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Nombres complexes
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Nombres complexes





1
Alignement des points images de trois nombres complexes ★★

Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles

On considère trois nombres complexes distincts zAz_\text{A}, zBz_\text{B} et zCz_\text{C} dans le plan complexe.

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que les points A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} d’affixes respectives zAz_\text{A}, zBz_\text{B} et zCz_\text{C} soient alignés.


2. En utilisant la question précédente, compléter la fonction ci-dessous qui prend en argument trois nombres complexes distincts et qui renvoie True si les points images de ces trois nombres complexes sont alignés et False sinon.

def alignement(z1, z2, z3):
  M2M1 = z1 - z2
  M2M3 = z3 - z2
  quotient = ...
  if ...
    return True
  else: 
    return False

Remarque
Dans cet exercice, on utilisera la commande Python complex pour définir un nombre complexe. Cette commande est naturellement présente un Python, il n'est pas nécessaire d'importer un module particulier.
Python utilise la lettre j\text{j} pour désigner le nombre complexe i\text{i} comme, par exemple, dans l’affichage ci‑dessous.

Cahier Python Expertes nombres complexes

2
Cocyclicité de quatre points ★★★

Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles

1. Compléter la fonction module qui renvoie le module d’un nombre complexe donné en argument.

2. En utilisant la fonction module, compléter la fonction cocyclicite afin qu’elle renvoie True si les points images des nombres complexes donnés dans les quatre premiers paramètres sont sur un cercle dont l’affixe du centre est donné en cinquième paramètre et False sinon.

from math import sqrt

def module(z):
  return ...

def cocyclicite(z1, z2, z3, z4, centre):
  a = module(z1 - centre) == module(z2 - centre)
  b = ...
  c = ...
  d = ...
  return a and b and c and d 

Remarque
Dans cet exercice, on utilisera la commande Python complex pour définir un nombre complexe.

3
Conjugué d’un nombre complexe
☆☆

Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions

On choisit d’écrire un nombre complexe zz en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de zz.

1. Écrire une fonction conjugue en Python qui prend en entrée un nombre complexe zz et retourne son conjugué.

2. Écrire une fonction oppose en Python qui prend en entrée un nombre complexe zz et retourne son opposé.



4
Module d’un nombre complexe
☆☆

Voir fiche n° 3 : Les fonctions

On choisit de représenter un nombre complexe zz en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de zz. Écrire une fonction module en Python qui prend en argument un nombre complexe zz et retourne son module.



5
Somme et différence de complexes
☆☆

Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions


On choisit de représenter un nombre complexe zz en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de zz.

1. Écrire une fonction addition en Python qui prend en argument deux nombres complexes z1z_1 et z2z_2 et retourne leur somme.

2. En utilisant la fonction oppose écrite ci-dessus, écrire une fonction soustraction en Python qui prend en argument deux nombres complexes z1z_1 et z2z_2 et retourne leur différence z1z2z_1-z_2.



6
Produit de complexes
★★

Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions


On choisit de représenter un nombre complexe zz en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de zz. Écrire une fonction multiplication en Python qui prend en argument deux nombres complexes z1z_1 et z2z_2 et retourne leur produit.



7
Inverse d’un nombre complexe et quotient de deux nombres complexes
☆☆

Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions


On choisit de représenter un nombre complexe zz en Python sous la forme [a,b]a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de zz.

1. Écrire une fonction inverse en Python qui prend en argument un nombre complexe non nul zz et retourne son inverse.
On pourra utiliser les fonctions écrites dans les exercices précédents.

2. En utilisant les fonctions écrites précédemment, écrire une fonction quotient en Python qui prend en argument deux nombres complexes z1z_1 et z2z_2, z2z_2 étant non nul, et retourne leur quotient z1z2\dfrac{z_1}{z_2}.



8
Passer d’une forme trigonométrique à la forme algébrique
★★

Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions


On choisit de représenter la forme algébrique d’un nombre complexe zz en Python sous la forme [a,b], où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de zz. De même, on représente la forme trigonométrique d’un nombre complexe zz par [r, θ\theta], où r et θ\theta désignent respectivement le module et un argument en radian de zz.

1. En utilisant les notations du nombre complexe zz donné ci-dessus, exprimer xx et yy en fonction de rr et de θ\theta.


2. Écrire une fonction trig2alg en Python qui prend en argument un nombre complexe écrit sous une forme trigonométrique [r, θ\theta] et qui retourne la forme algébrique de zz sous la forme [a,b].



9
Passer de la forme algébrique à une forme trigonométrique
☆☆

Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles


On choisit de représenter la forme algébrique d’un nombre complexe zz en Python sous la forme [a,b], où a et b désignent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de zz. De même, on représente la forme trigonométrique d’un nombre complexe zz par [r, θ\theta], où r et θ\theta désignent respectivement le module et un argument en radian de zz.

1. Rappeler la formule qui permet d’obtenir un argument d’un nombre complexe à partir des parties réelles et imaginaires, et du module.


Aide
On pourra s’aider de l’exercice p 71 du manuel de mathématiques expertes.


2. Écrire une fonction alg2trig en Python qui prend en argument un nombre complexe non nul écrit sous la forme [a,b] et retourne une forme trigonométrique de zz sous la forme [r, θ\theta].



10
Puissances d’un nombre complexe (forme algébrique)
★★★

Voir fiche n° 2 : Les variables
Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions
Voir fiche n° 4 : Les instructions conditionnelles
Voir fiche n° 6 : Les boucles non-bornées


La fonction mystere est écrite ci-dessous.

1. À quoi sert cette fonction ?


2. En déduire une fonction puissance qui prend en argument un nombre complexe non nul sous forme algébrique zz et un entier relatif nn, et retourne znz^n sous forme algébrique.

def multiplication(z1, z2):
  return [z1[0]*z2[0] - z1[1]*z2[1], z1[0]*z2[1] + z1[1]*z2[0]]

def mystere(z, n):
  nb = z
  out = [1, 0]
  while n != 0:
    if (n%2) == 1:
      out = multiplication(out, nb)
    nb = multiplication(nb, nb)
    n = n//2
  return out

11
Puissances d’un nombre complexe (forme trigonométrique)
☆☆

Voir fiche n° 2 bis : Les listes
Voir fiche n° 3 : Les fonctions

Écrire une fonction qui prend en argument un nombre complexe zz non nul sous forme trigonométrique et un entier relatif nn et qui retourne znz^n sous forme trigonométrique.


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