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40
Flash
1. Écrire le système suivant sous forme matricielle :⎩⎪⎨⎪⎧5x+3y+4z2x+3y+zx+y+z===−2−2−2.
2. Résoudre le système.
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41
Flash
Soit A=⎝⎛−1111−1111−1⎠⎞.
1. Montrer que A2=2I3−A.
2. En déduire que A est inversible et déterminer A−1.
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42
Flash
Soit A=(0−110).
1. Calculer A2, A3 et A4.
2. En déduire que A est inversible et déterminer A−1.
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43
[Modéliser.]
Une agence de voyage réserve des vols vers trois destinations
(la Guadeloupe, la Martinique et la Réunion)
auprès de deux compagnies aériennes (Air Tourterelle
et Air Pigeon).
Le nombre de passagers pour la première semaine
d'octobre est donné par la matrice P1=(1802201201057090).
Les deux lignes correspondent respectivement aux
fréquentations des vols d'Air Tourterelle et d'Air Pigeon
alors que les trois colonnes correspondent respectivement
aux vols en direction de la Guadeloupe, de la
Martinique et de la Réunion.
1. Que représente le coefficient 105 de la matrice P1 ?
2. Pour la deuxième semaine d'octobre, la fréquentation diminue de quinze passagers pour chaque vol.
a. Écrire la matrice P2 correspondante.
b. Calculer P1+P2. À quoi cette matrice correspond‑elle ?
3. Pour la troisième semaine d'octobre, la fréquentation augmente de 10 % pour chaque vol par rapport à la deuxième semaine.
Écrire la matrice P3 correspondante (on arrondira au
besoin les coefficients à l'unité inférieure).
4. Avec les vacances d'automne, la fréquentation des vols d'Air Tourterelle augmente de 20 % et celle d'Air Pigeon de 25 % par rapport à la troisième semaine.
Écrire la matrice P4 correspondante en arrondissant à
l'unité inférieure.
5. a. Déterminer la matrice P correspondant au total de passagers pour chaque vol sur l'ensemble du mois d'octobre.
b. Durant les quatre premières semaines du mois d'octobre, combien compte‑t‑on de passagers ayant voyagé
en Guadeloupe avec la compagnie Air Tourterelle ? Avec Air Pigeon ?
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44
[Modéliser.]
Un lycée commande régulièrement des feutres pour
tableau blanc au prix de 0,90 € l'unité, des ramettes de
500 feuilles A4 à 4 € l'unité, des ramettes de feuilles A3
à 9 € l'unité et des enveloppes à 11,50 € le lot de 500.
On définit la matrice colonne P=⎝⎜⎜⎜⎛0,904911,50⎠⎟⎟⎟⎞ qui donne le prix de ces fournitures.
1. Pour la rentrée, le lycée Jean Jaurès commande 750 feutres, 50 ramettes de feuilles A4, 30 ramettes de feuilles A3 et 2 000 enveloppes.
a. Traduire ces quantités par une matrice ligne Q.
b. Quel produit doit‑on effectuer pour calculer le coût total de la commande ?
2. Le fournisseur reçoit les commandes de trois lycées : Jean Jaurès, Léonard de Vinci et Jean Lurçat.
Les quantités commandées sont respectivement
données par la matrice R=⎝⎛7501000150050801003040804812⎠⎞.
a. À quoi le coefficient 1 000 correspond‑il ?
Interpréter également le coefficient 100.
b. Calculer, à l'aide d'un produit matriciel, la facture pour chacun des lycées.
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[Calculer.]
Soient a et b deux réels et A=(ab12).
1. Quelle relation existe‑t‑il entre a et b lorsque A n'est pas inversible ?
2. Déterminer a et b tels que { A soit inversible A−1=A.
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[Raisonner.]
On considère la matrice A=(2−13−1).
1. Calculer A2 et prouver que A3=−I2.
2. Exprimer, pour tout entier naturel n, A3n, A3n+1 et A3n+2 en fonction de n.
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48
[Raisonner.]
On considère les matrices A=⎝⎛103011011⎠⎞, B=⎝⎛101110100⎠⎞ et C=⎝⎛11012−111−1⎠⎞.
1. Calculer A×B et A×C.
2. En déduire que A n'est pas inversible.
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[Calculer.] 1. On définit la matrice A=(3547).
a. Justifier que la matrice A est inversible.
b. Déterminer les coefficients a, b, c et d de la matrice A−1=(acbd).
2. En déduire une écriture matricielle et une solution des systèmes suivants.
a. {3x+4y=25x+7y=4
b. {7x−4y−5x+3y==−2111
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[Calculer.]
1. Vérifier que les matrices =⎝⎛12−2−2−34−2−23⎠⎞ et B=⎝⎛12−221022−1⎠⎞ sont inverses l'une de l'autre.
2. En déduire une écriture matricielle et une solution des systèmes suivants.
a. ⎩⎪⎨⎪⎧x−2y−2z2x−3y−2z−2x+4y+3z===45−3
b. ⎩⎪⎨⎪⎧x+2y+2z2x+y+2z−2x−z===−7129
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51
[Modéliser.]
Pour le cross des élèves de première, un lycée a commandé
120 bouteilles d'eau et 180 paquets de
biscuits pour la somme de 238,80 €.
Pour le cross des élèves de terminale, l'établissement
a commandé 100 bouteilles d'eau et 190 paquets de
biscuits pour un total de 238,20 €.
1. Modéliser cette situation sous forme d'un système
(S) de deux équations à deux inconnues x et y correspondant respectivement au prix d'une bouteille d'eau et à celui d'un paquet de biscuits.
2. Déterminer les matrices A, X et B telles que le système (S) s'écrit sous forme matricielle AX = B.
3. Résoudre le système à l'aide de la calculatrice.
Interpréter la solution.
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52
[Modéliser.]
Lors d'un concours d'admission à une école d'enseignement
supérieur, quatre étudiants ont obtenu les
résultats suivants.
Français
Maths
Anglais
Culture générale
TOTAL coefficienté
Albert
10
8
15
16
211
Betty
17
12
7
11
208
Charles
8
15
9
13
206
Diane
12
7
14
10
190
Ils souhaitent connaître les coefficients attribués à
chaque matière.
On note respectivement a, b, c et d les coefficients de français, mathématiques, anglais et culture générale.
1. Écrire un système de quatre équations d'inconnues a, b, c et d qui traduit ce problème.
2. Donner une écriture matricielle de ce système sous la forme AX = B en explicitant les matrices A, X et B.
3. Résoudre le système et interpréter les solutions.
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53
[Représenter.]
On se place dans un repère orthonormé.
On cherche à déterminer la fonction f dont la courbe
représentative Cf est donnée ci‑dessous.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
On admet que f est une fonction du second degré de la
forme f(x)=ax2+bx+c.
Le but de l'exercice est donc de déterminer les coefficients
a, b et c.
On sait que Cf passe par l'origine du repère et par le
point A de coordonnées (3;−2,25) où la tangente à Cf est parallèle à l'axe des abscisses.
1. Traduire ces informations par trois équations d'inconnues a, b et c.
2. En déduire un système (S) de deux équations à deux inconnues a et b.
3. Déterminer les matrices A, X et B pour lesquelles (S) équivaut à AX = B.
4. Résoudre ce système et trouver l'expression de f.
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54
[Modéliser.]
Une société fabrique et vend une quantité x d'objets,
exprimée en milliers.
Le coût de fabrication, exprimé en milliers d'euros, de x
milliers d'objets est donné par C(x)=ax2+bx+c,
où a, b et c sont trois nombres réels qu'on souhaite
déterminer.
On sait que le coût de fabrication de 4 000 objets
s'élève à 63 000 €, que celui de 10 000 objets est de
165 000 €, et que celui de 20 000 objets vaut 415 000 €.
1. Justifier que les informations sur C peuvent se traduire sous la forme du système de trois équations à trois inconnues suivant : ⎩⎪⎨⎪⎧16a+4b+c100a+10b+c400a+20b+c===63165415
2. Montrer que le système obtenu s'écrit sous la forme
AX = B, où X=⎝⎛abc⎠⎞ et A et B sont deux matrices à
préciser.
3. À l'aide d'un calcul matriciel et de la calculatrice, déterminer a, b et c. En déduire une expression de C(x).
4. Déterminer alors le coût de fabrication de 30 000 objets.
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55
[Représenter.]
À chaque matrice de transformation T, associer la
transformation correspondante, sachant que le carré
bleu est l'image du carré vert par cette transformation.
1. ⎝⎜⎜⎛2222−2222⎠⎟⎟⎞
b.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
c.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. (100−1)
a.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
b.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
c.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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56
[Représenter.]
Pour chacune des transformations planes ci‑dessous,
écrire la matrice de transformation correspondante.
1. Le carré bleu est obtenu suite à
l'homothétie de centre l'origine du
repère et de rapport 31.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. Le carré bleu est le symétrique du carré orange par rapport à l'axe des ordonnées.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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57
[Représenter.]
On considère, dans le repère orthonormé direct
(O;i,j), le point A(2;4).
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. a. Placer dans le repère ci‑dessus le point A′,
symétrique de A par rapport à l'axe des ordonnées.
Déterminer graphiquement ses coordonnées.
b. Retrouver les coordonnées de A′ à l'aide d'un calcul matriciel.
2. Soit A′′ l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle 4π.
Déterminer les coordonnées de A′′ à l'aide d'un calcul
matriciel.
3. On considère le point C(3;1). a. Déterminer par le calcul les coordonnées de C′, image de C par la rotation de centre A et d'angle 2π.
On pourra commencer par travailler dans le repère (A;i,j)
Aide
b. Placer le point C′ dans le repère ci‑dessus et vérifier la cohérence du résultat obtenu.
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58
Démo
[Raisonner.]
Soient A, B et C trois matrices de même taille. Démontrer les propriétés suivantes :
1. A + B = B + A (commutativité).
2. A+(B+C)=(A+B)+C (associativité).
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59
Démo
[Raisonner.]
Soient M et M′ deux matrices de même taille.
Soient α et β sont deux nombres réels.
Démontrer les propriétés suivantes :
1. 1×M=M
2. (α+β)M=αM+βM
3. α(M+M′)=αM+αM′
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60
Démo
[Raisonner.]
Soit A=(acbd) une matrice carrée d'ordre 2 où a, b, c et d sont quatre nombres réels. On note det(A)=ad−bc son déterminant et on considère la matrice carrée B définie par B=(d−c−ba).
On cherche à démontrer l'équivalence : A est inversible si, et seulement si, det(A)=0.
Question préliminaire :Calculer A×B et B×A.
Partie A : Implication réciproque On suppose que det(A)=0. Justifier que A est
inversible et déterminer son inverse A−1.
Partie B : Implication directe
On cherche maintenant à démontrer que si A est inversible, alors det(A)=0. Cela revient à démontrer la contraposée : si det(A)=0, alors A n'est pas inversible.
On suppose donc que det(A)=0 et, par l'absurde, que A est inversible.
1. Justifier que l'on peut alors écrire B=A−1×A×B.
2. En calculant le produit A−1×(A×B) de deux manières différentes, démontrer que B=02.
3. Quelles sont alors les valeurs de a, b, c et d ?
4. Déterminer alors la matrice A. Est‑elle inversible ?
5. Conclure.
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61
[Raisonner.] Soit A une matrice carrée inversible d'ordre n.
Montrer qu'il existe une unique matrice inverse de A.
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62
[Raisonner.]
Soit n un entier naturel non nul.
Soient D=Diag(d1;…;dn) et D′=Diag(d1′;…;dn′) deux matrices diagonales d'ordre n.
1. a. Calculer DD′ et D′D.
b. On suppose que tous les coefficients diagonaux de D sont non nuls. Montrer alors que D est inversible et déterminer son inverse.
2. Montrer que si D est inversible, alors tous ses éléments diagonaux sont non nuls (on pourra raisonner par l'absurde).
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63
[Calculer.]
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
On considère la matrice carrée Jn d'ordre n formée
uniquement de 1.
1. Exprimer Jn2 en fonction de n et de Jn.
2. En déduire que Jn n'est pas inversible.
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64
Vrai / Faux
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou
fausses (si la réponse est fausse, donner un contre‑exemple) :
1. Pour toutes matrices A et B, A + B existe.
2. Pour toute matrice carrée A d'ordre n, A×0n=A.
3. Pour toute matrice carrée A d'ordre n, A×In=A.
4. Pour toutes matrices carrées A et B d'ordre n, A×B=B×A.
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65
[Calculer.]
Soient A et B deux matrices carrées non nulles d'ordre n telles que A+B=In.
Soit M une matrice carrée d'ordre n telle qu'il existe deux réels non nuls et distincts λ et μ tels que :