Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Cours 3

Le petit théorème de Fermat

Propriété
Si est un nombre premier, alors, pour tout nombre entier , .
Démonstration
Voir exercice  p. 162.
Exemple
Le nombre est premier.
On peut donc affirmer que , soit encore .
En effet, .
Petit théorème de Fermat
Si est un nombre premier et si est un entier non divisible par , alors : .

Remarque

Si est divisible par , on a .
Démonstration
D'après la propriété précédente, divise . Or est premier et il ne divise pas , il est donc premier avec .
Ainsi, d'après le théorème de Gauss, on en déduit que divise , ce qui signifie exactement que .

Remarque

Si est un nombre premier qui divise , alors divise ou divise . Cela est une application du théorème de Gauss.
Exemple
n'est pas divisible par donc, d'après le petit théorème de Fermat, .

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