L'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes

54

Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique.

1. $z_1=(3-2\mathrm{i})-(3+2\mathrm{i})$

2. $z_2=2(1+\mathrm{i})+\mathrm{i}(2\mathrm{i}-1)$

3. $z_3=(1+\mathrm{i})(3+2\mathrm{i})$

4. $z_4=(1-\mathrm{i}{)}^3$

5. $z_5=(1-\mathrm{i}{)}^5$

59

[Calculer.]

1. $z=(3+\mathrm{i})(1+4\mathrm{i})$

2. $z=(2+3\mathrm{i})(2\mathrm{i}-1)$

3. $z=(5-\mathrm{i})(2-2\mathrm{i})$

4. $z=\left(\frac{3}{2}\mathrm{i}-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{3}{2}\mathrm{i}-\frac{2}{3}\right)$

60

[Calculer.]

1. $z=(3+\mathrm{i}\sqrt{3})(2\mathrm{i}\sqrt{3}+5)$

2. $z=(2\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{3})(3\mathrm{i}\sqrt{3}-\sqrt{2})$

3. $z=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

4. $z=\left(2\sqrt{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(\sqrt{3}-\mathrm{i}\sqrt{2})$

5. $z=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

63

[Calculer.]

1. $z=(2+3\mathrm{i}{)}^2$

2. $z=(1-\mathrm{i}\sqrt{2}{)}^2$

3. $z={\left(\frac{1}{2}\mathrm{i}-1\right)}^2$

4. $z={\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)}^2$

65

[Calculer.]

1. $z=\left(3+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)\left(3-\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)$

2. $z=\left(-\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\mathrm{i}\right)\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\mathrm{i}\right)$

3. $z=\left(\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

4. $z=\left(\frac{1}{2}\mathrm{i}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\right)$

5. $z=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

6. $z=\left(\mathrm{i}\frac{2\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i}\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

66

[Calculer.]

1. $z=(1-\mathrm{i}{)}^3$

2. $z={\left(\frac{1}{3}-\mathrm{i}\right)}^3$

3. $z=(1+2i{)}^4$

4. $z=(\sqrt{2}-\mathrm{i}{)}^4$

67

[Calculer.]

1. $z=(1+\mathrm{i}{)}^5$

2. $z=(1-2\mathrm{i}{)}^5$

3. $z=(1+\mathrm{i}{)}^5(1-\mathrm{i}{)}^5$

4. $z=(2+\mathrm{i}{)}^5$

5. $z=(2-2\mathrm{i}{)}^5$

6. $z=(2+\mathrm{i}{)}^5(2-\mathrm{i}{)}^5$

68

Démo

[Raisonner.]
Soient $u$ et $v$ deux nombres complexes.
Pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, on note ${\mathrm{R}}_n$ la proposition :
On souhaite démontrer par récurrence que la proposition ${\mathrm{R}}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

1. Vérifier que ${\mathrm{R}}_0$ est vraie.

2. Soit $k$ un entier naturel tel que ${\mathrm{R}}_k$ est vraie, c'est‑à‑dire tel que $(u+v{)}^k=\sum _{p=0}^k\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)u^{k-p}{v}^p$.
On souhaite montrer que ${\mathrm{R}}_{k+1}$ est vraie, autrement dit que $(u+v{)}^{k+1}=\sum _{p=0}^{k+1}\left(\begin{array}{c}k+1\\ p\end{array}\right)u^{k+1-p}{v}^p$.
a. Montrer que :

$(u+v{)}^{k+1}=u\sum _{p=0}^k\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)u^{k-p}{v}^p+v\sum _{p=0}^k\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)u^{k-p}{v}^p$.

b. En déduire que :

$(u+v{)}^{k+1}=\sum _{p=0}^k\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)u^{k+1-p}{v}^p+\sum _{p=0}^k\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)u^{k-p}{v}^{p+1}$.

c. Remplacer $p$ par $p-1$ dans la deuxième somme en remarquant que si $p-1$ varie de $0$ à $k$, alors $p$ varie de $1$ à $k+1$. En déduire que :

$(u+v{)}^{k+1}=\sum _{p=0}^k\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)u^{k+1-p}{v}^p+\sum _{p=1}^{k+1}\left(\begin{array}{c}k\\ p-1\end{array}\right)u^{k+1-p}{v}^p$.

d. Sachant que $\left(\begin{array}{l}k\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k+1\\ k+1\end{array}\right)$, que $\left(\begin{array}{c}k\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k+1\\ 0\end{array}\right)$ et que $\left(\begin{array}{c}k+1\\ p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}k\\ p\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}k\\ p-1\end{array}\right)$, en déduire que :

$(u+v{)}^{k+1}=\sum _{p=0}^{k+1}\left(\begin{array}{c}k+1\\ p\end{array}\right)u^{k+1-p}{v}^p$.

3. Conclure.