Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Nombres complexes
Page numérique

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




Nombres complexes





1
Alignement des points images de trois nombres complexes ★★

Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles

On considère trois nombres complexes distincts , et dans le plan complexe.

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que les points , et d’affixes respectives , et soient alignés.


2. En utilisant la question précédente, compléter la fonction ci-dessous qui prend en argument trois nombres complexes distincts et qui renvoie True si les points images de ces trois nombres complexes sont alignés et False sinon.

def alignement(z1, z2, z3):
  M2M1 = z1 - z2
  M2M3 = z3 - z2
  quotient = ...
  if ...
    return True
  else: 
    return False

Remarque
Dans cet exercice, on utilisera la commande Python complex pour définir un nombre complexe. Cette commande est naturellement présente un Python, il n'est pas nécessaire d'importer un module particulier.
Python utilise la lettre pour désigner le nombre complexe comme, par exemple, dans l’affichage ci‑dessous.

Cahier Python Expertes nombres complexes
Voir les réponses

2
Cocyclicité de quatre points ★★★

Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles

1. Compléter la fonction module qui renvoie le module d’un nombre complexe donné en argument.

2. En utilisant la fonction module, compléter la fonction cocyclicite afin qu’elle renvoie True si les points images des nombres complexes donnés dans les quatre premiers paramètres sont sur un cercle dont l’affixe du centre est donné en cinquième paramètre et False sinon.

from math import sqrt

def module(z):
  return ...

def cocyclicite(z1, z2, z3, z4, centre):
  a = module(z1 - centre) == module(z2 - centre)
  b = ...
  c = ...
  d = ...
  return a and b and c and d 

Remarque
Dans cet exercice, on utilisera la commande Python complex pour définir un nombre complexe.

3
Conjugué d’un nombre complexe
☆☆

Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions

On choisit d’écrire un nombre complexe en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de .

1. Écrire une fonction conjugue en Python qui prend en entrée un nombre complexe et retourne son conjugué.

2. Écrire une fonction oppose en Python qui prend en entrée un nombre complexe et retourne son opposé.



4
Module d’un nombre complexe
☆☆

Voir fiche n° 3 : Les fonctions

On choisit de représenter un nombre complexe en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de . Écrire une fonction module en Python qui prend en argument un nombre complexe et retourne son module.



5
Somme et différence de complexes
☆☆

Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions


On choisit de représenter un nombre complexe en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de .

1. Écrire une fonction addition en Python qui prend en argument deux nombres complexes et et retourne leur somme.

2. En utilisant la fonction oppose écrite ci-dessus, écrire une fonction soustraction en Python qui prend en argument deux nombres complexes et et retourne leur différence .



6
Produit de complexes
★★

Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions


On choisit de représenter un nombre complexe en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de . Écrire une fonction multiplication en Python qui prend en argument deux nombres complexes et et retourne leur produit.



7
Inverse d’un nombre complexe et quotient de deux nombres complexes
☆☆

Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions


On choisit de représenter un nombre complexe en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de .

1. Écrire une fonction inverse en Python qui prend en argument un nombre complexe non nul et retourne son inverse.
On pourra utiliser les fonctions écrites dans les exercices précédents.

2. En utilisant les fonctions écrites précédemment, écrire une fonction quotient en Python qui prend en argument deux nombres complexes et , étant non nul, et retourne leur quotient .



8
Passer d’une forme trigonométrique à la forme algébrique
★★

Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions


On choisit de représenter la forme algébrique d’un nombre complexe en Python sous la forme [a,b], où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de . De même, on représente la forme trigonométrique d’un nombre complexe par [r, ], où r et désignent respectivement le module et un argument en radian de .

1. En utilisant les notations du nombre complexe donné ci-dessus, exprimer et en fonction de et de .


2. Écrire une fonction trig2alg en Python qui prend en argument un nombre complexe écrit sous une forme trigonométrique [r, ] et qui retourne la forme algébrique de sous la forme [a,b].


Voir les réponses

9
Passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique
☆☆

Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles


On choisit de représenter la forme algébrique d’un nombre complexe en Python sous la forme [a,b], où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de . De même, on représente la forme trigonométrique d’un nombre complexe par [r, ], où r et désignent respectivement le module et un argument en radian de .

1. Rappeler la formule qui permet d’obtenir un argument d’un nombre complexe à partir des parties réelles et imaginaires, et du module.


Aide
On pourra s’aider de l’exercice p 71 du manuel de mathématiques expertes.


2. Écrire une fonction alg2trig en Python qui prend en argument un nombre complexe non nul écrit sous la forme [a,b] et retourne une forme trigonométrique de sous la forme [r, ].


Voir les réponses

10
Puissances d’un nombre complexe (forme algébrique)
★★★

Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 6 : Les boucles non-bornées


La fonction mystere est écrite ci-dessous.

1. À quoi sert cette fonction ?


2. En déduire une fonction puissance qui prend en argument un nombre complexe non nul sous forme algébrique et un entier relatif , et retourne sous forme algébrique.

def multiplication(z1, z2):
  return [z1[0]*z2[0] - z1[1]*z2[1], z1[0]*z2[1] + z1[1]*z2[0]]

def mystere(z, n):
  nb = z
  out = [1, 0]
  while n != 0:
    if (n%2) == 1:
      out = multiplication(out, nb)
    nb = multiplication(nb, nb)
    n = n//2
  return out
Voir les réponses

11
Puissances d’un nombre complexe (forme trigonométrique)
☆☆

Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions

Écrire une fonction qui prend en argument un nombre complexe non nul sous forme trigonométrique et un entier relatif et qui retourne sous forme trigonométrique.


Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.