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Notion de matrice

Définition

Une matrice de taille (ou format) $n\times p$ est un tableau de nombres réels à $n$ lignes et $p$ colonnes.

Définitions

Lorsque $n=1$, on dit que $\text{M}$ est une matrice ligne, formée d’une seule ligne.
Lorsque $p=1$, on dit que $\text{M}$ est une matrice colonne, formée d’une seule colonne.
Lorsque $n=p$, on dit que $\text{M}$ est une matrice carrée d’ordre $n$.
Une matrice diagonale est une matrice carrée, dont tous les termes sont nuls sauf lorsque $i=j$.
La matrice identité d’ordre $n$ est la matrice diagonale d’ordre $n$ dont les coefficients diagonaux sont égaux à $1$. On la note ${\mathrm{I}}_n$.
La matrice nulle de taille $n\times p$, notée ${\mathrm{O}}_{n,p}$, est la matrice de taille $n\times p$, dont tous les coefficients sont nuls.

Définition

Deux matrices $\text{A}$ et $\text{B}$ de taille $n\times p$ sont égales lorsque, pour tous $i\in \{1;\dots ;n\}$ et $j\in \{1;\dots ;n\}$, on a $a_{i,j}=a_{j,i}$.

Définition

Une matrice carrée d’ordre $n$ est symétrique lorsque, pour tous $i\in \{1;\dots ;n\}$ et $j\in \{1;\dots ;n\}$, on a $a_{i,j}=a_{j,i}$.

Définitions

Soient $\mathrm{A}=\left(a_{i,j}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(b_{i,j}\right)$ deux matrices de taille $n\times p$.

• La somme des matrices $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$, notée $\text{A + B}$, est la matrice $\mathrm{C}=\left(c_{i,j}\right)$ de taille $n\times p$ telle que, pour tous $1⩽i⩽n$ et $1⩽j⩽p$, on a $c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}$.
• Le produit de la matrice $\mathbf{A}$ par un réel $\lambda$, noté $\lambda \mathrm{A}$, est la matrice $\mathrm{M}=\left(m_{i,j}\right)$ de taille $n\times p$ telle que, pour tous $1⩽i⩽n$ et $1⩽j⩽p$, on a $m_{i,j}=\lambda \times a_{i,j}$.

Propriétés

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois matrices de même taille et $\alpha$ et $\beta$ deux réels.

• $\text{A + B = B + A}$ (commutativité de la somme de matrices)
• $\text{A}+(\text{B}+\text{C})=(\text{A}+\text{B})+\text{C}$ (associativité de la somme de matrices)
• $1\times \mathrm{A}=\mathrm{A}\times 1=\mathrm{A}$
• $(\alpha +\beta )\mathrm{A}=\alpha \mathrm{A}+\beta \mathrm{A}$
• $\alpha (\mathrm{A}+\mathrm{B})=\alpha \mathrm{A}+\alpha \mathrm{B}$

Définition

On appelle opposée de $\text{A}$ la matrice $\mathrm{M}=(-1)\mathrm{A}$, notée $-\text{A}$, telle que, pour tous $1⩽i⩽n$ et $1⩽j⩽p$, on a $m_{i,j}=-a_{i,j}$.
De plus, on note $\text{A}-\text{B}$ la matrice $\text{A}+(-\text{B})$.

Définition

Soient $\mathrm{L}=\left(\begin{array}{llll}{\ell }_{1,1}& {\ell }_{1,2}& \dots & {\ell }_{1,n}\end{array}\right)$ une matrice ligne de taille $1\times n$ et $\mathrm{C}=\left(\begin{array}{c}{c}_{1,1}\\ c_{2,1}\\ ⋮\\ c_{n,1}\end{array}\right)$ une matrice colonne de taille $n\times 1$. Alors le produit $\mathrm{L}\times \mathrm{C}$ est le nombre réel défini par :
$\mathrm{L}\times \mathrm{C}=\left(\begin{array}{llll}{\ell }_{1,1}& {\ell }_{1,2}& \dots & {\ell }_{1,n}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{c}_{1,1}\\ c_{2,1}\\ ⋮\\ c_{n,1}\end{array}\right)={\ell }_{1,1}\times c_{1,1}+{\mathrm{\ell }}_{1,2}\times c_{2,1}+\dots +{\ell }_{1,n}\times c_{n,1}$

Définition

Si $\text{A}$ est une matrice de taille $m\times n$ et $\text{B}$ une matrice de taille $n\times p$, le produit des matrices $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$, noté $\mathrm{A}\times \mathrm{B}$ ou $\text{AB}$, est la matrice $\mathrm{C}=\left(c_{i,j}\right)$ de taille $m\times p$ telle que, pour tous $1⩽i⩽m$ et $1⩽j⩽p$, on a $c_{i,j}=\sum _{k=1}^n{a}_{i,k}\times b_{k,j}$.
Autrement dit, l’élément $c_{i,j}$ est le produit de la $i$-ième ligne de $\text{A}$ par la $j$-ième colonne de $\text{B}$.

Propriétés

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois matrices et $\lambda$ un nombre réel. Sous réserve de définition des produits et des sommes, on a :

• $(\mathrm{A}\times \mathrm{B})\times \mathrm{C}=\mathrm{A}\times (\mathrm{B}\times \mathrm{C})=\mathrm{A}\times \mathrm{B}\times \mathrm{C}$
• $\mathrm{A}\times (\mathrm{B}+\mathrm{C})=(\mathrm{A}\times \mathrm{B})+(\mathrm{A}\times \mathrm{C})$ et $(\mathrm{A}+\mathrm{B})\times \mathrm{C}=(\mathrm{A}\times \mathrm{C})+(\mathrm{B}\times \mathrm{C})$
• $(\lambda \mathrm{A})\times \mathrm{B}=\lambda \mathrm{A}\times \mathrm{B}\text{ et }\mathrm{A}\times (\lambda \mathrm{B})=\lambda \mathrm{A}\times \mathrm{B}$
• ${\mathrm{I}}_n\times \mathrm{A}=\mathrm{A}\times {\mathrm{I}}_n=\mathrm{A}$

Définition

Soient $\text{A}$ une matrice carrée d’ordre $n$ et $k$ un entier naturel non nul.
La puissance $\mathbf{k}$-ième de $\text{A}$, notée ${\mathrm{A}}^k$, est la matrice ${\mathrm{A}}^k=\underset{k\text{ fois }}{\underbrace{\mathrm{A}\times \mathrm{A}\times \mathrm{A}\times \dots \times \mathrm{A}}}$.

Définition

Une matrice carrée $\text{A}$ de taille $n$ est inversible lorsqu’il existe une matrice carrée $\text{B}$ de taille $n$ telle que $\text{A}\times \text{B}=\text{B}\times \text{A}={\text{I}}_n$.

Définition

Soit $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ une matrice carrée d’ordre 2. Le déterminant de $\text{A}$ est le réel, noté $\det (\mathrm{A})$, défini par $\det (\mathrm{A})=ad-bc$.

Propriété

Une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul.
En particulier, si $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ est inversible, alors ${\mathrm{A}}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{ll}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.

Propriété (admise)

Soient $\text{A}$ une matrice carrée de taille $n$ et $\text{X}$ et $\text{B}$ deux matrices colonnes à $n$ lignes.
Si $\text{A}$ est inversible, alors le système d’écriture matricielle $\text{AX = B}$ admet une unique solution donnée par la matrice colonne $\mathrm{X}={\mathrm{A}}^{-1}\times \mathrm{B}$.

Définition

Une translation de vecteur $\overrightarrow{t}\left(\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right)$ qui, à tout point $\mathrm{M}(x;y)$ du plan, associe son point image ${\mathrm{M}}^{\prime }\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ tel que $\overrightarrow{{\mathrm{M}\mathrm{M}}^{\prime }}=\overrightarrow{t}$ se définit matriciellement comme la somme des matrices colonnes $\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}a\\ b\end{array}\right)$.

Propriété (admise)

Pour les transformations géométriques planes suivantes, on définit la matrice de transformation $\mathrm{T}=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ qui, à tout point $\mathrm{M}(x;y)$ du plan, associe son point image ${\mathrm{M}}^{\prime }\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ tel que $\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}a& b\\ c& d\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)$ :

• pour une symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses, on a $\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ ;
• pour une symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées, on a $\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ ;
• pour une rotation de centre $\text{O}$ d’angle $\theta$, on a $\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ ;
• pour une homothétie de centre $\text{O}$ et de rapport $k\in \mathbb{R}$, on a $\mathrm{T}=\left(\begin{array}{ll}k& 0\\ 0& k\end{array}\right)$.