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1. Notion de matrice
P.192-195

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Entraînement


1
Notion de matrice





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 44 ; 48 ; 51 ; 55 ; 71 ; 76 et 86
◉◉ Parcours 2 : exercices 47 ; 50 ; 54 ; 57 ; 75 ; 81 et 83
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 53 ; 62 ; 63 ; 65 ; 73 et 84

40
FLASH

1. Écrire le système suivant sous forme matricielle :.


2. Résoudre le système.
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41
FLASH

Soit .

1. Montrer que .


2. En déduire que est inversible et déterminer .
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42
FLASH

Soit .

1. Calculer , et .


2. En déduire que est inversible et déterminer .
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43
[Modéliser.]
Une agence de voyage réserve des vols vers trois destinations (la Guadeloupe, la Martinique et la Réunion) auprès de deux compagnies aériennes (Air Tourterelle et Air Pigeon).
Le nombre de passagers pour la première semaine d’octobre est donné par la matrice .
Les deux lignes correspondent respectivement aux fréquentations des vols d’Air Tourterelle et d’Air Pigeon alors que les trois colonnes correspondent respectivement aux vols en direction de la Guadeloupe, de la
Martinique et de la Réunion.

1. Que représente le coefficient 105 de la matrice  ?


2. Pour la deuxième semaine d’octobre, la fréquentation diminue de quinze passagers pour chaque vol.
a. Écrire la matrice correspondante.


b. Calculer . À quoi cette matrice correspond‑elle ?


3. Pour la troisième semaine d’octobre, la fréquentation augmente de 10 % pour chaque vol par rapport à la deuxième semaine.
Écrire la matrice correspondante (on arrondira au besoin les coefficients à l’unité inférieure).


4. Avec les vacances d’automne, la fréquentation des vols d’Air Tourterelle augmente de 20 % et celle d’Air Pigeon de 25 % par rapport à la troisième semaine.
Écrire la matrice correspondante en arrondissant à l’unité inférieure.


5. a. Déterminer la matrice correspondant au total de passagers pour chaque vol sur l’ensemble du mois d’octobre.


b. Durant les quatre premières semaines du mois d’octobre, combien compte‑t‑on de passagers ayant voyagé en Guadeloupe avec la compagnie Air Tourterelle ? Avec Air Pigeon ?
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44
[Modéliser.] ◉◉
Un lycée commande régulièrement des feutres pour tableau blanc au prix de 0,90 € l’unité, des ramettes de 500 feuilles A4 à 4 € l’unité, des ramettes de feuilles A3 à 9 € l’unité et des enveloppes à 11,50 € le lot de 500.
On définit la matrice colonne qui donne le prix de ces fournitures.

1. Pour la rentrée, le lycée Jean Jaurès commande 750 feutres, 50 ramettes de feuilles A4, 30 ramettes de feuilles A3 et 2 000 enveloppes.
a. Traduire ces quantités par une matrice ligne .


b. Quel produit doit‑on effectuer pour calculer le coût total de la commande ?


2. Le fournisseur reçoit les commandes de trois lycées : Jean Jaurès, Léonard de Vinci et Jean Lurçat.
Les quantités commandées sont respectivement données par la matrice .
a. À quoi le coefficient 1 000 correspond‑il ?
Interpréter également le coefficient 100.


b. Calculer, à l’aide d’un produit matriciel, la facture pour chacun des lycées.
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45
[Calculer.]
Trouver les coefficients manquants.

1.


2.
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46
[Calculer.]
Soient et deux réels et .

1. Quelle relation existe‑t‑il entre et lorsque n’est pas inversible ?


2. Déterminer et tels que .
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47
[Raisonner.] ◉◉
On considère la matrice .

1. Calculer et prouver que .


2. Exprimer, pour tout entier naturel , , et en fonction de .
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48
[Raisonner.] ◉◉
On considère les matrices , et .

1. Calculer et .


2. En déduire que n’est pas inversible.
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49
[Calculer.]
1. On définit la matrice .
a. Justifier que la matrice est inversible.


b. Déterminer les coefficients , , et de la matrice .


2. En déduire une écriture matricielle et une solution des systèmes suivants.
a.


b.
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50
[Calculer.] ◉◉

1. Vérifier que les matrices et sont inverses l’une de l’autre.


2. En déduire une écriture matricielle et une solution des systèmes suivants.
a.


b.
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51
[Modéliser.] ◉◉
Pour le cross des élèves de première, un lycée a commandé 120 bouteilles d’eau et 180 paquets de biscuits pour la somme de 238,80 €.
Pour le cross des élèves de terminale, l’établissement a commandé 100 bouteilles d’eau et 190 paquets de biscuits pour un total de 238,20 €.

1. Modéliser cette situation sous forme d’un système de deux équations à deux inconnues et correspondant respectivement au prix d’une bouteille d’eau et à celui d’un paquet de biscuits.


2. Déterminer les matrices , et telles que le système s’écrit sous forme matricielle .


3. Résoudre le système à l’aide de la calculatrice.
Interpréter la solution.
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52
[Modéliser.]
Lors d’un concours d’admission à une école d’enseignement supérieur, quatre étudiants ont obtenu les résultats suivants.

Français Maths Anglais Culture générale TOTAL coefficienté
Albert 10 8 15 16 211
Betty 17 12 7 11 208
Charles 8 15 9 13 206
Diane 12 7 14 10 190

Ils souhaitent connaître les coefficients attribués à chaque matière.
On note respectivement , , et les coefficients de français, mathématiques, anglais et culture générale.

1. Écrire un système de quatre équations d’inconnues , , et qui traduit ce problème.


2. Donner une écriture matricielle de ce système sous la forme en explicitant les matrices , et .


3. Résoudre le système et interpréter les solutions.
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53
[Représenter.] ◉◉◉
On se place dans un repère orthonormé.
On cherche à déterminer la fonction dont la courbe représentative est donnée ci‑dessous.

courbe - Exercice 53

On admet que est une fonction du second degré de la forme .
Le but de l’exercice est donc de déterminer les coefficients , et .
On sait que passe par l’origine du repère et par le point de coordonnées où la tangente à est parallèle à l’axe des abscisses.

1. Traduire ces informations par trois équations d’inconnues , et .


2. En déduire un système de deux équations à deux inconnues et .


3. Déterminer les matrices , et pour lesquelles équivaut à .


4. Résoudre ce système et trouver l’expression de .
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54
[Modéliser.] ◉◉
Une société fabrique et vend une quantité d’objets, exprimée en milliers.
Le coût de fabrication, exprimé en milliers d’euros, de milliers d’objets est donné par , où , et sont trois nombres réels qu’on souhaite déterminer.
On sait que le coût de fabrication de 4 000 objets s’élève à 63 000 €, que celui de 10 000 objets est de 165 000 €, et que celui de 20 000 objets vaut 415 000 €.

1. Justifier que les informations sur peuvent se traduire sous la forme du système de trois équations à trois inconnues suivant :


2. Montrer que le système obtenu s’écrit sous la forme , où et et sont deux matrices à préciser.


3. À l’aide d’un calcul matriciel et de la calculatrice, déterminer , et . En déduire une expression de .


4. Déterminer alors le coût de fabrication de 30 000 objets.
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55
[Représenter.] ◉◉
À chaque matrice de transformation , associer la transformation correspondante, sachant que le carré bleu est l’image du carré vert par cette transformation.

1.







2.





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56
[Représenter.]
Pour chacune des transformations planes ci‑dessous, écrire la matrice de transformation correspondante.

1. Le carré bleu est obtenu suite à l’homothétie de centre l’origine du repère et de rapport .

Transformation 1 - Exercice 56



2. Le carré bleu est le symétrique du carré orange par rapport à l’axe des ordonnées.

Transformation 2 - Exercice 56

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57
[Représenter.] ◉◉
On considère, dans le repère orthonormé direct , le point .

Plan de travail - Exercice 57

1. a. Placer dans le repère ci‑dessus le point , symétrique de par rapport à l’axe des ordonnées. Déterminer graphiquement ses coordonnées.


b. Retrouver les coordonnées de à l’aide d’un calcul matriciel.


2. Soit l’image du point par la rotation de centre et d’angle .
Déterminer les coordonnées de à l’aide d’un calcul matriciel.


3. On considère le point .


a. Déterminer par le calcul les coordonnées de , image de par la rotation de centre et d’angle .



Aide
On pourra commencer par travailler dans le repère


b. Placer le point dans le repère ci‑dessus et vérifier la cohérence du résultat obtenu.
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58
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient , et trois matrices de même taille. Démontrer les propriétés suivantes :

1. (commutativité).


2. (associativité).
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59
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient et deux matrices de même taille.
Soient et sont deux nombres réels.
Démontrer les propriétés suivantes :

1.


2.


3.
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60
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit une matrice carrée d’ordre 2 où , , et sont quatre nombres réels. On note son déterminant et on considère la matrice carrée définie par .
On cherche à démontrer l’équivalence : est inversible si, et seulement si, .
Question préliminaire : Calculer et .


Partie A : Implication réciproque
On suppose que . Justifier que est inversible et déterminer son inverse .

Partie B : Implication directe
On cherche maintenant à démontrer que si est inversible, alors . Cela revient à démontrer la contraposée : si , alors n’est pas inversible.
On suppose donc que et, par l’absurde, que est inversible.

1. Justifier que l’on peut alors écrire .


2. En calculant le produit de deux manières différentes, démontrer que .


3. Quelles sont alors les valeurs de , , et  ?


4. Déterminer alors la matrice . Est‑elle inversible ?


5. Conclure.
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61
[Raisonner.]
Soit une matrice carrée inversible d’ordre .
Montrer qu’il existe une unique matrice inverse de .
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62
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit un entier naturel non nul.
Soient et deux matrices diagonales d’ordre .

1. a. Calculer et .


b. On suppose que tous les coefficients diagonaux de sont non nuls. Montrer alors que est inversible et déterminer son inverse.


2. Montrer que si est inversible, alors tous ses éléments diagonaux sont non nuls (on pourra raisonner par l’absurde).
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63
[Calculer.] ◉◉◉
Soit un entier naturel supérieur ou égal à .
On considère la matrice carrée d’ordre formée uniquement de .

1. Exprimer en fonction de et de .


2. En déduire que n’est pas inversible.
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64
VRAI/FAUX

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses (si la réponse est fausse, donner un contre‑exemple) :

1. Pour toutes matrices et , existe.


2. Pour toute matrice carrée d’ordre , .


3. Pour toute matrice carrée d’ordre , .


4. Pour toutes matrices carrées et d’ordre , .
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65
[Calculer.] ◉◉◉
Soient et deux matrices carrées non nulles d’ordre telles que .
Soit une matrice carrée d’ordre telle qu’il existe deux réels non nuls et distincts et tels que :
et


1. a. Montrer que :
.



b. En déduire que et que et .


2. Démontrer que, pour tout , on a :
.



3. Application :
Soient , et

a. Déterminer et tels que et .


b. En déduire pour tout .
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66
[Calculer.]
1. Soit .

a. Démontrer qu’il existe deux réels et tels que :
.



b. En déduire que la matrice est inversible et exprimer en fonction de et .


c. Déterminer la matrice .


2. Soit .

a. Calculer .


b. En déduire que est inversible et préciser .
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