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A
Crible d'Eratosthène
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Objectif : Utiliser l'algorithme d'Eratosthène pour déterminer une liste de nombres premiers.
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1
Reproduire la grille de nombres suivante.
2
Barrer le nombre 1 qui n'est pas premier puis entourer le nombre 2 qui est premier.
Rayer ensuite tous les multiples de 2 strictement supérieurs à 2.
3
Entourer le nombre 3 qui est premier.
Rayer ensuite tous les multiples de 3 strictement supérieurs à 3.
4
4 est un multiple de 2. Il est donc déjà rayé. On entoure alors le nombre suivant qui n'est pas encore barré, à savoir 5.
On barre ensuite l'ensemble des multiples de 5 strictement supérieurs à 5.
Poursuivre l'algorithme.
Dessinez ici
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Bilan
Pourquoi les nombres entourés dans le tableau sont‑ils exactement les nombres premiers compris entre 1 et 100 ?
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B
Une infinité de nombres premiers
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Objectif : Démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini.
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Dans le livre IX des Éléments, Euclide indique la proposition 20 suivante :
« Les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude de nombres premiers proposée. »
Autrement dit, si on suppose qu'il existe au moins n nombres premiers, on peut alors démontrer qu'il en existe au moins n+1.
Supposons par l'absurde qu'il existe exactement n nombres premiers distincts, dont la liste est : p1, p2, … , pn.
Soit N l'entier naturel défini par N=p1×p2×⋯×pn+1.
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1
Justifier que, pour tout k∈{1;…;n}, N=pk.
2
On suppose par l'absurde que le nombre N défini précédemment n'est pas premier.
a) Compléter, pour tout i∈{1;…;n}, la congruence N≡…[pi].
b) En déduire que N n'est divisible par aucun des nombres premiers listés précédemment.
c) Terminer le raisonnement.
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Bilan
On a démontré que s'il existe n nombres premiers distincts, alors il en existe au moins n+1.
En quoi ce raisonnement démontre‑t‑il qu'il existe une infinité de nombres premiers ?
Quel type de raisonnement obtient‑on ?
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C
Applications de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers
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Objectif : Déterminer l'ensemble des diviseurs d'un entier et le PGCD de deux entiers
en se servant de la décomposition en produit de facteurs premiers.
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1
a) Déterminer la liste des diviseurs de 24.
b) Donner la décomposition de 24 en produit de nombres premiers puis, en utilisant un arbre, expliquer comment on aurait pu obtenir le nombre de diviseurs de 24 sans avoir à les déterminer.
Dessinez ici
2
On considère l'entier p=32×53×29. Combien p admet‑il de diviseurs ? Établir la liste de ces diviseurs.
3
a) On considère les entiers n=24 et m=20. À l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer le PGCD de m et de n.
b) Déterminer la décomposition de n et de m en produit de facteurs premiers.
c) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du PGCD de m et de n.
Quel lien peut‑on faire entre cette décomposition et celles de n et de m ?
4
Soient k et ℓ deux entiers naturels dont on donne la décomposition en produit de facteurs premiers : k=23×3×19 et ℓ=22×3×52×11. Déterminer PGCD(k;ℓ).
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Bilan
Connaissant la décomposition en produit de facteurs premiers de deux entiers n et m supérieurs ou égaux à 2, expliciter une méthode permettant de déterminer :
le nombre et la liste des diviseurs positifs de n ;
le PGCD de n et m.
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D
Fermat, congruences et nombres premiers
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Objectif : Découvrir le petit théorème de Fermat.
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Soit a un entier relatif.
1
On considère l'entier p=5. Compléter le tableau suivant donnant les puissances cinquièmes modulo p. Que remarque‑t-on ?
a modulo 5
0
1
2
3
4
a5 modulo 5
a5 modulo 5
2
Construire de même un tableau donnant les puissances septièmes modulo 7, puis un tableau donnant les puissances onzièmes modulo 11.
Dans tous ces cas, quelle propriété semble être vérifiée ?
Effectuer les simplifications au fur et à mesure que l'on calcule les puissances permet de ne pas avoir à faire de calculs trop compliqués.
Aide
a modulo 7
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a7 modulo 7
a modulo 11
0
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7
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a11 modulo 11
3
Quelle condition suffisante sur p peut‑on conjecturer pour que, quel que soit l'entier a, ap≡a[p] ?
4
Dans cette question, p est un nombre premier et a désigne un entier non divisible par p.
En supposant que la conjecture émise à la question précédente est exacte, montrer que ap−1=1[p].
Quel théorème d'arithmétique utilise‑t‑on pour cela ?
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Bilan
Soit p un nombre premier et a un entier relatif. À quelle condition peut‑on affirmer que ap−1≡1[p] ?
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