Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 6
Cours 2

Les graphes

Définitions
Un graphe est une représentation composée de sommets (des points) reliés par des arêtes (segments).
Un graphe orienté est un graphe dont les arêtes sont munies d'un sens de parcours.
L'ordre d'un graphe est le nombre de sommets de ce graphe.
Le degré d'un sommet est le nombre d'arêtes incidentes à ce sommet, sans tenir compte de leur éventuel sens de parcours.
Exemple
Le graphe ci‑contre est d'ordre 5.
Les sommets et sont de degré 3.
Les sommets , et sont de degré 2.

Graphe
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Définitions
Deux sommets sont adjacents lorsqu'ils sont reliés par au moins une arête.
Un graphe est complet lorsque tous ses sommets sont deux à deux adjacents.
Exemples
1. Le graphe ci‑dessous est complet : tous ses sommets sont deux à deux adjacents.

graphe 1
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2. Le graphe ci‑dessous n'est pas complet : les sommets et , par exemple, ne sont pas adjacents.

graphe 2
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Définitions
Pour un graphe non orienté, une chaîne est une suite d'arêtes consécutives reliant deux sommets (éventuellement confondus).
La longueur d'une chaîne est le nombre d'arêtes la composant.
Pour un graphe orienté, un chemin est une suite d'arêtes consécutives reliant deux sommets (éventuellement confondus) en tenant compte du sens de parcours des arêtes.
Exemples
1. Sur le graphe ci-contre, est une chaîne de longueur 4.

2. De même, est une chaîne de longueur 6.

Graphe
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Définition
Un graphe non orienté est connexe lorsque chaque couple de ses sommets peut être relié par une chaîne.
Exemples
1. Un graphe connexe :

Graphe 1
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2. Un graphe non connexe : on ne peut pas relier et par une chaîne.

Graphe 2
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Application et méthode - 4
Énoncé
On considère le graphe ci‑contre. Le graphe est‑il complet ? Connexe ? Justifier les réponses.

Méthode

  • Le graphe est complet si chaque sommet est relié à tous les autres.
  • Le graphe est connexe si on peut trouver une chaîne passant par tous les sommets.
Solution
Les sommets et , par exemple, ne sont pas adjacents donc ce graphe n'est pas complet.
La chaîne passe par tous les sommets donc ce graphe est connexe.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 191

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