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1. Notion de matrice
P.176-180

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COURS 1


1
Notion de matrice





Soient , et trois entiers naturels non nuls.

A
Notion de matrice et opérations


Définition

Une matrice de taille (ou format) est un tableau de nombres réels à lignes et colonnes.

NOTATION

On note ou encore avec et la matrice à lignes et colonnes, où désigne le coefficient situé à la ‑ième ligne et ‑ième colonne.

Exemple

est une matrice à 2 lignes et 3 colonnes donc de taille .

Définitions

Lorsque , on dit que est une matrice ligne, formée d’une seule ligne.
Lorsque , on dit que est une matrice colonne, formée d’une seule colonne.
Lorsque , on dit que est une matrice carrée d’ordre .
Une matrice diagonale est une matrice carrée, dont tous les termes sont nuls sauf lorsque .
La matrice identité d’ordre est la matrice diagonale d’ordre dont les coefficients diagonaux sont égaux à . On la note .
La matrice nulle de taille , notée , est la matrice de taille , dont tous les coefficients sont nuls.

NOTATION

  • On note la matrice diagonale d’ordre dont les coefficients diagonaux sont respectivement .
  • Lorsque la matrice nulle est carrée, on la note .

Exemples

1. est une matrice ligne. est une matrice colonne.

2. est une matrice carrée d’ordre 2.

3. et désignent respectivement la matrice identité et la matrice nulle d’ordre 3.

Remarque

On peut aussi définir des matrices à coefficients complexes.

Définition

Deux matrices et de taille sont égales lorsque, pour tous et , on a .

Définition

Une matrice carrée d’ordre est symétrique lorsque, pour tous et , on a .

Remarque

Deux matrices sont donc égales lorsqu’elles ont la même taille et que les coefficients situés à la même position sont égaux.

Exemple

La matrice est une matrice symétrique.

NOTATION

Si , on note la matrice transposée de .

B
Opérations sur les matrices

Remarques

On obtient ainsi la somme de deux matrices de même taille en additionnant les coefficients de même emplacement. On obtient une matrice en multipliant tous les coefficients de par .

Définitions

Soient et deux matrices de taille .
  • La somme des matrices et , notée , est la matrice de taille telle que, pour tous et , on a .
  • Le produit de la matrice par un réel , noté , est la matrice de taille telle que, pour tous et , on a .

Propriétés

Soient , et trois matrices de même taille et et deux réels.
  • (commutativité de la somme de matrices)
  • (associativité de la somme de matrices)

DÉMONSTRATION

Voir exercices
58
p. 194
et
59
p. 195.

Remarque

L‘égalité équivaut à l’égalité .

Définition

On appelle opposée de la matrice , notée , telle que, pour tous et , on a .
De plus, on note la matrice .

Exemples

Soient et deux matrices de taille .
On a  ;

 ;
et
.

Définition

Soient une matrice ligne de taille et une matrice colonne de taille . Alors le produit est le nombre réel défini par :

Remarque

Pour que le produit soit défini, doit avoir autant de colonnes que a de lignes.

Exemple

Si et , alors .

Définition

Si est une matrice de taille et une matrice de taille , le produit des matrices et , noté ou , est la matrice de taille telle que, pour tous et , on a .
Autrement dit, l’élément est le produit de la -ième ligne de par la -ième colonne de .

Remarque

Lorsque les produits et sont définis, on a en général . Le produit matriciel n’est pas commutatif.

Propriétés

Soient , et trois matrices et un nombre réel. Sous réserve de définition des produits et des sommes, on a :
  • et

Remarque

La multiplication est :
  • associative ;
  • distributive par rapport à l’addition.

Définition

Soient une matrice carrée d’ordre et un entier naturel non nul.
La puissance -ième de , notée , est la matrice .

Remarque

Si est non nulle, alors .

Application et méthode - 1

Énoncé

Soient , , et quatre matrices.
Calculer, lorsque cela est possible, les produits , , et .

C
Inverse de matrice et résolution de système


Définition

Une matrice carrée de taille est inversible lorsqu’il existe une matrice carrée de taille telle que .

NOTATION

La matrice , notée , est unique et est appelée matrice inverse de .

Définition

Soit une matrice carrée d’ordre 2. Le déterminant de est le réel, noté , défini par .

Remarque

On reconnaît la formule du déterminant des vecteurs de coordonnées et .

Propriété

Une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul.
En particulier, si est inversible, alors .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
60
p. 195
.

Propriété (admise)

Soient une matrice carrée de taille et et deux matrices colonnes à lignes.
Si est inversible, alors le système d’écriture matricielle admet une unique solution donnée par la matrice colonne .

Remarque

Si n’est pas inversible, alors soit le système n’a pas de solution soit il en admet une infinité.

Exemple

Si et , alors donc le système
peut s’écrire .

Remarque

Lorsqu’il existe, l’inverse d’une matrice se détermine généralement à l’aide de la calculatrice.

Application et méthode - 2

Énoncé

Résoudre le système .

D
Matrices et transformations du plan


On se place dans un repère orthonormé direct du plan.
Soient , , et quatre nombres réels.

Définition

Une translation de vecteur qui, à tout point du plan, associe son point image tel que se définit matriciellement comme la somme des matrices colonnes .

Remarque

Un repère orthonormé est direct lorsqu’une mesure de l’angle est .

Propriété (admise)

Pour les transformations géométriques planes suivantes, on définit la matrice de transformation qui, à tout point du plan, associe son point image tel que  :
  • pour une symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses, on a  ;
  • pour une symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées, on a  ;
  • pour une rotation de centre d’angle , on a  ;
  • pour une homothétie de centre et de rapport , on a .

Remarque

La translation est la seule transformation usuelle s’exprimant sous forme additive. Les autres s’expriment sous forme multiplicative.

Remarque

En particulier, pour une rotation de centre et d’angle , on a .

Exemple

La matrice associée à la rotation de centre et d’angle est la matrice .

Application et méthode - 3

Énoncé

Dans un repère orthonormé direct , on donne et .
1. Calculer les coordonnées de l’image de par la rotation de centre et d’angle .

2. Calculer les coordonnées de l’image de par la translation de vecteur .