Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 6
Activités
Calcul matriciel et applications aux graphes
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A Une facture de couture
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Objectif : Découvrir la notion de matrice et quelques opérations associées.
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Afin de fabriquer des vêtements, on utilise du tissu, du fil
et des boutons.
Les tableaux ci‑dessous récapitulent les quantités nécessaires pour coudre une robe, une chemise ou un jean, ainsi que les prix par fourniture.
Les tableaux ci‑dessous récapitulent les quantités nécessaires pour coudre une robe, une chemise ou un jean, ainsi que les prix par fourniture.
| Tissu en mètres | Longueur de fil en mètre | Nombre de boutons | |
| Robe | 2,70 | 1,50 | 3 |
| Chemise | 1,70 | 0,70 | 5 |
| Jean | 1,50 | 0,50 | 1 |
| Prix | |
| Tissu en mètres | 9,95 |
| Longueur de fil en mètre | 1,99 |
| Nombre de boutons | 0,50 |
On peut résumer chacun des tableaux en ne conservant
que les nombres. On obtient alors différents tableaux de
nombres appelés matrices, notées ici \text{M} et \text{P}.
On a \mathbf{M}=\left(\begin{array}{ccc} 2,70 & 1,50 & 3 \\ 1,70 & 0,70 & 5 \\ 1,50 & 0,50 & 1 \end{array}\right) et \mathrm{P}=\left(\begin{array}{c} 9,95 \\ 1,99 \\ 0,5 \end{array}\right).
\text{M} est une matrice possédant autant de lignes que de colonnes. On dit que \text{M} est une matrice carrée. Elle est ici de taille 3.
\text{P} est une matrice formée d'une unique colonne. On dit que \text{P} est une matrice colonne.
On a \mathbf{M}=\left(\begin{array}{ccc} 2,70 & 1,50 & 3 \\ 1,70 & 0,70 & 5 \\ 1,50 & 0,50 & 1 \end{array}\right) et \mathrm{P}=\left(\begin{array}{c} 9,95 \\ 1,99 \\ 0,5 \end{array}\right).
\text{M} est une matrice possédant autant de lignes que de colonnes. On dit que \text{M} est une matrice carrée. Elle est ici de taille 3.
\text{P} est une matrice formée d'une unique colonne. On dit que \text{P} est une matrice colonne.
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1
a) Calculer le prix de fabrication d'une robe. Faire de même pour une chemise et pour un jean.
b) Résumer les résultats obtenus en une matrice colonne \text{T}, contenant une ligne pour chaque article en conservant l'ordre robe, chemise, puis jean.
On admet que l'on peut écrire \mathrm{M} \times \mathrm{P}=\mathrm{T}.
a) Écrire la matrice \text{N} contenant trois lignes et trois colonnes pour résumer les quantités nécessaires à cette nouvelle fabrication.
b) Quelle opération peut-on conjecturer entre \text{M} et \text{N}\:?
2
On souhaite fabriquer dix robes, dix chemises et dix jeans.a) Écrire la matrice \text{N} contenant trois lignes et trois colonnes pour résumer les quantités nécessaires à cette nouvelle fabrication.
b) Quelle opération peut-on conjecturer entre \text{M} et \text{N}\:?
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Bilan
Conjecturer une méthode pour multiplier :
- une matrice par un nombre réel ;
- une matrice carrée de taille 3 par une matrice colonne à 3 lignes.
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BUn réseau social
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Objectif : Découvrir la notion de graphe.
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Adeline, Bakary, Camille, Damien, Élodie, Farid et Gabriel sont
inscrits sur un réseau social.
- Adeline est amie avec Bakary, Élodie et Farid.
- Bakary est ami avec Adeline, Damien et Farid.
- Camille est amie avec Élodie et Gabriel.
- Damien est ami avec Bakary, Élodie et Gabriel.
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1
Reproduire et compléter le schéma précédent, en traçant des segments représentant la relation d'amitié qui lie
deux personnes.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
Un tel schéma s'appelle un graphe. Les personnes sont représentées par les sommets et les relations d'amitié sont matérialisées par les arêtes.
2
L'ordre d'un graphe est le nombre de ses sommets. Quel est l'ordre du graphe représenté ?
3
a) Deux sommets sont adjacents lorsqu'ils sont reliés par une arête.
Citer deux sommets qui sont adjacents et deux sommets qui ne le sont pas.
b) Un graphe est complet lorsque tous ses sommets sont adjacents. Est‑ce le cas ici ?
4
Une chaîne est une suite d'arêtes consécutives reliant deux sommets.
Par exemple, la chaîne Gabriel - Camille - Élodie est une chaîne de longueur 2.a) Déterminer deux chaînes reliant Adeline à Gabriel et préciser leur longueur.
b) Un graphe est connexe lorsque, pour tout couple de sommets distincts, il existe une chaîne les reliant.
Est‑ce le cas ici ?
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Bilan
Dans le contexte de l'énoncé, comment interpréter le fait que le graphe soit complet ? Soit connexe ?
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CVoyage en train
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Objectif : Utiliser le calcul matriciel pour calculer le nombre de chaînes
de longueur donnée entre deux sommets d'un graphe.
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Les sommets du graphe ci‑dessous représentent différentes villes d'un pays. Les liaisons ferroviaires les reliant sont représentées par des arêtes.
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1
Compléter le tableau ci‑dessous avec un 1 lorsque l'on peut se rendre directement d'une ville à l'autre en train sans faire étape par une autre ville et avec un 0 si c'est impossible.
| A | B | C | D | E | |
| A | 0 | ||||
| B | 0 | ||||
| C | 0 | ||||
| D | 0 | ||||
| E | 0 |
2
Notons \text{M} la matrice carrée dont les coefficients sont les nombres obtenus dans le tableau précédent.
À l'aide de la calculatrice, déterminer \mathrm{M}^{2} et \mathrm{M}^{3}.
3
Déterminer le nombre de chemins composés de deux arêtes pour aller de la ville \text{D} à la ville \text{A} et comparer ce nombre avec le coefficient m_{4,1} de la matrice \mathrm{M}^{2}.
4
Déterminer le nombre de chemins composés de 3 arêtes pour aller de la ville \text{C} à la ville \text{D} et comparer ce nombre avec le coefficient m_{4,3} de la matrice \mathrm{M}^{3}.
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Bilan
Pour un graphe donné, conjecturer une méthode permettant de calculer le nombre de chaînes de longueur k entre deux sommets.
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