Nombres premiers

1

Reproduire la grille de nombres suivante.

2

Barrer le nombre 1 qui n'est pas premier puis entourer le nombre 2 qui est premier.
Rayer ensuite tous les multiples de 2 strictement supérieurs à 2.

3

Entourer le nombre 3 qui est premier.
Rayer ensuite tous les multiples de 3 strictement supérieurs à 3.

4

4 est un multiple de 2. Il est donc déjà rayé. On entoure alors le nombre suivant qui n'est pas encore barré, à savoir 5.
On barre ensuite l'ensemble des multiples de 5 strictement supérieurs à 5.
Poursuivre l'algorithme.

1

Justifier que, pour tout k \in\{1\,; \ldots ; n\}, \mathrm{N} \neq p_{k}.

2

On suppose par l'absurde que le nombre \mathrm{N} défini précédemment n'est pas premier.
a) Compléter, pour tout i \in\{1 ; \ldots ; n\}, la congruence \mathrm{N} \equiv \ldots\left[p_{i}\right].

b) En déduire que \mathrm{N} n'est divisible par aucun des nombres premiers listés précédemment.

c) Terminer le raisonnement.

1

a) Déterminer la liste des diviseurs de 24.

b) Donner la décomposition de 24 en produit de nombres premiers puis, en utilisant un arbre, expliquer comment on aurait pu obtenir le nombre de diviseurs de 24 sans avoir à les déterminer.

2

On considère l'entier p=3^{2} \times 5^{3} \times 29. Combien p admet‑il de diviseurs ? Établir la liste de ces diviseurs.

3

a) On considère les entiers n=24 et m=20. À l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer le \mathrm{PGCD} de m et de n.

b) Déterminer la décomposition de n et de m en produit de facteurs premiers.

c) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du \mathrm{PGCD} de m et de n.
Quel lien peut‑on faire entre cette décomposition et celles de n et de m ?

4

Soient k et \ell deux entiers naturels dont on donne la décomposition en produit de facteurs premiers :
k=2^{3} \times 3 \times 19 et \ell=2^{2} \times 3 \times 5^{2} \times 11. Déterminer \mathrm{PGCD}(k ; \ell).