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3. Le petit théorème de Fermat
P.151

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COURS 3


3
Le petit théorème de Fermat





Propriété

Si est un nombre premier, alors, pour tout nombre entier , .

DÉMONSTRATION

Voir exercice 
80
p. 162
.

Exemple

Le nombre est premier.
On peut donc affirmer que , soit encore .
En effet, .

Petit théorème de Fermat

Si est un nombre premier et si est un entier non divisible par , alors :
.

Remarque

Si est divisible par , on a .

DÉMONSTRATION

D’après la propriété précédente, divise . Or est premier et il ne divise pas , il est donc premier avec .
Ainsi, d’après le théorème de Gauss, on en déduit que divise , ce qui signifie exactement que .

Remarque

Si est un nombre premier qui divise , alors divise ou divise . Cela est une application du théorème de Gauss.

Exemple

n’est pas divisible par donc, d’après le petit théorème de Fermat, .
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