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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Python
Nombres complexes
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Fiches de cours Python
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1Alignement des points images de trois nombres complexes
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On considère trois nombres complexes distincts z_\text{A}, z_\text{B} et z_\text{C} dans le plan complexe.
1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que les points \text{A}, \text{B} et \text{C} d'affixes respectives z_\text{A}, z_\text{B} et z_\text{C} soient alignés.
2. En utilisant la question précédente, compléter la fonction ci-dessous qui prend en argument trois nombres complexes distincts et qui renvoie True si les points images de ces trois nombres complexes sont alignés et False sinon.
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On considère trois nombres complexes distincts z_\text{A}, z_\text{B} et z_\text{C} dans le plan complexe.
1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que les points \text{A}, \text{B} et \text{C} d'affixes respectives z_\text{A}, z_\text{B} et z_\text{C} soient alignés.
2. En utilisant la question précédente, compléter la fonction ci-dessous qui prend en argument trois nombres complexes distincts et qui renvoie True si les points images de ces trois nombres complexes sont alignés et False sinon.
def alignement(z1, z2, z3):
M2M1 = z1 - z2
M2M3 = z3 - z2
quotient = ...
if ...
return True
else:
return False
Remarque
Dans cet exercice, on utilisera la commande Python complex pour définir un nombre complexe. Cette commande est naturellement présente un Python, il n'est pas nécessaire d'importer un module particulier.
Python utilise la lettre \text{j} pour désigner le nombre complexe \text{i} comme, par exemple, dans l'affichage ci‑après.
Python utilise la lettre \text{j} pour désigner le nombre complexe \text{i} comme, par exemple, dans l'affichage ci‑après.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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2Cocyclicité de quatre points
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1. Compléter la fonction module qui renvoie le module d'un nombre complexe donné en argument.
2. En utilisant la fonction module, compléter la fonction cocyclicite afin qu'elle renvoie True si les points images des nombres complexes donnés dans les quatre premiers paramètres sont sur un cercle dont l'affixe du centre est donné en cinquième paramètre et False sinon.
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1. Compléter la fonction module qui renvoie le module d'un nombre complexe donné en argument.
2. En utilisant la fonction module, compléter la fonction cocyclicite afin qu'elle renvoie True si les points images des nombres complexes donnés dans les quatre premiers paramètres sont sur un cercle dont l'affixe du centre est donné en cinquième paramètre et False sinon.
from math import sqrt def module(z): return ... def cocyclicite(z1, z2, z3, z4, centre): a = module(z1 - centre) == module(z2 - centre) b = ... c = ... d = ... return a and b and c and d
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3Conjugué d'un nombre complexe
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On choisit d'écrire un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b] où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z.
1. Écrire une fonction conjugue en Python qui prend en entrée un nombre complexe z et retourne son conjugué.
2. Écrire une fonction oppose en Python qui prend en entrée un nombre complexe z et retourne son opposé.
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On choisit d'écrire un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b] où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z.
1. Écrire une fonction conjugue en Python qui prend en entrée un nombre complexe z et retourne son conjugué.
2. Écrire une fonction oppose en Python qui prend en entrée un nombre complexe z et retourne son opposé.
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4Module d'un nombre complexe
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On choisit de représenter un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b] où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z. Écrire une fonction module en Python qui prend en argument un nombre complexe z et retourne son module.
On choisit de représenter un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b] où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z. Écrire une fonction module en Python qui prend en argument un nombre complexe z et retourne son module.
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5Somme et différence de complexes
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On choisit de représenter un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b] où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z.
1. Écrire une fonction addition en Python qui prend en argument deux nombres complexes z_1 et z_2 et retourne leur somme.
2. En utilisant la fonction oppose écrite ci-dessus, écrire une fonction soustraction en Python qui prend en argument deux nombres complexes z_1 et z_2 et retourne leur différence z_1-z_2.
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On choisit de représenter un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b] où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z.
1. Écrire une fonction addition en Python qui prend en argument deux nombres complexes z_1 et z_2 et retourne leur somme.
2. En utilisant la fonction oppose écrite ci-dessus, écrire une fonction soustraction en Python qui prend en argument deux nombres complexes z_1 et z_2 et retourne leur différence z_1-z_2.
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6Produit de complexes
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On choisit de représenter un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b] où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z. Écrire une fonction multiplication en Python qui prend en argument deux nombres complexes z_1 et z_2 et retourne leur produit.
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On choisit de représenter un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b] où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z. Écrire une fonction multiplication en Python qui prend en argument deux nombres complexes z_1 et z_2 et retourne leur produit.
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7Inverse d'un nombre complexe et quotient de deux nombres complexes
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On choisit de représenter un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b] où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z.
1. Écrire une fonction inverse en Python qui prend en argument un nombre complexe non nul z et retourne son inverse.
On pourra utiliser les fonctions écrites dans les exercices précédents.
2. En utilisant les fonctions écrites précédemment, écrire une fonction quotient en Python qui prend en argument deux nombres complexes z_1 et z_2, z_2 étant non nul, et retourne leur quotient \dfrac{z_1}{z_2}.
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On choisit de représenter un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b] où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z.
1. Écrire une fonction inverse en Python qui prend en argument un nombre complexe non nul z et retourne son inverse.
On pourra utiliser les fonctions écrites dans les exercices précédents.
2. En utilisant les fonctions écrites précédemment, écrire une fonction quotient en Python qui prend en argument deux nombres complexes z_1 et z_2, z_2 étant non nul, et retourne leur quotient \dfrac{z_1}{z_2}.
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8Passer d'une forme trigonométrique à la forme algébrique
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On choisit de représenter la forme algébrique d'un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b], où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z. De même, on représente la forme trigonométrique d'un nombre complexe z par [r, \theta], où r et \theta désignent respectivement le module et un argument en radian de z.
1. En utilisant les notations du nombre complexe z donné ci-dessus, exprimer x et y en fonction de r et de \theta.
2. Écrire une fonction trig2alg en Python qui prend en argument un nombre complexe écrit sous une forme trigonométrique [r, \theta] et qui retourne la forme algébrique de z sous la forme [a,b].
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On choisit de représenter la forme algébrique d'un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b], où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z. De même, on représente la forme trigonométrique d'un nombre complexe z par [r, \theta], où r et \theta désignent respectivement le module et un argument en radian de z.
1. En utilisant les notations du nombre complexe z donné ci-dessus, exprimer x et y en fonction de r et de \theta.
2. Écrire une fonction trig2alg en Python qui prend en argument un nombre complexe écrit sous une forme trigonométrique [r, \theta] et qui retourne la forme algébrique de z sous la forme [a,b].
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9Passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique
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On choisit de représenter la forme algébrique d'un nombre complexe z en Python sous la forme [a,b], où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z. De même, on représente la forme trigonométrique d'un nombre complexe z par [r, \theta], où r et \theta désignent respectivement le module et un argument en radian de z.
1. Rappeler la formule qui permet d'obtenir un argument d'un nombre complexe à partir des parties réelles et imaginaires, et du module.
2. Écrire une fonction alg2trig en Python qui prend en argument un nombre complexe non nul écrit sous la forme [a,b] et retourne une forme trigonométrique de z sous la forme [r, \theta].
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1. Rappeler la formule qui permet d'obtenir un argument d'un nombre complexe à partir des parties réelles et imaginaires, et du module.
Aide
On pourra s'aider de l'exercice p 71 du manuel de mathématiques expertes.
2. Écrire une fonction alg2trig en Python qui prend en argument un nombre complexe non nul écrit sous la forme [a,b] et retourne une forme trigonométrique de z sous la forme [r, \theta].
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10Puissances d'un nombre complexe (forme algébrique)
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La fonction mystere est écrite ci-dessous.
1. À quoi sert cette fonction ?
2. En déduire une fonction puissance qui prend en argument un nombre complexe non nul sous forme algébrique z et un entier relatif n, et retourne z^n sous forme algébrique.
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La fonction mystere est écrite ci-dessous.
1. À quoi sert cette fonction ?
2. En déduire une fonction puissance qui prend en argument un nombre complexe non nul sous forme algébrique z et un entier relatif n, et retourne z^n sous forme algébrique.
def multiplication(z1, z2):
return [z1[0]*z2[0] - z1[1]*z2[1], z1[0]*z2[1] + z1[1]*z2[0]]
def mystere(z, n):
nb = z
out = [1, 0]
while n != 0:
if (n%2) == 1:
out = multiplication(out, nb)
nb = multiplication(nb, nb)
n = n//2
return out
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11Puissances d'un nombre complexe (forme trigonométrique)
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Écrire une fonction qui prend en argument un nombre complexe z non nul sous forme trigonométrique et un entier relatif n et qui retourne z^n sous forme trigonométrique.
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Écrire une fonction qui prend en argument un nombre complexe z non nul sous forme trigonométrique et un entier relatif n et qui retourne z^n sous forme trigonométrique.
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