1

L’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

52

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres suivants.

1. $z_{1}=2$


2. $z_{2}=-3 \mathrm{i}$


3. $z_{3}=\mathrm{i}-3$


4. $z_{4}=z_{1}+z_{3}$


5. $z_{5}=z_{2} \times z_{3}$

53

Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels $a$ et $b$ vérifiant l’égalité.

1. $a+3 \mathrm{i}=2+\mathrm{i}(1-b)$


2. $2+a+\mathrm{i}\left(b^{2}+b\right)=\mathrm{i}\left(2 b-\mathrm{i} a^{2}\right)+3 a+3$

54

Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique.

1. $z_{1}=(3-2 \mathrm{i})-(3+2 \mathrm{i})$


2. $z_{2}=2(1+\mathrm{i})+\mathrm{i}(2 \mathrm{i}-1)$


3. $z_{3}=(1+\mathrm{i})(3+2 \mathrm{i})$


4. $z_{4}=(1-\mathrm{i})^{3}$


5. $z_{5}=(1-\mathrm{i})^{5}$

Pour les exercices

55

à 

60

Écrire les nombres complexes sous forme algébrique.

55

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=(3-5 \mathrm{i})+(3 \mathrm{i}-2)$


2. $z=(2 \mathrm{i}-3)+(-1-2 \mathrm{i})$


3. $z=-\left(1-\dfrac{3}{2} \mathrm{i}\right)+\left(\dfrac{1}{2} \mathrm{i}+2\right)$


4. $z=\left(3-\dfrac{2}{3} \mathrm{i}\right)-\left(2+\dfrac{1}{3} \mathrm{i}\right)$

56

[Calculer.]
1. $z=(-3+2 \mathrm{i})+(2-5 \mathrm{i})$


2. $z=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)+(-2-\mathrm{i})$


3. $z=-\left(2-\dfrac{1}{4} \mathrm{i}\right)+\left(\dfrac{1}{3} \mathrm{i}-1\right)$


4. $z=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4} \mathrm{i}\right)-\left(\dfrac{2}{3} \mathrm{i}-\dfrac{1}{4}\right)$

57

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=(3-\mathrm{i} \sqrt{3})+(2 \mathrm{i} \sqrt{3}-5)$


2. $z=(2 \sqrt{2}+2 \mathrm{i} \sqrt{3})-(3 \mathrm{i} \sqrt{3}-\sqrt{2})$


3. $z=-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)+(\sqrt{3}-\mathrm{i} \sqrt{2})$


4. $z=\left(2 \sqrt{3}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+2 \mathrm{i} \sqrt{2}\right)$


5. $z=\left(\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$

58

[Calculer.]
1. $z=2(1-3 \mathrm{i})-3(1-2 \mathrm{i})$


2. $z=-2(1+\mathrm{i})+3(2-\mathrm{i})$


3. $z=\dfrac{1}{2}(3-\mathrm{i})-\dfrac{\mathrm{i}}{3}(1+\mathrm{i})$


4. $z=-\dfrac{3 \mathrm{i}}{2}(1-\mathrm{i})-2 \mathrm{i}\left(\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\right)$

59

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=(3+\mathrm{i})(1+4 \mathrm{i})$


2. $z=(2+3 \mathrm{i})(2 \mathrm{i}-1)$


3. $z=(5-\mathrm{i})(2-2 \mathrm{i})$


4. $z=\left(\dfrac{3}{2} \mathrm{i}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{3}{2} \mathrm{i}-\dfrac{2}{3}\right)$

60

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=(3+\mathrm{i} \sqrt{3})(2 \mathrm{i} \sqrt{3}+5)$


2. $z=(2 \sqrt{2}+\mathrm{i} \sqrt{3})(3 \mathrm{i} \sqrt{3}-\sqrt{2})$


3. $z=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$


4. $z=\left(2 \sqrt{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)(\sqrt{3}-\mathrm{i} \sqrt{2})$


5. $z=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

61

[Raisonner.]
1. Déterminer la forme algébrique des puissances suivantes du nombre $\mathrm{i}$ : $a=\mathrm{i}^{2}$ ; $b=\mathrm{i}^{3}$ ; $c=\mathrm{i}^{4}$ ; $d=\mathrm{i}^{5}$.

2. Soit $k$ un entier naturel. Calculer sous forme algébrique les puissances entières du nombre $\mathrm{i}$ : $a^{\prime}=\mathrm{i}^{4 k}$ ; $b^{\prime}=\mathrm{i}^{4 k+1}$ ; $c^{\prime}=\mathrm{i}^{4 k+2}$ ; $d^{\prime}=\mathrm{i}^{4 k+3}$.

62

[Calculer.]
1. a. Calculer le nombre complexe $z_1$ défini par : $z_{1}=1+\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}+\mathrm{i}^{3}$.

b. En déduire le calcul de $z_{2}=\mathrm{i}^{2020}+\mathrm{i}^{2021}+\mathrm{i}^{2022}+\mathrm{i}^{2023}$.


2. De manière plus générale, calculer, pour tout entier naturel $n$, $z=\mathrm{i}^{n}+\mathrm{i}^{n+1}+\mathrm{i}^{n+2}+\mathrm{i}^{n+3}$.

Pour les exercices

63

à 

67

Écrire les nombres complexes sous forme algébrique.

63

[Calculer.]
1. $z=(2+3 \mathrm{i})^{2}$


2. $z=(1-\mathrm{i} \sqrt{2})^{2}$


3. $z=\left(\dfrac{1}{2} \mathrm{i}-1\right)^{2}$


4. $z=\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)^{2}$

64

[Calculer.]
1. $z=\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$


2. $z=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$


3. $z=(2 \sqrt{3}-\mathrm{i} \sqrt{2})^{2}$

65

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=\left(3+\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)\left(3-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)$


2. $z=\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5} \mathrm{i}\right)\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5} \mathrm{i}\right)$


3. $z=\left(\dfrac{1}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}+\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$


4. $z=\left(\dfrac{1}{2} \mathrm{i}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\right)$


5. $z=\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$


6. $z=\left(\mathrm{i} \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i} \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$

66

[Calculer.]
1. $z=(1-\mathrm{i})^{3}$


2. $z=\left(\dfrac{1}{3}-\mathrm{i}\right)^{3}$


3. $z=(1+2 i)^{4}$


4. $z=(\sqrt{2}-\mathrm{i})^{4}$

67

[Calculer.] ◉◉◉
1. $z=(1+\mathrm{i})^{5}$


2. $z=(1-2 \mathrm{i})^{5}$


3. $z=(1+\mathrm{i})^{5}(1-\mathrm{i})^{5}$


4. $z=(2+\mathrm{i})^{5}$


5. $z=(2-2 \mathrm{i})^{5}$


6. $z=(2+\mathrm{i})^{5}(2-\mathrm{i})^{5}$

68

[Raisonner.]

[DÉMO]

Soient $u$ et $v$ deux nombres complexes.
Pour $n \in \mathbb{N}^{*}$, on note $\mathrm{R}_{n}$ la proposition : $(u+v)^{n}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ p\end{array}\right) u^{n-p} v^{p}$.
On souhaite démontrer par récurrence que la proposition $\mathrm{R}_{n}$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

1. Vérifier que $\mathrm{R}_{0}$ est vraie.


2. Soit $k$ un entier naturel tel que $\mathrm{R}_{k}$ est vraie, c’est‑à‑dire tel que $(u+v)^{k}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p}$.
On souhaite montrer que $\mathrm{R}_{k+1}$ est vraie, autrement dit que $(u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k+1}\left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}$.
a. Montrer que : $(u+v)^{k+1}=u \mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p}+v \mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p}$.


b. En déduire que : $(u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}+\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k-p} v^{p+1}$.


c. Remplacer $p$ par $p - 1$ dans la deuxième somme en remarquant que si $p - 1$ varie de $0$ à $k$, alors $p$ varie de $1$ à $k + 1$. En déduire que : $(u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k}\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}+\mathop{\sum}\limits_{p=1}\limits^{k+1}\left(\begin{array}{c}k \\ p-1\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}$.


d. Sachant que $\left(\begin{array}{l}k \\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k+1 \\ k+1\end{array}\right)$, que $\left(\begin{array}{c}k \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k+1 \\ 0\end{array}\right)$ et que $\left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k \\ p\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}k \\ p-1\end{array}\right)$, en déduire que : $(u+v)^{k+1}=\mathop{\sum}\limits_{p=0}\limits^{k+1}\left(\begin{array}{c}k+1 \\ p\end{array}\right) u^{k+1-p} v^{p}$.


3. Conclure.

69

ALGO

[Calculer.]
Soient $z_{1}=a_{1}+\mathrm{i} b_{1}$ et $z_{2}=a_{2}+\mathrm{i} b_{2}$ des nombres complexes où $a_1$, $b_1$,$a_2$ et $b_2$ désignent des réels.
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire de la somme $z_1 + z_2$ lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1$ et de $z_2$.

70

ALGO

[Calculer.]
Soient $z_{1}=a_{1}+\mathrm{i} b_{1}$ et $z_{2}=a_{2}+\mathrm{i} b_{2}$ des nombres complexes où $a_1$, $b_1$,$a_2$ et $b_2$ désignent des réels.
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du produit $z_1 \times z_2$ lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de $z_1$ et de $z_2$.

Pour les exercices

71

à 

73

Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

71

VRAI / FAUX

[Calculer.]
1. « $\mathrm{i}^2$ est positif. »


2. « Le produit de $1 + \mathrm{i}$ par $3 + 3\mathrm{i}$ est égal à $6\mathrm{i}$. »


3. « Le nombre complexe $z=(2 \mathrm{i}-1)^{2}+2(2 \mathrm{i}-1)+5$ est égal à $0$. »


4. « Le nombre complexe $z=(2-\mathrm{i} \sqrt{3})^{2}+4(2-\mathrm{i} \sqrt{3})+7$ est égal à $0$. »

72

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « La partie réelle du nombre complexe $z=(2-\mathrm{i})+3 \mathrm{i}(\mathrm{i}-2)$ est égale à $-1$. »


2. « Les nombres complexes $z_{1}=(2-\mathrm{i})+3 \mathrm{i}(\mathrm{i}-2)$ et $z_{2}=(-2+\mathrm{i})-3 \mathrm{i}(-2-\mathrm{i})$ ont des parties imaginaires opposées. »


3. « Les nombres complexes $z_{1}=(2+\mathrm{i})(3-\mathrm{i})$ et $z_{2}=(\mathrm{i}-2)(\mathrm{i}+3)$ ont la même partie réelle. »


4. « Le nombre complexe $z=(2+\mathrm{i})^{2}$ est un réel. »

73

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
1. « Soient $a$ et $b$ deux réels. Les nombres complexes $z_{1}=a(a-1)+\mathrm{i}\left(b^{2}+1\right)$ et $z_{2}=a-1+2 \mathrm{i} b$ sont opposés pour un unique couple $(a ; b)$. »


2. « Quel que soit le réel $b$, le nombre complexe $z=(2+\mathrm{i} b)(2 b+\mathrm{i})$ a une partie imaginaire non nulle. »


3. « Soient $a$ et $b$ deux réels. Les nombres complexes $z_{1}=\left(4 a^{2}-a-1\right)+\mathrm{i} b(b-1)$ et $z_{2}=3 a-2+\mathrm{i}(b-1)$ sont égaux pour un unique couple $(a ; b)$. »


4. « Il n’existe pas de valeur du réel $a$ pour laquelle le nombre complexe $z=(a+\mathrm{i})^{3}$ est un nombre réel. »

74

[Calculer.]
Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacune des équations suivantes (on écrira les solutions sous forme algébrique).

1. $8 z+5 \mathrm{i}=3-z+2 \mathrm{i}$


2. $2 \mathrm{i}+3 z=\mathrm{i}(4-\mathrm{i} z)$


3. $3 z+2 \mathrm{i}=2 \mathrm{i}(\mathrm{i} z-1)+1$


4. $(1+\mathrm{i}) z-\mathrm{i}=(2 \mathrm{i}+1)(1+\mathrm{i} z)+2$

75

[Calculer.]
Résoudre dans $\mathbb{C}$ chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants (on écrira les solutions sous forme algébrique).

1. $\left\{\begin{aligned}z_{1}+2 z_{2}&=2-4 \mathrm{i} \\ 2 z_{1}-z_{2}&=-1+7 \mathrm{i}\end{aligned}\right.$


2. $\left\{\begin{aligned} 3 z_{1}+2 z_{2}&=-4+11 \mathrm{i} \\ 5 z_{1}-z_{2}&=-\dfrac{9}{2}+14 \mathrm{i}\end{aligned}\right.$


3. $\left\{\begin{aligned} 3 z_{1}+2 z_{2}&=\dfrac{3}{2} \\ 2 z_{1}+z_{2}&=1-\dfrac{1}{2} \mathrm{i}\end{aligned}\right.$


4. $\left\{\begin{aligned} 2 z_{1}+3 z_{2}&=3-\mathrm{i} \\ 3 z_{1}+5 z_{2}&=5-\mathrm{i}\end{aligned}\right.$