Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Travailler les automatismes
P.190-191

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




Travailler les automatismes




À L'ORAL

Envie de réaliser ces exercices à l'oral ? Enregistrez-vous !

Enregistreur audio
Voir les réponses

15
Calculer(2543)+(46712)\left(\begin{array}{ll} 2 & -5 \\ 4 & 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} -4 & 6 \\ -7 & 12 \end{array}\right).
Voir les réponses

16
Calculer (23)×(53)(2-3) \times\left(\begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right).
Voir les réponses

17
Calculer (42)×(2543)(4-2) \times\left(\begin{array}{cc} 2 & -5 \\ 4 & 3 \end{array}\right).
Voir les réponses
Voir les réponses

18
Le graphe ci-dessous est-il complet ? Connexe ?


Graphe - Exercice 18
Voir les réponses
Voir les réponses

19
On considère un graphe dont les sommets sont numérotés de 11 à 44 et dont la matrice d’adjacence M\text{M} est écrite en suivant l’ordre croissant des sommets.
On admet que M5=(1287201781087781)\mathrm{M}^{5}=\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 8 & 7 \\ 2 & 0 & 1 & 7 \\ 8 & 1 & 0 & 8 \\ 7 & 7 & 8 & 1 \end{array}\right)
Donner le nombre de chemins de longueur 55 reliant le sommet 11 au sommet 33.
Voir les réponses

Opérations sur les matrices


20
On donne A=(3452)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} -3 & 4 \\ 5 & -2 \end{array}\right)et B=(6179)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} 6 & -1 \\ 7 & 9 \end{array}\right).

Calculer A + B\text{A + B} ; AB\text{A} - \mathrm{B} ; 2A2\mathrm{A} ; 3B\text{3B} et 2A+3B-2\mathrm{A}+\text{3B}.
Voir les réponses

21
On donne A=(3224210,51,56)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -2 & 2 \\ 4 & -2 & -1 \\ 0{,}5 & -1{,}5 & 6 \end{array}\right) et B=(13472,53820,5)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 3 & 4 \\ 7 & 2{,}5 & -3 \\ -8 & 2 & -0{,}5 \end{array}\right)

Calculer A + B\text{A + B} ; AB\text{A} - \mathrm{B} ; 2A-\text{2A} ; 3B\text{3B} et 2A3B\text{2A} - \text{3B}.
Voir les réponses
Voir les réponses

22
Calculer les produits suivants.

1. (1,5320,5)×(24)\left(\begin{array}{cc} 1{,}5 & 3 \\ -2 & 0{,}5 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}\right)


2. (24)×(1,5320,5)\left(\begin{array}{ll} 2 & 4 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{cc} 1{,}5 & 3 \\ -2 & 0{,}5 \end{array}\right)
Voir les réponses
Voir les réponses

23
On considère les matrices suivantes :
A=(13)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array}\right), B=(0,50,5)\mathrm{B} = \left(\begin{array}{ll} 0{,}5 & -0{,}5 \end{array}\right) et C=(2684)\mathrm{C}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 6 \\ -8 & 4 \end{array}\right).

1. Parmi les produits suivants, indiquer ceux qui sont bien définis puis indiquer, le cas échéant, le format de la matrice obtenue :
A×B\mathrm{A} \times \mathrm{B} ; A×C\mathrm{A} \times \mathrm{C} ; B×A\mathrm{B} \times \mathrm{A} ; B×C\mathrm{B} \times \mathrm{C} ; C×A\mathrm{C} \times \mathrm{A} ; C×B\mathrm{C} \times \mathrm{B} ; A2\mathrm{A}^{2} ; C2\mathrm{C}^{2} et A×(B×C)\mathrm{A} \times(\mathrm{B} \times \mathrm{C}).


2. Calculer ces produits lorsqu’ils sont définis.
Voir les réponses

24
Soit M\mathrm{M} la matrice M=(1011)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right).
1. Calculer M2\mathrm{M}^{2}, M3\mathrm{M}^{3} et M4\mathrm{M}^{4}.


2. Conjecturer, pour tout entier naturel non nul nn, une expression de Mn\mathrm{M}^{n}.


3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
Voir les réponses

25
Soit la matrice M=(0ab00c000)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{lll} 0 & a & b \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
1. Calculer M2\mathrm{M}^{2}, M3\mathrm{M}^{3} et M4\mathrm{M}^{4}.


2. Conjecturer, pour tout entier n3n \geqslant 3, une expression de Mn\mathrm{M}^{n}.


3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
Voir les réponses

Matrice inversible et résolution de systèmes


26
Dans chaque cas, vérifier que les matrices A\text{A} et B\text{B} sont inverses l’une de l’autre.
1. A=(3445)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ -4 & -5 \end{array}\right) et B=(5443)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} -5 & -4 \\ 4 & 3 \end{array}\right).


2. A=(111202221)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \end{array}\right) et B=110(412234442)\mathrm{B}=\dfrac{1}{10}\left(\begin{array}{ccc} 4 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 4 \\ -4 & 4 & 2 \end{array}\right).
Voir les réponses

27
La matrice A=(3538)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 5 \\ -3 & -8 \end{array}\right) est‑elle inversible ?
Si oui, déterminer son inverse.
Voir les réponses

28
On considère le système suivant : {2x+5y=133x8y=11\left\{\begin{array}{c} 2 x+5 y &=13 \\ -3 x-8 y &=11 \end{array}\right..
1. Déterminer les matrices A\text{A} et B\text{B} telles que le système s’écrit sous forme matricielle AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B}X=(xy)\mathrm{X}=\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right).


2. Résoudre ce système.
Voir les réponses

29
On considère le système suivant : {2x+yz=73x+2y+z=3x3y+2z=4\left\{\begin{array}{ccc} 2 x+y-z & = & 7 \\ -3 x+2 y+z & = & 3 \\ x-3 y+2 z & = & -4 \end{array}\right..
1. Déterminer les matrices A\text{A} et B\text{B} telles que le système s’écrit sous forme matricielle AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B}X=(xyz)\mathrm{X}=\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right).


2. Résoudre le système.
Voir les réponses

Transformation du plan


30
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}).
1. Rappeler la matrice associée à une symétrie axiale par rapport à chacun des axes du repère.


2. Déterminer la matrice associée à la rotation de centre O\text{O} et d’angle π6\dfrac{\pi}{6}.


3. Déterminer la matrice associée à l’homothétie de centre O\text{O} et de rapport 4-\text{4}.
Voir les réponses
Voir les réponses

31
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}).
On note rr la rotation de centre O\text{O} et d’angle π\pi, s1s_{1} la symétrie par rapport à l’axe des abscisses et s2s_{2} la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

1. Déterminer la matrice R\text{R} associée à rr.


2. a. Déterminer A=r(A)\mathrm{A}^{\prime}=r(\mathrm{A}) et B=r(B)\mathrm{B}^{\prime}=r(\mathrm{B})A\text{A} est le point de coordonnées (2;3)(-2\,; 3) et B\text{B} le point de coordonnées (4;1)(4\,; 1).


b. Placer les points A\text{A}, A\mathrm{A}^{\prime}, B\text{B} et B\mathrm{B}^{\prime} dans le repère.


3. a. Vérifier graphiquement que s1(s2(A))=As_{1}\left(s_{2}(\mathrm{A})\right)=\mathrm{A}^{\prime} et que s1(s2(B))=Bs_{1}\left(s_{2}(\mathrm{B})\right)=\mathrm{B}^{\prime}.


b. Démontrer ce résultat à l’aide d’un calcul matriciel.
Voir les réponses

Graphes


Pour les exercices
32
à 
35

On considère les graphes suivants.

a.
graphe a - Exercice 32 à 35

b.
graphe b - Exercice 32 à 35

c.
graphe c - Exercice 32 à 35

d.
graphe d - Exercice 32 à 35

32
Pour chaque graphe, donner son ordre et le degré de chaque sommet.
Voir les réponses

33
Justifier que les graphes sont connexes.
Voir les réponses

34

1. Reproduire et modifier le graphe a. pour qu’il ne soit plus connexe.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. Reproduire et modifier le graphe c. pour qu’il soit complet.
Couleurs
Formes
Dessinez ici
Voir les réponses

35

1. Dans le graphe d., quelle est la longueur de la chaîne CEBAFAC\mathrm{C} - \mathrm{E} - \mathrm{B} - \mathrm{A} - \mathrm{F} - \mathrm{A} - \mathrm{C} ?


2. Déterminer dans ce graphe deux chaînes de longueur 3 et une chaîne de longueur 7.


3. Déterminer dans ce graphe une chaîne de longueur 4 reliant B\text{B} à A\text{A}.
Voir les réponses

Matrice d’adjacence


36
Construire un graphe composé des sommets A\text{A}, B\text{B}, C\text{C}, D\text{D} et E\text{E}, dont la matrice d’adjacence obtenue en classant les sommets dans l’ordre alphabétique est :
M=(0111110111110011100111110)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right).

Couleurs
Formes
Dessinez ici
Voir les réponses

37
Déterminer la matrice d’adjacence de chacun des graphes suivants (on rangera les sommets dans l’ordre alphabétique).

a.
graphe a - Exercice 37



b.
graphe b - Exercice 37



c.
graphe c - Exercice 37



d.
graphe d - Exercice 37

Voir les réponses

38
On considère un graphe dont la matrice d’adjacence obtenue en numérotant les sommets de 1 à 5 est :
M=(0101010111010011101101111)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{lllll} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right).


1. En justifiant, donner le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets n°3 et n°5.


2. En justifiant, donner le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets n°1 et n°4.
Voir les réponses

39
On considère un graphe dont la matrice d’adjacence obtenue en numérotant les sommets de 1 à 5 est :
M=(0011001110110111111100110)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{lllll} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)


1. En justifiant, donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet n°2 au sommet n°5.


2. En justifiant, donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet n°1 au sommet n°3.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.