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Consigne

On considère les matrices \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{array}\right), \mathrm{B}=(2 \quad 5) et \mathrm{C}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 3 \\ 2 & -4 & 5 \end{array}\right).

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6

Le produit \mathrm{A} \times \mathrm{B} \times \mathrm{C} est :

a. une matrice colonne à deux lignes.

b. une matrice ligne à trois colonnes.

c. matrice carrée d'ordre 2.

d. non défini.

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7

Le produit \mathrm{B} \times \mathrm{A} \times \mathrm{C} est :

a. une matrice colonne.

b. une matrice ligne.

c. une matrice carrée.

d. non défini.

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8

L'inverse de \text{A} est :

a. non défini.

b. \mathrm{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)

c. \mathrm{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ll} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \end{array}\right)

d. \mathrm{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{array}\right)

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9

Le produit \mathrm{A} \times \mathrm{C} est une matrice :

a. carrée d'ordre 3.

b. carrée d'ordre 2.

c. de taille 2 \times 3.

d. de taille 3 \times 2.

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Consigne

On munit le plan d'un repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}) et on considère la matrice \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right).
On considère la matrice \mathrm{B}=\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right).

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10

La matrice \text{A} est associée à :

a. une symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses.

b. une homothétie de rapport \frac{1}{2}.

c. une rotation de centre \text{O} et d'angle \frac{4 \pi}{3}.

d. une rotation de centre \text{O} et d'angle -\frac{2 \pi}{3}.

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11

La matrice \text{A} :

a. n'est pas inversible.

b. est inversible.

c. vérifie \mathrm{A}^{3}=\mathrm{I}_{2}

d. a pour inverse \mathrm{A}^{2}

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12

\text{B} est :

a. la matrice d'adjacence d'un graphe.

b. la matrice d'adjacence d'un graphe complet.

c. la matrice identité.

d. l'inverse de la matrice -\text{B}.

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13

On a :

a. \mathrm{B}^{4}=4 \mathrm{B}^{2}+2 \mathrm{B}-\mathrm{I}_{4}.

b. \mathrm{B}^{-1}=\mathrm{B}^{4}-4 \mathrm{B}^{2}-2 \mathrm{B}.

c. \mathrm{B}^{-1}=-\mathrm{B}^{3}+4 \mathrm{B}+2 \mathrm{I}_{4}.

d. \mathrm{B}^{-1}=\mathrm{B}^{3}-4 \mathrm{B}-2 \mathrm{I}_{4}.

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Problème

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14
D'après bac ES, Amérique du Sud, novembre 2019

Au village départ d'une course cyclosportive, les différents stands présents sont :

le stand des vélos de routes (\text{R}) ;
le stand des BMX (\text{B}) ;
le stand des compteurs et GPS (\text{C }) ;
le stand des VTT (\text{T}) ;
le stand de l'habillement (\text{H}) ;
le stand des accessoires et pièces détachées (\text{A}).

Le graphe ci‑contre représente le plan du village départ : les sommets correspondent aux stands et les arêtes aux allées qui les relient.

1. Ce graphe est‑il complet ? Est‑il connexe ?

2. Écrire la matrice d'adjacence \text{M} associée à ce graphe en classant les sommets dans l'ordre alphabétique.

3. Combien peut‑on trouver de chaînes de longueur 4 reliant le stand des BMX au stand des compteurs et GPS ?

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A

Laquelle des propositions ci-dessous est une chaîne de longueur 7 de ce graphe ?

a. \text{A-C-D-F}

b. \text{F-B-C-A-H-G-I}

c. \text{F-B-C-A-H-G-I-F}

d. \text{A-C-D-F-I-D-A-I}

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B

Laquelle de ces propositions suivantes désigne la matrice d'adjacence du graphe ci-dessous ?

a. \text{M}= \begin{pmatrix} 1&1 &1 &1 &1 \\ 1&1 &1 &1 &1 \\ 1& 1 & 1 & 1 &1 \\ 1& 1 &1 &1 &1 \\ 1& 1 & 1 &1 &1 \end{pmatrix}

b. \text{M}= \begin{pmatrix} 0&1 &1 &1 &1 \\ 1&0 &1 &1 &1 \\ 1& 1 & 0 & 1 &1 \\ 1& 1 &1 &0 &1 \\ 1& 1 & 1 &1 &0 \end{pmatrix}

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C

Soient les matrices \text{A}=\begin{pmatrix} 1&2 \\ 1&1 \end{pmatrix} et \text{B}=\begin{pmatrix} 3&4 \\ 1&0 \end{pmatrix}. Alors \text{A} \times \text{B} = \ldots

a. \begin{pmatrix} 4&4 \\ 4&4 \end{pmatrix}.

b. \begin{pmatrix} 3&8 \\ 1&0 \end{pmatrix}.

c. \begin{pmatrix} 5&4 \\ 4&4 \end{pmatrix}.

d. \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}.

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On considère le graphe suivant. Parmi les propositions suivantes, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

a. Le degré du sommet \text{A} vaut 3.

b. Le degré du sommet \text{C} vaut 3.

c. Le degré du sommet \text{F} vaut 4.

d. Le degré du sommet \text{G} vaut 3.

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On considère le graphe suivant. Parmi les propositions, laquelle ou lesquelles sont vraies ?

a. \text{G} et \text{F} sont adjacents.

b. \text{G} et \text{A} sont adjacents.

c. Ce graphe est complet.

d. Ce graphe est connexe.

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F

La matrice \text{M}=\begin{pmatrix} 2&2&1&0 \\ 0&2&1&1 \\ 0&0&2&1 \\ 1&2&1&1 \end{pmatrix} est la matrice d'adjacence d'un graphe dont les sommets sont nommés \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} et rangés dans l'ordre alphabétique.
Laquelle ou lesquelles des propositions ci-dessous sont vraies ?

a. Il y a 6 chemins de longueur 2 permettant de relier le sommet \text{C} au sommet \text{A}.

b. Il y a 6 chemins de longueur 2 permettant de relier le sommet \text{D} au sommet \text{C}.

c. Il y a 3 chemins de longueur 2 permettant de relier le sommet \text{D} au sommet \text{C}.

d. Il y a 1 chemin de longueur 2 permettant de relier le sommet \text{C} au sommet \text{A}.

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G

La matrice \text{M}=\begin{pmatrix} 2&1 \\ 0&2 \end{pmatrix} est :

a. inversible.

b. une matrice carré.

c. une matrice colonne.

d. une matrice de rotation.

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H

La matrice \text{M}=\begin{pmatrix} 0&1&1&1\\1&0&0&1\\1&0&0&1 \\1&1&1&0 \end{pmatrix} est la matrice d'adjacence d'un graphe dont les sommets sont nommés \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{D} et rangés dans l'ordre alphabétique.
Laquelle ou lesquelles des propositions ci-dessous sont vraies ?

a. Le sommet \text{B} est de degré 3.

b. Le sommet \text{D} est de degré 3.

c. Ce graphe est composé de 4 sommets.

d. Ce graphe comporte 5 arêtes.

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