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2. Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers
P.149

COURS 2


2
Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers




A
Existence et unicité de la décomposition


Propriété

Tout entier supérieur ou égal à se décompose en produit de facteurs premiers.
Plus précisément, si , il existe des nombres premiers , … ,  et des entiers naturels non nuls , , … , tels que .
Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

DÉMONSTRATION

Voir exercices 
59
et
64
p. 160
.

Application et méthode - 2

Énoncé

Décomposer l’entier en produit de facteurs premiers.

B
Application à la détermination des diviseurs d’un entier


Propriétés

Soit un entier naturel supérieur ou égal à dont la décomposition en produit de facteurs premiers est la suivante : . Alors :
  • les diviseurs de sont exactement les nombres de la forme :
    , avec .
  • le nombre de diviseurs de est égal à .

DÉMONSTRATION

Voir exercice 
65
p. 160
.

Application et méthode - 3

Énoncé

Déterminer l’ensemble des diviseurs de .

C
Application à la détermination du et du


Propriété

Soient et deux entiers naturels supérieurs ou égaux à . On suppose, quitte à utiliser des exposants nuls, que et peuvent s’écrire sous forme de produit de facteurs premiers de la manière suivante :
et .

On a alors :

Remarque

Si et sont deux entiers non nuls, on appelle plus petit multiple commun de et de , et on note , le plus petit des multiples communs positifs de et de .

DÉMONSTRATION

Voir exercice 
67
p. 161
.

Exemple

Les décompositions de et de en produit de facteurs premiers sont et .
Par conséquent, .
On a également .

Remarque

En général, l’algorithme d’Euclide est plus efficace pour calculer le .
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