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1. Notion de matrice
P.176-180

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COURS 1


1
Notion de matrice





Soient mm, nn et pp trois entiers naturels non nuls.

A
Notion de matrice et opérations


Définition

Une matrice de taille (ou format) n×pn \times p est un tableau de nombres réels à nn lignes et pp colonnes.

NOTATION

On note (a1,1a1,ja1,pai,1ai,jai,pan,1an,jan,p)\left(\begin{array}{ccccc} a_{1,1} & \dots & a_{1, j} & \dots & a_{1, p} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i, 1} & \dots & a_{i, j} & \dots & a_{i, p} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n, 1} & \dots & a_{n, j} & \dots & a_{n, p} \end{array}\right) ou encore (ai,j)\left(a_{i, j}\right) avec 1in1 \leqslant i \leqslant n et 1jp1 \leqslant j \leqslant p la matrice à nn lignes et pp colonnes, où ai,ja_{i,j} désigne le coefficient situé à la ii‑ième ligne et jj‑ième colonne.

Exemple

(2510,542)\left(\begin{array}{ccc} 2 & -5 & 1 \\ 0,5 & 4 & -\sqrt{2} \end{array}\right) est une matrice à 2 lignes et 3 colonnes donc de taille 2×32 \times 3.

Définitions

Lorsque n=1n = 1, on dit que M\text{M} est une matrice ligne, formée d’une seule ligne.
Lorsque p=1p = 1, on dit que M\text{M} est une matrice colonne, formée d’une seule colonne.
Lorsque n=pn = p, on dit que M\text{M} est une matrice carrée d’ordre nn.
Une matrice diagonale est une matrice carrée, dont tous les termes sont nuls sauf lorsque i=ji = j.
La matrice identité d’ordre nn est la matrice diagonale d’ordre nn dont les coefficients diagonaux sont égaux à 11. On la note In\mathrm{I}_{n}.
La matrice nulle de taille n×pn \times p, notée On,p\mathrm{O}_{n, p}, est la matrice de taille n×pn \times p, dont tous les coefficients sont nuls.

NOTATION

  • On note Diag(d1;;dn)\operatorname{Diag}\left(d_{1}\,; \ldots\,; d_{n}\right) la matrice diagonale d’ordre nn dont les coefficients diagonaux sont respectivement d1;;dnd_{1}\,; \ldots\,; d_{n}.
  • Lorsque la matrice nulle est carrée, on la note 0n0_{n}.

Exemples

1. (21915)\left(2\quad\dfrac{1}{9}\quad-15\right) est une matrice ligne. (32)\left(\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) est une matrice colonne.

2. (3012)\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right) est une matrice carrée d’ordre 2.

3. I3=(100010001)\mathrm{I}_{3}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) et O3=(000000000)\mathrm{O}_{3}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) désignent respectivement la matrice identité et la matrice nulle d’ordre 3.

Remarque

On peut aussi définir des matrices à coefficients complexes.

Définition

Deux matrices A\text{A} et B\text{B} de taille n×pn \times p sont égales lorsque, pour tous i{1;;n}i \in\{1\,; \ldots\,; n\} et j{1;;n}j \in\{1\,; \ldots\,; n\}, on a ai,j=aj,ia_{i, j}=a_{j, i}.

Définition

Une matrice carrée d’ordre nn est symétrique lorsque, pour tous i{1;;n}i \in\{1 \,; \ldots\,; n\} et j{1;;n}j \in\{1\,; \ldots\,; n\}, on a ai,j=aj,ia_{i, j}=a_{j, i}.

Remarque

Deux matrices sont donc égales lorsqu’elles ont la même taille et que les coefficients situés à la même position sont égaux.

Exemple

La matrice (2353045411)\left(\begin{array}{ccc} 2 & -3 & 5 \\ -3 & 0 & 4 \\ 5 & 4 & -11 \end{array}\right) est une matrice symétrique.

NOTATION

Si A=(ai,j)\mathrm{A}=\left(a_{i, j}\right), on note tA=(aj,i)^{t} \mathrm{A}=\left(a_{j, i}\right) la matrice transposée de A\text{A}.

B
Opérations sur les matrices

Remarques

On obtient ainsi la somme de deux matrices de même taille en additionnant les coefficients de même emplacement. On obtient une matrice λA\lambda \mathrm{A} en multipliant tous les coefficients de A\text{A} par λ\lambda.

Définitions

Soient A=(ai,j)\mathrm{A}=\left(a_{i, j}\right) et B=(bi,j)\mathrm{B}=\left(b_{i, j}\right) deux matrices de taille n×pn \times p.
  • La somme des matrices A\mathbf{A} et B\mathbf{B}, notée A + B\text{A + B}, est la matrice C=(ci,j)\mathrm{C}=\left(c_{i, j}\right) de taille n×pn \times p telle que, pour tous 1in1 \leqslant i \leqslant n et 1jp1 \leqslant j \leqslant p, on a ci,j=ai,j+bi,jc_{i, j}=a_{i, j}+b_{i, j}.
  • Le produit de la matrice A\mathbf{A} par un réel λ\lambda, noté λA\lambda \mathrm{A}, est la matrice M=(mi,j)\mathrm{M}=\left(m_{i, j}\right) de taille n×pn \times p telle que, pour tous 1in1 \leqslant i \leqslant n et 1jp1 \leqslant j \leqslant p, on a mi,j=λ×ai,jm_{i, j}=\lambda \times a_{i, j}.

Propriétés

Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois matrices de même taille et α\alpha et β\beta deux réels.
  • A + B = B + A\text{A + B = B + A} (commutativité de la somme de matrices)
  • A+(B+C)=(A+B)+C\text{A}+(\text{B}+\text{C})=(\text{A}+\text{B})+\text{C} (associativité de la somme de matrices)
  • 1×A=A×1=A1 \times \mathrm{A}=\mathrm{A} \times 1=\mathrm{A}
  • (α+β)A=αA+βA(\alpha+\beta) \mathrm{A}=\alpha \mathrm{A}+\beta \mathrm{A}
  • α(A+B)=αA+αB\alpha(\mathrm{A}+\mathrm{B})=\alpha \mathrm{A}+\alpha \mathrm{B}

DÉMONSTRATION

Voir exercices
58
p. 194
et
59
p. 195.

Remarque

L‘égalité M + A = B\text{M + A = B} équivaut à l’égalité M=BA\mathrm{M}=\mathrm{B}-\mathrm{A}.

Définition

On appelle opposée de A\text{A} la matrice M=(1)A\mathrm{M}=(-1) \mathrm{A}, notée A-\text{A}, telle que, pour tous 1in1 \leqslant i \leqslant n et 1jp1 \leqslant j \leqslant p, on a mi,j=ai,jm_{i, j}=-a_{i, j}.
De plus, on note AB\text{A}-\text{B} la matrice A+(B)\text{A}+(-\text{B}).

Exemples

Soient A=(150231)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -5 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{array}\right) et B=(432331)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 3 & 2 \\ -3 & -3 & -1 \end{array}\right) deux matrices de taille 2×32 \times 3.
On a A+B=(150231)+(432331)=(522102)\mathrm{A}+\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -5 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} 4 & 3 & 2 \\ -3 & -3 & -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 5 & -2 & 2 \\ -1 & 0 & -2 \end{array}\right) ;

2A=2×(150231)=(2100462)2 \mathrm{A}=2 \times\left(\begin{array}{ccc} 1 & -5 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -10 & 0 \\ 4 & 6 & -2 \end{array}\right) ;
3B=3×(432331)=(1296993)3 \mathrm{B}=3 \times\left(\begin{array}{ccc} 4 & 3 & 2 \\ -3 & -3 & -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 12 & 9 & 6 \\ -9 & -9 & -3 \end{array}\right) et
2A3B=(2100462)(1296993)=(1019613151)2 \mathrm{A}-3 \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -10 & 0 \\ 4 & 6 & -2 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc} 12 & 9 & 6 \\ -9 & -9 & -3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} -10 & -19 & -6 \\ 13 & 15 & 1 \end{array}\right).

Définition

Soient L=(1,11,21,n)\mathrm{L}=\left(\begin{array}{llll} \ell_{1,1} & \ell_{1,2} & \dots & \ell_{1, n} \end{array}\right) une matrice ligne de taille 1×n1 \times n et C=(c1,1c2,1cn,1)\mathrm{C}=\left(\begin{array}{c} c_{1,1} \\ c_{2,1} \\ \vdots \\ c_{n, 1} \end{array}\right) une matrice colonne de taille n×1n \times 1. Alors le produit L×C\mathrm{L} \times \mathrm{C} est le nombre réel défini par :
L×C=(1,11,21,n)×(c1,1c2,1cn,1)=1,1×c1,1+1,2×c2,1++1,n×cn,1\mathrm{L} \times \mathrm{C}=\left(\begin{array}{llll} \color{red} \ell_{1,1} & \color{green} \ell_{1,2} & \dots & \color{blue} \ell_{1, n} \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c} \color{red}c_{1,1} \\ \color{green}c_{2,1} \\ \vdots \\ \color{blue}c_{n, 1} \end{array}\right)=\color{red}\ell_{1,1} \times c_{1,1} \color{black}+ \color{green}\mathrm{\ell}_{1,2} \times c_{2,1}\color{black}+\ldots+\color{blue}\ell_{1, n} \times c_{n, 1}

Remarque

Pour que le produit L×C\mathrm{L} \times \mathrm{C} soit défini, L\text{L} doit avoir autant de colonnes que C\text{C} a de lignes.

Exemple

Si L=(421)\mathrm{L}=(4 \quad 2 \quad 1) et C=(832)\mathrm{C}=\left(\begin{array}{c} 8 \\ -3 \\ -2 \end{array}\right), alors L×C=4×8+2×(3)+1×(2)=24\mathrm{L} \times \mathrm{C}=4 \times 8+2 \times(-3)+1 \times(-2)=24.

Définition

Si A\text{A} est une matrice de taille m×nm \times n et B\text{B} une matrice de taille n×pn \times p, le produit des matrices A\mathbf{A} et B\mathbf{B}, noté A×B\mathrm{A} \times \mathrm{B} ou AB\text{AB}, est la matrice C=(ci,j)\mathrm{C}=\left(c_{i, j}\right) de taille m×pm \times p telle que, pour tous 1im1 \leqslant i \leqslant m et 1jp1 \leqslant j \leqslant p, on a ci,j=k=1nai,k×bk,jc_{i, j}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} a_{i, k} \times b_{k, j}.
Autrement dit, l’élément ci,jc_{i, j} est le produit de la ii-ième ligne de A\text{A} par la jj-ième colonne de B\text{B}.

Remarque

Lorsque les produits A×B\mathrm{A} \times \mathrm{B} et B×A\mathrm{B} \times \mathrm{A} sont définis, on a en général A×BB×A\mathrm{A} \times \mathrm{B} \neq \mathrm{B} \times \mathrm{A}. Le produit matriciel n’est pas commutatif.

Propriétés

Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois matrices et λ\lambda un nombre réel. Sous réserve de définition des produits et des sommes, on a :
  • (A×B)×C=A×(B×C)=A×B×C(\mathrm{A} \times \mathrm{B}) \times \mathrm{C}=\mathrm{A} \times(\mathrm{B} \times \mathrm{C})=\mathrm{A} \times \mathrm{B} \times \mathrm{C}
  • A×(B+C)=(A×B)+(A×C)\mathrm{A} \times(\mathrm{B}+\mathrm{C})=(\mathrm{A} \times \mathrm{B})+(\mathrm{A} \times \mathrm{C}) et (A+B)×C=(A×C)+(B×C)(\mathrm{A}+\mathrm{B}) \times \mathrm{C}=(\mathrm{A} \times \mathrm{C})+(\mathrm{B} \times \mathrm{C})
  • (λA)×B=λA×B et A×(λB)=λA×B(\lambda \mathrm{A}) \times \mathrm{B}=\lambda \mathrm{A} \times \mathrm{B} \text { et } \mathrm{A} \times(\lambda \mathrm{B})=\lambda \mathrm{A} \times \mathrm{B}
  • In×A=A×In=A\mathrm{I}_{n} \times \mathrm{A}=\mathrm{A} \times \mathrm{I}_{n}=\mathrm{A}

Remarque

La multiplication est :
  • associative ;
  • distributive par rapport à l’addition.

Définition

Soient A\text{A} une matrice carrée d’ordre nn et kk un entier naturel non nul.
La puissance k\boldsymbol{k}-ième de A\text{A}, notée Ak\mathrm{A}^{k}, est la matrice Ak=A×A×A××Ak fois \mathrm{A}^{k}=\underbrace{\mathrm{A} \times \mathrm{A} \times \mathrm{A} \times \ldots \times \mathrm{A}}_{k \text { fois }}.

Remarque

Si A\text{A} est non nulle, alors A0=In\mathrm{A}^{0}=\mathrm{I}_{n}.

Application et méthode - 1

Énoncé

Soient A=(231)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -1 \end{array}\right), B=(142)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right), C=(231150)\mathrm{C}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -5 & 0 \end{array}\right) et D=(104123)\mathrm{D}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 4 & -1 \\ -2 & -3 \end{array}\right) quatre matrices.
Calculer, lorsque cela est possible, les produits A×B\mathrm{A} \times \mathrm{B}, A×C\mathrm{A} \times \mathrm{C}, C×D\mathrm{C} \times \mathrm{D} et B×C\mathrm{B} \times \mathrm{C}.

Solution

  • On peut calculer A×B\mathrm{A} \times \mathrm{B} car A\mathrm{A} a trois colonnes et B\mathrm{B} a trois lignes.
A×B=(231)×(142)=2×1+3×4+(1)×(2)=16\mathrm{A} \times \mathrm{B}=(2 \quad 3 \quad -1) \times\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)=2 \times 1+3 \times 4+(-1) \times(-2)=16.
  • On ne peut pas calculer A×C\mathrm{A} \times \mathrm{C} car A\text{A} possède trois colonnes et C\text{C} possède deux lignes.
  • On peut calculer C×D\mathrm{C} \times \mathrm{D} car C\text{C} a trois colonnes et D\text{D} a trois lignes.
C×D=(231150)×(104123)=(160195)\mathrm{C} \times \mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -5 & 0 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 4 & -1 \\ -2 & -3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 16 & 0 \\ -19 & 5 \end{array}\right)
  • On ne peut pas calculer B×C\mathrm{B} \times \mathrm{C} car B\text{B} a une colonne et C\text{C} a deux lignes. On remarque, en revanche, que le produit C×B\mathrm{C} \times \mathrm{B} est bien défini.


Pour s'entraîner : exercices 22 et 23 p. 190

Méthode

1. Pour déterminer si le produit peut se calculer, il faut vérifier que la deuxième matrice a autant de lignes que la première a de colonnes.

2. Chaque coefficient de la matrice est la somme des produits des coefficients de la ligne par ceux de la colonne correspondante.
On peut placer les matrices ainsi :
(104123)M=C×D=(231150)(160195)\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 4 & -1 \\ -2 & -3\end{array}\right)\\ \mathrm{M}=\mathrm{C} \times \mathrm{D}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\ 1 & -5 & 0\end{array}\right)&\left(\begin{array}{cc}\color{red}16 & \color{green}0 \\ \color{blue}-19 & \color{orange}5 \end{array}\right) \end{aligned}

 On am1,1=2×1+3×4+(1)×(2)=16m1,2=2×0+3×(1)+(1)×(3)=0m2,1=1×1+(5)×4+0×(2)=19m2,2=1×0+(5)×(1)+0×(3)=5\begin{aligned} \text { On a\,: } \color{red}m_{1,1} &\color{red}=2 \times 1+3 \times 4+(-1) \times(-2)=16 \\ \color{green}m_{1,2} &\color{green}=2 \times 0+3 \times(-1)+(-1) \times(-3)=0 \\ \color{blue}m_{2,1} &\color{blue}=1 \times 1+(-5) \times 4+0 \times(-2)=-19 \\ \color{orange}m_{2,2} &\color{orange}=1 \times 0+(-5) \times(-1)+0 \times(-3)=5 \end{aligned}


C
Inverse de matrice et résolution de système


Définition

Une matrice carrée A\text{A} de taille nn est inversible lorsqu’il existe une matrice carrée B\text{B} de taille nn telle que A×B=B×A=In\text{A} \times \text{B}=\text{B} \times \text{A}=\text{I}_{n}.

NOTATION

La matrice B\text{B}, notée A1\mathrm{A}^{-1}, est unique et est appelée matrice inverse de A\mathrm{A}.

Définition

Soit A=(abcd)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) une matrice carrée d’ordre 2. Le déterminant de A\text{A} est le réel, noté det(A)\operatorname{det}(\mathrm{A}), défini par det(A)=adbc\operatorname{det}(\mathrm{A})=a d-b c.

Remarque

On reconnaît la formule du déterminant des vecteurs de coordonnées (ac)\left(\begin{array}{l} a \\ c \end{array}\right) et (bd)\left(\begin{array}{l} b \\ d \end{array}\right).

Propriété

Une matrice carrée est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul.
En particulier, si A=(abcd)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) est inversible, alors A1=1adbc(dbca)\mathrm{A}^{-1}=\dfrac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{ll} d & -b \\ -c & a \end{array}\right).

DÉMONSTRATION

Voir exercice
60
p. 195
.

Propriété (admise)

Soient A\text{A} une matrice carrée de taille nn et X\text{X} et B\text{B} deux matrices colonnes à nn lignes.
Si A\text{A} est inversible, alors le système d’écriture matricielle AX = B\text{AX = B} admet une unique solution donnée par la matrice colonne X=A1×B\mathrm{X}=\mathrm{A}^{-1} \times \mathrm{B}.

Remarque

Si A\text{A} n’est pas inversible, alors soit le système n’a pas de solution soit il en admet une infinité.

Exemple

Si A=(6285)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} 6 & 2 \\ -8 & 5 \end{array}\right) et X=(xy)\mathrm{X}=\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right), alors AX=(6x+2y8x+5y)\mathrm{AX}=\left(\begin{array}{c} 6 x+2 y \\ -8 x+5 y \end{array}\right) donc le système {6x+2y=38x+5y=12\left\{\begin{array}{c} 6 x+2 y=3 \\ -8 x+5 y=12 \end{array}\right.
peut s’écrire AX=B avec B=(312)\mathrm{AX}=\mathrm{B} \text { avec } \mathrm{B}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 12 \end{array}\right).

Remarque

Lorsqu’il existe, l’inverse d’une matrice se détermine généralement à l’aide de la calculatrice.

Application et méthode - 2

Énoncé

Résoudre le système {5x+2y=164x+3y=17\left\{\begin{array}{l} 5 x+2 y=16 \\ 4 x+3 y=17 \end{array}\right..

Solution


On pose A=(5243)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 4 & 3 \end{array}\right), X=(xy)\mathrm{X}=\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) et B=(1617)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{l} 16 \\ 17 \end{array}\right).
Ainsi, le système peut s’écrire AX = B\text{AX = B}.
det(A)=5×32×4=158=7\operatorname{det}(\mathrm{A})=5 \times 3-2 \times 4=15-8=7 d’où det(A)0\operatorname{det}(\mathrm{A}) \neq 0 et A\text{A} est donc inversible. La calculatrice nous permet de trouver A1=(37274757)\mathrm{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \dfrac{3}{7} & -\dfrac{2}{7} \\ -\dfrac{4}{7} & \dfrac{5}{7} \end{array}\right) et X=A1×B=(37274757)×(1617)=(23)\mathrm{X}=\mathrm{A}^{-1} \times \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} \dfrac{3}{7} & -\dfrac{2}{7} \\ -\dfrac{4}{7} & \dfrac{5}{7} \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c} 16 \\ 17 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right).
Le système a donc pour unique solution le couple (x;y)=(2;3)(x\,; y)=(2\,; 3).

Pour s'entraîner : exercices 27 et 28 p. 190

Méthode

1. On détermine la matrice carrée A\text{A} et la matrice colonne B\text{B} telles que le système s’écrit sous la forme AX = B\text{AX = B}.

2. Si la matrice A\text{A} n’est pas inversible, le système n’a pas de solution.
Si la matrice A\text{A} est inversible, on détermine son inverse A1\mathrm{A}^{-1} à l’aide de la calculatrice.

3. Lorsqu’elle existe, la solution du système est X=A1×B\mathrm{X}=\mathrm{A}^{-1} \times \mathrm{B}.

D
Matrices et transformations du plan


On se place dans un repère orthonormé direct (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}) du plan.
Soient aa, bb, cc et dd quatre nombres réels.

Définition

Une translation de vecteur t(ab)\overrightarrow{t}\left(\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right) qui, à tout point M(x;y)\mathrm{M}(x\,; y) du plan, associe son point image M(x;y)\mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right) tel que MM=t\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}=\overrightarrow{t} se définit matriciellement comme la somme des matrices colonnes (xy)=(xy)+(ab)\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right).

Remarque

Un repère orthonormé est direct lorsqu’une mesure de l’angle (i;j)(\overrightarrow{i}\,; \overrightarrow{j}) est π2\dfrac{\pi}{2}.

Propriété (admise)

Pour les transformations géométriques planes suivantes, on définit la matrice de transformation T=(abcd)\mathrm{T}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) qui, à tout point M(x;y)\mathrm{M}(x\,; y) du plan, associe son point image M(x;y)\mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime}\,; y^{\prime}\right) tel que (xy)=(abcd)×(xy)\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right) :
  • pour une symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses, on a T=(1001)\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) ;
  • pour une symétrie axiale par rapport à l’axe des ordonnées, on a T=(1001)\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) ;
  • pour une rotation de centre O\text{O} d’angle θ\theta, on a T=(cosθsinθsinθcosθ)\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) ;
  • pour une homothétie de centre O\text{O} et de rapport kRk \in \mathbb{R}, on a T=(k00k)\mathrm{T}=\left(\begin{array}{ll} k & 0 \\ 0 & k \end{array}\right).

Remarque

La translation est la seule transformation usuelle s’exprimant sous forme additive. Les autres s’expriment sous forme multiplicative.

Remarque

En particulier, pour une rotation de centre O\text{O} et d’angle π2\dfrac{\pi}{2}, on a T=(0110)\mathrm{T}=\left(\begin{array}{ll} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right).

Exemple

La matrice associée à la rotation de centre O\text{O} et d’angle 2π3-\dfrac{2 \pi}{3} est la matrice T=(12323212)\mathrm{T}=\left(\begin{array}{cc} -\dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{array}\right).

Application et méthode - 3

Énoncé

Dans un repère orthonormé direct (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}), on donne A(2;4)\mathrm{A}(2\,; 4) et B(5;3)\mathrm{B}(5\,; 3).
1. Calculer les coordonnées de l’image A\mathrm{A}^{\prime} de A\mathrm{A} par la rotation de centre O\text{O} et d’angle π3\dfrac{\pi}{3}.

2. Calculer les coordonnées de l’image B\mathrm{B}^{\prime} de B\mathrm{B} par la translation de vecteur u(53)\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c} 5 \\ -3 \end{array}\right).

Solution

1. Pour déterminer les coordonnées de A\mathrm{A}^{\prime}, on utilise (cosπ3sinπ3sinπ3cosπ3)(24)=(12323212)(24)=(1233+2)\left(\begin{array}{cc} \cos \dfrac{\pi}{3} & -\sin \dfrac{\pi}{3} \\ \sin \dfrac{\pi}{3} & \cos \dfrac{\pi}{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \dfrac{1}{2} & -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1-2 \sqrt{3} \\ \sqrt{3}+2 \end{array}\right) donc A(123;3+2)\mathrm{A}^{\prime}(1-2 \sqrt{3}\,; \sqrt{3}+2).
2. Pour déterminer les coordonnées de B\mathrm{B}^{\prime}, on utilise (53)+(53)=(100)\left(\begin{array}{c} 5 \\ -3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 10 \\ 0 \end{array}\right) donc B(10;0)\mathrm{B}^{\prime}(10\,; 0).

Pour s'entraîner : exercices 30 p. 190 et 57 p. 194

Méthode

1. On détermine la matrice correspondant à chaque transformation ;

2. On calcule ensuite les coordonnées des points images, de manière additive pour une translation et de manière multiplicative pour une autre transformation de référence.


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