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1. L’ensemble C des nombres complexes
P.36-37

Entraînement


1
L’ensemble des nombres complexes





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 55 ; 59 ; 79 ; 84 ; 94 ; 111 ; 116 et 120
◉◉ Parcours 2 : exercices 57 ; 60 ; 67 ; 85 ; 96 ; 112 et 122
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 102 ; 124 ; 127 et 130

52
FLASH

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres suivants.

1.


2.


3.


4.


5.

53
FLASH

Dans chacun des cas suivants, déterminer les réels et vérifiant l’égalité.

1.


2.

54
FLASH

Écrire chacun des nombres suivants sous forme algébrique.

1.


2.


3.


4.


5.

Pour les exercices
55
à 
60


Écrire les nombres complexes sous forme algébrique.

55
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.

56
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.

57
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.


5.

58
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.

59
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.

60
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.


5.

61
[Raisonner.]
1. Déterminer la forme algébrique des puissances suivantes du nombre  :
 ;  ;  ; .


2. Soit un entier naturel. Calculer sous forme algébrique les puissances entières du nombre  :
 ;  ;  ; .

62
[Calculer.]
1. a. Calculer le nombre complexe défini par :
.


b. En déduire le calcul de .


2. De manière plus générale, calculer, pour tout entier naturel , .

Pour les exercices
63
à 
67


Écrire les nombres complexes sous forme algébrique.

63
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.

64
[Calculer.]
1.


2.


3.

65
[Calculer.] ◉◉◉
1.


2.


3.


4.


5.


6.

66
[Calculer.]
1.


2.


3.


4.

67
[Calculer.] ◉◉
1.


2.


3.


4.


5.


6.

68
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient et deux nombres complexes.
Pour , on note la proposition :
.

On souhaite démontrer par récurrence que la proposition est vraie pour tout entier naturel .

1. Vérifier que est vraie.


2. Soit un entier naturel tel que est vraie, c’est‑à‑dire tel que .
On souhaite montrer que est vraie, autrement dit que .
a. Montrer que :
.



b. En déduire que :
.



c. Remplacer par dans la deuxième somme en remarquant que si varie de à , alors varie de à . En déduire que :
.



d. Sachant que , que et que , en déduire que :
.



3. Conclure.

69
ALGO
[Calculer.]
Soient et des nombres complexes où , , et désignent des réels.
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire de la somme lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de et de .


  

70
ALGO
[Calculer.]
Soient et des nombres complexes où , , et désignent des réels.
Écrire un algorithme qui calcule la partie réelle et la partie imaginaire du produit lorsque l’utilisateur saisit la partie réelle et la partie imaginaire de et de .


  

Pour les exercices
71
à 
73


Pour chacune des affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

71
VRAI / FAUX
[Calculer.]
1. «  est positif. »


2. « Le produit de par est égal à . »


3. « Le nombre complexe est égal à . »


4. « Le nombre complexe est égal à . »

72
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « La partie réelle du nombre complexe est égale à . »


2. « Les nombres complexes et ont des parties imaginaires opposées. »


3. « Les nombres complexes et ont la même partie réelle. »


4. « Le nombre complexe est un réel. »

73
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
1. « Soient et deux réels. Les nombres complexes et sont opposés pour un unique couple . »


2. « Quel que soit le réel , le nombre complexe a une partie imaginaire non nulle. »


3. « Soient et deux réels. Les nombres complexes et sont égaux pour un unique couple . »


4. « Il n’existe pas de valeur du réel pour laquelle le nombre complexe est un nombre réel. »

74
[Calculer.]
Résoudre dans chacune des équations suivantes (on écrira les solutions sous forme algébrique).

1.


2.


3.


4.

75
[Calculer.]
Résoudre dans chacun des systèmes de deux équations à deux inconnues suivants (on écrira les solutions sous forme algébrique).

1.


2.


3.


4.
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