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La fougère de Barnsley
P.188

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TP / TICE 1


1
La fougère de Barnsley




Énoncé

Les matrices peuvent être utilisées pour représenter des transformations du plan (rotation, symétrie, etc.). Nous allons utiliser cette représentation matricielle des transformations du plan pour tracer une suite aléatoire de points (An)nN\left(\mathrm{A}_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} de la façon suivante :
  • Le premier point de cette suite est A0(0;0)\mathrm{A}_{0}(0\,; 0) ;
  • Pour tout nNn \in \mathbb{N}, on note (xn;yn)\left(x_{n}\,; y_{n}\right) les coordonnées de An\mathrm{A}_{n} et on a :
    • (xn+1yn+1)=(0000,16)(xnyn)+(00)\left(\begin{array}{l} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0{,}16 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{n} \\ y_{n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) avec une probabilité de 0,010{,}01 ;
    • (xn+1yn+1)=(0,850,040,040,85)(xnyn)+(01,6)\left(\begin{array}{l} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0{,}85 & 0{,}04 \\ -0{,}04 & 0{,}85 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{n} \\ y_{n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1{,}6 \end{array}\right) avec une probabilité de 0,850{,}85 ;
    • (xn+1yn+1)=(0,20,260,230,22)(xnyn)+(01,6)\left(\begin{array}{l} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 0{,}2 & -0{,}26 \\ 0{,}23 & 0{,}22 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{n} \\ y_{n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1{,}6 \end{array}\right) avec une probabilité de 0,070{,}07 ;
    • (xn+1yn+1)=(0,150,280,260,24)(xnyn)+(00,44)\left(\begin{array}{l} x_{n+1} \\ y_{n+1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -0{,}15 & 0{,}28 \\ 0{,}26 & 0{,}24 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{n} \\ y_{n} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0{,}44 \end{array}\right) avec une probabilité de 0,070{,}07.

La suite de points ainsi obtenue forme une fractale appelée fougère de Barnsley.

Questions préliminaires :

1. Quelles sont les coordonnées possibles du point A1\mathrm{A}_{1} ?


2. Soit nNn \in \mathbb{N} tel que An\mathrm{A}_{n} admette pour coordonnées (0,5;1)(0{,}5\,; 1). Calculer les coordonnées possibles de An+1\mathrm{A}_{n+1}.
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Objectif

Tracer la fougère de Barnsley en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON


Télécharger le programme Python de cette construction ici.

1. a. Expliquer les lignes 4 et 18 du programme : quel rôle jouent-elles ?


b. Compléter la ligne 17 du programme.


2. Compléter les lignes 26, 28 et 30 du programme Python.


3. Utiliser le programme Python pour tracer la fougère de Barnsley pour 400, 10 000, puis 100 000 points.


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import matplotlib.pyplot as plt
from random import *

def transformation1(A):
	A = (0,0.16*A[1])
	return(A)

def transformation2(A):
	A = (0.85*A[0] + 0.04*A[1],-0.04*A[0] + 0.85*A[1]+1.6)
	return(A)

def transformation3(A):
	A = (0.2*A[0] - 0.26*A[1],0.23*A[0] + 0.22*A[1]+1.6)
	return(A)

def transformation4(A):
	A = (...,...)
	return(A)

def fougere(n):
	A = (0,0)
	x = []
	y = []
	for i in range(n):
		r = random()
		if r < ... :
			A = transformation1(A)
		elif r < ... :
			A = transformation2(A)
		elif r < ... :
			A = transformation3(A)
		else :
			A = transformation4(A)
		x.append(A[0])
		y.append(A[1])
	plt.plot(x,y,'o')
	plt.show()

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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
GEOGEBRA


Télécharger le fichier GeoGebra de cette construction ici.

1. Ouvrir la fenêtre tableur de ce fichier GeoGebra, puis entrer en D4 une formule permettant d’obtenir un nombre aléatoire compris entre 00 et 11.


2. Expliquer les formules =A4(1,1)\color{purple}=\mathbf{A} \mathbf{4}(\mathbf{1}, \mathbf{1}) et =A4(2,1)\color{purple}=\mathbf{A}\mathbf{4}(\mathbf{2}, \mathbf{1}) entrées en B4 et C4 : que permettent‑elles de faire ? À quoi correspondent (1,1)\color{purple}(\mathbf{1}, \mathbf{1}) et (2,1)\color{purple}(\mathbf{2}, \mathbf{1}) dans ces formules ?


3. Compléter la formule inscrite en A5 de manière à ce qu’elle contienne les coordonnées du point A1\mathrm{A}_{1}.


4. Copier vers le bas les formules entrées en A5, B4, C4 et D4 de manière à faire apparaître dans la colonne B les abscisses et dans la colonne C les ordonnées des 400 premiers points An\mathrm{A}_{n} de la suite.


5. Sélectionner la plage contenant ces deux coordonnées, faire un clic droit, puis sélectionner Creˊer\color{purple}\mathbf{Créer} et enfin l’outil Listedepoints\color{purple}\mathbf{Liste\,de\,points}, pour afficher la fougère de Barnsley dans la fenêtre graphique.
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