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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 1
Entraînement 1
L'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes
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53
Flash
Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels a et b vérifiant l'égalité. 1. a+3 \mathrm{i}=2+\mathrm{i}(1-b)
2. 2+a+\mathrm{i}\left(b^{2}+b\right)=\mathrm{i}\left(2 b-\mathrm{i} a^{2}\right)+3 a+3
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52
Flash
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres suivants. 1. z_{1}=2
2. z_{2}=-3 \mathrm{i}
3. z_{3}=\mathrm{i}-3
4. z_{4}=z_{1}+z_{3}
5. z_{5}=z_{2} \times z_{3}
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54
Flash
Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique.
1. z_{1}=(3-2 \mathrm{i})-(3+2 \mathrm{i})
2. z_{2}=2(1+\mathrm{i})+\mathrm{i}(2 \mathrm{i}-1)
3. z_{3}=(1+\mathrm{i})(3+2 \mathrm{i})
2. z_{2}=2(1+\mathrm{i})+\mathrm{i}(2 \mathrm{i}-1)
3. z_{3}=(1+\mathrm{i})(3+2 \mathrm{i})
4. z_{4}=(1-\mathrm{i})^{3}
5. z_{5}=(1-\mathrm{i})^{5}
5. z_{5}=(1-\mathrm{i})^{5}
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Écrire les nombres complexes sous forme algébrique.
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55
[Calculer.]
1. z=(3-5 \mathrm{i})+(3 \mathrm{i}-2)
2. z=(2 \mathrm{i}-3)+(-1-2 \mathrm{i})
3. z=-\left(1-\frac{3}{2} \mathrm{i}\right)+\left(\frac{1}{2} \mathrm{i}+2\right)
4. z=\left(3-\frac{2}{3} \mathrm{i}\right)-\left(2+\frac{1}{3} \mathrm{i}\right)
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56
[Calculer.]
1. z=(-3+2 \mathrm{i})+(2-5 \mathrm{i})
2. z=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \mathrm{i}\right)+(-2-\mathrm{i})
3. z=-\left(2-\frac{1}{4} \mathrm{i}\right)+\left(\frac{1}{3} \mathrm{i}-1\right)
4. z=\left(\frac{1}{3}+\frac{3}{4} \mathrm{i}\right)-\left(\frac{2}{3} \mathrm{i}-\frac{1}{4}\right)
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57
[Calculer.]
1. z=(3-\mathrm{i} \sqrt{3})+(2 \mathrm{i} \sqrt{3}-5)
2. z=(2 \sqrt{2}+2 \mathrm{i} \sqrt{3})-(3 \mathrm{i} \sqrt{3}-\sqrt{2})
3. z=-\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+(\sqrt{3}-\mathrm{i} \sqrt{2})
4. z=\left(2 \sqrt{3}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2 \mathrm{i} \sqrt{2}\right)
5. z=\left(\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
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58
[Calculer.]
1. z=2(1-3 \mathrm{i})-3(1-2 \mathrm{i})
2. z=-2(1+\mathrm{i})+3(2-\mathrm{i})
3. z=\frac{1}{2}(3-\mathrm{i})-\frac{\mathrm{i}}{3}(1+\mathrm{i})
4. z=-\frac{3 \mathrm{i}}{2}(1-\mathrm{i})-2 \mathrm{i}\left(\frac{1}{2}-\mathrm{i}\right)
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59
[Calculer.]
1. z=(3+\mathrm{i})(1+4 \mathrm{i})
2. z=(2+3 \mathrm{i})(2 \mathrm{i}-1)
2. z=(2+3 \mathrm{i})(2 \mathrm{i}-1)
3. z=(5-\mathrm{i})(2-2 \mathrm{i})
4. z=\left(\frac{3}{2} \mathrm{i}-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{3}{2} \mathrm{i}-\frac{2}{3}\right)
4. z=\left(\frac{3}{2} \mathrm{i}-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{3}{2} \mathrm{i}-\frac{2}{3}\right)
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60
[Calculer.]
1. z=(3+\mathrm{i} \sqrt{3})(2 \mathrm{i} \sqrt{3}+5)
2. z=(2 \sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{3})(3 \mathrm{i} \sqrt{3}-\sqrt{2})
3. z=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
2. z=(2 \sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{3})(3 \mathrm{i} \sqrt{3}-\sqrt{2})
3. z=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
4. z=\left(2 \sqrt{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)(\sqrt{3}-\mathrm{i} \sqrt{2})
5. z=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
5. z=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
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61
[Raisonner.]
1. Déterminer la forme algébrique des puissances suivantes du nombre \mathrm{i} :
a=\mathrm{i}^{2} ; b=\mathrm{i}^{3} ; c=\mathrm{i}^{4} ; d=\mathrm{i}^{5}.
2. Soit k un entier naturel. Calculer sous forme algébrique les puissances entières du nombre \mathrm{i} :
a^{\prime}=\mathrm{i}^{4 k} ; b^{\prime}=\mathrm{i}^{4 k+1} ; c^{\prime}=\mathrm{i}^{4 k+2} ; d^{\prime}=\mathrm{i}^{4 k+3}.
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62
[Calculer.]
1. a. Calculer le nombre complexe z_1 défini par :
z_{1}=1+\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}+\mathrm{i}^{3}.
b. En déduire le calcul de z_{2}=\mathrm{i}^{2020}+\mathrm{i}^{2021}+\mathrm{i}^{2022}+\mathrm{i}^{2023}.
2. De manière plus générale, calculer, pour tout entier naturel n, z=\mathrm{i}^{n}+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}.
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Écrire les nombres complexes sous forme algébrique.
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63
[Calculer.]
1. z=(2+3 \mathrm{i})^{2}
2. z=(1-\mathrm{i} \sqrt{2})^{2}
2. z=(1-\mathrm{i} \sqrt{2})^{2}
3. z=\left(\frac{1}{2} \mathrm{i}-1\right)^{2}
4. z=\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{2} \mathrm{i}\right)^{2}
4. z=\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{2} \mathrm{i}\right)^{2}
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64
[Calculer.]
1. z=\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}
2. z=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}
3. z=(2 \sqrt{3}-\mathrm{i} \sqrt{2})^{2}
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65
[Calculer.]
1. z=\left(3+\frac{1}{2} \mathrm{i}\right)\left(3-\frac{1}{2} \mathrm{i}\right)
2. z=\left(-\frac{1}{3}+\frac{2}{5} \mathrm{i}\right)\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{5} \mathrm{i}\right)
3. z=\left(\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
2. z=\left(-\frac{1}{3}+\frac{2}{5} \mathrm{i}\right)\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{5} \mathrm{i}\right)
3. z=\left(\frac{1}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
4. z=\left(\frac{1}{2} \mathrm{i}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}\right)
5. z=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
6. z=\left(\mathrm{i} \frac{2 \sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i} \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)
5. z=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\mathrm{i} \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
6. z=\left(\mathrm{i} \frac{2 \sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i} \frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)
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66
[Calculer.]
1. z=(1-\mathrm{i})^{3}
2. z=\left(\frac{1}{3}-\mathrm{i}\right)^{3}
2. z=\left(\frac{1}{3}-\mathrm{i}\right)^{3}
3. z=(1+2 i)^{4}
4. z=(\sqrt{2}-\mathrm{i})^{4}
4. z=(\sqrt{2}-\mathrm{i})^{4}
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67
[Calculer.]
1. z=(1+\mathrm{i})^{5}
2. z=(1-2 \mathrm{i})^{5}
3. z=(1+\mathrm{i})^{5}(1-\mathrm{i})^{5}
2. z=(1-2 \mathrm{i})^{5}
3. z=(1+\mathrm{i})^{5}(1-\mathrm{i})^{5}
4. z=(2+\mathrm{i})^{5}
5. z=(2-2 \mathrm{i})^{5}
6. z=(2+\mathrm{i})^{5}(2-\mathrm{i})^{5}
5. z=(2-2 \mathrm{i})^{5}
6. z=(2+\mathrm{i})^{5}(2-\mathrm{i})^{5}
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68
Démo
[Raisonner.]
Soient u et v deux nombres complexes.
Pour n \in \mathbb{N}^{*}, on note \mathrm{R}_{n} la proposition :
(u+v)^{n}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ p\end{array}\right) u^{n-p} v^{p}.
On souhaite démontrer par récurrence que la proposition \mathrm{R}_{n} est vraie pour tout entier naturel n.
1. Vérifier que \mathrm{R}_{0} est vraie.
2. Soit k un entier naturel tel que \mathrm{R}_{k} est vraie, c'est‑à‑dire tel que (u+v)^{k}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p}.
On souhaite montrer que \mathrm{R}_{k+1} est vraie, autrement dit que (u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k+1}\left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}.
a. Montrer que :
b. En déduire que :
2. Soit k un entier naturel tel que \mathrm{R}_{k} est vraie, c'est‑à‑dire tel que (u+v)^{k}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p}.
On souhaite montrer que \mathrm{R}_{k+1} est vraie, autrement dit que (u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k+1}\left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}.
a. Montrer que :
(u+v)^{k+1}=u \mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p}+v \mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p}.
b. En déduire que :
(u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}+\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p+1}.
c. Remplacer p par p - 1 dans la deuxième somme en remarquant que si p - 1 varie de 0 à k, alors p varie de 1 à k + 1. En déduire que :
d. Sachant que \left(\begin{array}{l}k \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k+1 \\ k+1\end{array}\right), que \left(\begin{array}{c}k \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k+1 \\ 0\end{array}\right) et que \left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}k \\ p-1\end{array}\right), en déduire que :
3. Conclure.
(u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}+\mathop{\sum}\limits_{p=1}\limits^{k+1}\left(\begin{array}{c}k \\ p-1\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}.
d. Sachant que \left(\begin{array}{l}k \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k+1 \\ k+1\end{array}\right), que \left(\begin{array}{c}k \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k+1 \\ 0\end{array}\right) et que \left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}k \\ p-1\end{array}\right), en déduire que :
(u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k+1}\left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}.
3. Conclure.
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69
Algo
[Calculer.]
Soient z_{1}=a_{1}+\mathrm{i} b_{1} et z_{2}=a_{2}+\mathrm{i} b_{2} des nombres complexes où a_1, b_1, a_2 et b_2 désignent des réels.
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire de la somme z_1 + z_2 lorsque l'utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de z_1 et de z_2.
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70
Algo
[Calculer.]
Soient z_{1}=a_{1}+\mathrm{i} b_{1} et z_{2}=a_{2}+\mathrm{i} b_{2} des nombres complexes où a_1, b_1, a_2 et b_2 désignent des réels.
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du produit z_1 \times z_2 lorsque l'utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de z_1 et de z_2.
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Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
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71
Vrai / Faux
[Calculer.]
1. « \mathrm{i}^2 est positif. »
2. « Le produit de 1 + \mathrm{i} par 3 + 3\mathrm{i} est égal à 6\mathrm{i}. »
3. « Le nombre complexe z=(2 \mathrm{i}-1)^{2}+2(2 \mathrm{i}-1)+5 est égal à 0. »
4. « Le nombre complexe z=(2-\mathrm{i} \sqrt{3})^{2}+4(2-\mathrm{i} \sqrt{3})+7 est égal à 0. »
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72
Vrai / Faux
[Raisonner.]
1. « La partie réelle du nombre complexe z=(2-\mathrm{i})+3 \mathrm{i}(\mathrm{i}-2) est égale à -1. »
2. « Les nombres complexes z_{1}=(2-\mathrm{i})+3 \mathrm{i}(\mathrm{i}-2) et z_{2}=(-2+\mathrm{i})-3 \mathrm{i}(-2-\mathrm{i}) ont des parties imaginaires opposées. »
3. « Les nombres complexes z_{1}=(2+\mathrm{i})(3-\mathrm{i}) et z_{2}=(\mathrm{i}-2)(\mathrm{i}+3) ont la même partie réelle. »
4. « Le nombre complexe z=(2+\mathrm{i})^{2} est un réel. »
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73
Vrai / Faux
[Raisonner.]
1. « Soient a et b deux réels. Les nombres complexes z_{1}=a(a-1)+\mathrm{i}\left(b^{2}+1\right) et z_{2}=a-1+2 \mathrm{i} b sont opposés pour un unique couple (a ; b). »
2. « Quel que soit le réel b, le nombre complexe z=(2+\mathrm{i} b)(2 b+\mathrm{i}) a une partie imaginaire non nulle. »
3. « Soient a et b deux réels. Les nombres complexes z_{1}=\left(4 a^{2}-a-1\right)+\mathrm{i} b(b-1) et z_{2}=3 a-2+\mathrm{i}(b-1) sont égaux pour un unique couple (a ; b). »
4. « Il n'existe pas de valeur du réel a pour laquelle le nombre complexe z=(a+\mathrm{i})^{3} est un nombre réel. »
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74
[Calculer.]
Résoudre dans \mathbb{C} chacune des équations suivantes (on écrira les solutions sous forme algébrique). 1. 8 z+5 \mathrm{i}=3-z+2 \mathrm{i}
2. 2 \mathrm{i}+3 z=\mathrm{i}(4-\mathrm{i} z)
3. 3 z+2 \mathrm{i}=2 \mathrm{i}(\mathrm{i} z-1)+1
4. (1+\mathrm{i}) z-\mathrm{i}=(2 \mathrm{i}+1)(1+\mathrm{i} z)+2
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75
[Calculer.]
Résoudre dans \mathbb{C} chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants (on écrira les solutions sous forme algébrique).
1. \left\{\begin{aligned}z_{1}+2 z_{2}&=2-4 \mathrm{i} \\ 2 z_{1}-z_{2}&=-1+7 \mathrm{i}\end{aligned}\right.
2. \left\{\begin{aligned} 3 z_{1}+2 z_{2}&=-4+11 \mathrm{i} \\ 5 z_{1}-z_{2}&=-\frac{9}{2}+14 \mathrm{i}\end{aligned}\right.
2. \left\{\begin{aligned} 3 z_{1}+2 z_{2}&=-4+11 \mathrm{i} \\ 5 z_{1}-z_{2}&=-\frac{9}{2}+14 \mathrm{i}\end{aligned}\right.
3. \left\{\begin{aligned} 3 z_{1}+2 z_{2}&=\frac{3}{2} \\ 2 z_{1}+z_{2}&=1-\frac{1}{2} \mathrm{i}\end{aligned}\right.
4. \left\{\begin{aligned} 2 z_{1}+3 z_{2}&=3-\mathrm{i} \\ 3 z_{1}+5 z_{2}&=5-\mathrm{i}\end{aligned}\right.
4. \left\{\begin{aligned} 2 z_{1}+3 z_{2}&=3-\mathrm{i} \\ 3 z_{1}+5 z_{2}&=5-\mathrm{i}\end{aligned}\right.
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