Une matrice de taille (ou format) n×p est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes.
NOTATION
On note ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛a1,1⋮ai,1⋮an,1………a1,j⋮ai,j⋮an,j………a1,p⋮ai,p⋮an,p⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞ ou encore (ai,j) avec 1⩽i⩽n et 1⩽j⩽p la matrice à n lignes
et p colonnes, où ai,j
désigne le coefficient
situé à la i‑ième ligne
et j‑ième colonne.
Exemple
(20,5−541−2) est une matrice à 2 lignes et 3 colonnes donc de taille 2×3.
Définitions
Lorsque n=1, on dit que M est une matrice ligne, formée d’une seule ligne.
Lorsque p=1, on dit que M est une matrice colonne, formée d’une seule colonne.
Lorsque n=p, on dit que M est une matrice carrée d’ordre n.
Une matrice diagonale est une matrice carrée, dont tous les termes sont nuls sauf lorsque i=j.
La matrice identité d’ordre n est la matrice diagonale d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1. On la note In.
La matrice nulle de taille n×p, notée On,p, est la matrice de taille n×p, dont tous les coefficients sont nuls.
NOTATION
On note
Diag(d1;…;dn)
la matrice diagonale
d’ordre n dont
les coefficients
diagonaux sont
respectivement
d1;…;dn.
Lorsque la matrice
nulle est carrée, on
la note 0n.
Exemples
1. (291−15) est une matrice ligne. (32) est une matrice colonne.
2. (3102) est une matrice carrée d’ordre 2.
3. I3=⎝⎛100010001⎠⎞ et O3=⎝⎛000000000⎠⎞ désignent respectivement la matrice identité et la
matrice nulle d’ordre 3.
Remarque
On peut
aussi définir des
matrices à coefficients
complexes.
Définition
Deux matrices A et B de taille n×p sont égales lorsque, pour tous i∈{1;…;n} et j∈{1;…;n}, on a ai,j=aj,i.
Définition
Une matrice carrée d’ordre n est symétrique lorsque, pour tous i∈{1;…;n} et j∈{1;…;n}, on a ai,j=aj,i.
Remarque
Deux
matrices sont donc
égales lorsqu’elles
ont la même taille et
que les coefficients
situés à la même
position sont égaux.
Exemple
La matrice ⎝⎛2−35−30454−11⎠⎞ est une matrice symétrique.
NOTATION
Si A=(ai,j), on note tA=(aj,i) la matrice
transposée de A.
B
Opérations sur les matrices
Remarques
On obtient ainsi
la somme de deux
matrices de même
taille en additionnant
les coefficients
de même emplacement.
On obtient une
matrice λA en
multipliant tous les
coefficients de A
par λ.
Définitions
Soient A=(ai,j) et B=(bi,j) deux matrices de taille n×p.
La somme des matrices A et B, notée A + B, est la matrice C=(ci,j) de taille n×p
telle que, pour tous 1⩽i⩽n et 1⩽j⩽p, on a ci,j=ai,j+bi,j.
Le produit de la matrice A par un réel λ, noté λA, est la matrice M=(mi,j) de
taille n×p telle que, pour tous 1⩽i⩽n et 1⩽j⩽p, on a mi,j=λ×ai,j.
Propriétés
Soient A, B et C trois matrices de même taille et α et β deux réels.
A + B = B + A (commutativité de la somme de matrices)
A+(B+C)=(A+B)+C (associativité de la somme de matrices)
On appelle opposée de A la matrice M=(−1)A, notée −A, telle que, pour tous 1⩽i⩽n et 1⩽j⩽p, on a mi,j=−ai,j.
De plus, on note A−B la matrice A+(−B).
Exemples
Soient A=(12−530−1) et B=(4−33−32−1) deux matrices de taille 2×3.
On a A+B=(12−530−1)+(4−33−32−1)=(5−1−202−2) ;
2A=2×(12−530−1)=(24−1060−2) ; 3B=3×(4−33−32−1)=(12−99−96−3) et 2A−3B=(24−1060−2)−(12−99−96−3)=(−1013−1915−61).
Définition
Soient L=(ℓ1,1ℓ1,2…ℓ1,n) une matrice ligne de taille 1×n et C=⎝⎜⎜⎜⎜⎛c1,1c2,1⋮cn,1⎠⎟⎟⎟⎟⎞ une matrice colonne de taille n×1. Alors le produit L×C est le nombre réel défini par :
Pour que
le produit L×C soit
défini, L doit avoir
autant de colonnes
que C a de lignes.
Exemple
Si L=(421) et C=⎝⎛8−3−2⎠⎞, alors L×C=4×8+2×(−3)+1×(−2)=24.
Définition
Si A est une matrice de taille m×n et B une matrice de taille n×p, le produit des
matrices A et B, noté A×B ou AB, est la matrice C=(ci,j) de taille m×p telle que,
pour tous 1⩽i⩽m et 1⩽j⩽p, on a
ci,j=k=1∑nai,k×bk,j.
Autrement dit, l’élément ci,j est le produit de la i-ième ligne de A par la j-ième colonne de B.
Remarque
Lorsque
les produits A×B
et B×A sont définis,
on a en général
A×B=B×A. Le
produit matriciel
n’est pas commutatif.
Propriétés
Soient A, B et C trois matrices et λ un nombre réel. Sous réserve de définition des produits et des sommes, on a :
(A×B)×C=A×(B×C)=A×B×C
A×(B+C)=(A×B)+(A×C) et (A+B)×C=(A×C)+(B×C)
(λA)×B=λA×B et A×(λB)=λA×B
In×A=A×In=A
Remarque
La multiplication est :
associative ;
distributive par rapport à l’addition.
Définition
Soient A une matrice carrée d’ordre n et k un entier naturel non nul.
La puissancek-ième de A, notée Ak, est la matrice Ak=k fois A×A×A×…×A.
Remarque
Si A est non nulle, alors A0=In.
Application et méthode - 1
Énoncé
Soient A=(23−1), B=⎝⎛14−2⎠⎞, C=(213−5−10) et D=⎝⎛14−20−1−3⎠⎞ quatre matrices.
Calculer, lorsque cela est possible, les produits A×B, A×C, C×D et B×C.
C
Inverse de matrice et résolution de système
Définition
Une matrice carrée A de taille n est inversible lorsqu’il existe une matrice carrée B de taille n telle que A×B=B×A=In.
NOTATION
La matrice B, notée
A−1, est unique et
est appelée matrice
inverse de A.
Définition
Soit A=(acbd) une matrice carrée d’ordre 2. Le déterminant de A est le réel, noté det(A), défini par det(A)=ad−bc.
Remarque
On reconnaît la formule du déterminant des vecteurs de coordonnées (ac) et
(bd).
Propriété
Une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul.
En particulier, si A=(acbd) est inversible, alors A−1=ad−bc1(d−c−ba).
Soient A une matrice carrée de taille n et X et B deux matrices colonnes à n lignes.
Si A est inversible, alors le système d’écriture matricielle AX = B admet une unique
solution donnée par la matrice colonne X=A−1×B.
Remarque
Si A
n’est pas inversible,
alors soit le système
n’a pas de solution
soit il en admet une
infinité.
Exemple
Si A=(6−825) et X=(xy), alors AX=(6x+2y−8x+5y) donc le système {6x+2y=3−8x+5y=12
peut s’écrire AX=B avec B=(312).
Remarque
Lorsqu’il
existe, l’inverse d’une
matrice se détermine
généralement à l’aide
de la calculatrice.
Application et méthode - 2
Énoncé
Résoudre le système {5x+2y=164x+3y=17.
D
Matrices et transformations du plan
On se place dans un repère orthonormé direct (O;i,j) du plan.
Soient a, b, c et d quatre nombres réels.
Définition
Une translation de vecteur t(ab) qui, à tout point M(x;y) du plan, associe son point image M′(x′;y′) tel que MM′=t se définit matriciellement comme la somme des matrices colonnes (x′y′)=(xy)+(ab).
Remarque
Un
repère orthonormé
est direct lorsqu’une
mesure de l’angle (i;j) est 2π.
Propriété (admise)
Pour les transformations géométriques planes suivantes, on définit la matrice de transformationT=(acbd) qui, à tout point M(x;y) du plan, associe son point
image M′(x′;y′) tel que (x′y′)=(acbd)×(xy) :
pour une symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses, on a T=(100−1) ;
pour une symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées, on a T=(−1001) ;
pour une rotation de centre O d’angle θ, on a T=(cosθsinθ−sinθcosθ) ;
pour une homothétie de centre O et de rapport k∈R, on a T=(k00k).
Remarque
La
translation est la
seule transformation
usuelle s’exprimant
sous forme additive.
Les autres s’expriment
sous forme
multiplicative.
Remarque
En
particulier, pour une
rotation de centre O
et d’angle 2π, on a T=(01−10).
Exemple
La matrice associée à la rotation de centre O et d’angle −32π est la matrice T=⎝⎜⎜⎛−21−2323−21⎠⎟⎟⎞.
Application et méthode - 3
Énoncé
Dans un repère orthonormé direct (O;i,j), on donne A(2;4) et B(5;3).
1. Calculer les coordonnées de l’image A′ de A par la rotation de centre O et d’angle 3π.
2. Calculer les coordonnées de l’image B′ de B par la translation de vecteur u(5−3).
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