Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Activités

Nombres premiers

A
Crible d'Eratosthène

Objectif : Utiliser l'algorithme d'Eratosthène pour déterminer une liste de nombres premiers.
1
Reproduire la grille de nombres suivante.
2
Barrer le nombre qui n'est pas premier puis entourer le nombre qui est premier.
Rayer ensuite tous les multiples de strictement supérieurs à .
3
Entourer le nombre qui est premier.
Rayer ensuite tous les multiples de strictement supérieurs à .
4
est un multiple de . Il est donc déjà rayé. On entoure alors le nombre suivant qui n'est pas encore barré, à savoir .
On barre ensuite l'ensemble des multiples de strictement supérieurs à .
Poursuivre l'algorithme.

Dessinez ici
Bilan
Pourquoi les nombres entourés dans le tableau sont‑ils exactement les nombres premiers compris entre et  ?

B
Une infinité de nombres premiers

Objectif : Démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini.
Dans le livre IX des Éléments, Euclide indique la proposition suivante :
« Les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude de nombres premiers proposée. »
Autrement dit, si on suppose qu'il existe au moins nombres premiers, on peut alors démontrer qu'il en existe au moins .
Supposons par l'absurde qu'il existe exactement nombres premiers distincts, dont la liste est : , , … , .
Soit l'entier naturel défini par .
1
Justifier que, pour tout , .


2
On suppose par l'absurde que le nombre défini précédemment n'est pas premier.
a) Compléter, pour tout , la congruence .


b) En déduire que n'est divisible par aucun des nombres premiers listés précédemment.


c) Terminer le raisonnement.
Bilan
On a démontré que s'il existe nombres premiers distincts, alors il en existe au moins .
En quoi ce raisonnement démontre‑t‑il qu'il existe une infinité de nombres premiers ?
Quel type de raisonnement obtient‑on ?

C
Applications de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers

Objectif : Déterminer l'ensemble des diviseurs d'un entier et le de deux entiers en se servant de la décomposition en produit de facteurs premiers.
1
a)
Déterminer la liste des diviseurs de .


b) Donner la décomposition de en produit de nombres premiers puis, en utilisant un arbre, expliquer comment on aurait pu obtenir le nombre de diviseurs de sans avoir à les déterminer.


Dessinez ici

2
On considère l'entier . Combien admet‑il de diviseurs ? Établir la liste de ces diviseurs.


3
a)
On considère les entiers et . À l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer le de et de .


b) Déterminer la décomposition de et de en produit de facteurs premiers.


c) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du de et de .
Quel lien peut‑on faire entre cette décomposition et celles de et de  ?


4
Soient et deux entiers naturels dont on donne la décomposition en produit de facteurs premiers :
et . Déterminer .
Bilan
Connaissant la décomposition en produit de facteurs premiers de deux entiers et supérieurs ou égaux à , expliciter une méthode permettant de déterminer :
  • le nombre et la liste des diviseurs positifs de  ;


  • le de et .

D
Fermat, congruences et nombres premiers

Objectif : Découvrir le petit théorème de Fermat.
Soit un entier relatif.

1
On considère l'entier . Compléter le tableau suivant donnant les puissances cinquièmes modulo . Que remarque‑t-on ?
modulo
modulo
modulo

2
Construire de même un tableau donnant les puissances septièmes modulo , puis un tableau donnant les puissances onzièmes modulo .
Dans tous ces cas, quelle propriété semble être vérifiée ?
Effectuer les simplifications au fur et à mesure que l'on calcule les puissances permet de ne pas avoir à faire de calculs trop compliqués.
Aide

modulo
modulo

modulo
modulo



3
Quelle condition suffisante sur peut‑on conjecturer pour que, quel que soit l'entier ,  ?


4
Dans cette question, est un nombre premier et désigne un entier non divisible par .
En supposant que la conjecture émise à la question précédente est exacte, montrer que .
Quel théorème d'arithmétique utilise‑t‑on pour cela ?
Bilan
Soit un nombre premier et un entier relatif. À quelle condition peut‑on affirmer que  ?

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