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3. Le petit théorème de Fermat
P.151

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COURS 3


3
Le petit théorème de Fermat





Propriété

Si pp est un nombre premier, alors, pour tout nombre entier aa, apa[p]a^{p} \equiv a[p].

DÉMONSTRATION

Voir exercice 
80
p. 162
.

Exemple

Le nombre 55 est premier.
On peut donc affirmer que 12512[5]12^{5} \equiv 12[5], soit encore 1252[5]12^{5} \equiv 2[5].
En effet, 125=248 832=49 766×5+212^{5}=248 832=49 766 \times 5+2.

Petit théorème de Fermat

Si pp est un nombre premier et si aa est un entier non divisible par pp, alors :
ap11[p]a^{p-1} \equiv 1[p].

Remarque

Si aa est divisible par pp, on a ap10[p]a^{p-1} \equiv 0[p].

DÉMONSTRATION

D’après la propriété précédente, pp divise apa=a×(ap11)a^{p}-a=a \times\left(a^{p-1}-1\right). Or pp est premier et il ne divise pas aa, il est donc premier avec aa.
Ainsi, d’après le théorème de Gauss, on en déduit que pp divise ap11a^{p-1}-1, ce qui signifie exactement que ap11[p]a^{p-1} \equiv 1[p].

Remarque

Si pp est un nombre premier qui divise abab, alors pp divise aa ou pp divise bb. Cela est une application du théorème de Gauss.

Exemple

77 n’est pas divisible par 55 donc, d’après le petit théorème de Fermat, 741[5]7^{4} \equiv 1[5].
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