l’équation $(\mathrm{E}):{\left(\frac{1-2z}{z-2}\right)}^4=1$.
En utilisant les résultats de la question 1. b., résoudre l’équation $(\mathrm{E})$ dans $\mathbb{C}$.

137

[Calculer, Chercher.]
1. On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^6-1$.
a. Factoriser l’expression $u^3-v^3$ pour tous nombres complexes $u$ et $v$.


b. En remarquant que $z^6={\left(z^2\right)}^3$, déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $z\in \mathbb{C}$, $\mathrm{P}(z)=\left(z^2-1\right)\left(a{z}^4+b{z}^2+c\right)$.


2. a. Calculer ${\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$ et ${\left(\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$.


b. En déduire les six racines dans $\mathbb{C}$ du polynôme $\text{P}$.

138

[Calculer, Raisonner.]
1. On considère l’équation du second degré à coefficients complexes : $(\mathrm{E}):z^2-(6+2\mathrm{i})z+7+6\mathrm{i}=0$.
a. Montrer que, pour tout nombre complexe $z$, $z^2-(6+2\mathrm{i})z=(z-(3+\mathrm{i}){)}^2-8-6\mathrm{i}$.

b. En déduire que l’équation $(\mathrm{E})$ équivaut à $(z-(3+\mathrm{i}){)}^2=1$.


c. Résoudre alors l’équation $(\mathrm{E})$ dans $\mathbb{C}$.


2. En appliquant une méthode analogue, résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation du second degré à coefficients complexes : $\left({\mathrm{E}}^{\prime }\right):z^2+(2+4\mathrm{i})z+6+4\mathrm{i}=0$.

139

[Calculer, Chercher.]
On considère l’équation à coefficients complexes : $(\mathrm{E}):2z^2-(1+6\mathrm{i})z+3\mathrm{i}=0$.
1. Démontrer que l’équation $(\mathrm{E})$ admet un unique nombre imaginaire pur comme solution et le déterminer.


2. L’équation $(\mathrm{E})$ admet‑elle comme solution un nombre réel ? Justifier


3. Résoudre $(\mathrm{E})$ dans $\mathbb{C}$.

140

[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On appelle $\text{A}$ le point de coordonnées $(2;0)$.
À tout nombre complexe $z\ne 2$, on associe le nombre complexe $z^{\prime }=\frac{2-\mathrm{i}z}{2-z}$.
On écrit $z=x+\mathrm{i}y$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+\mathrm{i}{y}^{\prime }$ où $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ sont des nombres réels.
Soit $\mathrm{M}(x;y)$ un point du plan distinct de $\text{A}$ et ${\mathrm{M}}^{\prime }\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ le point qui lui est associé par la transformation $z\mapsto z^{\prime }.$
Le but de l’exercice est de déterminer la nature de l’ensemble des points $\text{M}$ quand $z^{\prime }$ vérifie certaines conditions.

1. Soit $\text{B}$ le point de coordonnées $(2;1)$.
Déterminer les coordonnées $\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ du point ${\mathrm{B}}^{\prime }$, image du point $\text{B}$ par la transformation définie précédemment.


2. Soit ${\mathrm{C}}^{\prime }$ le point de coordonnées $(1;2)$.
Déterminer les coordonnées $(x;y)$ du point $\text{C}$ dont l’image est le point ${\mathrm{C}}^{\prime }$.


3. Calculer $z^{\prime }$ sous forme algébrique et exprimer sa partie réelle $x^{\prime }$ et sa partie imaginaire $y^{\prime }$ en fonction de $x$ et $y$.


4. Déterminer une équation de l’ensemble ${\mathrm{E}}_1$ des points $\mathrm{M}(x;y)$, distincts de $\text{A}$, tels que $z^{\prime }$ soit un réel et préciser sa nature.


5. Déterminer une équation de l’ensemble ${\mathrm{E}}_2$ des points $\mathrm{M}(x;y)$, distincts de $\text{A}$, tels que $z^{\prime }$ soit un imaginaire pur et préciser sa nature.

141

[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On appelle $\text{J}$ le point de coordonnées $(0;1)$.
À tout nombre complexe $z\ne \mathrm{i}$, on associe le nombre complexe $z^{\prime }=\frac{\mathrm{i}z}{\mathrm{i}-z}$.
On écrit $z=x+\mathrm{i}y$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+\mathrm{i}{y}^{\prime }$ où $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ sont quatre nombres réels.
Soit $\mathrm{M}(x;y)$ un point du plan distinct de $\text{J}$ et ${\mathrm{M}}^{\prime }\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ le point qui lui est associé par la transformation $z\mapsto z^{\prime }$.

1. Déterminer les éventuels points $\mathrm{M}(x;y)$ du plan pour lesquels ${\mathrm{M}}^{\prime }$ et $\text{M}$ sont confondus.


2. Déterminer les coordonnées du point ${\mathrm{I}}^{\prime }$ associé au point $\mathrm{I}(1;0)$.


3. Déterminer les coordonnées du point$\text{ A}$ tel que le point associé ${\mathrm{A}}^{\prime }$ ait pour coordonnées $(2;0)$.


4. Déterminer une équation de l’ensemble ${\mathrm{E}}_1$ des points $\mathrm{M}(x;y)$, distincts de $\text{J}$, tels que $z^{\prime }$ soit un réel et préciser sa nature.


5. Déterminer une équation de l’ensemble ${\mathrm{E}}_2$ des points $\mathrm{M}(x;y)$, distincts de $\text{J}$, tels que $z^{\prime }$ soit un imaginaire pur et préciser sa nature.

142

DEVOIR MAISON

[Chercher, Représenter.]
On munit le plan d’un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
À tout nombre complexe $z$, on associe le nombre complexe $z^{\prime }=\frac{2\mathrm{i}-z^2}{z\times \overline{z}+1}$.
On écrit $z=x+\mathrm{i}y$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+\mathrm{i}{y}^{\prime }$ où $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ sont quatre réels.
Soit $\mathrm{M}(x;y)$ un point du plan et ${\mathrm{M}}^{\prime }\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ le point qui lui est associé par la transformation $z\mapsto z^{\prime }$.

1. Justifier que le nombre complexe $z^{\prime }$ est défini pour tout $z\in \mathbb{C}$.


2. Existe‑t‑il des valeurs de $z$ telles que $z^{\prime }$ soit égal à $1$ ? Justifier.


3. a. Démontrer que $z^{\prime }$ est réel si, et seulement si, $(z-\overline{z})(z+\overline{z})=4\mathrm{i}$.


b. Déterminer l’ensemble ${\mathrm{E}}_1$ des points $\mathrm{M}(x;y)$ tels que $z^{\prime }$ soit un réel.


4. Déterminer l’ensemble ${\mathrm{E}}_2$ des points $\mathrm{M}(x;y)$ tels que $z^{\prime }$ soit un imaginaire pur.

143

[Chercher, Représenter.]
Équation à paramètre

On considère le polynôme $\text{P}$ à coefficients réels défini sur $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)=z^2-2z+9$.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $\mathrm{P}(z)=6$.


2. Soit $m$ un réel. On considère l’équation $(\mathrm{E}):\mathrm{P}(z)=m$ d’inconnue $z$ dans $\mathbb{C}$.
Pour quelles valeurs de $m$ l’équation $(\mathrm{E})$ admet‑elle deux solutions complexes conjuguées ? Justifier.


3. On munit le plan d’un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
On écrit $z=x+\mathrm{i}y$ et $z^{\prime }=\mathrm{P}(z)=x^{\prime }+\mathrm{i}{y}^{\prime }$ où $x$, $y$, $x^{\prime }$ et $y^{\prime }$ désignent quatre réels.
a. Exprimer la forme algébrique de $\mathrm{P}(z)$ en fonction de $x$ et $y$.


b. Déterminer l’ensemble$\text{ E}$ des points $\mathrm{M}(x;y)$ tels que $z^{\prime }$ soit un réel.

144

EN ÉLECTRONIQUE

[Calculer, Modéliser.]
On représente parfois les résistances de certains composants électroniques par des nombres complexes.

Par exemple, l’impédance d’une résistance pure est représentée par le nombre réel ${\text{Z}}_{\mathrm{R}}=\mathrm{R}$. C’est le seul composant à avoir une impédance réelle, tandis que l’impédance d’une bobine d’inductance $\text{L}$ est représentée par le nombre complexe ${\text{Z}}_{\mathrm{L}}=\mathrm{i}\mathrm{L}\omega$ où $\omega$ désigne la pulsation du signal et dépend de l’intensité du courant présent dans le circuit.
Lorsqu’ils sont montés en parallèle, ces composants peuvent être remplacés par un composant unique associé à l’impédance $\text{Z}$ vérifiant $\frac{1}{\mathrm{Z}}=\frac{1}{{\mathrm{Z}}_{\mathrm{R}}}+\frac{1}{{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}}.$
Donner la forme algébrique de l’impédance $\text{Z}$ en fonction de $\text{R}$, de$\text{ L}$ et de $\omega$.

145

[Calculer, Chercher.]
Suite de nombres complexes

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels. On définit une suite récurrente d’ordre $2$ par la donnée de $u_0$, de $u_1$ et de la relation de récurrence $(1):u_{n+2}=\alpha u_{n+1}+\beta u_n$, valable pour tout entier naturel $n$.

1. a. Soit $r$ un nombre complexe non nul et $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=r^n$.
Montrer que si $(u_n)$ vérifie la relation $(1)$, alors $r$ est solution de l’équation $\text{(2)}:r^2-\alpha r-\beta =0$.


b. On suppose que $r_1$ et $r_2$ sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $(2)$.
Montrer que s’il existe $\lambda$ et $\mu$ dans $\mathbb{C}$ tels que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$, alors la suite $(u_n)$ vérifie la relation $(1)$.


2. On admet que si une suite $(u_n)$ vérifie la relation $(1)$, alors il existe deux nombres complexes $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$, où $r_1$ et $r_2$ désignent les solutions de l’équation $r^2=\alpha r+\beta$.
Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : $\{\begin{array}{rl}{v}_0& =1;v_1=2\\ v_{n+2}& =4v_{n+1}-5v_n\end{array}$.
Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.

146

GEOGEBRA

TABLEUR

[Représenter, Communiquer.]
On munit le plan d’un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
Pour tout nombre complexe $z$, on définit le nombre complexe $f(z)=\frac{1}{2}(1-\mathrm{i})z+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$.
On pose $z_0=2+\mathrm{i}$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=f\left(z_n\right)$.
On écrit, pour tout entier naturel $n$, $z_n=x_n+\mathrm{i}{y}_n$ avec $x_n$ et $y_n$ réels. On a ainsi $x_0=2$ et $y_0=1$.
Pour tout entier naturel $n$, on appelle ${\mathrm{P}}_n$ le point de coordonnées $(x_n;y_n)$ dans le repère.

1. a. Calculer $z_1$ et $z_2$ et en déduire les coordonnées des points ${\mathrm{P}}_1$ et ${\mathrm{P}}_2$.


b. Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.


2. a. À l’aide du tableur de GeoGebra, représenter dans le repère les points ${\mathrm{P}}_n$ pour $n$ allant de $0$ à $30$.




b. Qu’observe‑t‑on ?


3. Soit $\text{J}$ le point de coordonnées $(0;-1)$. On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $(d_n)$ par $d_n={\mathrm{J}\mathrm{P}}_n$.
a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $d_n$ en fonction de $x_n$ et $y_n$.


b. À l’aide d’un tableur ou de GeoGebra, représenter le nuage de points de coordonnées $(n;d_n)$ dans un repère orthonormé. Qu’observe‑t‑on ?


c. Conjecturer la limite de la suite $(d_n)$.


4. a. Montrer qu’il existe un unique nombre complexe $\omega$ tel que $f(\omega )=\omega$.


b. Comment peut‑on interpréter les observations faites à la question 2. b. sur les points ${\mathrm{P}}_n$ ?

147

[Raisonner, Représenter.]
Suite de nombres complexes

Soit $\alpha$ un nombre complexe non nul et différent de $1$.
On définit la suite $(z_n)$ de nombres complexes par $z_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $z_{n+1}=\alpha z_n-\mathrm{i}$.

1. a. Calculer $z_1$, $z_2$ et $z_3$ en fonction de $\alpha$.


b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $z_n=\frac{1-{\alpha }^n}{\alpha -1}\times \mathrm{i}$.


2. Uniquement dans cette question, on pose $\alpha =\mathrm{i}$.
a. Montrer que $z_4=0$.


b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+4}$ en fonction de $n$, puis en fonction de $z_n$.


c. On munit le plan d’un repère orthonormé $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.
On pose, pour tout entier naturel $n$, $z_n=x_n+\mathrm{i}{y}_n$ et on appelle ${\mathrm{P}}_n$ les points de coordonnées $(x_n;y_n)$.
Placer les points ${\mathrm{P}}_0$, ${\mathrm{P}}_1$, ${\mathrm{P}}_2$, ${\mathrm{P}}_3$ et ${\mathrm{P}}_4$ dans le repère.

148

APPROFONDISSEMENT

[Chercher, Calculer.]
Partie A : Formules de Viète, cas $\mathbf{n}=3$
On considère un polynôme $\text{P}$ de degré $3$ à coefficients réels défini dans $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)={\alpha }_3{z}^3+{\alpha }_2{z}^2+{\alpha }_{1}z+{\alpha }_0$, où ${\alpha }_3$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_1$ et ${\alpha }_0$ sont réels tels que ${\alpha }_3\ne 0$.
On appelle $z_1$, $z_2$ et $z_3$ ses trois racines dans $\mathbb{C}$, éventuellement confondues.

1. Factoriser $\text{P}$ en produit de facteurs de degré $1$.


2. Montrer que $z_1+z_2+z_3=-\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_3}$ et $z_1{z}_2{z}_3=-\frac{{\alpha }_0}{{\alpha }_3}$.


Partie B : Formules de Viète, cas $\mathbf{n}=4$
On considère un polynôme $\text{P}$ de degré $4$ à coefficients réels défini dans $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)={\alpha }_4{z}^4+{\alpha }_3{z}^3+{\alpha }_2{z}^2+{\alpha }_{1}z+{\alpha }_0$, où ${\alpha }_4$, ${\alpha }_3$, ${\alpha }_2$, ${\alpha }_1$ et ${\alpha }_0$ sont réels tels que ${\alpha }_4\ne 0$.
On appelle $z_1$, $z_2$, $z_3$ et $z_4$ ses quatre racines dans $\mathbb{C}$, éventuellement confondues.
Montrer que $z_1+z_2+z_3+z_4=-\frac{{\alpha }_3}{{\alpha }_4}$ et $z_1{z}_2{z}_3{z}_4=\frac{{\alpha }_0}{{\alpha }_4}$.


Partie C : Formules de Viète, cas général
Soient $n$ un entier naturel non nul et $\text{P}$ un polynôme de degré $n$ à coefficients réels défini dans $\mathbb{C}$ par $\mathrm{P}(z)={\alpha }_n{z}^n+\dots +{\alpha }_0$.
On admet qu’un tel polynôme admet nécessairement $n$ racines $z_1;\dots ;z_n$ (éventuellement confondues).

1. Justifier que, pour tout $z\in \mathbb{C}$, on a $\mathrm{P}(z)={\alpha }_n\left(z-z_1\right)\dots \left(z-z_n\right)$.


2. Démontrer les formules de Viète explicitées dans le cours.

149

APPROFONDISSEMENT

[Chercher, Communiquer.]
Résolution par radicaux des équations de degré 3

Partie A  : Retour sur la méthode de Cardan
On considère l’équation $(\mathrm{E}):x^3+px=q$ où $p$ et $q$ sont réels.
On souhaite obtenir une méthode pour calculer une solution réelle $x$ d’une équation de cette forme.
On cherche $x$ sous la forme $x=u+v$ avec $u$ et $v$ réels.

1. Montrer que si $x=u+v$, alors $x^3=u^3+v^3+3u\times v\times x$.


2. En déduire que si on obtient des réels $u$ et $v$ tels que $\{\begin{array}{rl}{u}^3+v^3& =q\\ u\times v& =-\frac{p}{3}\end{array}$ alors $x=u+v$ est une solution de $(\mathrm{E})$.


3. a. On pose $s=u^3$ et $t=v^3$.
Montrer que les systèmes $\{\begin{array}{rl}{u}^3+v^3& =q\\ u\times v& =-\frac{p}{3}\end{array}$ et $\{\begin{array}{rl}{s}^2-qs-\frac{p^3}{27}& =0\\ t& =q-s\end{array}$ sont équivalents.


b. Expliquer comment obtenir une solution $x$ cherchée.


4. Application : Avec la méthode de Cardan, trouver la solution réelle positive de l’équation $x^3+24x=56$.


5. Peut‑on appliquer la méthode de Cardan à l’équation de Bombelli $x^3-15x-4=0$ ? Justifier.


Partie B : Résolution d’une équation de degré 3
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels avec $a\ne 0$. On considère l’équation $\left({\mathrm{E}}^{\prime }\right):a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$.

1. On pose $x=\mathrm{X}-\frac{b}{3a}$.
Montrer que résoudre l’équation $({\mathrm{E}}^{\prime })$ équivaut à résoudre ${\mathrm{X}}^3+p\mathrm{X}=0=q$ où $p$ et $q$ sont deux réels qu’on exprimera en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$.


2. Application : En utilisant la question 1. puis la partie A (méthode de Cardan), résoudre l’équation $x^3-2x^2+x-2=0$.

150

APPROFONDISSEMENT

[Calculer, Raisonner.]
Partie A : Racine carrée d’un nombre complexe
Soit $\alpha =a+\mathrm{i}b$ un nombre complexe, où $a$ et $b$ sont réels. On cherche à déterminer s’il existe un nombre complexe $z$ tel que $z^2=\alpha .$
On pose $z=x+\mathrm{i}y$, où $x$ et $y$ sont deux réels.

1. Montrer que si $z$ est une solution de l’équation $z^2=\alpha$, alors il en est de même de $-z$.


2. Montrer que $z$ est solution de $z^2=\alpha$ si, et seulement si,$x$ et $y$ vérifient le système suivant : $\{\begin{array}{rl}{x}^2-y^2& =a\\ 2xy& =b\\ x^2+y^2& =\sqrt{a^2+b^2}\end{array}$.

3. a. Montrer que si $b>0$, alors une solution de l’équation $z^2=\alpha$ est donnée par $\sqrt{\frac{1}{2}(a+\sqrt{a^2+b^2})}+\mathrm{i}\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{a^2+b^2}-a)}$. Déterminer une deuxième solution de l’équation étudiée.


b. Montrer que si $b<0$, alors une solution de l’équation $z^2=\alpha$ est donnée par $\sqrt{\frac{1}{2}(a+\sqrt{a^2+b^2})}-\mathrm{i}\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt{a^2+b^2}-a)}$. Déterminer une deuxième solution de l’équation dans ce cas.


4. À l’aide de la question 2., déterminer tous les nombres complexes $z$ tels que :
a. $z^2=2\mathrm{i}$


b. $z^2=3-4\mathrm{i}$


Partie B : Résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes
Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres complexes avec $a\ne 0$. On souhaite résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $a{z}^2+bz+c=0$.

1. Montrer que résoudre l’équation $a{z}^2+bz+c=0$ équivaut à résoudre l’équation $a{\left(z+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a}=0$ en posant $\Delta =b^2-4ac$.


2. Soit $\delta \in \mathbb{C}$ tel que ${\delta }^2=\Delta$.
Montrer que les solutions de l’équation $a{z}^2+bz+c=0$ sont données par $\frac{-b-\delta }{2a}$ et $\frac{-b+\delta }{2a}$.


3. Application : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation : $z^2+(3\mathrm{i}-4)z+1-7\mathrm{i}=0$.