Graphes et matrices

❚ ❙ ❙ Les graphes, d’une devinette à une nouvelle théorie

De passage à Königsberg (aujourd’hui Kaliningrad en Russie), Leonhard Euler (1707‑1783) est confronté à un problème posé par ses habitants : est‑il possible de passer par tous les ponts de la ville une, et une seule, fois ? (Voir le plan de la ville ci‑contre.)
Euler raisonne alors sur un schéma de type nouveau (ci‑contre) qui est une figure géométrique dont la forme et la longueur des arêtes n’ont pas d’importance, ni l’angle qu’elles forment les unes avec les autres. Sa démonstration ne se base donc pas sur tous les résultats connus de la géométrie de l’époque et donne naissance à deux nouveaux domaines mathématiques : la topologie et la théorie des graphes.
Pour résoudre des problèmes liés à l’électricité, le physicien Gustav Kirchhoff (1824‑1887) est le premier, en 1847, à utiliser les graphes. Il créa les arbres (graphe sans boucle) qu’Arthur Cayley (1821‑1895) développa par la suite.
Depuis, l’utilisation des graphes s’est généralisée dans bien des domaines comme les jeux, les probabilités (chaînes de Markov), l’économie, la sociologie (sociogramme ci‑contre), l’intelligence artificielle, etc.

Plan de la ville de Königsberg en 1613.

Représentation schématique de Königsberg selon la méthode d’Euler.

Maths Expertes - Histoire des mathématiques - Graphes et matrices - sociogramme

Exemple de sociogramme

❚ ❙ ❙ Les matrices : résoudre des systèmes d’équation et des problèmes géométriques

Le 8^e des neuf chapitres sur l’Art des mathématiques (livre récapitulant les savoirs mathématiques de la Chine Antique, II^e siècle av. J.‑C., I^er siècle ap. J.‑C.) porte sur la résolution de systèmes d’équations à deux ou trois inconnues en n’utilisant que les coefficients de ces équations. La méthode proposée peut être considérée comme l’ancêtre d’une méthode matricielle.
Girolamo Cardano (1501‑1576) propose dans son Ars Magna (1545) la « regula de modo », un calcul qui permet de savoir si un système de deux équations à deux inconnues admet un unique couple solution. Ce résultat ouvrira sur le déterminant de matrices.
Indépendamment l’un de l’autre, Seki Kowa (1642‑1708) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646‑1716) développent cette notion pour les systèmes

3 \times 3

4 \times 4

.
Des mathématiciens comme Cramer (1704‑1752), Vandermonde (1735‑1796), Laplace (1749‑1827), Lagrange (1736‑1813), Gauss (1777‑1855) ou encore Cauchy (1789‑1857) travaillent sur les déterminants, en étudiant leurs propriétés et en développant les premières théories sur le sujet.
James Sylvester (1814‑1897), influencé par son ami Arthur Cayley (1821‑1895), utilise les matrices et les déterminants afin de donner des solutions simplifiées à un problème géométrique. Les deux hommes deviennent amis et leurs échanges contribuent à l’élaboration d’une théorie algébrique sur les matrices. En 1858, Cayley publie son Memoir on the Theory of Matrices. Les travaux d’Eduard Weyr (1852‑1903) permettent ensuite de lier les matrices aux fonctions vectorielles. Le début du XX^e siècle donnera alors une place centrale aux matrices et aux déterminants dans l’étude de la géométrie.

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Extrait de Memoir on the Theory of Matrices de Cayley

James Sylvester

Arthur Cayley

Eras

-500 - 800 : Les Mathématiques Grecques
800 - 1500 : Les Mathématiques du Monde Arabe
1500 - 1600 : La Renaissance Italienne
1600 - 1730 : Fort développement des sciences
1730 - 1840 : L'âge d’or de l’analyse
1840 - 1930 : L’essor des mathématiques

Évènements

-200 - 0 :Les Neuf Chapitres sur l’art mathématique | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Les_Neuf_Chapitres_sur_l%27art_math%C3%A9matique" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée au Neuf Chapitres sur l’art mathématique.
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1642 - 1708 :Seki Kowa | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Seki_K%C5%8Dwa" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Seki Kowa.
1646 - 1716 :Gottfried Wilhelm Leibniz | Philosophe et mathématicien, Leibniz œuvre fortement au développement et à la défense des sciences. On lui doit beaucoup de nouvelles notations, comme le symbole de l’intégrale <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>∫</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\int</annotation></semantics></math>∫, celui de la notation différentielle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow><annotation encoding="application/x-tex">dx</annotation></semantics></math>dx, le <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>⋅</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\cdot</annotation></semantics></math>⋅ pour la multiplication et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>:</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">:</annotation></semantics></math>: pour la division. Il généralise le symbole <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mo>=</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">=</annotation></semantics></math>= introduit par Recorde et utilise pour la première fois les termes « variable » et « fonction », même si cette notion reste assez différente de notre concept actuel. C’est en travaillant sur une série proposée par Huygens qu’il développe parallèlement à Newton les premières bases d’un calcul infinitésimal exploitable. Il laisse sur la fin de sa vie les premiers travaux de ce qu’on appellera plus tard le « déterminant ». Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Gottfried Wilhelm Leibniz.
1704 - 1752 :Gabriel Cramer | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Gabriel Cramer.
1707 - 1783 :Leonhard Euler | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Leonhard Euler.
1735 - 1796 :Alexandre-Théophile Vandermonde | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Alexandre-Th%C3%A9ophile_Vandermonde" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Alexandre-Théophile Vandermonde.
1736 - 1813 :Joseph‑Louis Lagrange | Il est, avec Euler (avec qui il échange beaucoup), considéré comme le fondateur des calculs des variations. Il aborde aussi de nombreux autres domaines comme la mécanique, la théorie des nombres, les équations algébriques et la théorie des probabilités. Il a inventé les notations <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(x)</annotation></semantics></math>f(x), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo mathvariant="normal">′</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f \prime(x)</annotation></semantics></math>f′(x), etc., reprises par Euler. Il contribue fortement à la mise en place du système métrique lors de la Révolution française. Il est nommé enseignant de mathématique à l’Ecole Normale de l’an III et premier professeur d’analyse à la création de l’École Polytechnique. Napoléon 1er lui a souvent montré toute son estime. Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Joseph‑Louis Lagrange.
1749 - 1827 :Pierre‑Simon de Laplace | Il participe à la création de l’Ecole Polytechnique et de l’Ecole Normale. Il travaille principalement en physique et en astronomie (hypothèse de l’origine de l’univers, des trous noirs, étude du problème des trois corps, etc.) et ses travaux l’obligent à développer des résultats sur les équations différentielles et celles aux dérivées partielles. Il introduit des notions de calcul matriciel et de déterminants. Il travaille également sur la théorie des probabilités et aborde des notions de densités continues. Il montre que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mi>a</mi><mi>b</mi></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><msup><mi>u</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msup><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>u</mi><mo>=</mo><msqrt><mi>π</mi></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\int_a^b e^{-u^2} \, \mathrm du = \sqrt{\pi}</annotation></semantics></math>∫abe−u2du=π<svg width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z'/></svg> utilisé dans l’élaboration de la loi normale. Le théorème de Moivre Laplace auquel il laisse son nom est un cas particulier du théorème central limite qu’il est le premier à démontrer. Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_de_Laplace" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Pierre‑Simon de Laplace.
1777 - 1855 :Carl Friedrich Gauss | Mathématicien, physicien et astronome. Génie précoce il est doté de capacités exceptionnelles en calcul mental. Il devient célèbre en découvrant par le calcul la planète naine Cérès. Il excelle dans tous les domaines qu’il aborde comme l’algèbre (démonstration du théorème fondamentale de l'algèbre, théorie des nombres et nombres complexes), l’arithmétique (théorème qui porte son nom, apport des congruences, résolutions d’équations), les probabilités (répartition gaussienne) et la géométrie (étude systématique des courbes et des surfaces au voisinage d’un point). Même s’il déteste enseigner, il s’occupera sur la fin de sa vie d'Eisenstein, Riemann et Dedekind. Gauss a peu publié et c’est la publication de ses œuvres à titre posthume qui a révélé au monde toute l’étendue et la qualité de ses travaux mathématiques. Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Carl Friedrich Gauss.
1789 - 1857 :Augustin Louis Cauchy | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Augustin_Louis_Cauchy" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Augustin Louis Cauchy.
1814 - 1897 :James Sylvester | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à James Sylvester.
1821 - 1895 :Arthur Cayley | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Arthur_Cayley" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Arthur Cayley.
1824 - 1887 :Gustav Kirchhoff | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoff" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Gustav Kirchhoff.
1852 - 1903 :Eduard Weyr | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Eduard_Weyr" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Eduard Weyr.
1856 - 1922 :Andreï Andreïevitch Markov | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Andre%C3%AF_Markov_(math%C3%A9maticien)" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a> dédiée à Andreï Andreïevitch Markov.

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