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Notion de matrice

Définition

Une matrice de taille (ou format) $n \times p$ est un tableau de nombres réels à $n$ lignes et $p$ colonnes.

Définitions

Lorsque $n = 1$, on dit que $\text{M}$ est une matrice ligne, formée d’une seule ligne.
Lorsque $p = 1$, on dit que $\text{M}$ est une matrice colonne, formée d’une seule colonne.
Lorsque $n = p$, on dit que $\text{M}$ est une matrice carrée d’ordre $n$.
Une matrice diagonale est une matrice carrée, dont tous les termes sont nuls sauf lorsque $i = j$.
La matrice identité d’ordre $n$ est la matrice diagonale d’ordre $n$ dont les coefficients diagonaux sont égaux à $1$. On la note $\mathrm{I}_{n}$.
La matrice nulle de taille $n \times p$, notée $\mathrm{O}_{n, p}$, est la matrice de taille $n \times p$, dont tous les coefficients sont nuls.

Définition

Deux matrices $\text{A}$ et $\text{B}$ de taille $n \times p$ sont égales lorsque, pour tous $i \in\{1\,; \ldots\,; n\}$ et $j \in\{1\,; \ldots\,; n\}$, on a $a_{i, j}=a_{j, i}$.

Définition

Une matrice carrée d’ordre $n$ est symétrique lorsque, pour tous $i \in\{1 \,; \ldots\,; n\}$ et $j \in\{1\,; \ldots\,; n\}$, on a $a_{i, j}=a_{j, i}$.

Définitions

Soient $\mathrm{A}=\left(a_{i, j}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(b_{i, j}\right)$ deux matrices de taille $n \times p$.

• La somme des matrices $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$, notée $\text{A + B}$, est la matrice $\mathrm{C}=\left(c_{i, j}\right)$ de taille $n \times p$ telle que, pour tous $1 \leqslant i \leqslant n$ et $1 \leqslant j \leqslant p$, on a $c_{i, j}=a_{i, j}+b_{i, j}$.
• Le produit de la matrice $\mathbf{A}$ par un réel $\lambda$, noté $\lambda \mathrm{A}$, est la matrice $\mathrm{M}=\left(m_{i, j}\right)$ de taille $n \times p$ telle que, pour tous $1 \leqslant i \leqslant n$ et $1 \leqslant j \leqslant p$, on a $m_{i, j}=\lambda \times a_{i, j}$.

Propriétés

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois matrices de même taille et $\alpha$ et $\beta$ deux réels.

• $\text{A + B = B + A}$ (commutativité de la somme de matrices)
• $\text{A}+(\text{B}+\text{C})=(\text{A}+\text{B})+\text{C}$ (associativité de la somme de matrices)
• $1 \times \mathrm{A}=\mathrm{A} \times 1=\mathrm{A}$
• $(\alpha+\beta) \mathrm{A}=\alpha \mathrm{A}+\beta \mathrm{A}$
• $\alpha(\mathrm{A}+\mathrm{B})=\alpha \mathrm{A}+\alpha \mathrm{B}$

Définition

On appelle opposée de $\text{A}$ la matrice $\mathrm{M}=(-1) \mathrm{A}$, notée $-\text{A}$, telle que, pour tous $1 \leqslant i \leqslant n$ et $1 \leqslant j \leqslant p$, on a $m_{i, j}=-a_{i, j}$.
De plus, on note $\text{A}-\text{B}$ la matrice $\text{A}+(-\text{B})$.

Définition

Soient $\mathrm{L}=\left(\begin{array}{llll} \ell_{1,1} & \ell_{1,2} & \dots & \ell_{1, n} \end{array}\right)$ une matrice ligne de taille $1 \times n$ et $\mathrm{C}=\left(\begin{array}{c} c_{1,1} \\ c_{2,1} \\ \vdots \\ c_{n, 1} \end{array}\right)$ une matrice colonne de taille $n \times 1$. Alors le produit $\mathrm{L} \times \mathrm{C}$ est le nombre réel défini par :
$\mathrm{L} \times \mathrm{C}=\left(\begin{array}{llll} \color{red} \ell_{1,1} & \color{green} \ell_{1,2} & \dots & \color{blue} \ell_{1, n} \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c} \color{red}c_{1,1} \\ \color{green}c_{2,1} \\ \vdots \\ \color{blue}c_{n, 1} \end{array}\right)=\color{red}\ell_{1,1} \times c_{1,1} \color{black}+ \color{green}\mathrm{\ell}_{1,2} \times c_{2,1}\color{black}+\ldots+\color{blue}\ell_{1, n} \times c_{n, 1}$

Définition

Si $\text{A}$ est une matrice de taille $m \times n$ et $\text{B}$ une matrice de taille $n \times p$, le produit des matrices $\mathbf{A}$ et $\mathbf{B}$, noté $\mathrm{A} \times \mathrm{B}$ ou $\text{AB}$, est la matrice $\mathrm{C}=\left(c_{i, j}\right)$ de taille $m \times p$ telle que, pour tous $1 \leqslant i \leqslant m$ et $1 \leqslant j \leqslant p$, on a $c_{i, j}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} a_{i, k} \times b_{k, j}$.
Autrement dit, l’élément $c_{i, j}$ est le produit de la $i$-ième ligne de $\text{A}$ par la $j$-ième colonne de $\text{B}$.

Propriétés

Soient $\text{A}$, $\text{B}$ et $\text{C}$ trois matrices et $\lambda$ un nombre réel. Sous réserve de définition des produits et des sommes, on a :

• $(\mathrm{A} \times \mathrm{B}) \times \mathrm{C}=\mathrm{A} \times(\mathrm{B} \times \mathrm{C})=\mathrm{A} \times \mathrm{B} \times \mathrm{C}$
• $\mathrm{A} \times(\mathrm{B}+\mathrm{C})=(\mathrm{A} \times \mathrm{B})+(\mathrm{A} \times \mathrm{C})$ et $(\mathrm{A}+\mathrm{B}) \times \mathrm{C}=(\mathrm{A} \times \mathrm{C})+(\mathrm{B} \times \mathrm{C})$
• $(\lambda \mathrm{A}) \times \mathrm{B}=\lambda \mathrm{A} \times \mathrm{B} \text { et } \mathrm{A} \times(\lambda \mathrm{B})=\lambda \mathrm{A} \times \mathrm{B}$
• $\mathrm{I}_{n} \times \mathrm{A}=\mathrm{A} \times \mathrm{I}_{n}=\mathrm{A}$

Définition

Soient $\text{A}$ une matrice carrée d’ordre $n$ et $k$ un entier naturel non nul.
La puissance $\boldsymbol{k}$-ième de $\text{A}$, notée $\mathrm{A}^{k}$, est la matrice $\mathrm{A}^{k}=\underbrace{\mathrm{A} \times \mathrm{A} \times \mathrm{A} \times \ldots \times \mathrm{A}}_{k \text { fois }}$.

Définition

Une matrice carrée $\text{A}$ de taille $n$ est inversible lorsqu’il existe une matrice carrée $\text{B}$ de taille $n$ telle que $\text{A} \times \text{B}=\text{B} \times \text{A}=\text{I}_{n}$.

Définition

Soit $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)$ une matrice carrée d’ordre 2. Le déterminant de $\text{A}$ est le réel, noté $\operatorname{det}(\mathrm{A})$, défini par $\operatorname{det}(\mathrm{A})=a d-b c$.

Propriété

Une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul.
En particulier, si $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)$ est inversible, alors $\mathrm{A}^{-1}=\dfrac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{ll} d & -b \\ -c & a \end{array}\right)$.

Propriété (admise)

Soient $\text{A}$ une matrice carrée de taille $n$ et $\text{X}$ et $\text{B}$ deux matrices colonnes à $n$ lignes.
Si $\text{A}$ est inversible, alors le système d’écriture matricielle $\text{AX = B}$ admet une unique solution donnée par la matrice colonne $\mathrm{X}=\mathrm{A}^{-1} \times \mathrm{B}$.

Définition

Une translation de vecteur $\overrightarrow{t}\left(\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right)$ qui, à tout point $\mathrm{M}(x\,; y)$ du plan, associe son point image $\mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}=\overrightarrow{t}$ se définit matriciellement comme la somme des matrices colonnes $\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right)$.

Propriété (admise)

Pour les transformations géométriques planes suivantes, on définit la matrice de transformation $\mathrm{T}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right)$ qui, à tout point $\mathrm{M}(x\,; y)$ du plan, associe son point image $\mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right)$ tel que $\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)$ :

• pour une symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses, on a $\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$ ;
• pour une symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées, on a $\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ ;
• pour une rotation de centre $\text{O}$ d’angle $\theta$, on a $\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ ;
• pour une homothétie de centre $\text{O}$ et de rapport $k \in \mathbb{R}$, on a $\mathrm{T}=\left(\begin{array}{ll} k & 0 \\ 0 & k \end{array}\right)$.