Travailler les automatismes

À L'ORAL

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Calculer$\left(\begin{array}{ll}2& -5\\ 4& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-4& 6\\ -7& 12\end{array}\right)$.

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Calculer $(2-3)\times \left(\begin{array}{l}5\\ 3\end{array}\right)$.

17

Calculer $(4-2)\times \left(\begin{array}{cc}2& -5\\ 4& 3\end{array}\right)$.

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Le graphe ci-dessous est-il complet ? Connexe ?

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On considère un graphe dont les sommets sont numérotés de $1$ à $4$ et dont la matrice d’adjacence $\text{M}$ est écrite en suivant l’ordre croissant des sommets.
On admet que ${\mathrm{M}}^5=\left(\begin{array}{llll}1& 2& 8& 7\\ 2& 0& 1& 7\\ 8& 1& 0& 8\\ 7& 7& 8& 1\end{array}\right)$
Donner le nombre de chemins de longueur $5$ reliant le sommet $1$ au sommet $3$.

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On donne $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}-3& 4\\ 5& -2\end{array}\right)$et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc}6& -1\\ 7& 9\end{array}\right)$.

Calculer $\text{A + B}$ ; $\text{A}-\mathrm{B}$ ; $2\mathrm{A}$ ; $\text{3B}$ et $-2\mathrm{A}+\text{3B}$.

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On donne $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 2\\ 4& -2& -1\\ 0,5& -1,5& 6\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 4\\ 7& 2,5& -3\\ -8& 2& -0,5\end{array}\right)$

Calculer $\text{A + B}$ ; $\text{A}-\mathrm{B}$ ; $-\text{2A}$ ; $\text{3B}$ et $\text{2A}-\text{3B}$.

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Calculer les produits suivants.

1. $\left(\begin{array}{cc}1,5& 3\\ -2& 0,5\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{l}2\\ 4\end{array}\right)$


2. $\left(\begin{array}{ll}2& 4\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}1,5& 3\\ -2& 0,5\end{array}\right)$

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On considère les matrices suivantes :
$\mathrm{A}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$, $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ll}0,5& -0,5\end{array}\right)$ et $\mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ -8& 4\end{array}\right)$.

1. Parmi les produits suivants, indiquer ceux qui sont bien définis puis indiquer, le cas échéant, le format de la matrice obtenue :
$\mathrm{A}\times \mathrm{B}$ ; $\mathrm{A}\times \mathrm{C}$ ; $\mathrm{B}\times \mathrm{A}$ ; $\mathrm{B}\times \mathrm{C}$ ; $\mathrm{C}\times \mathrm{A}$ ; $\mathrm{C}\times \mathrm{B}$ ; ${\mathrm{A}}^2$ ; ${\mathrm{C}}^2$ et $\mathrm{A}\times (\mathrm{B}\times \mathrm{C})$.


2. Calculer ces produits lorsqu’ils sont définis.

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Soit $\mathrm{M}$ la matrice $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$.
1. Calculer ${\mathrm{M}}^2$, ${\mathrm{M}}^3$ et ${\mathrm{M}}^4$.


2. Conjecturer, pour tout entier naturel non nul $n$, une expression de ${\mathrm{M}}^n$.


3. Démontrer cette conjecture par récurrence.

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Soit la matrice $\mathrm{M}=\left(\begin{array}{lll}0& a& b\\ 0& 0& c\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$
1. Calculer ${\mathrm{M}}^2$, ${\mathrm{M}}^3$ et ${\mathrm{M}}^4$.


2. Conjecturer, pour tout entier $n⩾3$, une expression de ${\mathrm{M}}^n$.


3. Démontrer cette conjecture par récurrence.

26

Dans chaque cas, vérifier que les matrices $\text{A}$ et $\text{B}$ sont inverses l’une de l’autre.
1. $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -4& -5\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc}-5& -4\\ 4& 3\end{array}\right)$.


2. $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& 0& 2\\ -2& 2& -1\end{array}\right)$ et $\mathrm{B}=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 2& 3& 4\\ -4& 4& 2\end{array}\right)$.

27

La matrice $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ -3& -8\end{array}\right)$ est‑elle inversible ?
Si oui, déterminer son inverse.

28

On considère le système suivant : $\{\begin{array}{cc}2x+5y& =13\\ -3x-8y& =11\end{array}$.
1. Déterminer les matrices $\text{A}$ et $\text{B}$ telles que le système s’écrit sous forme matricielle $\mathrm{A}\mathrm{X}=\mathrm{B}$ où $\mathrm{X}=\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)$.


2. Résoudre ce système.

29

On considère le système suivant : $\{\begin{array}{ccc}2x+y-z& =& 7\\ -3x+2y+z& =& 3\\ x-3y+2z& =& -4\end{array}$.
1. Déterminer les matrices $\text{A}$ et $\text{B}$ telles que le système s’écrit sous forme matricielle $\mathrm{A}\mathrm{X}=\mathrm{B}$ où $\mathrm{X}=\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)$.


2. Résoudre le système.

30

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
1. Rappeler la matrice associée à une symétrie axiale par rapport à chacun des axes du repère.


2. Déterminer la matrice associée à la rotation de centre $\text{O}$ et d’angle $\frac{\pi }{6}$.


3. Déterminer la matrice associée à l’homothétie de centre $\text{O}$ et de rapport $-\text{4}$.

31

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.
On note $r$ la rotation de centre $\text{O}$ et d’angle $\pi$, $s_1$ la symétrie par rapport à l’axe des abscisses et $s_2$ la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

1. Déterminer la matrice $\text{R}$ associée à $r$.


2. a. Déterminer ${\mathrm{A}}^{\prime }=r(\mathrm{A})$ et ${\mathrm{B}}^{\prime }=r(\mathrm{B})$ où $\text{A}$ est le point de coordonnées $(-2;3)$ et $\text{B}$ le point de coordonnées $(4;1)$.


b. Placer les points $\text{A}$, ${\mathrm{A}}^{\prime }$, $\text{B}$ et ${\mathrm{B}}^{\prime }$ dans le repère.


3. a. Vérifier graphiquement que $s_1\left(s_2(\mathrm{A})\right)={\mathrm{A}}^{\prime }$ et que $s_1\left(s_2(\mathrm{B})\right)={\mathrm{B}}^{\prime }$.


b. Démontrer ce résultat à l’aide d’un calcul matriciel.

Pour les exercices

32

à 

35

On considère les graphes suivants.

a.

b.

c.

d.

32

Pour chaque graphe, donner son ordre et le degré de chaque sommet.

33

Justifier que les graphes sont connexes.

34

1. Reproduire et modifier le graphe a. pour qu’il ne soit plus connexe.

2. Reproduire et modifier le graphe c. pour qu’il soit complet.

35

1. Dans le graphe d., quelle est la longueur de la chaîne $\mathrm{C}-\mathrm{E}-\mathrm{B}-\mathrm{A}-\mathrm{F}-\mathrm{A}-\mathrm{C}$ ?


2. Déterminer dans ce graphe deux chaînes de longueur 3 et une chaîne de longueur 7.


3. Déterminer dans ce graphe une chaîne de longueur 4 reliant $\text{B}$ à $\text{A}$.

36

Construire un graphe composé des sommets $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$, $\text{D}$ et $\text{E}$, dont la matrice d’adjacence obtenue en classant les sommets dans l’ordre alphabétique est :
$\mathrm{M}=\left(\begin{array}{lllll}0& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 1& 1& 0& 0& 1\\ 1& 1& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right)$.

37

Déterminer la matrice d’adjacence de chacun des graphes suivants (on rangera les sommets dans l’ordre alphabétique).

a.

b.

c.

d.

38

On considère un graphe dont la matrice d’adjacence obtenue en numérotant les sommets de 1 à 5 est :
$\mathrm{M}=\left(\begin{array}{lllll}0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1\\ 1& 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$.

1. En justifiant, donner le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets n°3 et n°5.


2. En justifiant, donner le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets n°1 et n°4.

39

On considère un graphe dont la matrice d’adjacence obtenue en numérotant les sommets de 1 à 5 est :
$\mathrm{M}=\left(\begin{array}{lllll}0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 0\end{array}\right)$

1. En justifiant, donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet n°2 au sommet n°5.


2. En justifiant, donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet n°1 au sommet n°3.