Si $p$ est un nombre premier et si $a$ est un entier non divisible par $p$, alors : $a^{p-1}\equiv 1[p]$.

Si $a$ est divisible par $p$, on a $a^{p-1}\equiv 0[p]$.

D'après la propriété précédente, $p$ divise $a^p-a=a\times \left(a^{p-1}-1\right)$. Or $p$ est premier et il ne divise pas $a$, il est donc premier avec $a$.
Ainsi, d'après le théorème de Gauss, on en déduit que $p$ divise $a^{p-1}-1$, ce qui signifie exactement que $a^{p-1}\equiv 1[p]$.

Si $p$ est un nombre premier qui divise $ab$, alors $p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$. Cela est une application du théorème de Gauss.