Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 6
Exercices

Travailler les automatismes

À l'oral
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Enregistreur audio
15
Calculer.
16
Calculer .
17
Calculer .
18
Le graphe ci-dessous est-il complet ? Connexe ?


Graphe - Exercice 18
Le zoom est accessible dans la version Premium.
19
On considère un graphe dont les sommets sont numérotés de à et dont la matrice d'adjacence est écrite en suivant l'ordre croissant des sommets.
On admet que
Donner le nombre de chemins de longueur reliant le sommet au sommet .
Opérations sur les matrices
20
On donne et .

Calculer ; ; ; et .
21
On donne et

Calculer ; ; ; et .
22
Calculer les produits suivants.

1.


2.
23
On considère les matrices suivantes :
, et .

1. Parmi les produits suivants, indiquer ceux qui sont bien définis puis indiquer, le cas échéant, le format de la matrice obtenue :
; ; ; ; ; ; ; et .


2. Calculer ces produits lorsqu'ils sont définis.
24
Soit la matrice .
1. Calculer , et .


2. Conjecturer, pour tout entier naturel non nul , une expression de .


3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
25
Soit la matrice
1. Calculer , et .


2. Conjecturer, pour tout entier , une expression de .


3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
Matrice inversible et résolution de systèmes
26
Dans chaque cas, vérifier que les matrices et sont inverses l'une de l'autre.
1. et .


2. et .
27
La matrice est‑elle inversible ?
Si oui, déterminer son inverse.
28
On considère le système suivant : .
1. Déterminer les matrices et telles que le système s'écrit sous forme matricielle .


2. Résoudre ce système.
29
On considère le système suivant : .
1. Déterminer les matrices et telles que le système s'écrit sous forme matricielle .


2. Résoudre le système.
Transformation du plan
30
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct .
1. Rappeler la matrice associée à une symétrie axiale par rapport à chacun des axes du repère.


2. Déterminer la matrice associée à la rotation de centre et d'angle .


3. Déterminer la matrice associée à l'homothétie de centre et de rapport .
31
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct .
On note la rotation de centre et d'angle , la symétrie par rapport à l'axe des abscisses et la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

1. Déterminer la matrice associée à .


2. a. Déterminer et est le point de coordonnées et le point de coordonnées .


b. Placer les points , , et dans le repère.


3. a. Vérifier graphiquement que et que .


b. Démontrer ce résultat à l'aide d'un calcul matriciel.
Graphes

Pour les exercices
32
à
35

On considère les graphes suivants.

a.
graphe a - Exercice 32 à 35
Le zoom est accessible dans la version Premium.
b.
graphe b - Exercice 32 à 35
Le zoom est accessible dans la version Premium.
c.
graphe c - Exercice 32 à 35
Le zoom est accessible dans la version Premium.
d.
graphe d - Exercice 32 à 35
Le zoom est accessible dans la version Premium.
32
Pour chaque graphe, donner son ordre et le degré de chaque sommet.
33
Justifier que les graphes sont connexes.
35

1. Dans le graphe d., quelle est la longueur de la chaîne  ?


2. Déterminer dans ce graphe deux chaînes de longueur 3 et une chaîne de longueur 7.


3. Déterminer dans ce graphe une chaîne de longueur 4 reliant à .
34

1. Reproduire et modifier le graphe a. pour qu'il ne soit plus connexe.
Dessinez ici

2. Reproduire et modifier le graphe c. pour qu'il soit complet.
Dessinez ici
Matrice d'adjacence
36
Construire un graphe composé des sommets , , , et , dont la matrice d'adjacence obtenue en classant les sommets dans l'ordre alphabétique est :
.

Dessinez ici
38
On considère un graphe dont la matrice d'adjacence obtenue en numérotant les sommets de 1 à 5 est :
.


1. En justifiant, donner le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets n°3 et n°5.


2. En justifiant, donner le nombre de chaînes de longueur 2 reliant les sommets n°1 et n°4.
37
Déterminer la matrice d'adjacence de chacun des graphes suivants (on rangera les sommets dans l'ordre alphabétique).

a.
graphe a - Exercice 37
Le zoom est accessible dans la version Premium.



b.
graphe b - Exercice 37
Le zoom est accessible dans la version Premium.



c.
graphe c - Exercice 37
Le zoom est accessible dans la version Premium.



d.
graphe d - Exercice 37
Le zoom est accessible dans la version Premium.

39
On considère un graphe dont la matrice d'adjacence obtenue en numérotant les sommets de 1 à 5 est :


1. En justifiant, donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet n°2 au sommet n°5.


2. En justifiant, donner le nombre de chemins de longueur 3 reliant le sommet n°1 au sommet n°3.

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