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La fougère de Barnsley
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TP / TICE 1


1
La fougère de Barnsley




Énoncé

Les matrices peuvent être utilisées pour représenter des transformations du plan (rotation, symétrie, etc.). Nous allons utiliser cette représentation matricielle des transformations du plan pour tracer une suite aléatoire de points de la façon suivante :
  • Le premier point de cette suite est  ;
  • Pour tout , on note les coordonnées de et on a :
    • avec une probabilité de  ;
    • avec une probabilité de  ;
    • avec une probabilité de  ;
    • avec une probabilité de .

La suite de points ainsi obtenue forme une fractale appelée fougère de Barnsley.

Questions préliminaires :

1. Quelles sont les coordonnées possibles du point  ?


2. Soit tel que admette pour coordonnées . Calculer les coordonnées possibles de .
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Objectif

Tracer la fougère de Barnsley en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON


Télécharger le programme Python de cette construction ici.

1. a. Expliquer les lignes 4 et 18 du programme : quel rôle jouent-elles ?


b. Compléter la ligne 17 du programme.


2. Compléter les lignes 26, 28 et 30 du programme Python.


3. Utiliser le programme Python pour tracer la fougère de Barnsley pour 400, 10 000, puis 100 000 points.


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import matplotlib.pyplot as plt
from random import *

def transformation1(A):
	A = (0,0.16*A[1])
	return(A)

def transformation2(A):
	A = (0.85*A[0] + 0.04*A[1],-0.04*A[0] + 0.85*A[1]+1.6)
	return(A)

def transformation3(A):
	A = (0.2*A[0] - 0.26*A[1],0.23*A[0] + 0.22*A[1]+1.6)
	return(A)

def transformation4(A):
	A = (...,...)
	return(A)

def fougere(n):
	A = (0,0)
	x = []
	y = []
	for i in range(n):
		r = random()
		if r < ... :
			A = transformation1(A)
		elif r < ... :
			A = transformation2(A)
		elif r < ... :
			A = transformation3(A)
		else :
			A = transformation4(A)
		x.append(A[0])
		y.append(A[1])
	plt.plot(x,y,'o')
	plt.show()

MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
GEOGEBRA


Télécharger le fichier GeoGebra de cette construction ici.

1. Ouvrir la fenêtre tableur de ce fichier GeoGebra, puis entrer en D4 une formule permettant d’obtenir un nombre aléatoire compris entre et .


2. Expliquer les formules et entrées en B4 et C4 : que permettent‑elles de faire ? À quoi correspondent et dans ces formules ?


3. Compléter la formule inscrite en A5 de manière à ce qu’elle contienne les coordonnées du point .


4. Copier vers le bas les formules entrées en A5, B4, C4 et D4 de manière à faire apparaître dans la colonne B les abscisses et dans la colonne C les ordonnées des 400 premiers points de la suite.


5. Sélectionner la plage contenant ces deux coordonnées, faire un clic droit, puis sélectionner et enfin l’outil , pour afficher la fougère de Barnsley dans la fenêtre graphique.
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Lancer le module Geogebra
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