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Enregistreur audio
15
Calculer(24−53)+(−4−7612).
16
Calculer (2−3)×(53).
17
Calculer (4−2)×(24−53).
18
Le graphe ci-dessous est-il complet ? Connexe ?
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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On considère un graphe dont les sommets
sont numérotés de 1 à 4 et dont la matrice
d'adjacence M est écrite en suivant l'ordre croissant
des sommets.
On admet que M5=⎝⎜⎜⎜⎛1287201781087781⎠⎟⎟⎟⎞
Donner le nombre de chemins de longueur 5 reliant
le sommet 1 au sommet 3.
Opérations sur les matrices
20
On donne A=(−354−2)et B=(67−19).
Calculer A + B ; A−B ; 2A ; 3B et −2A+3B.
21
On donne A=⎝⎛340,5−2−2−1,52−16⎠⎞ et B=⎝⎛−17−832,524−3−0,5⎠⎞
Calculer A + B ; A−B ; −2A ; 3B et 2A−3B.
22
Calculer les produits suivants.
1. (1,5−230,5)×(24)
2. (24)×(1,5−230,5)
23
On considère les matrices suivantes : A=(−13), B=(0,5−0,5) et C=(2−864).
1. Parmi les produits suivants, indiquer ceux qui sont bien définis puis indiquer, le cas échéant, le format de la matrice obtenue : A×B ; A×C ; B×A ; B×C ; C×A ; C×B ; A2 ; C2 et A×(B×C).
2. Calculer ces produits lorsqu'ils sont définis.
24
Soit M la matrice M=(1101).
1. Calculer M2, M3 et M4.
2. Conjecturer, pour tout entier naturel non nul n, une expression de Mn.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
25
Soit la matrice M=⎝⎛000a00bc0⎠⎞ 1. Calculer M2, M3 et M4.
2. Conjecturer, pour tout entier n⩾3, une expression
de Mn.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
Matrice inversible et résolution de systèmes
26
Dans chaque cas, vérifier que les matrices A et B sont inverses l'une de l'autre.
1. A=(3−44−5) et B=(−54−43).
2. A=⎝⎛12−2102−12−1⎠⎞ et B=101⎝⎛42−4134−242⎠⎞.
27
La matrice A=(3−35−8) est‑elle inversible ?
Si oui, déterminer son inverse.
28
On considère le système suivant :
{2x+5y−3x−8y=13=11.
1. Déterminer les matrices A et B telles que le système s'écrit sous forme matricielle AX=B où X=(xy).
2. Résoudre ce système.
29
On considère le système suivant : ⎩⎪⎨⎪⎧2x+y−z−3x+2y+zx−3y+2z===73−4.
1. Déterminer les matrices A et B telles que le système s'écrit sous forme matricielle AX=B où X=⎝⎛xyz⎠⎞.
2. Résoudre le système.
Transformation du plan
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Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O;i,j).
1. Rappeler la matrice associée à une symétrie axiale par rapport à chacun des axes du repère.
2. Déterminer la matrice associée à la rotation de centre O et d'angle 6π.
3. Déterminer la matrice associée à l'homothétie de centre O et de rapport −4.
31
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O;i,j).
On note r la rotation de centre O et d'angle π, s1 la symétrie par rapport à l'axe des abscisses et s2 la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
1. Déterminer la matrice R associée à r.
2. a. Déterminer A′=r(A) et B′=r(B) où A est le point de coordonnées (−2;3) et B le point de coordonnées
(4;1).
b. Placer les points A, A′, B et B′ dans le repère.
3. a. Vérifier graphiquement que s1(s2(A))=A′ et que s1(s2(B))=B′.
b. Démontrer ce résultat à l'aide d'un calcul matriciel.
Graphes
Pour les exercices
32
à
35
On considère les graphes suivants.
a.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
b.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
c.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
d.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
32
Pour chaque graphe, donner son ordre et le degré de chaque sommet.
33
Justifier que les graphes sont connexes.
35
1. Dans le graphe d., quelle est la longueur de la chaîne C−E−B−A−F−A−C ?
2. Déterminer dans ce graphe deux chaînes de longueur 3 et une chaîne de longueur 7.
3. Déterminer dans ce graphe une chaîne de longueur 4 reliant B à A.
34
1. Reproduire et modifier le graphe a. pour qu'il ne soit plus connexe.
Dessinez ici
2. Reproduire et modifier le graphe c. pour qu'il soit complet.
Dessinez ici
Matrice d'adjacence
36
Construire un graphe composé des sommets A, B, C, D et E, dont la matrice d'adjacence obtenue en classant les sommets dans l'ordre alphabétique est :
M=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛0111110111110011100111110⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞.
Dessinez ici
38
On considère un graphe dont la matrice d'adjacence
obtenue en numérotant les sommets de 1 à 5 est :
M=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛0101010111010011101101111⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞.
1. En justifiant, donner le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets n°3 et n°5.
2. En justifiant, donner le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets n°1 et n°4.
37
Déterminer la matrice d'adjacence de chacun des
graphes suivants (on rangera les sommets dans l'ordre
alphabétique).
a.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
b.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
c.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
d.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
39
On considère un graphe dont la matrice d'adjacence obtenue en numérotant les sommets de 1 à 5 est :
M=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛0011001110110111111100110⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
1. En justifiant, donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet n°2 au sommet n°5.
2. En justifiant, donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet n°1 au sommet n°3.
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