Le pivot de Gauss

Le pivot de Gauss est un processus permettant de déterminer l'inverse d'une matrice inversible. Ce processus s'effectue par étapes, chaque étape consistant en l'une des opérations suivantes :

• échanger entre elles deux lignes de la matrice ;
• multiplier une ligne de la matrice par un nombre réel non nul ;
• ajouter ou soustraire deux lignes de la matrice (éventuellement multipliées par des réels non nuls).

L'objectif du pivot de Gauss est d'obtenir, à la fin du processus, la matrice identité.


Pour obtenir l'inverse de la matrice, il suffit alors d'appliquer les mêmes opérations dans le même ordre à la matrice identité.

Il n'y a pas unicité dans l'enchaînement des opérations.

Questions préliminaires :
1. À l'aide du pivot de Gauss, déterminer l'inverse de la matrice \left(\begin{array}{ll}3 & 9 \\ 1 & 2\end{array}\right).

2. Que se passe‑t‑il lorsqu'on essaye d'appliquer le pivot de Gauss sur la matrice \left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 6\end{array}\right) ? Quelle explication peut‑on donner à ce résultat ?

Utiliser le pivot de Gauss pour déterminer l'inverse d'une matrice de taille \mathbf{3 \times 3} inversible.

En Python, une matrice peut s'écrire sous la forme d'une liste de listes. Par exemple, en Python, la matrice \left(\begin{array}{ll} 3 & 9 \\ 1 & 2 \end{array}\right) peut s'écrire \color{purple}\mathbf{[[3,9],[1,2]]}.
Dans les prochaines questions, on va programmer les opérations élémentaires pouvant être utilisées dans l'algorithme du pivot de Gauss.

1. Écrire une fonction Python \color{purple}\mathbf{echange}_\color{purple}\mathbf{ligne} permettant d'échanger deux lignes données d'une matrice carrée.

2. Écrire une fonction Python \color{purple}\mathbf{multiplication}_\color{purple}\mathbf{reel} permettant de multiplier une ligne donnée de la matrice par un réel non nul saisi en argument.

3. Écrire une fonction Python \color{purple}\mathbf{combinaison}_\color{purple}\mathbf{lineaire} qui remplace une ligne de la matrice par une combinaison linéaire de cette ligne et d'une autre.

4. Télécharger l'algorithme du pivot de Gauss pour une matrice 3 \times 3

ici

et utiliser cet algorithme pour déterminer l'inverse de la matrice \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{array}\right).