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Travailler les automatismes
P.190-191




Travailler les automatismes




À L'ORAL

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15
Calculer.
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16
Calculer .
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17
Calculer .
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18
Le graphe ci-dessous est-il complet ? Connexe ?


Graphe - Exercice 18
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19
On considère un graphe dont les sommets sont numérotés de à et dont la matrice d’adjacence est écrite en suivant l’ordre croissant des sommets.
On admet que
Donner le nombre de chemins de longueur reliant le sommet au sommet .
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Opérations sur les matrices


20
On donne et .

Calculer ; ; ; et .
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21
On donne et

Calculer ; ; ; et .
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22
Calculer les produits suivants.

1.


2.
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23
On considère les matrices suivantes :
, et .

1. Parmi les produits suivants, indiquer ceux qui sont bien définis puis indiquer, le cas échéant, le format de la matrice obtenue :
; ; ; ; ; ; ; et .


2. Calculer ces produits lorsqu’ils sont définis.
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24
Soit la matrice .
1. Calculer , et .


2. Conjecturer, pour tout entier naturel non nul , une expression de .


3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
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25
Soit la matrice
1. Calculer , et .


2. Conjecturer, pour tout entier , une expression de .


3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
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Matrice inversible et résolution de systèmes


26
Dans chaque cas, vérifier que les matrices et sont inverses l’une de l’autre.
1. et .


2. et .
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27
La matrice est‑elle inversible ?
Si oui, déterminer son inverse.
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28
On considère le système suivant : .
1. Déterminer les matrices et telles que le système s’écrit sous forme matricielle .


2. Résoudre ce système.
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29
On considère le système suivant : .
1. Déterminer les matrices et telles que le système s’écrit sous forme matricielle .


2. Résoudre le système.
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Transformation du plan


30
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct .
1. Rappeler la matrice associée à une symétrie axiale par rapport à chacun des axes du repère.


2. Déterminer la matrice associée à la rotation de centre et d’angle .


3. Déterminer la matrice associée à l’homothétie de centre et de rapport .
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31
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct .
On note la rotation de centre et d’angle , la symétrie par rapport à l’axe des abscisses et la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

1. Déterminer la matrice associée à .


2. a. Déterminer et est le point de coordonnées et le point de coordonnées .


b. Placer les points , , et dans le repère.


3. a. Vérifier graphiquement que et que .


b. Démontrer ce résultat à l’aide d’un calcul matriciel.
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Graphes


Pour les exercices
32
à 
35

On considère les graphes suivants.

a.
graphe a - Exercice 32 à 35

b.
graphe b - Exercice 32 à 35

c.
graphe c - Exercice 32 à 35

d.
graphe d - Exercice 32 à 35

32
Pour chaque graphe, donner son ordre et le degré de chaque sommet.
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33
Justifier que les graphes sont connexes.
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34

1. Reproduire et modifier le graphe a. pour qu’il ne soit plus connexe.
Dessinez ici

2. Reproduire et modifier le graphe c. pour qu’il soit complet.
Dessinez ici
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35

1. Dans le graphe d., quelle est la longueur de la chaîne  ?


2. Déterminer dans ce graphe deux chaînes de longueur 3 et une chaîne de longueur 7.


3. Déterminer dans ce graphe une chaîne de longueur 4 reliant à .
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Matrice d’adjacence


36
Construire un graphe composé des sommets , , , et , dont la matrice d’adjacence obtenue en classant les sommets dans l’ordre alphabétique est :
.

Dessinez ici
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37
Déterminer la matrice d’adjacence de chacun des graphes suivants (on rangera les sommets dans l’ordre alphabétique).

a.
graphe a - Exercice 37



b.
graphe b - Exercice 37



c.
graphe c - Exercice 37



d.
graphe d - Exercice 37

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38
On considère un graphe dont la matrice d’adjacence obtenue en numérotant les sommets de 1 à 5 est :
.


1. En justifiant, donner le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets n°3 et n°5.


2. En justifiant, donner le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets n°1 et n°4.
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39
On considère un graphe dont la matrice d’adjacence obtenue en numérotant les sommets de 1 à 5 est :


1. En justifiant, donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet n°2 au sommet n°5.


2. En justifiant, donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet n°1 au sommet n°3.
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