Le pivot de Gauss est un processus permettant de déterminer l’inverse d’une matrice inversible. Ce processus
s’effectue par étapes, chaque étape consistant en l’une des opérations suivantes :
échanger entre elles deux lignes de la matrice ;
multiplier une ligne de la matrice par un nombre réel non nul ;
ajouter ou soustraire deux lignes de la matrice (éventuellement multipliées par des réels non nuls).
L’objectif du pivot de Gauss est d’obtenir, à la fin du processus, la matrice identité.
Pour obtenir l’inverse de la matrice, il suffit alors d’appliquer les mêmes opérations dans le même ordre à la matrice
identité.
Il n’y a pas unicité dans l’enchaînement des opérations.
Questions préliminaires : 1. À l’aide du pivot de Gauss, déterminer l’inverse de la matrice (3192).
2. Que se passe‑t‑il lorsqu’on essaye d’appliquer le pivot de Gauss sur la matrice (1236) ? Quelle explication peut‑on donner à ce résultat ?
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Objectif
Utiliser le pivot de Gauss pour déterminer l’inverse d’une matrice de taille 3×3 inversible.
En Python, une matrice peut s’écrire sous la forme
d’une liste de listes. Par exemple, en Python, la matrice
(3192) peut s’écrire [[3,9],[1,2]].
Dans les prochaines questions, on va programmer les
opérations élémentaires pouvant être utilisées dans
l’algorithme du pivot de Gauss.
1.
Écrire une fonction Python echange_ligne
permettant d’échanger deux lignes données d’une
matrice carrée.
2.
Écrire une fonction Python multiplication_reel
permettant de multiplier une ligne donnée de la
matrice par un réel non nul saisi en argument.
3.
Écrire une fonction Python
combinaison_lineaire qui remplace une ligne de
la matrice par une combinaison linéaire de cette ligne
et d’une autre.
4.
Télécharger l’algorithme du pivot de Gauss pour
une matrice 3×3ici et utiliser cet
algorithme pour déterminer l’inverse de la matrice ⎝⎛105216340⎠⎞.
Remarque :Cette méthode d’inversion est en
réalité bien antérieure à Gauss. Elle est notamment
référencée dans le huitième chapitre du livre chinois
Les Neuf Chapitres sur l’art mathématique, dont
l’écriture est estimée au 1er siècle avant J.-C. (voir
l’activité
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