Problème de concours

D'après Concours Communs Polytechniques, 2016
L'objectif de ce problème est l'étude des polynômes d'interpolation de Hermite.
On note $\mathbb{R}[\mathrm{X}]$ l'ensemble des polynômes à coefficients réels et on note $\mathbb{R}(\mathrm{X})$ l'ensemble des éléments de la forme $\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}$, où $\text{P}$ et $\text{Q}$ sont deux polynômes de $\mathbb{R}[\mathrm{X}]$ avec $\text{Q}$ non nul.
Si $\mathrm{P}=\sum _{k=0}^n{a}_k{\mathrm{X}}^k$, on note ${\mathrm{P}}^{\prime }$ le polynôme dérivé de $\text{P}$ défini par :
Les propriétés des opérations sur la dérivation des polynômes sont semblables à celles des fonctions. Partie A
Soit $n$ un entier naturel non nul.

1. Soient $\text{P}$ et $\text{Q}$ deux polynômes non nuls à coefficients complexes.
a. Démontrer que si $\text{P}$ et $\text{Q}$ n'ont aucune racine complexe commune, alors $\text{P}$ et $\text{Q}$ sont premiers entre eux.

b. On suppose que $\text{P}$ et $\text{Q}$ sont premiers entre eux.
Montrer que si $\text{P}$ et $\text{Q}$ divisent un troisième polynôme $\text{R}$ à coefficients complexes, alors il en est de même du polynôme $\text{PQ}$.

2. Soit ${\left({\mathrm{P}}_i\right)}_{1⩽i⩽n}$ une famille de polynômes non nuls de $\mathbb{R}[\mathrm{X}]$.
On considère le polynôme $\mathrm{P}\in \mathbb{R}[\mathrm{X}]$ et la fraction rationnelle $\mathrm{Q}\in \mathbb{R}(\mathrm{X})$, définis par :
Montrer par récurrence que $\mathrm{Q}=\sum _{i=1}^n\frac{{\mathrm{P}}_i^{\prime }}{{\mathrm{P}}_i}$.

Partie B
Soit $\text{I}$ un intervalle non vide de $\mathbb{R}$, $p$ un entier naturel non nul, ${\left(x_i\right)}_{1⩽i⩽p}$ une famille d'éléments de $\text{I}$ distincts deux à deux.

1. a. Soit $\mathrm{P}\in \mathbb{R}[\mathrm{X}]$ et $a\in \mathbb{R}$. Montrer que si $\mathrm{P}(a)={\mathrm{P}}^{\prime }(a)=0$, alors $(\mathrm{X}-a{)}^2$ divise $\text{P}$.

b. Soit $\mathrm{P}\in \mathbb{R}[\mathrm{X}]$ de degré $2p-1$ tel que, pour tout entier $i$ avec $1⩽i⩽p$, $\mathrm{P}\left(x_i\right)=0$ et ${\mathrm{P}}^{\prime }\left(x_i\right)=0$.
Montrer que $\mathrm{P}=0$.

2. Soit $\mathrm{P}\in \mathbb{R}[\mathrm{X}]$ de degré $2p-1$.
Soit $\varphi$ la fonction qui à $\text{P}$ associe $\left(\mathrm{P}\left(x_1\right);\mathrm{P}\left(x_2\right);\dots ;\mathrm{P}\left(x_p\right);{\mathrm{P}}^{\prime }\left(x_1\right);{\mathrm{P}}^{\prime }\left(x_2\right);\dots ;{\mathrm{P}}^{\prime }\left(x_p\right)\right)$.
Soient$\text{ P}$ et $\text{Q}$ de degré $2p-1$ tels que $\varphi (\mathrm{P})=\varphi (\mathrm{Q})$.
Montrer que $\mathrm{P}=\mathrm{Q}$.

3. Pour tout entier $i$ tel que $1⩽i⩽p$, on considère le polynôme ${\mathrm{Q}}_i=\prod _{\begin{array}{c}j=1\\ j\ne i\end{array}}^p{\left(\frac{\mathrm{X}-x_j}{x_i-x_j}\right)}^2$.
Soient deux entiers $i$ et $k$ compris entre $1$ et $p$.
a. Calculer ${\mathrm{Q}}_i\left(x_k\right)$.

b. Montrer que $\{\begin{array}{rl}{\mathrm{Q}}_i^{\prime }\left(x_k\right)& =0\text{ si }k\ne i\\ {\mathrm{Q}}_i^{\prime }\left(x_i\right)& =\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{j=1}{j\ne 1}}^p\frac{2}{x_i-x_j}\mathrm{sinon}\end{array}$.

4. Soient ${\left(a_i\right)}_{1⩽i⩽p}$ et ${\left(b_i\right)}_{1⩽i⩽p}$ deux familles de réels quelconques. On admet qu'il existe un polynôme ${\mathrm{P}}_{\mathrm{H}}$ de $\mathbb{R}[\mathrm{X}]$ de degré $2p-1$, appelé polynôme d'interpolation de Hermite, tel que, pour tout entier $i$ vérifiant $1⩽i⩽p$, on a ${\mathrm{P}}_{\mathrm{H}}\left(x_i\right)=a_i$ et ${\mathrm{P}}_{\mathrm{H}}^{\prime }\left(x_i\right)=b_i$.
a. Montrer que ce polynôme est unique.

b. Montre que ${\mathrm{P}}_{\mathrm{H}}=\sum _{i=1}^p\left[\left(1-{\mathrm{Q}}_i^{\prime }\left(x_i\right)\left(\mathrm{X}-x_i\right)\right)a_i+\left(\mathrm{X}-x_i\right)b_i\right]{\mathrm{Q}}_i$.

c. Déterminer le polynôme d'interpolation de Hermite lorsque $p=2$, $x_1=-1$, $x_2=1$, $a_1=1$, $a_2=0$, $b_1=-1$ et $b_2=2$.