Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Fiche de révision

Nombres premiers

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L'essentiel
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Démonstration
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Formules
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Méthodes
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L'essentiel

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1
Un entier naturel \boldsymbol{n} est premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs positifs : \boldsymbol{1} et lui‑même.
Pour savoir si \boldsymbol{n} est premier, il suffit de tester s'il est divisible par des entiers compris entre \boldsymbol{2} et \boldsymbol{\sqrt{n}}. Cela permet de :

déterminer si l'entier n est un nombre premier ou non ;
trouver un diviseur de n afin de déterminer ensuite une factorisation de l'entier n.

2
Le crible d'Eratosthène permet de connaître l'ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier \boldsymbol{n}.
Cela permet de :

savoir facilement si un nombre inférieur ou égal à n est premier ou non ;
savoir quels sont les diviseurs premiers potentiels d'un nombre n et faciliter ainsi les tests de primalité.

3
Tout entier naturel supérieur ou égal à \boldsymbol{2} se décompose de façon unique en produit de nombres premiers.
Cela permet de :

déterminer l'ensemble des diviseurs d'un entier, en les énumérant à l'aide d'un arbre ;
déterminer le nombre de diviseurs, en regardant uniquement les exposants apparaissant dans la décomposition ;
déterminer le \mathrm{PGCD} de deux entiers.

4
Le petit théorème de Fermat : si \boldsymbol{p} est un nombre premier et si \boldsymbol{a} est un entier non divisible par \boldsymbol{p}, alors \boldsymbol{a^{p-1} \equiv 1[p]}.
Cela permet de :

calculer des puissances modulo p en simplifiant les calculs.
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Carte mentale
Maths expertes, Carte mentale chapitre 5 : Nombres premiers
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