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1. Notion de matrice
P.192-195

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Entraînement


1
Notion de matrice





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 44 ; 48 ; 51 ; 55 ; 71 ; 76 et 86
◉◉ Parcours 2 : exercices 47 ; 50 ; 54 ; 57 ; 75 ; 81 et 83
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 53 ; 62 ; 63 ; 65 ; 73 et 84

40
FLASH

1. Écrire le système suivant sous forme matricielle :{5x+3y+4z=22x+3y+z=2x+y+z=2\left\{\begin{array}{ccc} 5 x+3 y+4 z & = & -2 \\ 2 x+3 y+z & = & -2 \\ x+y+z & = & -2 \end{array}\right..


2. Résoudre le système.
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41
FLASH

Soit A=(111111111)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right).

1. Montrer que A2=2I3A\mathrm{A}^{2}=2 \mathrm{I}_{3}-\mathrm{A}.


2. En déduire que A\mathrm{A} est inversible et déterminer A1\mathrm{A}^{-1}.
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42
FLASH

Soit A=(0110)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right).

1. Calculer A2\mathrm{A}^{2}, A3\mathrm{A}^{3} et A4\mathrm{A}^{4}.


2. En déduire que A\text{A} est inversible et déterminer A1\mathrm{A}^{-1}.
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43
[Modéliser.]
Une agence de voyage réserve des vols vers trois destinations (la Guadeloupe, la Martinique et la Réunion) auprès de deux compagnies aériennes (Air Tourterelle et Air Pigeon).
Le nombre de passagers pour la première semaine d’octobre est donné par la matrice P1=(1801207022010590)\mathrm{P}_{1}=\left(\begin{array}{ccc} 180 & 120 & 70 \\ 220 & 105 & 90 \end{array}\right).
Les deux lignes correspondent respectivement aux fréquentations des vols d’Air Tourterelle et d’Air Pigeon alors que les trois colonnes correspondent respectivement aux vols en direction de la Guadeloupe, de la
Martinique et de la Réunion.

1. Que représente le coefficient 105 de la matrice P1\mathrm{P}_{1} ?


2. Pour la deuxième semaine d’octobre, la fréquentation diminue de quinze passagers pour chaque vol.
a. Écrire la matrice P2\mathrm{P}_{2} correspondante.


b. Calculer P1+P2\mathrm{P}_{1}+\mathrm{P}_{2}. À quoi cette matrice correspond‑elle ?


3. Pour la troisième semaine d’octobre, la fréquentation augmente de 10 % pour chaque vol par rapport à la deuxième semaine.
Écrire la matrice P3\mathrm{P}_{3} correspondante (on arrondira au besoin les coefficients à l’unité inférieure).


4. Avec les vacances d’automne, la fréquentation des vols d’Air Tourterelle augmente de 20 % et celle d’Air Pigeon de 25 % par rapport à la troisième semaine.
Écrire la matrice P4\mathrm{P}_{4} correspondante en arrondissant à l’unité inférieure.


5. a. Déterminer la matrice P\text{P} correspondant au total de passagers pour chaque vol sur l’ensemble du mois d’octobre.


b. Durant les quatre premières semaines du mois d’octobre, combien compte‑t‑on de passagers ayant voyagé en Guadeloupe avec la compagnie Air Tourterelle ? Avec Air Pigeon ?
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44
[Modéliser.] ◉◉
Un lycée commande régulièrement des feutres pour tableau blanc au prix de 0,90 € l’unité, des ramettes de 500 feuilles A4 à 4 € l’unité, des ramettes de feuilles A3 à 9 € l’unité et des enveloppes à 11,50 € le lot de 500.
On définit la matrice colonne P=(0,904911,50)\mathrm{P}=\left(\begin{array}{c} 0{,}90 \\ 4 \\ 9 \\ 11{,}50 \end{array}\right) qui donne le prix de ces fournitures.

1. Pour la rentrée, le lycée Jean Jaurès commande 750 feutres, 50 ramettes de feuilles A4, 30 ramettes de feuilles A3 et 2 000 enveloppes.
a. Traduire ces quantités par une matrice ligne Q\text{Q}.


b. Quel produit doit‑on effectuer pour calculer le coût total de la commande ?


2. Le fournisseur reçoit les commandes de trois lycées : Jean Jaurès, Léonard de Vinci et Jean Lurçat.
Les quantités commandées sont respectivement données par la matrice R=(750503041  000804081  5001008012)\mathrm{R}=\left(\begin{array}{cccc} 750 & 50 & 30 & 4 \\ 1\;000 & 80 & 40 & 8 \\ 1\;500 & 100 & 80 & 12 \end{array}\right).
a. À quoi le coefficient 1 000 correspond‑il ?
Interpréter également le coefficient 100.


b. Calculer, à l’aide d’un produit matriciel, la facture pour chacun des lycées.
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45
[Calculer.]
Trouver les coefficients manquants.

1. (1?7?5246?)+(?2553?7?9)=(431210812365)\left(\begin{array}{ccc} -1 & \color{coral}? & 7 \\ \color{coral}? & 5 & -2 \\ 4 & -6 & \color{coral}? \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} \color{coral}? & 2 & 5 \\ -5 & 3 & \color{coral}? \\ -7 & \color{coral}? & 9 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -3 & 12 \\ -10 & 8 & 12 \\ -3 & -6 & 5 \end{array}\right)


2. (2?4231125)×(12?)=(9?20)\left(\begin{array}{ccc} -2 & \color{coral}? & 4 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ \color{coral}? \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 9 \\ \color{coral}? \\ 20 \end{array}\right)
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46
[Calculer.]
Soient aa et bb deux réels et A=(a1b2)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} a & 1 \\ b & 2 \end{array}\right).

1. Quelle relation existe‑t‑il entre aa et bb lorsque A\text{A} n’est pas inversible ?


2. Déterminer aa et bb tels que { A soit inversible A1=A\left\{\begin{array}{l} \text { A soit inversible } \\ \mathrm{A}^{-1}=\mathrm{A} \end{array}\right..
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47
[Raisonner.] ◉◉
On considère la matrice A=(2311)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{array}\right).

1. Calculer A2\mathrm{A}^{2} et prouver que A3=I2\mathrm{A}^{3}=-\mathrm{I}_{2}.


2. Exprimer, pour tout entier naturel nn, A3n\mathrm{A}^{3 n}, A3n+1\mathrm{A}^{3 n+1} et A3n+2\mathrm{A}^{3 n+2} en fonction de nn.
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48
[Raisonner.] ◉◉
On considère les matrices A=(100011311)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right), B=(111010100)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) et C=(111121011)\mathrm{C}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right).

1. Calculer A×B\mathrm{A} \times \mathrm{B} et A×C\mathrm{A} \times \mathrm{C}.


2. En déduire que A\text{A} n’est pas inversible.
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49
[Calculer.]
1. On définit la matrice A=(3457)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{array}\right).
a. Justifier que la matrice A\text{A} est inversible.


b. Déterminer les coefficients aa, bb, cc et dd de la matrice A1=(abcd)\mathrm{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right).


2. En déduire une écriture matricielle et une solution des systèmes suivants.
a. {3x+4y=25x+7y=4\left\{\begin{array}{l} 3 x+4 y=2 \\ 5 x+7 y=4 \end{array}\right.


b. {7x4y=215x+3y=11\left\{\begin{array}{ccc} 7 x-4 y & = & -21 \\ -5 x+3 y & = & 11 \end{array}\right.
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50
[Calculer.] ◉◉

1. Vérifier que les matrices =(122232243)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -2 \\ 2 & -3 & -2 \\ -2 & 4 & 3 \end{array}\right) et B=(122212201)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \end{array}\right) sont inverses l’une de l’autre.


2. En déduire une écriture matricielle et une solution des systèmes suivants.
a. {x2y2z=42x3y2z=52x+4y+3z=3\left\{\begin{array}{ccc} x-2 y-2 z & = & 4 \\ 2 x-3 y-2 z & = & 5 \\ -2 x+4 y+3z & = & -3 \end{array}\right.


b. {x+2y+2z=72x+y+2z=122xz=9\left\{\begin{array}{c} x+2 y+2 z&=& -7 \\ 2 x+y+2 z&=& 12 \\ -2 x-z&=& 9 \end{array}\right.
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51
[Modéliser.] ◉◉
Pour le cross des élèves de première, un lycée a commandé 120 bouteilles d’eau et 180 paquets de biscuits pour la somme de 238,80 €.
Pour le cross des élèves de terminale, l’établissement a commandé 100 bouteilles d’eau et 190 paquets de biscuits pour un total de 238,20 €.

1. Modéliser cette situation sous forme d’un système (S)\text{(S)} de deux équations à deux inconnues xx et yy correspondant respectivement au prix d’une bouteille d’eau et à celui d’un paquet de biscuits.


2. Déterminer les matrices A\text{A}, X\text{X} et B\text{B} telles que le système (S)\text{(S)} s’écrit sous forme matricielle AX = B\text{AX = B}.


3. Résoudre le système à l’aide de la calculatrice.
Interpréter la solution.
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52
[Modéliser.]
Lors d’un concours d’admission à une école d’enseignement supérieur, quatre étudiants ont obtenu les résultats suivants.

Français Maths Anglais Culture générale TOTAL coefficienté
Albert 10 8 15 16 211
Betty 17 12 7 11 208
Charles 8 15 9 13 206
Diane 12 7 14 10 190

Ils souhaitent connaître les coefficients attribués à chaque matière.
On note respectivement aa, bb, cc et dd les coefficients de français, mathématiques, anglais et culture générale.

1. Écrire un système de quatre équations d’inconnues aa, bb, cc et dd qui traduit ce problème.


2. Donner une écriture matricielle de ce système sous la forme AX = B\text{AX = B} en explicitant les matrices A\text{A}, X\text{X} et B\text{B}.


3. Résoudre le système et interpréter les solutions.
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53
[Représenter.] ◉◉◉
On se place dans un repère orthonormé.
On cherche à déterminer la fonction ff dont la courbe représentative Cf\mathcal{C}_{f} est donnée ci‑dessous.

courbe - Exercice 53

On admet que ff est une fonction du second degré de la forme f(x)=ax2+bx+cf(x)=a x^{2}+b x+c.
Le but de l’exercice est donc de déterminer les coefficients aa, bb et cc.
On sait que Cf\mathcal{C}_{f} passe par l’origine du repère et par le point A\text{A} de coordonnées (3;2,25)(3\,;-2,25) où la tangente à Cf\mathcal{C}_{f} est parallèle à l’axe des abscisses.

1. Traduire ces informations par trois équations d’inconnues aa, bb et cc.


2. En déduire un système (S)\text{(S)} de deux équations à deux inconnues aa et bb.


3. Déterminer les matrices A\text{A}, X\text{X} et B\text{B} pour lesquelles (S)\text{(S)} équivaut à AX = B\text{AX = B}.


4. Résoudre ce système et trouver l’expression de ff.
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54
[Modéliser.] ◉◉
Une société fabrique et vend une quantité xx d’objets, exprimée en milliers.
Le coût de fabrication, exprimé en milliers d’euros, de xx milliers d’objets est donné par C(x)=ax2+bx+c\mathrm{C}(x)=a x^{2}+b x+c, où aa, bb et cc sont trois nombres réels qu’on souhaite déterminer.
On sait que le coût de fabrication de 4 000 objets s’élève à 63 000 €, que celui de 10 000 objets est de 165 000 €, et que celui de 20 000 objets vaut 415 000 €.

1. Justifier que les informations sur C\text{C} peuvent se traduire sous la forme du système de trois équations à trois inconnues suivant : {16a+4b+c=63100a+10b+c=165400a+20b+c=415\left\{\begin{array}{c} 16 a+4 b+c & = & 63 \\ 100 a+10 b+c & = & 165 \\ 400 a+20 b+c & = & 415 \end{array}\right.


2. Montrer que le système obtenu s’écrit sous la forme AX = B\text{AX = B}, où X=(abc)\mathrm{X}=\left(\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right) et A\text{A} et B\text{B} sont deux matrices à préciser.


3. À l’aide d’un calcul matriciel et de la calculatrice, déterminer aa, bb et cc. En déduire une expression de C(x)\text{C}(x).


4. Déterminer alors le coût de fabrication de 30 000 objets.
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55
[Représenter.] ◉◉
À chaque matrice de transformation T\text{T}, associer la transformation correspondante, sachant que le carré bleu est l’image du carré vert par cette transformation.

1. (22222222)\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{2}}{2} & -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}







2. (1001)\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)





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56
[Représenter.]
Pour chacune des transformations planes ci‑dessous, écrire la matrice de transformation correspondante.

1. Le carré bleu est obtenu suite à l’homothétie de centre l’origine du repère et de rapport 13\dfrac{1}{3}.

Transformation 1 - Exercice 56



2. Le carré bleu est le symétrique du carré orange par rapport à l’axe des ordonnées.

Transformation 2 - Exercice 56

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57
[Représenter.] ◉◉
On considère, dans le repère orthonormé direct (O;i,j)(\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}), le point A(2;4)\mathrm{A}(2\,; 4).

Plan de travail - Exercice 57

1. a. Placer dans le repère ci‑dessus le point A\mathrm{A}^{\prime}, symétrique de A\mathrm{A} par rapport à l’axe des ordonnées. Déterminer graphiquement ses coordonnées.


b. Retrouver les coordonnées de A\mathrm{A}^{\prime} à l’aide d’un calcul matriciel.


2. Soit A\mathrm{A}^{\prime \prime} l’image du point A\mathrm{A} par la rotation de centre O\text{O} et d’angle π4\dfrac{\pi}{4}.
Déterminer les coordonnées de A\mathrm{A}^{\prime \prime} à l’aide d’un calcul matriciel.


3. On considère le point C(3;1)\mathrm{C}(3\,; 1).


a. Déterminer par le calcul les coordonnées de C\mathrm{C}^{\prime}, image de C\text{C} par la rotation de centre A\text{A} et d’angle π2\dfrac{\pi}{2}.



Aide
On pourra commencer par travailler dans le repère (A;i,j)(\mathrm{A}\,; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})


b. Placer le point C\mathrm{C}^{\prime} dans le repère ci‑dessus et vérifier la cohérence du résultat obtenu.
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58
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient A\text{A}, B\text{B} et C\text{C} trois matrices de même taille. Démontrer les propriétés suivantes :

1. A + B = B + A\text{A + B = B + A} (commutativité).


2. A+(B+C)=(A+B)+C\mathrm{A}+(\mathrm{B}+\mathrm{C})=(\mathrm{A}+\mathrm{B})+\mathrm{C} (associativité).
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59
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soient M\mathrm{M} et M\mathrm{M}^{\prime} deux matrices de même taille.
Soient α\alpha et β\beta sont deux nombres réels.
Démontrer les propriétés suivantes :

1. 1×M=M1 \times \mathrm{M}=\mathrm{M}


2. (α+β)M=αM+βM(\alpha+\beta) \mathbf{M}=\alpha \mathbf{M}+\beta \mathbf{M}


3. α(M+M)=αM+αM\alpha\left(\mathbf{M}+\mathbf{M}^{\prime}\right)=\alpha \mathbf{M}+\alpha \mathbf{M}^{\prime}
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60
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit A=(abcd)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) une matrice carrée d’ordre 2 où aa, bb, cc et dd sont quatre nombres réels. On note det(A)=adbc\operatorname{det}(\mathrm{A})=a d-b c son déterminant et on considère la matrice carrée B\text{B} définie par B=(dbca)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right).
On cherche à démontrer l’équivalence : A\text{A} est inversible si, et seulement si, det(A)0\operatorname{det}(\mathrm{A}) \neq 0.
Question préliminaire : Calculer A×B\mathrm{A} \times \mathrm{B} et B×A\mathrm{B} \times \mathrm{A}.


Partie A : Implication réciproque
On suppose que det(A)0\operatorname{det}(\mathrm{A}) \neq 0. Justifier que A\text{A} est inversible et déterminer son inverse A1\mathrm{A}^{-1}.

Partie B : Implication directe
On cherche maintenant à démontrer que si A\text{A} est inversible, alors det(A)0\operatorname{det}(\mathrm{A}) \neq 0. Cela revient à démontrer la contraposée : si det(A)=0\operatorname{det}(\mathrm{A}) = 0, alors A\text{A} n’est pas inversible.
On suppose donc que det(A)=0\operatorname{det}(\mathrm{A}) = 0 et, par l’absurde, que A\text{A} est inversible.

1. Justifier que l’on peut alors écrire B=A1×A×B\mathrm{B}=\mathrm{A}^{-1} \times \mathrm{A} \times \mathrm{B}.


2. En calculant le produit A1×(A×B)\mathrm{A}^{-1} \times(\mathrm{A} \times \mathrm{B}) de deux manières différentes, démontrer que B=02\mathrm{B}=0_{2}.


3. Quelles sont alors les valeurs de aa, bb, cc et dd ?


4. Déterminer alors la matrice A\text{A}. Est‑elle inversible ?


5. Conclure.
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61
[Raisonner.]
Soit A\text{A} une matrice carrée inversible d’ordre nn.
Montrer qu’il existe une unique matrice inverse de A\text{A}.
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62
[Raisonner.] ◉◉◉
Soit nn un entier naturel non nul.
Soient D=Diag(d1;;dn)\mathrm{D}=\operatorname{Diag}\left(d_{1} ; \ldots ; d_{n}\right) et D=Diag(d1;;dn)\mathrm{D}^{\prime}=\operatorname{Diag}\left(d_{1}^{\prime} ; \ldots ; d_{n}^{\prime}\right) deux matrices diagonales d’ordre nn.

1. a. Calculer DD\mathrm{DD}^{\prime} et DD\mathrm{D}^{\prime} \mathrm{D}.


b. On suppose que tous les coefficients diagonaux de D\text{D} sont non nuls. Montrer alors que D\text{D} est inversible et déterminer son inverse.


2. Montrer que si D\text{D} est inversible, alors tous ses éléments diagonaux sont non nuls (on pourra raisonner par l’absurde).
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63
[Calculer.] ◉◉◉
Soit nn un entier naturel supérieur ou égal à 11.
On considère la matrice carrée Jn\mathrm{J}_{n} d’ordre nn formée uniquement de 11.

1. Exprimer Jn2\mathrm{J}_{n}^{2} en fonction de nn et de Jn\mathrm{J}_{n}.


2. En déduire que Jn\mathrm{J}_{n} n’est pas inversible.
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64
VRAI/FAUX

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses (si la réponse est fausse, donner un contre‑exemple) :

1. Pour toutes matrices A\text{A} et B\text{B}, A + B\text{A + B} existe.


2. Pour toute matrice carrée A\text{A} d’ordre nn, A×0n=A\mathrm{A} \times 0_{n}=\mathrm{A}.


3. Pour toute matrice carrée A\text{A} d’ordre nn, A×In=A\mathrm{A} \times \mathrm{I}_{n}=\mathrm{A}.


4. Pour toutes matrices carrées A\text{A} et B\text{B} d’ordre nn, A×BB×A\mathrm{A} \times \mathrm{B} \neq \mathrm{B} \times \mathrm{A}.
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65
[Calculer.] ◉◉◉
Soient A\text{A} et B\text{B} deux matrices carrées non nulles d’ordre nn telles que A+B=In\mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{I}_{n}.
Soit M\text{M} une matrice carrée d’ordre nn telle qu’il existe deux réels non nuls et distincts λ\lambda et μ\mu tels que :
M=λA+μB\mathrm{M}=\lambda \mathrm{A}+\mu \mathrm{B} et M2=λ2A+μ2B\mathrm{M}^{2}=\lambda^{2} \mathrm{A}+\mu^{2} \mathrm{B}


1. a. Montrer que :
(MλIn)(MμIn)=(MμIn)(MλIn)=0n\left(\mathrm{M}-\lambda \mathrm{I}_{n}\right)\left(\mathrm{M}-\mu \mathrm{I}_{n}\right)=\left(\mathrm{M}-\mu \mathrm{I}_{n}\right)\left(\mathrm{M}-\lambda \mathrm{I}_{n}\right)=0_{n}.



b. En déduire que AB=BA=0n\mathrm{AB}=\mathrm{BA}=0_{n} et que A2=A\mathrm{A}^{2}=\mathrm{A} et B2=B\mathrm{B}^{2}=\mathrm{B}.


2. Démontrer que, pour tout pNp \in \mathbb{N}, on a :
Mp=λpA+μpB\mathrm{M}^{p}=\lambda^{p} \mathrm{A}+\mu^{p} \mathrm{B}.



3. Application :
Soient A=(3612)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} 3 & -6 \\ 1 & -2 \end{array}\right), B=(2613)\mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} -2 & 6 \\ -1 & 3 \end{array}\right) et M=(81837)\mathrm{M}=\left(\begin{array}{cc} 8 & -18 \\ 3 & -7 \end{array}\right)

a. Déterminer λ\lambda et μ\mu tels que M=λA+μB\mathrm{M}=\lambda \mathrm{A}+\mu \mathrm{B} et M2=λ2A+μ2B\mathrm{M}^{2}=\lambda^{2} \mathrm{A}+\mu^{2} \mathrm{B}.


b. En déduire Mp\mathrm{M}^{p} pour tout pNp \in \mathbb{N}.
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66
[Calculer.]
1. Soit A=(411141114)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right).

a. Démontrer qu’il existe deux réels α\alpha et β\beta tels que :
A2=αA+βI3\mathrm{A}^{2}=\alpha \mathrm{A}+\beta \mathrm{I}_{3}.



b. En déduire que la matrice A\text{A} est inversible et exprimer A1\mathrm{A}^{-1} en fonction de A\text{A} et I3\mathrm{I}_{3}.


c. Déterminer la matrice A1\mathrm{A}^{-1}.


2. Soit A=(110111011)\mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right).

a. Calculer (AI3)3\left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{3}\right)^{3}.


b. En déduire que A\text{A} est inversible et préciser A1\mathrm{A}^{-1}.
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