Notion de matrice

Une matrice de taille (ou format) n \times p est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes.

\left(\begin{array}{ccc} 2 & -5 & 1 \\ 0,5 & 4 & -\sqrt{2} \end{array}\right) est une matrice à 2 lignes et 3 colonnes donc de taille 2 \times 3.

On note \left(\begin{array}{ccccc} a_{1,1} & \dots & a_{1, j} & \dots & a_{1, p} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i, 1} & \dots & a_{i, j} & \dots & a_{i, p} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n, 1} & \dots & a_{n, j} & \dots & a_{n, p} \end{array}\right) ou encore \left(a_{i, j}\right) avec 1 \leqslant i \leqslant n et 1 \leqslant j \leqslant p la matrice à n lignes et p colonnes, où a_{i,j} désigne le coefficient situé à la i‑ième ligne et j‑ième colonne.

Lorsque n = 1, on dit que \text{M} est une matrice ligne, formée d'une seule ligne.
Lorsque p = 1, on dit que \text{M} est une matrice colonne, formée d'une seule colonne.
Lorsque n = p, on dit que \text{M} est une matrice carrée d'ordre n.
Une matrice diagonale est une matrice carrée D, dont tous les termes d_{i,j} sont nuls lorsque i \ne j.
La matrice identité d'ordre n est la matrice diagonale d'ordre n dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1. On la note \mathrm{I}_{n}.
La matrice nulle de taille n \times p, notée \mathrm{O}_{n, p}, est la matrice de taille n \times p, dont tous les coefficients sont nuls.

• On note \operatorname{Diag}\left(d_{1}\,; \ldots\,; d_{n}\right) la matrice diagonale d'ordre n dont les coefficients diagonaux sont respectivement d_{1}\,; \ldots\,; d_{n}.
• Lorsque la matrice nulle est carrée, on la note 0_{n}.

Deux matrices \text{A} et \text{B} de taille n \times p sont égales lorsque, pour tous i \in\{1\,; \ldots\,; n\} et j \in\{1\,; \ldots\,; n\}, on a a_{i, j}=b_{i, j}.

Deux matrices sont donc égales lorsqu'elles ont la même taille et que les coefficients situés à la même position sont égaux.

Une matrice carrée d'ordre n est symétrique lorsque, pour tous i \in\{1 \,; \ldots\,; n\} et j \in\{1\,; \ldots\,; p\}, on a a_{i, j}=a_{j, i}.

Si \mathrm{A}=\left(a_{i, j}\right), on note ^{t} \mathrm{A}=\left(a_{j, i}\right) la matrice transposée de \text{A}.

Soient \mathrm{A}=\left(a_{i, j}\right) et \mathrm{B}=\left(b_{i, j}\right) deux matrices de taille n \times p.

• La somme des matrices \mathbf{A} et \mathbf{B}, notée \text{A + B}, est la matrice \mathrm{C}=\left(c_{i, j}\right) de taille n \times p telle que, pour tous 1 \leqslant i \leqslant n et 1 \leqslant j \leqslant p, on a c_{i, j}=a_{i, j}+b_{i, j}.
• Le produit de la matrice \mathbf{A} par un réel \lambda, noté \lambda \mathrm{A}, est la matrice \mathrm{M}=\left(m_{i, j}\right) de taille n \times p telle que, pour tous 1 \leqslant i \leqslant n et 1 \leqslant j \leqslant p, on a m_{i, j}=\lambda \times a_{i, j}.

On obtient ainsi la somme de deux matrices de même taille en additionnant les coefficients de même emplacement. On obtient une matrice \lambda \mathrm{A} en multipliant tous les coefficients de \text{A} par \lambda.

On appelle opposée de \text{A} la matrice \mathrm{M}=(-1) \mathrm{A}, notée -\text{A}, telle que, pour tous 1 \leqslant i \leqslant n et 1 \leqslant j \leqslant p, on a m_{i, j}=-a_{i, j}.
De plus, on note \text{A}-\text{B} la matrice \text{A}+(-\text{B}).

L‘égalité \text{M + A = B} équivaut à l'égalité \mathrm{M}=\mathrm{B}-\mathrm{A}.

Soient \mathrm{L}=\left(\begin{array}{llll} \ell_{1,1} & \ell_{1,2} & \dots & \ell_{1, n} \end{array}\right) une matrice ligne de taille 1 \times n et \mathrm{C}=\left(\begin{array}{c} c_{1,1} \\ c_{2,1} \\ \vdots \\ c_{n, 1} \end{array}\right) une matrice colonne de taille n \times 1. Alors le produit \mathrm{L} \times \mathrm{C} est le nombre réel défini par :
\mathrm{L} \times \mathrm{C}=\left(\begin{array}{llll} \color{red} \ell_{1,1} & \color{green} \ell_{1,2} & \dots & \color{blue} \ell_{1, n} \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c} \color{red}c_{1,1} \\ \color{green}c_{2,1} \\ \vdots \\ \color{blue}c_{n, 1} \end{array}\right)=\color{red}\ell_{1,1} \times c_{1,1} \color{black}+ \color{green}\mathrm{\ell}_{1,2} \times c_{2,1}\color{black}+\ldots+\color{blue}\ell_{1, n} \times c_{n, 1}

Pour que le produit \mathrm{L} \times \mathrm{C} soit défini, \text{L} doit avoir autant de colonnes que \text{C} a de lignes.

Si \text{A} est une matrice de taille m \times n et \text{B} une matrice de taille n \times p, le produit des matrices \mathbf{A} et \mathbf{B}, noté \mathrm{A} \times \mathrm{B} ou \text{AB}, est la matrice \mathrm{C}=\left(c_{i, j}\right) de taille m \times p telle que, pour tous 1 \leqslant i \leqslant m et 1 \leqslant j \leqslant p, on a c_{i, j}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} a_{i, k} \times b_{k, j}.
Autrement dit, l'élément c_{i, j} est le produit de la i-ième ligne de \text{A} par la j-ième colonne de \text{B}.

Lorsque les produits \mathrm{A} \times \mathrm{B} et \mathrm{B} \times \mathrm{A} sont définis, on a en général \mathrm{A} \times \mathrm{B} \neq \mathrm{B} \times \mathrm{A}. Le produit matriciel n'est pas commutatif.

Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois matrices et \lambda un nombre réel. Sous réserve de définition des produits et des sommes, on a :

• (\mathrm{A} \times \mathrm{B}) \times \mathrm{C}=\mathrm{A} \times(\mathrm{B} \times \mathrm{C})=\mathrm{A} \times \mathrm{B} \times \mathrm{C}
• \mathrm{A} \times(\mathrm{B}+\mathrm{C})=(\mathrm{A} \times \mathrm{B})+(\mathrm{A} \times \mathrm{C}) et (\mathrm{A}+\mathrm{B}) \times \mathrm{C}=(\mathrm{A} \times \mathrm{C})+(\mathrm{B} \times \mathrm{C})
• (\lambda \mathrm{A}) \times \mathrm{B}=\lambda \mathrm{A} \times \mathrm{B} \text { et } \mathrm{A} \times(\lambda \mathrm{B})=\lambda \mathrm{A} \times \mathrm{B}
• \mathrm{I}_{n} \times \mathrm{A}=\mathrm{A} \times \mathrm{I}_{n}=\mathrm{A}

La multiplication est :

• associative ;
• distributive par rapport à l'addition.

Soient \text{A} une matrice carrée d'ordre n et k un entier naturel non nul.
La puissance \boldsymbol{k}-ième de \text{A}, notée \mathrm{A}^{k}, est la matrice \mathrm{A}^{k}=\underbrace{\mathrm{A} \times \mathrm{A} \times \mathrm{A} \times \ldots \times \mathrm{A}}_{k \text { fois }}.

Si \text{A} est non nulle, alors \mathrm{A}^{0}=\mathrm{I}_{n}.

Une matrice carrée \text{A} de taille n est inversible lorsqu'il existe une matrice carrée \text{B} de taille n telle que \text{A} \times \text{B}=\text{B} \times \text{A}=\text{I}_{n}.

La matrice \text{B}, notée \mathrm{A}^{-1}, est unique et est appelée matrice inverse de \mathrm{A}.

Soit \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) une matrice carrée d'ordre 2. Le déterminant de \text{A} est le réel, noté \operatorname{det}(\mathrm{A}), défini par \operatorname{det}(\mathrm{A})=a d-b c.

On reconnaît la formule du déterminant des vecteurs de coordonnées \left(\begin{array}{l} a \\ c \end{array}\right) et \left(\begin{array}{l} b \\ d \end{array}\right).

Une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul.
En particulier, si \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) est inversible, alors \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{ll} d & -b \\ -c & a \end{array}\right).

Voir exercice

60

p. 195.

Soient \text{A} une matrice carrée de taille n et \text{X} et \text{B} deux matrices colonnes à n lignes.
Si \text{A} est inversible, alors le système d'écriture matricielle \text{AX = B} admet une unique solution donnée par la matrice colonne \mathrm{X}=\mathrm{A}^{-1} \times \mathrm{B}.

Si \text{A} n'est pas inversible, alors soit le système n'a pas de solution soit il en admet une infinité.

Si \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} 6 & 2 \\ -8 & 5 \end{array}\right) et \mathrm{X}=\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right), alors \mathrm{AX}=\left(\begin{array}{c} 6 x+2 y \\ -8 x+5 y \end{array}\right) donc le système \left\{\begin{array}{c} 6 x+2 y=3 \\ -8 x+5 y=12 \end{array}\right.
peut s'écrire \mathrm{AX}=\mathrm{B} \text { avec } \mathrm{B}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 12 \end{array}\right).

Lorsqu'il existe, l'inverse d'une matrice se détermine généralement à l'aide de la calculatrice.

Énoncé

Résoudre le système \left\{\begin{array}{l} 5 x+2 y=16 \\ 4 x+3 y=17 \end{array}\right..

1. On détermine la matrice carrée \text{A} et la matrice colonne \text{B} telles que le système s'écrit sous la forme \text{AX = B}.

2. Si la matrice \text{A} n'est pas inversible, le système n'a pas de solution.
Si la matrice \text{A} est inversible, on détermine son inverse \mathrm{A}^{-1} à l'aide de la calculatrice.

3. Lorsqu'elle existe, la solution du système est \mathrm{X}=\mathrm{A}^{-1} \times \mathrm{B}.

Une translation de vecteur \overrightarrow{t}\left(\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right) qui, à tout point \mathrm{M}(x\,; y) du plan, associe son point image \mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) tel que \overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}=\overrightarrow{t} se définit matriciellement comme la somme des matrices colonnes \left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right).

Un repère orthonormé est direct lorsqu'une mesure de l'angle (\overrightarrow{i}\,; \overrightarrow{j}) est \frac{\pi}{2}.

Pour les transformations géométriques planes suivantes, on définit la matrice de transformation \mathrm{T}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) qui, à tout point \mathrm{M}(x\,; y) du plan, associe son point image \mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right) tel que \left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) :

• pour une symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses, on a \mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) ;
• pour une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées, on a \mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) ;
• pour une rotation de centre \text{O} d'angle \theta, on a \mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) ;
• pour une homothétie de centre \text{O} et de rapport k \in \mathbb{R}, on a \mathrm{T}=\left(\begin{array}{ll} k & 0 \\ 0 & k \end{array}\right).

La translation est la seule transformation usuelle s'exprimant sous forme additive. Les autres s'expriment sous forme multiplicative.

En particulier, pour une rotation de centre \text{O} et d'angle \frac{\pi}{2}, on a \mathrm{T}=\left(\begin{array}{ll} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right).

Dans un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}), on donne \mathrm{A}(2\,; 4) et \mathrm{B}(5\,; 3).

1. Calculer les coordonnées de l'image \mathrm{A}^{\prime} de \mathrm{A} par la rotation de centre \text{O} et d'angle \frac{\pi}{3}.

2. Calculer les coordonnées de l'image \mathrm{B}^{\prime} de \mathrm{B} par la translation de vecteur \overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 5 \\ -3 \end{array}\right).

1. On détermine la matrice correspondant à chaque transformation ;

2. On calcule ensuite les coordonnées des points images, de manière additive pour une translation et de manière multiplicative pour une autre transformation de référence.