1

L’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

52

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres suivants.

1. $z_1=2$


2. $z_2=-3\mathrm{i}$


3. $z_3=\mathrm{i}-3$


4. $z_4=z_1+z_3$


5. $z_5=z_2\times z_3$

53

Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels $a$ et $b$ vérifiant l’égalité.

1. $a+3\mathrm{i}=2+\mathrm{i}(1-b)$


2. $2+a+\mathrm{i}\left(b^2+b\right)=\mathrm{i}\left(2b-\mathrm{i}{a}^2\right)+3a+3$

54

Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique.

1. $z_1=(3-2\mathrm{i})-(3+2\mathrm{i})$


2. $z_2=2(1+\mathrm{i})+\mathrm{i}(2\mathrm{i}-1)$


3. $z_3=(1+\mathrm{i})(3+2\mathrm{i})$


4. $z_4=(1-\mathrm{i}{)}^3$


5. $z_5=(1-\mathrm{i}{)}^5$

Pour les exercices

55

à 

60

Écrire les nombres complexes sous forme algébrique.

55

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=(3-5\mathrm{i})+(3\mathrm{i}-2)$


2. $z=(2\mathrm{i}-3)+(-1-2\mathrm{i})$


3. $z=-\left(1-\frac{3}{2}\mathrm{i}\right)+\left(\frac{1}{2}\mathrm{i}+2\right)$


4. $z=\left(3-\frac{2}{3}\mathrm{i}\right)-\left(2+\frac{1}{3}\mathrm{i}\right)$

56

[Calculer.]
1. $z=(-3+2\mathrm{i})+(2-5\mathrm{i})$


2. $z=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)+(-2-\mathrm{i})$


3. $z=-\left(2-\frac{1}{4}\mathrm{i}\right)+\left(\frac{1}{3}\mathrm{i}-1\right)$


4. $z=\left(\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\mathrm{i}\right)-\left(\frac{2}{3}\mathrm{i}-\frac{1}{4}\right)$

57

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=(3-\mathrm{i}\sqrt{3})+(2\mathrm{i}\sqrt{3}-5)$


2. $z=(2\sqrt{2}+2\mathrm{i}\sqrt{3})-(3\mathrm{i}\sqrt{3}-\sqrt{2})$


3. $z=-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+(\sqrt{3}-\mathrm{i}\sqrt{2})$


4. $z=\left(2\sqrt{3}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\mathrm{i}\sqrt{2}\right)$


5. $z=\left(\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

58

[Calculer.]
1. $z=2(1-3\mathrm{i})-3(1-2\mathrm{i})$


2. $z=-2(1+\mathrm{i})+3(2-\mathrm{i})$


3. $z=\frac{1}{2}(3-\mathrm{i})-\frac{\mathrm{i}}{3}(1+\mathrm{i})$


4. $z=-\frac{3\mathrm{i}}{2}(1-\mathrm{i})-2\mathrm{i}\left(\frac{1}{2}-\mathrm{i}\right)$

59

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=(3+\mathrm{i})(1+4\mathrm{i})$


2. $z=(2+3\mathrm{i})(2\mathrm{i}-1)$


3. $z=(5-\mathrm{i})(2-2\mathrm{i})$


4. $z=\left(\frac{3}{2}\mathrm{i}-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{3}{2}\mathrm{i}-\frac{2}{3}\right)$

60

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=(3+\mathrm{i}\sqrt{3})(2\mathrm{i}\sqrt{3}+5)$


2. $z=(2\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{3})(3\mathrm{i}\sqrt{3}-\sqrt{2})$


3. $z=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$


4. $z=\left(2\sqrt{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(\sqrt{3}-\mathrm{i}\sqrt{2})$


5. $z=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

61

[Raisonner.]
1. Déterminer la forme algébrique des puissances suivantes du nombre $\mathrm{i}$ : $a={\mathrm{i}}^2$ ; $b={\mathrm{i}}^3$ ; $c={\mathrm{i}}^4$ ; $d={\mathrm{i}}^5$.

2. Soit $k$ un entier naturel. Calculer sous forme algébrique les puissances entières du nombre $\mathrm{i}$ : $a^{\prime }={\mathrm{i}}^{4k}$ ; $b^{\prime }={\mathrm{i}}^{4k+1}$ ; $c^{\prime }={\mathrm{i}}^{4k+2}$ ; $d^{\prime }={\mathrm{i}}^{4k+3}$.

62

[Calculer.]
1. a. Calculer le nombre complexe $z_1$ défini par : $z_1=1+\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2+{\mathrm{i}}^3$.

b. En déduire le calcul de $z_2={\mathrm{i}}^{2020}+{\mathrm{i}}^{2021}+{\mathrm{i}}^{2022}+{\mathrm{i}}^{2023}$.


2. De manière plus générale, calculer, pour tout entier naturel $n$, $z={\mathrm{i}}^n+{\mathrm{i}}^{n+1}+{\mathrm{i}}^{n+2}+{\mathrm{i}}^{n+3}$.

Pour les exercices

63

à 

67

Écrire les nombres complexes sous forme algébrique.

63

[Calculer.]
1. $z=(2+3\mathrm{i}{)}^2$


2. $z=(1-\mathrm{i}\sqrt{2}{)}^2$


3. $z={\left(\frac{1}{2}\mathrm{i}-1\right)}^2$


4. $z={\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)}^2$

64

[Calculer.]
1. $z={\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$


2. $z={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$


3. $z=(2\sqrt{3}-\mathrm{i}\sqrt{2}{)}^2$

65

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=\left(3+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)\left(3-\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)$


2. $z=\left(-\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\mathrm{i}\right)\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\mathrm{i}\right)$


3. $z=\left(\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$


4. $z=\left(\frac{1}{2}\mathrm{i}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)$


5. $z=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$


6. $z=\left(\mathrm{i}\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i}\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

66

[Calculer.]
1. $z=(1-\mathrm{i}{)}^3$


2. $z={\left(\frac{1}{3}-\mathrm{i}\right)}^3$


3. $z=(1+2i{)}^4$


4. $z=(\sqrt{2}-\mathrm{i}{)}^4$

67

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=(1+\mathrm{i}{)}^5$


2. $z=(1-2\mathrm{i}{)}^5$


3. $z=(1+\mathrm{i}{)}^5(1-\mathrm{i}{)}^5$


4. $z=(2+\mathrm{i}{)}^5$


5. $z=(2-2\mathrm{i}{)}^5$


6. $z=(2+\mathrm{i}{)}^5(2-\mathrm{i}{)}^5$

68

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $u$ et $v$ deux nombres complexes.
Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note ${\mathrm{R}}_n$ la proposition : $(u+v{)}^n=\sum _{p=0}^n\left(\begin{array}{l}n\\ p\end{array}\right)u^{n-p}{v}^p$.
On souhaite démontrer par récurrence que la proposition ${\mathrm{R}}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

1. Vérifier que ${\mathrm{R}}_0$ est vraie.


2. Soit $k$ un entier naturel tel que ${\mathrm{R}}_k$ est vraie, c’est‑à‑dire tel que $(u+v{)}^k=\sum _{p=0}^k\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)u^{k-p}{v}^p$.
On souhaite montrer que ${\mathrm{R}}_{k+1}$ est vraie, autrement dit que $(u+v{)}^{k+1}=\sum _{p=0}^{k+1}\left(\begin{array}{c}k+1\\ p\end{array}\right)u^{k+1-p}{v}^p$.
a. Montrer que : $(u+v{)}^{k+1}=u\sum _{p=0}^k\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)u^{k-p}{v}^p+v\sum _{p=0}^k\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)u^{k-p}{v}^p$.


b. En déduire que : $(u+v{)}^{k+1}=\sum _{p=0}^k\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)u^{k+1-p}{v}^p+\sum _{p=0}^k\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)u^{k-p}{v}^{p+1}$.


c. Remplacer $p$ par $p-1$ dans la deuxième somme en remarquant que si $p-1$ varie de $0$ à $k$, alors $p$ varie de $1$ à $k+1$. En déduire que : $(u+v{)}^{k+1}=\sum _{p=0}^k\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)u^{k+1-p}{v}^p+\sum _{p=1}^{k+1}\left(\begin{array}{c}k\\ p-1\end{array}\right)u^{k+1-p}{v}^p$.


d. Sachant que $\left(\begin{array}{l}k\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k+1\\ k+1\end{array}\right)$, que $\left(\begin{array}{c}k\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k+1\\ 0\end{array}\right)$ et que $\left(\begin{array}{c}k+1\\ p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}k\\ p-1\end{array}\right)$, en déduire que : $(u+v{)}^{k+1}=\sum _{p=0}^{k+1}\left(\begin{array}{c}k+1\\ p\end{array}\right)u^{k+1-p}{v}^p$.


3. Conclure.

69

ALGO

[Calculer.]
Soient $z_1=a_1+\mathrm{i}{b}_1$ et $z_2=a_2+\mathrm{i}{b}_2$ des nombres complexes où $a_1$, $b_1$,$a_2$ et $b_2$ désignent des réels.
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire de la somme $z_1+z_2$ lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1$ et de $z_2$.

70

ALGO

[Calculer.]
Soient $z_1=a_1+\mathrm{i}{b}_1$ et $z_2=a_2+\mathrm{i}{b}_2$ des nombres complexes où $a_1$, $b_1$,$a_2$ et $b_2$ désignent des réels.
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du produit $z_1\times z_2$ lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1$ et de $z_2$.

Pour les exercices

71

à 

73

Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

71

VRAI / FAUX

[Calculer.]
1. « ${\mathrm{i}}^2$ est positif. »


2. « Le produit de $1+\mathrm{i}$ par $3+3\mathrm{i}$ est égal à $6\mathrm{i}$. »


3. « Le nombre complexe $z=(2\mathrm{i}-1{)}^2+2(2\mathrm{i}-1)+5$ est égal à $0$. »


4. « Le nombre complexe $z=(2-\mathrm{i}\sqrt{3}{)}^2+4(2-\mathrm{i}\sqrt{3})+7$ est égal à $0$. »

72

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « La partie réelle du nombre complexe $z=(2-\mathrm{i})+3\mathrm{i}(\mathrm{i}-2)$ est égale à $-1$. »


2. « Les nombres complexes $z_1=(2-\mathrm{i})+3\mathrm{i}(\mathrm{i}-2)$ et $z_2=(-2+\mathrm{i})-3\mathrm{i}(-2-\mathrm{i})$ ont des parties imaginaires opposées. »


3. « Les nombres complexes $z_1=(2+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})$ et $z_2=(\mathrm{i}-2)(\mathrm{i}+3)$ ont la même partie réelle. »


4. « Le nombre complexe $z=(2+\mathrm{i}{)}^2$ est un réel. »

73

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « Soient $a$ et $b$ deux réels. Les nombres complexes $z_1=a(a-1)+\mathrm{i}\left(b^2+1\right)$ et $z_2=a-1+2\mathrm{i}b$ sont opposés pour un unique couple $(a;b)$. »


2. « Quel que soit le réel $b$, le nombre complexe $z=(2+\mathrm{i}b)(2b+\mathrm{i})$ a une partie imaginaire non nulle. »


3. « Soient $a$ et $b$ deux réels. Les nombres complexes $z_1=\left(4a^2-a-1\right)+\mathrm{i}b(b-1)$ et $z_2=3a-2+\mathrm{i}(b-1)$ sont égaux pour un unique couple $(a;b)$. »


4. « Il n’existe pas de valeur du réel $a$ pour laquelle le nombre complexe $z=(a+\mathrm{i}{)}^3$ est un nombre réel. »

74

[Calculer.]
Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes (on écrira les solutions sous forme algébrique).

1. $8z+5\mathrm{i}=3-z+2\mathrm{i}$


2. $2\mathrm{i}+3z=\mathrm{i}(4-\mathrm{i}z)$


3. $3z+2\mathrm{i}=2\mathrm{i}(\mathrm{i}z-1)+1$


4. $(1+\mathrm{i})z-\mathrm{i}=(2\mathrm{i}+1)(1+\mathrm{i}z)+2$

75

[Calculer.]
Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants (on écrira les solutions sous forme algébrique).

1. $\{\begin{array}{rl}{z}_1+2z_2& =2-4\mathrm{i}\\ 2z_1-z_2& =-1+7\mathrm{i}\end{array}$


2. $\{\begin{array}{rl}3z_1+2z_2& =-4+11\mathrm{i}\\ 5z_1-z_2& =-\frac{9}{2}+14\mathrm{i}\end{array}$


3. $\{\begin{array}{rl}3z_1+2z_2& =\frac{3}{2}\\ 2z_1+z_2& =1-\frac{1}{2}\mathrm{i}\end{array}$


4. $\{\begin{array}{rl}2z_1+3z_2& =3-\mathrm{i}\\ 3z_1+5z_2& =5-\mathrm{i}\end{array}$