Si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors : a^{p-1} \equiv 1[p].

Si a est divisible par p, on a a^{p-1} \equiv 0[p].

D'après la propriété précédente, p divise a^{p}-a=a \times\left(a^{p-1}-1\right). Or p est premier et il ne divise pas a, il est donc premier avec a.
Ainsi, d'après le théorème de Gauss, on en déduit que p divise a^{p-1}-1, ce qui signifie exactement que a^{p-1} \equiv 1[p].

Si p est un nombre premier qui divise ab, alors p divise a ou p divise b. Cela est une application du théorème de Gauss.