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Problème de concours

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20
D'après Concours Communs Polytechniques, 2016
L'objectif de ce problème est l'étude des polynômes d'interpolation de Hermite.
On note \mathbb{R}[\mathrm{X}] l'ensemble des polynômes à coefficients réels et on note \mathbb{R}(\mathrm{X}) l'ensemble des éléments de la forme \frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}, où \text{P} et \text{Q} sont deux polynômes de \mathbb{R}[\mathrm{X}] avec \text{Q} non nul.
Si \mathrm{P}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} a_{k} \mathrm{X}^{k}, on note \mathrm{P}^\prime le polynôme dérivé de \text{P} défini par :
\mathrm{P}^{\prime}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} k a_{k} \mathrm{X}^{k-1}.

Les propriétés des opérations sur la dérivation des polynômes sont semblables à celles des fonctions.

Partie A
Soit n un entier naturel non nul.

1. Soient \text{P} et \text{Q} deux polynômes non nuls à coefficients complexes.
a. Démontrer que si \text{P} et \text{Q} n'ont aucune racine complexe commune, alors \text{P} et \text{Q} sont premiers entre eux.

Aide
On pourra raisonner par l'absurde.

b. On suppose que \text{P} et \text{Q} sont premiers entre eux.
Montrer que si \text{P} et \text{Q} divisent un troisième polynôme \text{R} à coefficients complexes, alors il en est de même du polynôme \text{PQ}.

2. Soit \left(\mathrm{P}_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} une famille de polynômes non nuls de \mathbb{R}[\mathrm{X}].
On considère le polynôme \mathrm{P} \in \mathbb{R}[\mathrm{X}] et la fraction rationnelle \mathrm{Q} \in \mathbb{R}(\mathrm{X}), définis par :
\mathrm{P}=\mathop{\prod}\limits_{i=1}\limits^{n} \mathrm{P}_{i} et \mathrm{Q}=\frac{\mathrm{P}^{\prime}}{\mathrm{P}}.

Montrer par récurrence que \mathrm{Q}=\mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{n} \frac{\mathrm{P}_{i}^{\prime}}{\mathrm{P}_{i}}.

Partie B
Soit \text{I} un intervalle non vide de \mathbb{R}, p un entier naturel non nul, \left(x_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant p} une famille d'éléments de \text{I} distincts deux à deux.

1. a. Soit \mathrm{P} \in \mathbb{R}[\mathrm{X}] et a \in \mathbb{R}. Montrer que si \mathrm{P}(a)=\mathrm{P}^{\prime}(a)=0, alors (\mathrm{X}-a)^{2} divise \text{P}.

b. Soit \mathrm{P} \in \mathbb{R}[\mathrm{X}] de degré 2p-1 tel que, pour tout entier i avec 1 \leqslant i \leqslant p, \mathrm{P}\left(x_{i}\right)=0 et \mathrm{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)=0.
Montrer que \mathrm{P} = 0.

2. Soit \mathrm{P} \in \mathbb{R}[\mathrm{X}] de degré 2p-1.
Soit \phi la fonction qui à \text{P} associe \left(\mathrm{P}\left(x_{1}\right)\,; \mathrm{P}\left(x_{2}\right)\,;\,\ldots\,; \mathrm{P}\left(x_{p}\right)\,; \mathrm{P}^{\prime}\left(x_{1}\right) ; \mathrm{P}^{\prime}\left(x_{2}\right)\,;\,\ldots\,; \mathrm{P}^{\prime}\left(x_{p}\right)\right).
Soient\text{ P} et \text{Q} de degré 2p-1 tels que \phi(\mathrm{P})=\phi(\mathrm{Q}).
Montrer que \mathrm{P}=\mathrm{Q}.

3. Pour tout entier i tel que 1 \leqslant i \leqslant p, on considère le polynôme \mathrm{Q}_{i}=\mathop{\prod}\limits_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}\limits^{p}\left(\frac{\mathrm{X}-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}\right)^{2}.
Soient deux entiers i et k compris entre 1 et p.
a. Calculer \mathrm{Q}_{i}\left(x_{k}\right).

b. Montrer que \left\{\begin{aligned}\mathrm{Q}_{i}^{\prime}\left(x_{k}\right)&=0 \text { si } k \neq i \\ \mathrm{Q}_{i}^{\prime}\left(x_{i}\right)&=\sum_{j=1 \atop j \neq 1}^{p} \frac{2}{x_{i}-x_{j}} \operatorname{sinon}\end{aligned}\right..

4. Soient \left(a_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant p} et \left(b_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant p} deux familles de réels quelconques. On admet qu'il existe un polynôme \mathrm{P}_{\mathrm{H}} de \mathbb{R}[\mathrm{X}] de degré 2p-1, appelé polynôme d'interpolation de Hermite, tel que, pour tout entier i vérifiant 1 \leqslant i \leqslant p, on a \mathrm{P}_{\mathrm{H}}\left(x_{i}\right)=a_{i} et \mathrm{P}_{\mathrm{H}}^{\prime}\left(x_{i}\right)=b_{i}.
a. Montrer que ce polynôme est unique.

b. Montre que \mathrm{P}_{\mathrm{H}}=\mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{p}\left[\left(1-\mathrm{Q}_{i}^{\prime}\left(x_{i}\right)\left(\mathrm{X}-x_{i}\right)\right) a_{i}+\left(\mathrm{X}-x_{i}\right) b_{i}\right] \mathrm{Q}_{i}.

c. Déterminer le polynôme d'interpolation de Hermite lorsque p=2, x_1=-1, x_2=1, a_1=1, a_2=0, b_1=-1 et b_2=2.
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