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Activités
P.146-147




Activités




A
Crible d’Eratosthène



Objectif
Utiliser l’algorithme d’Eratosthène pour déterminer une liste de nombres premiers.


1
Reproduire la grille de nombres ci‑contre.

2
Barrer le nombre qui n’est pas premier puis entourer le nombre qui est premier.
Rayer ensuite tous les multiples de strictement supérieurs à .

3
Entourer le nombre qui est premier.
Rayer ensuite tous les multiples de strictement supérieurs à .

4
est un multiple de . Il est donc déjà rayé. On entoure alors le nombre suivant qui n’est pas encore barré, à savoir .
On barre ensuite l’ensemble des multiples de strictement supérieurs à .
Poursuivre l’algorithme.

Crible d’Eratosthène

Pour écrire sur ce schéma, cliquer sur l'image et utiliser l'outil de dessin.


Bilan

Pourquoi les nombres entourés dans le tableau sont‑ils exactement les nombres premiers compris entre et  ?
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B
Une infinité de nombres premiers



Objectif
Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini.


Dans le livre IX des Éléments, Euclide indique la proposition suivante :
« Les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude de nombres premiers proposée. »
Autrement dit, si on suppose qu’il existe au moins nombres premiers, on peut alors démontrer qu’il en existe au moins .
Supposons par l’absurde qu’il existe exactement nombres premiers distincts, dont la liste est : , , … , .
Soit l’entier naturel défini par .

1
Justifier que, pour tout , .


2
On suppose par l’absurde que le nombre défini précédemment n’est pas premier.
a) Compléter, pour tout , la congruence .


b) En déduire que n’est divisible par aucun des nombres premiers listés précédemment.


c) Terminer le raisonnement.
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Bilan

On a démontré que s’il existe nombres premiers distincts, alors il en existe au moins .
En quoi ce raisonnement démontre‑t‑il qu’il existe une infinité de nombres premiers ?
Quel type de raisonnement obtient‑on ?

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C
Applications de la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers



Objectif
Déterminer l’ensemble des diviseurs d’un entier et le de deux entiers en se servant de la décomposition en produit de facteurs premiers.


1
a)
Déterminer la liste des diviseurs de .


b) Donner la décomposition de en produit de nombres premiers puis, en utilisant un arbre, expliquer comment on aurait pu obtenir le nombre de diviseurs de sans avoir à les déterminer.


Dessinez ici

2
On considère l’entier . Combien admet‑il de diviseurs ? Établir la liste de ces diviseurs.


3
a)
On considère les entiers et . À l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminer le de et de .


b) Déterminer la décomposition de et de en produit de facteurs premiers.


c) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du de et de .
Quel lien peut‑on faire entre cette décomposition et celles de et de  ?


4
Soient et deux entiers naturels dont on donne la décomposition en produit de facteurs premiers :
et . Déterminer .
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Bilan

Connaissant la décomposition en produit de facteurs premiers de deux entiers et supérieurs ou égaux à , expliciter une méthode permettant de déterminer :
  • le nombre et la liste des diviseurs positifs de  ;


  • le de et .
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D
Fermat, congruences et nombres premiers



Objectif
Découvrir le petit théorème de Fermat.


Soit un entier relatif.

1
On considère l’entier . Compléter le tableau suivant donnant les puissances cinquièmes modulo . Que remarque‑t-on ?
modulo
modulo
modulo

2
Construire de même un tableau donnant les puissances septièmes modulo , puis un tableau donnant les puissances onzièmes modulo .
Dans tous ces cas, quelle propriété semble être vérifiée ?

Aide
Effectuer les simplifications au fur et à mesure que l’on calcule les puissances permet de ne pas avoir à faire de calculs trop compliqués.


modulo
modulo

modulo
modulo



3
Quelle condition suffisante sur peut‑on conjecturer pour que, quel que soit l’entier ,  ?


4
Dans cette question, est un nombre premier et désigne un entier non divisible par .
En supposant que la conjecture émise à la question précédente est exacte, montrer que .
Quel théorème d’arithmétique utilise‑t‑on pour cela ?
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Bilan

Soit un nombre premier et un entier relatif. À quelle condition peut‑on affirmer que  ?
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