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Le pivot de Gauss
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TP / TICE 2


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Le pivot de Gauss




Énoncé

Le pivot de Gauss est un processus permettant de déterminer l’inverse d’une matrice inversible. Ce processus s’effectue par étapes, chaque étape consistant en l’une des opérations suivantes :
  • échanger entre elles deux lignes de la matrice ;
  • multiplier une ligne de la matrice par un nombre réel non nul ;
  • ajouter ou soustraire deux lignes de la matrice (éventuellement multipliées par des réels non nuls).

L’objectif du pivot de Gauss est d’obtenir, à la fin du processus, la matrice identité.

pivot de gauss1

Pour obtenir l’inverse de la matrice, il suffit alors d’appliquer les mêmes opérations dans le même ordre à la matrice identité.

pivot de gauss2
Il n’y a pas unicité dans l’enchaînement des opérations.

Questions préliminaires :
1. À l’aide du pivot de Gauss, déterminer l’inverse de la matrice (3912)\left(\begin{array}{ll}3 & 9 \\ 1 & 2\end{array}\right).


2. Que se passe‑t‑il lorsqu’on essaye d’appliquer le pivot de Gauss sur la matrice (1326)\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 6\end{array}\right) ? Quelle explication peut‑on donner à ce résultat ?
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Objectif

Utiliser le pivot de Gauss pour déterminer l’inverse d’une matrice de taille 3×3\mathbf{3 \times 3} inversible.

En Python, une matrice peut s’écrire sous la forme d’une liste de listes. Par exemple, en Python, la matrice (3912)\left(\begin{array}{ll} 3 & 9 \\ 1 & 2 \end{array}\right) peut s’écrire [[3,9],[1,2]]\color{purple}\mathbf{[[3,9],[1,2]]}.
Dans les prochaines questions, on va programmer les opérations élémentaires pouvant être utilisées dans l’algorithme du pivot de Gauss.

1. Écrire une fonction Python echange\color{purple}\mathbf{echange}_ligne\color{purple}\mathbf{ligne} permettant d’échanger deux lignes données d’une matrice carrée.


2. Écrire une fonction Python multiplication\color{purple}\mathbf{multiplication}_reel\color{purple}\mathbf{reel} permettant de multiplier une ligne donnée de la matrice par un réel non nul saisi en argument.


3. Écrire une fonction Python combinaison\color{purple}\mathbf{combinaison}_lineaire\color{purple}\mathbf{lineaire} qui remplace une ligne de la matrice par une combinaison linéaire de cette ligne et d’une autre.


4. Télécharger l’algorithme du pivot de Gauss pour une matrice 3×33 \times 3 ici et utiliser cet algorithme pour déterminer l’inverse de la matrice (123014560)\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{array}\right).



Remarque : Cette méthode d’inversion est en réalité bien antérieure à Gauss. Elle est notamment référencée dans le huitième chapitre du livre chinois Les Neuf Chapitres sur l’art mathématique, dont l’écriture est estimée au 1er siècle avant J.-C. (voir l’activité 
B
sur l’histoire des mathématiques p. 173)
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