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Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers

Propriété

Tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$ se décompose en produit de facteurs premiers.
Plus précisément, si $n \geqslant 2$, il existe des nombres premiers $p_1$, $p_2$, … , $p_k$ et des entiers naturels non nuls $\alpha_1$, $\alpha_2$, … , $\alpha_k$ tels que $n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}$.
Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

Propriétés

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ dont la décomposition en produit de facteurs premiers est la suivante : $n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}$. Alors :

• les diviseurs de $n$ sont exactement les nombres de la forme : $p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}}$, avec $0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}$.
• le nombre de diviseurs de $n$ est égal à $\left(\alpha_{1}+1\right) \times\left(\alpha_{2}+1\right) \times \ldots \times\left(\alpha_{k}+1\right)$.

Propriété

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à $2$. On suppose, quitte à utiliser des exposants nuls, que $m$ et $n$ peuvent s’écrire sous forme de produit de facteurs premiers de la manière suivante : $n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}$ et $m=p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}}$.
On a alors :

• $\mathrm{PGCD}(m ; n)=p_{1}^{\min \left(\alpha_{1} ; \beta_{1}\right)} \times p_{2}^{\min \left(\alpha_{2} ; \beta_{2}\right)} \times \ldots \times p_{k}^{\min \left(\alpha_{k} ; \beta_{k}\right)}$
• $\mathrm{PPCM}(m ; n)=p_{1}^{\max \left(\alpha_{1} ; \beta_{1}\right)} \times p_{2}^{\max \left(\alpha_{2} ; \beta_{2}\right)} \times \ldots \times p_{k}^{\max \left(\alpha_{k} ; \beta_{k}\right)}$