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1. L’ensemble C des nombres complexes
P.36-37

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Entraînement


1
L’ensemble C\mathbb{C} des nombres complexes





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

52
FLASH

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres suivants.

1. z1=2z_{1}=2


2. z2=3iz_{2}=-3 \mathrm{i}


3. z3=i3z_{3}=\mathrm{i}-3


4. z4=z1+z3z_{4}=z_{1}+z_{3}


5. z5=z2×z3z_{5}=z_{2} \times z_{3}
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53
FLASH

Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels aa et bb vérifiant l’égalité.

1. a+3i=2+i(1b)a+3 \mathrm{i}=2+\mathrm{i}(1-b)


2. 2+a+i(b2+b)=i(2bia2)+3a+32+a+\mathrm{i}\left(b^{2}+b\right)=\mathrm{i}\left(2 b-\mathrm{i} a^{2}\right)+3 a+3
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54
FLASH

Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique.

1. z1=(32i)(3+2i)z_{1}=(3-2 \mathrm{i})-(3+2 \mathrm{i})


2. z2=2(1+i)+i(2i1)z_{2}=2(1+\mathrm{i})+\mathrm{i}(2 \mathrm{i}-1)


3. z3=(1+i)(3+2i)z_{3}=(1+\mathrm{i})(3+2 \mathrm{i})


4. z4=(1i)3z_{4}=(1-\mathrm{i})^{3}


5. z5=(1i)5z_{5}=(1-\mathrm{i})^{5}
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Pour les exercices
55
à 
60


Écrire les nombres complexes sous forme algébrique.
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55
[Calculer.] ◉◉
1. z=(35i)+(3i2)z=(3-5 \mathrm{i})+(3 \mathrm{i}-2)


2. z=(2i3)+(12i)z=(2 \mathrm{i}-3)+(-1-2 \mathrm{i})


3. z=(132i)+(12i+2)z=-\left(1-\dfrac{3}{2} \mathrm{i}\right)+\left(\dfrac{1}{2} \mathrm{i}+2\right)


4. z=(323i)(2+13i)z=\left(3-\dfrac{2}{3} \mathrm{i}\right)-\left(2+\dfrac{1}{3} \mathrm{i}\right)
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56
[Calculer.]
1. z=(3+2i)+(25i)z=(-3+2 \mathrm{i})+(2-5 \mathrm{i})


2. z=(1212i)+(2i)z=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)+(-2-\mathrm{i})


3. z=(214i)+(13i1)z=-\left(2-\dfrac{1}{4} \mathrm{i}\right)+\left(\dfrac{1}{3} \mathrm{i}-1\right)


4. z=(13+34i)(23i14)z=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4} \mathrm{i}\right)-\left(\dfrac{2}{3} \mathrm{i}-\dfrac{1}{4}\right)
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57
[Calculer.] ◉◉
1. z=(3i3)+(2i35)z=(3-\mathrm{i} \sqrt{3})+(2 \mathrm{i} \sqrt{3}-5)


2. z=(22+2i3)(3i32)z=(2 \sqrt{2}+2 \mathrm{i} \sqrt{3})-(3 \mathrm{i} \sqrt{3}-\sqrt{2})


3. z=(22i+32)+(3i2)z=-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+(\sqrt{3}-\mathrm{i} \sqrt{2})


4. z=(23i22)(32+2i2)z=\left(2 \sqrt{3}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+2 \mathrm{i} \sqrt{2}\right)


5. z=(i34+22)(i34+22)z=\left(\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
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58
[Calculer.]
1. z=2(13i)3(12i)z=2(1-3 \mathrm{i})-3(1-2 \mathrm{i})


2. z=2(1+i)+3(2i)z=-2(1+\mathrm{i})+3(2-\mathrm{i})


3. z=12(3i)i3(1+i)z=\dfrac{1}{2}(3-\mathrm{i})-\dfrac{\mathrm{i}}{3}(1+\mathrm{i})


4. z=3i2(1i)2i(12i)z=-\dfrac{3 \mathrm{i}}{2}(1-\mathrm{i})-2 \mathrm{i}\left(\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\right)
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59
[Calculer.] ◉◉
1. z=(3+i)(1+4i)z=(3+\mathrm{i})(1+4 \mathrm{i})


2. z=(2+3i)(2i1)z=(2+3 \mathrm{i})(2 \mathrm{i}-1)


3. z=(5i)(22i)z=(5-\mathrm{i})(2-2 \mathrm{i})


4. z=(32i13)(32i23)z=\left(\dfrac{3}{2} \mathrm{i}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{3}{2} \mathrm{i}-\dfrac{2}{3}\right)
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60
[Calculer.] ◉◉
1. z=(3+i3)(2i3+5)z=(3+\mathrm{i} \sqrt{3})(2 \mathrm{i} \sqrt{3}+5)


2. z=(22+i3)(3i32)z=(2 \sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{3})(3 \mathrm{i} \sqrt{3}-\sqrt{2})


3. z=(22i22)(12+i22)z=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)


4. z=(22i32)(3i2)z=\left(2 \sqrt{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(\sqrt{3}-\mathrm{i} \sqrt{2})


5. z=(22+i22)(12i32)z=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
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61
[Raisonner.]
1. Déterminer la forme algébrique des puissances suivantes du nombre i\mathrm{i} :
a=i2a=\mathrm{i}^{2} ; b=i3b=\mathrm{i}^{3} ; c=i4c=\mathrm{i}^{4} ; d=i5d=\mathrm{i}^{5}.


2. Soit kk un entier naturel. Calculer sous forme algébrique les puissances entières du nombre i\mathrm{i} :
a=i4ka^{\prime}=\mathrm{i}^{4 k} ; b=i4k+1b^{\prime}=\mathrm{i}^{4 k+1} ; c=i4k+2c^{\prime}=\mathrm{i}^{4 k+2} ; d=i4k+3d^{\prime}=\mathrm{i}^{4 k+3}.
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62
[Calculer.]
1. a. Calculer le nombre complexe z1z_1 défini par :
z1=1+i+i2+i3z_{1}=1+\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}+\mathrm{i}^{3}.


b. En déduire le calcul de z2=i2020+i2021+i2022+i2023z_{2}=\mathrm{i}^{2020}+\mathrm{i}^{2021}+\mathrm{i}^{2022}+\mathrm{i}^{2023}.


2. De manière plus générale, calculer, pour tout entier naturel nn, z=in+in+1+in+2+in+3z=\mathrm{i}^{n}+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}.
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Pour les exercices
63
à 
67


Écrire les nombres complexes sous forme algébrique.
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63
[Calculer.]
1. z=(2+3i)2z=(2+3 \mathrm{i})^{2}


2. z=(1i2)2z=(1-\mathrm{i} \sqrt{2})^{2}


3. z=(12i1)2z=\left(\dfrac{1}{2} \mathrm{i}-1\right)^{2}


4. z=(23+12i)2z=\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)^{2}
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64
[Calculer.]
1. z=(12+i32)2z=\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}


2. z=(22i22)2z=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}


3. z=(23i2)2z=(2 \sqrt{3}-\mathrm{i} \sqrt{2})^{2}
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65
[Calculer.] ◉◉◉
1. z=(3+12i)(312i)z=\left(3+\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)\left(3-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)


2. z=(13+25i)(13+25i)z=\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5} \mathrm{i}\right)\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5} \mathrm{i}\right)


3. z=(12i32)(12+i32)z=\left(\dfrac{1}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)


4. z=(12i32)(32+12i)z=\left(\dfrac{1}{2} \mathrm{i}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)


5. z=(22i22)(i2222)z=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)


6. z=(i23332)(32i233)z=\left(\mathrm{i} \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right)
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66
[Calculer.]
1. z=(1i)3z=(1-\mathrm{i})^{3}


2. z=(13i)3z=\left(\dfrac{1}{3}-\mathrm{i}\right)^{3}


3. z=(1+2i)4z=(1+2 i)^{4}


4. z=(2i)4z=(\sqrt{2}-\mathrm{i})^{4}
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67
[Calculer.] ◉◉
1. z=(1+i)5z=(1+\mathrm{i})^{5}


2. z=(12i)5z=(1-2 \mathrm{i})^{5}


3. z=(1+i)5(1i)5z=(1+\mathrm{i})^{5}(1-\mathrm{i})^{5}


4. z=(2+i)5z=(2+\mathrm{i})^{5}


5. z=(22i)5z=(2-2 \mathrm{i})^{5}


6. z=(2+i)5(2i)5z=(2+\mathrm{i})^{5}(2-\mathrm{i})^{5}
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68
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient uu et vv deux nombres complexes.
Pour nNn \in \mathbb{N}^{*}, on note Rn\mathrm{R}_{n} la proposition :
(u+v)n=p=0n(np)unpvp(u+v)^{n}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ p\end{array}\right) u^{n-p} v^{p}.

On souhaite démontrer par récurrence que la proposition Rn\mathrm{R}_{n} est vraie pour tout entier naturel nn.

1. Vérifier que R0\mathrm{R}_{0} est vraie.


2. Soit kk un entier naturel tel que Rk\mathrm{R}_{k} est vraie, c’est‑à‑dire tel que (u+v)k=p=0k(kp)ukpvp(u+v)^{k}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p}.
On souhaite montrer que Rk+1\mathrm{R}_{k+1} est vraie, autrement dit que (u+v)k+1=p=0k+1(k+1p)uk+1pvp(u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k+1}\left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}.
a. Montrer que :
(u+v)k+1=up=0k(kp)ukpvp+vp=0k(kp)ukpvp(u+v)^{k+1}=u \mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p}+v \mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p}.



b. En déduire que :
(u+v)k+1=p=0k(kp)uk+1pvp+p=0k(kp)ukpvp+1(u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}+\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p+1}.



c. Remplacer pp par p1p - 1 dans la deuxième somme en remarquant que si p1p - 1 varie de 00 à kk, alors pp varie de 11 à k+1k + 1. En déduire que :
(u+v)k+1=p=0k(kp)uk+1pvp+p=1k+1(kp1)uk+1pvp(u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}+\mathop{\sum}\limits_{p=1}\limits^{k+1}\left(\begin{array}{c}k \\ p-1\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}.



d. Sachant que (kk)=(k+1k+1)\left(\begin{array}{l}k \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k+1 \\ k+1\end{array}\right), que (k0)=(k+10)\left(\begin{array}{c}k \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k+1 \\ 0\end{array}\right) et que (k+1p)=(kp)+(kp1)\left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}k \\ p-1\end{array}\right), en déduire que :
(u+v)k+1=p=0k+1(k+1p)uk+1pvp(u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k+1}\left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}.



3. Conclure.
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69
ALGO
[Calculer.]
Soient z1=a1+ib1z_{1}=a_{1}+\mathrm{i} b_{1} et z2=a2+ib2z_{2}=a_{2}+\mathrm{i} b_{2} des nombres complexes où a1a_1, b1b_1,a2 a_2 et b2b_2 désignent des réels.
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire de la somme z1+z2z_1 + z_2 lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de z1z_1 et de z2z_2.


  
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70
ALGO
[Calculer.]
Soient z1=a1+ib1z_{1}=a_{1}+\mathrm{i} b_{1} et z2=a2+ib2z_{2}=a_{2}+\mathrm{i} b_{2} des nombres complexes où a1a_1, b1b_1,a2 a_2 et b2b_2 désignent des réels.
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du produit z1×z2z_1 \times z_2 lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de z1z_1 et de z2z_2.


  
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Pour les exercices
71
à 
73


Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
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71
VRAI / FAUX
[Calculer.]
1. « i2\mathrm{i}^2 est positif. »


2. « Le produit de 1+i1 + \mathrm{i} par 3+3i3 + 3\mathrm{i} est égal à 6i6\mathrm{i}. »


3. « Le nombre complexe z=(2i1)2+2(2i1)+5z=(2 \mathrm{i}-1)^{2}+2(2 \mathrm{i}-1)+5 est égal à 00. »


4. « Le nombre complexe z=(2i3)2+4(2i3)+7z=(2-\mathrm{i} \sqrt{3})^{2}+4(2-\mathrm{i} \sqrt{3})+7 est égal à 00. »
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72
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « La partie réelle du nombre complexe z=(2i)+3i(i2)z=(2-\mathrm{i})+3 \mathrm{i}(\mathrm{i}-2) est égale à 1-1. »


2. « Les nombres complexes z1=(2i)+3i(i2)z_{1}=(2-\mathrm{i})+3 \mathrm{i}(\mathrm{i}-2) et z2=(2+i)3i(2i)z_{2}=(-2+\mathrm{i})-3 \mathrm{i}(-2-\mathrm{i}) ont des parties imaginaires opposées. »


3. « Les nombres complexes z1=(2+i)(3i)z_{1}=(2+\mathrm{i})(3-\mathrm{i}) et z2=(i2)(i+3)z_{2}=(\mathrm{i}-2)(\mathrm{i}+3) ont la même partie réelle. »


4. « Le nombre complexe z=(2+i)2z=(2+\mathrm{i})^{2} est un réel. »
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73
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « Soient aa et bb deux réels. Les nombres complexes z1=a(a1)+i(b2+1)z_{1}=a(a-1)+\mathrm{i}\left(b^{2}+1\right) et z2=a1+2ibz_{2}=a-1+2 \mathrm{i} b sont opposés pour un unique couple (a ; b)(a ; b). »


2. « Quel que soit le réel bb, le nombre complexe z=(2+ib)(2b+i)z=(2+\mathrm{i} b)(2 b+\mathrm{i}) a une partie imaginaire non nulle. »


3. « Soient aa et bb deux réels. Les nombres complexes z1=(4a2a1)+ib(b1)z_{1}=\left(4 a^{2}-a-1\right)+\mathrm{i} b(b-1) et z2=3a2+i(b1)z_{2}=3 a-2+\mathrm{i}(b-1) sont égaux pour un unique couple (a ; b)(a ; b). »


4. « Il n’existe pas de valeur du réel aa pour laquelle le nombre complexe z=(a+i)3z=(a+\mathrm{i})^{3} est un nombre réel. »
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74
[Calculer.]
Résoudre dans C\mathbb{C} chacune des équations suivantes (on écrira les solutions sous forme algébrique).

1. 8z+5i=3z+2i8 z+5 \mathrm{i}=3-z+2 \mathrm{i}


2. 2i+3z=i(4iz)2 \mathrm{i}+3 z=\mathrm{i}(4-\mathrm{i} z)


3. 3z+2i=2i(iz1)+13 z+2 \mathrm{i}=2 \mathrm{i}(\mathrm{i} z-1)+1


4. (1+i)zi=(2i+1)(1+iz)+2(1+\mathrm{i}) z-\mathrm{i}=(2 \mathrm{i}+1)(1+\mathrm{i} z)+2
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75
[Calculer.]
Résoudre dans C\mathbb{C} chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants (on écrira les solutions sous forme algébrique).

1. {z1+2z2=24i2z1z2=1+7i\left\{\begin{aligned}z_{1}+2 z_{2}&=2-4 \mathrm{i} \\ 2 z_{1}-z_{2}&=-1+7 \mathrm{i}\end{aligned}\right.


2. {3z1+2z2=4+11i5z1z2=92+14i\left\{\begin{aligned} 3 z_{1}+2 z_{2}&=-4+11 \mathrm{i} \\ 5 z_{1}-z_{2}&=-\dfrac{9}{2}+14 \mathrm{i}\end{aligned}\right.


3. {3z1+2z2=322z1+z2=112i\left\{\begin{aligned} 3 z_{1}+2 z_{2}&=\dfrac{3}{2} \\ 2 z_{1}+z_{2}&=1-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\end{aligned}\right.


4. {2z1+3z2=3i3z1+5z2=5i\left\{\begin{aligned} 2 z_{1}+3 z_{2}&=3-\mathrm{i} \\ 3 z_{1}+5 z_{2}&=5-\mathrm{i}\end{aligned}\right.
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