Auto-évaluation

9

Lequel des nombres suivants est premier ?
a. $252$
b. $407$
c. $449$
d. $507$

10

Si $n=2^{3} \times 3^{4} \times 11 \times 17$, combien $n$ admet‑il de diviseurs ?
a. $80$
b. $13$
c. $12$
d. $9$

11

Quel est le $\mathrm{PGCD}$ de $2^{2} \times 3^{3} \times 11^{5} \times 29$ et de $2^{7} \times 3 \times 31$ ?
a. $2^{7} \times 3^{3} \times 11^{5} \times 29 \times 31$
b. $2^{2} \times 3$
c. $2 \times 3 \times 11 \times 29 \times 31$
d. $2^{9} \times 3^{4} \times 11^{5} \times 29 \times 31$

12

Quel est le reste de la division euclidienne de $2^{32}$ par $17$ ?
a. $4$
b. $1$
c. $17$
d. $16$

13

Parmi les nombres suivants, indiquer lesquels divisent $3^{2} \times 5^{3} \times 7 \times 19$.

×

a. $75$

×

b. $14$

×

c. $35$

×

d. $27$

14

Lesquels des nombres suivants sont premiers ?

×

a. $1$

×

b. $11$

×

c. $317$

×

d. $319$

15

On sait que $n=2^{3} \times 3^{2} \times 7 \times 11^{2}$ et que le $\mathrm{PGCD}$ de $n$ et de $m$ est égal à $84$. Indiquer, parmi les valeurs ci‑dessous, celles qui pourraient correspondre à $m$.

×

a. $2^{2} \times 3 \times 7^{2} \times 11$

×

b. $2^{2} \times 3 \times 7^{2}$

×

c. $2^{2} \times 7^{2}$

×

d. $2^{2} \times 3 \times 7 \times 43$

16

Parmi les nombres suivants, deux sont égaux modulo $11$. Lesquels ?

×

a. $3^{12}$

×

b. $1$

×

c. $-2$

d. $3^{24}$

17

On considère les trois entiers $a=31$, $b=19$ et $c=1 530$.

1. Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont des nombres premiers.


2. Déterminer la décomposition de $c$ en produit de facteurs premiers, les facteurs premiers étant rangés dans l’ordre croissant.


3. En déduire le nombre de diviseurs de $c$ et en dresser la liste.
On pourra compléter l’arbre ci‑contre.


4. Déterminer le $\mathrm{PGCD}$ de $b$ et $c$.


5. a. Montrer que $c^{540} \equiv 1[b]$.




b. Montrer que $c^{540} \equiv 1[a]$.


c. Déduire des questions précédentes que $c^{540} \equiv 1[ab]$.

Pour écrire sur ce schéma, cliquer sur l'image et utiliser l'outil de dessin.

A

La somme de deux entiers consécutifs peut être un nombre premier.
a. Vrai.
b. Faux.

B

Pour tout entier premier $p \geqslant 3$, $p^2-1$ est divisible par $4$.
a. Vrai.
b. Faux.

C

Si les entiers $a$ et $b$ admettent respectivement $n$ et $m$ diviseurs, alors $a\times b$ admet :
a. exactement $m+n-1$ diviseurs.
b. au moins $m+n-1$ diviseurs.
c. a exactement $m+n$ diviseurs.
d. au moins $mn$ diviseurs.

D

Quel est le plus petit entier $n$ tel que $n^2-1$ est le produit de quatres nombres premiers distincts ?
a. $11$
b. $22$
c. $34$
d. $56$

E

Quel est le reste de la division euclidienne de $11^{19}$ par $7$ ?
a. $0$
b. $1$
c. $3$
d. $4$

F

L’entier $4^{10}-1$ est divisible par $5$.
a. Vrai.
b. Faux.

G

Quel est le chiffre des unités de $7^{40}$ ?
a. $1$
b. $3$
b. $6$
b. $7$

H

Parmi ces nombres, lesquels admettent exactement $10$ diviseurs ?

×

a. $7^9$

b. $7^{10}$

c. $4^9$

×

d. $2 \times 5^4$