Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Python

Nombres complexes

1
Alignement des points images de trois nombres complexes





On considère trois nombres complexes distincts , et dans le plan complexe.

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que les points , et d'affixes respectives , et soient alignés.


2. En utilisant la question précédente, compléter la fonction ci-dessous qui prend en argument trois nombres complexes distincts et qui renvoie True si les points images de ces trois nombres complexes sont alignés et False sinon.

def alignement(z1, z2, z3):
  M2M1 = z1 - z2
  M2M3 = z3 - z2
  quotient = ...
  if ...
    return True
  else: 
    return False

2
Cocyclicité de quatre points





1. Compléter la fonction module qui renvoie le module d'un nombre complexe donné en argument.

2. En utilisant la fonction module, compléter la fonction cocyclicite afin qu'elle renvoie True si les points images des nombres complexes donnés dans les quatre premiers paramètres sont sur un cercle dont l'affixe du centre est donné en cinquième paramètre et False sinon.

from math import sqrt

def module(z):
  return ...

def cocyclicite(z1, z2, z3, z4, centre):
  a = module(z1 - centre) == module(z2 - centre)
  b = ...
  c = ...
  d = ...
  return a and b and c and d 

3
Conjugué d'un nombre complexe





On choisit d'écrire un nombre complexe en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de .

1. Écrire une fonction conjugue en Python qui prend en entrée un nombre complexe et retourne son conjugué.

2. Écrire une fonction oppose en Python qui prend en entrée un nombre complexe et retourne son opposé.

4
Module d'un nombre complexe



On choisit de représenter un nombre complexe en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de . Écrire une fonction module en Python qui prend en argument un nombre complexe et retourne son module.

5
Somme et différence de complexes




On choisit de représenter un nombre complexe en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de .

1. Écrire une fonction addition en Python qui prend en argument deux nombres complexes et et retourne leur somme.

2. En utilisant la fonction oppose écrite ci-dessus, écrire une fonction soustraction en Python qui prend en argument deux nombres complexes et et retourne leur différence .


   

6
Produit de complexes




On choisit de représenter un nombre complexe en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de . Écrire une fonction multiplication en Python qui prend en argument deux nombres complexes et et retourne leur produit.

 

7
Inverse d'un nombre complexe et quotient de deux nombres complexes




On choisit de représenter un nombre complexe en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de .

1. Écrire une fonction inverse en Python qui prend en argument un nombre complexe non nul et retourne son inverse.
On pourra utiliser les fonctions écrites dans les exercices précédents.

2. En utilisant les fonctions écrites précédemment, écrire une fonction quotient en Python qui prend en argument deux nombres complexes et , étant non nul, et retourne leur quotient .

8
Passer d'une forme trigonométrique à la forme algébrique




On choisit de représenter la forme algébrique d'un nombre complexe en Python sous la forme [a,b], où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de . De même, on représente la forme trigonométrique d'un nombre complexe par [r, ], où r et désignent respectivement le module et un argument en radian de .

1. En utilisant les notations du nombre complexe donné ci-dessus, exprimer et en fonction de et de .


2. Écrire une fonction trig2alg en Python qui prend en argument un nombre complexe écrit sous une forme trigonométrique [r, ] et qui retourne la forme algébrique de sous la forme [a,b].

9
Passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique






On choisit de représenter la forme algébrique d'un nombre complexe en Python sous la forme [a,b], où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de . De même, on représente la forme trigonométrique d'un nombre complexe par [r, ], où r et désignent respectivement le module et un argument en radian de .

1. Rappeler la formule qui permet d'obtenir un argument d'un nombre complexe à partir des parties réelles et imaginaires, et du module.


On pourra s'aider de l'exercice p 71 du manuel de mathématiques expertes.
Aide


2. Écrire une fonction alg2trig en Python qui prend en argument un nombre complexe non nul écrit sous la forme [a,b] et retourne une forme trigonométrique de sous la forme [r, ].

10
Puissances d'un nombre complexe (forme algébrique)

def multiplication(z1, z2):
  return [z1[0]*z2[0] - z1[1]*z2[1], z1[0]*z2[1] + z1[1]*z2[0]]

def mystere(z, n):
  nb = z
  out = [1, 0]
  while n != 0:
    if (n%2) == 1:
      out = multiplication(out, nb)
    nb = multiplication(nb, nb)
    n = n//2
  return out

11
Puissances d'un nombre complexe (forme trigonométrique)




Écrire une fonction qui prend en argument un nombre complexe non nul sous forme trigonométrique et un entier relatif et qui retourne sous forme trigonométrique.

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