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15
Calculer(24−53)+(−4−7612).
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16
Calculer (2−3)×(53).
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17
Calculer (4−2)×(24−53).
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18
Le graphe ci-dessous est-il complet ? Connexe ?
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19
On considère un graphe dont les sommets
sont numérotés de 1 à 4 et dont la matrice
d’adjacence M est écrite en suivant l’ordre croissant
des sommets.
On admet que M5=⎝⎜⎜⎜⎛1287201781087781⎠⎟⎟⎟⎞
Donner le nombre de chemins de longueur 5 reliant
le sommet 1 au sommet 3.
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Opérations sur les matrices
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On donne A=(−354−2)et B=(67−19).
Calculer A + B ; A−B ; 2A ; 3B et −2A+3B.
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21
On donne A=⎝⎛340,5−2−2−1,52−16⎠⎞ et B=⎝⎛−17−832,524−3−0,5⎠⎞
Calculer A + B ; A−B ; −2A ; 3B et 2A−3B.
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22
Calculer les produits suivants.
1. (1,5−230,5)×(24)
2. (24)×(1,5−230,5)
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23
On considère les matrices suivantes : A=(−13), B=(0,5−0,5) et C=(2−864).
1. Parmi les produits suivants, indiquer ceux qui sont bien définis puis indiquer, le cas échéant, le format de la matrice obtenue : A×B ; A×C ; B×A ; B×C ; C×A ; C×B ; A2 ; C2 et A×(B×C).
2. Calculer ces produits lorsqu’ils sont définis.
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24
Soit M la matrice M=(1101).
1. Calculer M2, M3 et M4.
2. Conjecturer, pour tout entier naturel non nul n, une expression de Mn.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
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25
Soit la matrice M=⎝⎛000a00bc0⎠⎞ 1. Calculer M2, M3 et M4.
2. Conjecturer, pour tout entier n⩾3, une expression
de Mn.
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
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Matrice inversible et résolution de systèmes
26
Dans chaque cas, vérifier que les matrices A et B sont inverses l’une de l’autre.
1. A=(3−44−5) et B=(−54−43).
2. A=⎝⎛12−2102−12−1⎠⎞ et B=101⎝⎛42−4134−242⎠⎞.
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27
La matrice A=(3−35−8) est‑elle inversible ?
Si oui, déterminer son inverse.
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28
On considère le système suivant :
{2x+5y−3x−8y=13=11.
1. Déterminer les matrices A et B telles que le système s’écrit sous forme matricielle AX=B où X=(xy).
2. Résoudre ce système.
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29
On considère le système suivant : ⎩⎪⎨⎪⎧2x+y−z−3x+2y+zx−3y+2z===73−4.
1. Déterminer les matrices A et B telles que le système s’écrit sous forme matricielle AX=B où X=⎝⎛xyz⎠⎞.
2. Résoudre le système.
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Transformation du plan
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Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O;i,j).
1. Rappeler la matrice associée à une symétrie axiale par rapport à chacun des axes du repère.
2. Déterminer la matrice associée à la rotation de centre O et d’angle 6π.
3. Déterminer la matrice associée à l’homothétie de centre O et de rapport −4.
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31
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O;i,j).
On note r la rotation de centre O et d’angle π, s1 la symétrie par rapport à l’axe des abscisses et s2 la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
1. Déterminer la matrice R associée à r.
2. a. Déterminer A′=r(A) et B′=r(B) où A est le point de coordonnées (−2;3) et B le point de coordonnées
(4;1).
b. Placer les points A, A′, B et B′ dans le repère.
3. a. Vérifier graphiquement que s1(s2(A))=A′ et que s1(s2(B))=B′.
b. Démontrer ce résultat à l’aide d’un calcul matriciel.
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Graphes
Pour les exercices
32
à
35
On considère les graphes suivants.
a.
b.
c.
d.
32
Pour chaque graphe, donner son ordre et le degré de chaque sommet.
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33
Justifier que les graphes sont connexes.
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34
1. Reproduire et modifier le graphe a. pour qu’il ne soit plus connexe.
Couleurs
Formes
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2. Reproduire et modifier le graphe c. pour qu’il soit complet.
Couleurs
Formes
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35
1. Dans le graphe d., quelle est la longueur de la chaîne C−E−B−A−F−A−C ?
2. Déterminer dans ce graphe deux chaînes de longueur 3 et une chaîne de longueur 7.
3. Déterminer dans ce graphe une chaîne de longueur 4 reliant B à A.
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Matrice d’adjacence
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Construire un graphe composé des sommets A, B, C, D et E, dont la matrice d’adjacence obtenue en classant les sommets dans l’ordre alphabétique est :
M=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛0111110111110011100111110⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞.
Couleurs
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37
Déterminer la matrice d’adjacence de chacun des
graphes suivants (on rangera les sommets dans l’ordre
alphabétique).
a.
b.
c.
d.
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On considère un graphe dont la matrice d’adjacence
obtenue en numérotant les sommets de 1 à 5 est :
M=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛0101010111010011101101111⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞.
1. En justifiant, donner le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets n°3 et n°5.
2. En justifiant, donner le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets n°1 et n°4.
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39
On considère un graphe dont la matrice d’adjacence obtenue en numérotant les sommets de 1 à 5 est :
M=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛0011001110110111111100110⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞
1. En justifiant, donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet n°2 au sommet n°5.
2. En justifiant, donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet n°1 au sommet n°3.
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