Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres suivants.
1.z1=2
2.z2=−3i
3.z3=i−3
4.z4=z1+z3
5.z5=z2×z3
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53
FLASH
Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels a et b vérifiant l’égalité.
1.a+3i=2+i(1−b)
2.2+a+i(b2+b)=i(2b−ia2)+3a+3
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54
FLASH
Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique.
1.z1=(3−2i)−(3+2i)
2.z2=2(1+i)+i(2i−1)
3.z3=(1+i)(3+2i)
4.z4=(1−i)3
5.z5=(1−i)5
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Pour les exercices
55
à
60
Écrire les nombres complexes sous forme algébrique.
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55
[Calculer.]◉◉◉ 1.z=(3−5i)+(3i−2)
2.z=(2i−3)+(−1−2i)
3.z=−(1−23i)+(21i+2)
4.z=(3−32i)−(2+31i)
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56
[Calculer.] 1.z=(−3+2i)+(2−5i)
2.z=(21−21i)+(−2−i)
3.z=−(2−41i)+(31i−1)
4.z=(31+43i)−(32i−41)
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57
[Calculer.]◉◉◉ 1.z=(3−i3)+(2i3−5)
2.z=(22+2i3)−(3i3−2)
3.z=−(22i+23)+(3−i2)
4.z=(23−i22)−(23+2i2)
5.z=(i43+22)−(−i43+22)
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58
[Calculer.] 1.z=2(1−3i)−3(1−2i)
2.z=−2(1+i)+3(2−i)
3.z=21(3−i)−3i(1+i)
4.z=−23i(1−i)−2i(21−i)
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59
[Calculer.]◉◉◉ 1.z=(3+i)(1+4i)
2.z=(2+3i)(2i−1)
3.z=(5−i)(2−2i)
4.z=(23i−31)(23i−32)
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60
[Calculer.]◉◉◉ 1.z=(3+i3)(2i3+5)
2.z=(22+i3)(3i3−2)
3.z=(22−i22)(21+i22)
4.z=(22−i23)(3−i2)
5.z=(−22+i22)(−21−i23)
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61
[Raisonner.] 1. Déterminer la forme algébrique des puissances suivantes du nombre i :
a=i2 ; b=i3 ; c=i4 ; d=i5.
2. Soit k un entier naturel. Calculer sous forme algébrique les puissances entières du nombre i :
a′=i4k ; b′=i4k+1 ; c′=i4k+2 ; d′=i4k+3.
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62
[Calculer.] 1.a. Calculer le nombre complexe z1 défini par :
z1=1+i+i2+i3.
b. En déduire le calcul de z2=i2020+i2021+i2022+i2023.
2. De manière plus générale, calculer, pour tout entier naturel n, z=in+in+1+in+2+in+3.
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Pour les exercices
63
à
67
Écrire les nombres complexes sous forme algébrique.
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63
[Calculer.] 1.z=(2+3i)2
2.z=(1−i2)2
3.z=(21i−1)2
4.z=(32+21i)2
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64
[Calculer.] 1.z=(21+i23)2
2.z=(22−i22)2
3.z=(23−i2)2
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65
[Calculer.]◉◉◉ 1.z=(3+21i)(3−21i)
2.z=(−31+52i)(31+52i)
3.z=(21−i23)(21+i23)
4.z=(21i−23)(23+21i)
5.z=(−22−i22)(i22−22)
6.z=(i323−23)(−23−i323)
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66
[Calculer.] 1.z=(1−i)3
2.z=(31−i)3
3.z=(1+2i)4
4.z=(2−i)4
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67
[Calculer.]◉◉◉ 1.z=(1+i)5
2.z=(1−2i)5
3.z=(1+i)5(1−i)5
4.z=(2+i)5
5.z=(2−2i)5
6.z=(2+i)5(2−i)5
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68
[Raisonner.]
[DÉMO]
Soient u et v deux nombres complexes.
Pour n∈N∗, on note Rn la proposition :
(u+v)n=p=0∑n(np)un−pvp.
On souhaite démontrer par récurrence que la proposition Rn est vraie pour tout entier naturel n.
1. Vérifier que R0 est vraie.
2. Soit k un entier naturel tel que Rk est vraie, c’est‑à‑dire tel que (u+v)k=p=0∑k(kp)uk−pvp.
On souhaite montrer que Rk+1 est vraie, autrement dit que (u+v)k+1=p=0∑k+1(k+1p)uk+1−pvp.
a. Montrer que :
(u+v)k+1=up=0∑k(kp)uk−pvp+vp=0∑k(kp)uk−pvp.
b. En déduire que :
(u+v)k+1=p=0∑k(kp)uk+1−pvp+p=0∑k(kp)uk−pvp+1.
c. Remplacer p par p−1 dans la deuxième somme en remarquant que si p−1 varie de 0 à k, alors p varie de 1 à k+1. En déduire que :
d. Sachant que (kk)=(k+1k+1), que (k0)=(k+10) et que (k+1p)=(kp)+(kp−1), en déduire que :
(u+v)k+1=p=0∑k+1(k+1p)uk+1−pvp.
3. Conclure.
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69
ALGO
[Calculer.]
Soient z1=a1+ib1 et z2=a2+ib2 des nombres complexes où a1, b1,a2 et b2 désignent des réels.
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire de la somme z1+z2 lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de z1 et de z2.
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70
ALGO
[Calculer.]
Soient z1=a1+ib1 et z2=a2+ib2 des nombres complexes où a1, b1,a2 et b2 désignent des réels.
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du produit z1×z2 lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de z1 et de z2.
Pour les exercices
71
à
73
Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
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71
VRAI / FAUX
[Calculer.] 1. « i2 est positif. »
2. « Le produit de 1+i par 3+3i est égal à 6i. »
3. « Le nombre complexe z=(2i−1)2+2(2i−1)+5 est égal à 0. »
4. « Le nombre complexe z=(2−i3)2+4(2−i3)+7 est égal à 0. »
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72
VRAI / FAUX
[Raisonner.] 1. « La partie réelle du nombre complexe z=(2−i)+3i(i−2) est égale à −1. »
2. « Les nombres complexes z1=(2−i)+3i(i−2) et z2=(−2+i)−3i(−2−i) ont des parties imaginaires opposées. »
3. « Les nombres complexes z1=(2+i)(3−i) et z2=(i−2)(i+3) ont la même partie réelle. »
4. « Le nombre complexe z=(2+i)2 est un réel. »
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73
VRAI / FAUX
[Raisonner.] 1. « Soient a et b deux réels. Les nombres complexes z1=a(a−1)+i(b2+1) et z2=a−1+2ib sont opposés pour un unique couple (a;b). »
2. « Quel que soit le réel b, le nombre complexe z=(2+ib)(2b+i) a une partie imaginaire non nulle. »
3. « Soient a et b deux réels. Les nombres complexes z1=(4a2−a−1)+ib(b−1) et z2=3a−2+i(b−1) sont
égaux pour un unique couple (a;b). »
4. « Il n’existe pas de valeur du réel a pour laquelle le nombre complexe z=(a+i)3 est un nombre réel. »
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74
[Calculer.]
Résoudre dans C chacune des équations suivantes (on écrira les solutions sous forme algébrique).
1.8z+5i=3−z+2i
2.2i+3z=i(4−iz)
3.3z+2i=2i(iz−1)+1
4.(1+i)z−i=(2i+1)(1+iz)+2
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75
[Calculer.]
Résoudre dans C chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants (on écrira les solutions sous forme algébrique).