Nombres premiers

1

Reproduire la grille de nombres suivante.

2

Barrer le nombre $1$ qui n'est pas premier puis entourer le nombre $2$ qui est premier.
Rayer ensuite tous les multiples de $2$ strictement supérieurs à $2$.

3

Entourer le nombre $3$ qui est premier.
Rayer ensuite tous les multiples de $3$ strictement supérieurs à $3$.

4

$4$ est un multiple de $2$. Il est donc déjà rayé. On entoure alors le nombre suivant qui n'est pas encore barré, à savoir $5$.
On barre ensuite l'ensemble des multiples de $5$ strictement supérieurs à $5$.
Poursuivre l'algorithme.

1

Justifier que, pour tout $k\in \{1;\dots ;n\}$, $\mathrm{N}\ne p_k$.

2

On suppose par l'absurde que le nombre $\mathrm{N}$ défini précédemment n'est pas premier.
a) Compléter, pour tout $i\in \{1;\dots ;n\}$, la congruence $\mathrm{N}\equiv \dots \left[p_i\right]$.

b) En déduire que $\mathrm{N}$ n'est divisible par aucun des nombres premiers listés précédemment.

c) Terminer le raisonnement.

1

a) Déterminer la liste des diviseurs de $24$.

b) Donner la décomposition de $24$ en produit de nombres premiers puis, en utilisant un arbre, expliquer comment on aurait pu obtenir le nombre de diviseurs de $24$ sans avoir à les déterminer.

2

On considère l'entier $p=3^2\times 5^3\times 29$. Combien $p$ admet‑il de diviseurs ? Établir la liste de ces diviseurs.

3

a) On considère les entiers $n=24$ et $m=20$. À l'aide de l'algorithme d'Euclide, déterminer le $\mathrm{PGCD}$ de $m$ et de $n$.

b) Déterminer la décomposition de $n$ et de $m$ en produit de facteurs premiers.

c) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers du $\mathrm{PGCD}$ de $m$ et de $n$.
Quel lien peut‑on faire entre cette décomposition et celles de $n$ et de $m$ ?

4

Soient $k$ et $\ell$ deux entiers naturels dont on donne la décomposition en produit de facteurs premiers :
$k=2^3\times 3\times 19$ et $\ell =2^2\times 3\times 5^2\times 11$. Déterminer $\mathrm{PGCD}(k;\ell )$.