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P.146-147

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A
Crible d’Eratosthène



Objectif
Utiliser l’algorithme d’Eratosthène pour déterminer une liste de nombres premiers.


1
Reproduire la grille de nombres ci‑contre.

2
Barrer le nombre 11 qui n’est pas premier puis entourer le nombre 22 qui est premier.
Rayer ensuite tous les multiples de 22 strictement supérieurs à 22.

3
Entourer le nombre 33 qui est premier.
Rayer ensuite tous les multiples de 33 strictement supérieurs à 33.

4
44 est un multiple de 22. Il est donc déjà rayé. On entoure alors le nombre suivant qui n’est pas encore barré, à savoir 55.
On barre ensuite l’ensemble des multiples de 55 strictement supérieurs à 55.
Poursuivre l’algorithme.

Crible d’Eratosthène

Pour écrire sur ce schéma, cliquer sur l'image et utiliser l'outil de dessin.


Bilan

Pourquoi les nombres entourés dans le tableau sont‑ils exactement les nombres premiers compris entre 1\boldsymbol{1} et 100\boldsymbol{100} ?
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B
Une infinité de nombres premiers



Objectif
Démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini.


Dans le livre IX des Éléments, Euclide indique la proposition 2020 suivante :
« Les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude de nombres premiers proposée. »
Autrement dit, si on suppose qu’il existe au moins nn nombres premiers, on peut alors démontrer qu’il en existe au moins n+1n+1.
Supposons par l’absurde qu’il existe exactement nn nombres premiers distincts, dont la liste est : p1p_1, p2p_2, … , pnp_n.
Soit N\mathrm{N} l’entier naturel défini par N=p1×p2××pn+1\mathrm{N}=p_{1} \times p_{2} \times \cdots \times p_{n}+1.

1
Justifier que, pour tout k{1;;n}k \in\{1\,; \ldots ; n\}, Npk\mathrm{N} \neq p_{k}.


2
On suppose par l’absurde que le nombre N\mathrm{N} défini précédemment n’est pas premier.
a) Compléter, pour tout i{1;;n}i \in\{1 ; \ldots ; n\}, la congruence N[pi]\mathrm{N} \equiv \ldots\left[p_{i}\right].


b) En déduire que N\mathrm{N} n’est divisible par aucun des nombres premiers listés précédemment.


c) Terminer le raisonnement.
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Bilan

On a démontré que s’il existe n\boldsymbol{n} nombres premiers distincts, alors il en existe au moins n+1\boldsymbol{n+1}.
En quoi ce raisonnement démontre‑t‑il qu’il existe une infinité de nombres premiers ?
Quel type de raisonnement obtient‑on ?

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C
Applications de la décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers



Objectif
Déterminer l’ensemble des diviseurs d’un entier et le PGCD\mathrm{PGCD} de deux entiers en se servant de la décomposition en produit de facteurs premiers.


1
a)
Déterminer la liste des diviseurs de 2424.


b) Donner la décomposition de 2424 en produit de nombres premiers puis, en utilisant un arbre, expliquer comment on aurait pu obtenir le nombre de diviseurs de 2424 sans avoir à les déterminer.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

2
On considère l’entier p=32×53×29p=3^{2} \times 5^{3} \times 29. Combien pp admet‑il de diviseurs ? Établir la liste de ces diviseurs.


3
a)
On considère les entiers n=24n=24 et m=20m=20. À l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminer le PGCD\mathrm{PGCD} de mm et de nn.


b) Déterminer la décomposition de nn et de mm en produit de facteurs premiers.


c) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du PGCD\mathrm{PGCD} de mm et de nn.
Quel lien peut‑on faire entre cette décomposition et celles de nn et de mm ?


4
Soient kk et \ell deux entiers naturels dont on donne la décomposition en produit de facteurs premiers :
k=23×3×19k=2^{3} \times 3 \times 19 et =22×3×52×11\ell=2^{2} \times 3 \times 5^{2} \times 11. Déterminer PGCD(k ; )\mathrm{PGCD}(k ; \ell).
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Bilan

Connaissant la décomposition en produit de facteurs premiers de deux entiers n\boldsymbol{n} et m\boldsymbol{m} supérieurs ou égaux à 2\boldsymbol{2}, expliciter une méthode permettant de déterminer :
  • le nombre et la liste des diviseurs positifs de n\boldsymbol{n} ;


  • le PGCD\mathbf{PGCD} de n\boldsymbol{n} et m\boldsymbol{m}.
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D
Fermat, congruences et nombres premiers



Objectif
Découvrir le petit théorème de Fermat.


Soit aa un entier relatif.

1
On considère l’entier p=5p=5. Compléter le tableau suivant donnant les puissances cinquièmes modulo pp. Que remarque‑t-on ?
a\boldsymbol{a} modulo 5\boldsymbol{5} 00 11 22 33 44
a5\boldsymbol{a^5} modulo 5\boldsymbol{5}

2
Construire de même un tableau donnant les puissances septièmes modulo 77, puis un tableau donnant les puissances onzièmes modulo 1111.
Dans tous ces cas, quelle propriété semble être vérifiée ?

Aide
Effectuer les simplifications au fur et à mesure que l’on calcule les puissances permet de ne pas avoir à faire de calculs trop compliqués.


a\boldsymbol{a} modulo 7\boldsymbol{7} 00 11 22 33 44 55 66
a7\boldsymbol{a^7} modulo 7\boldsymbol{7}

a\boldsymbol{a} modulo 11\boldsymbol{11} 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010
a11\boldsymbol{a^{11}} modulo 11\boldsymbol{11}



3
Quelle condition suffisante sur pp peut‑on conjecturer pour que, quel que soit l’entier aa, apa[p]a^{p} \equiv a[p] ?


4
Dans cette question, pp est un nombre premier et aa désigne un entier non divisible par pp.
En supposant que la conjecture émise à la question précédente est exacte, montrer que ap1=1[p]a^{p-1}=1[p].
Quel théorème d’arithmétique utilise‑t‑on pour cela ?
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Bilan

Soit p\boldsymbol{p} un nombre premier et a\boldsymbol{a} un entier relatif. À quelle condition peut‑on affirmer que ap11[p]\boldsymbol{a^{p-1} \equiv 1[p]} ?
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