Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Cours 2
Décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers
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AExistence et unicité de la décomposition
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Propriété
Tout entier n supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers.
Plus précisément, si n \geqslant 2, il existe des nombres premiers p_1, p_2, … , p_k et des entiers naturels non nuls \alpha_1, \alpha_2, … , \alpha_k tels que n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}.
Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.
Plus précisément, si n \geqslant 2, il existe des nombres premiers p_1, p_2, … , p_k et des entiers naturels non nuls \alpha_1, \alpha_2, … , \alpha_k tels que n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}.
Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.
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Application et méthode - 2
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Énoncé
Décomposer l'entier 132 en produit de facteurs premiers.
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- On cherche un diviseur premier du nombre en question, en s'aidant éventuellement des règles de divisibilité.
- On effectue alors la division du nombre par le facteur premier et on recommence l'opération avec le quotient obtenu.
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Solution
132 est divisible par 2 car 132=2 \times 66.
66 est lui‑même divisible par 2, on a donc : 132=2^{2} \times 33.
Finalement, comme 33 est divisible par 3, on peut écrire 132=2^{2} \times 3 \times 11, qui est la décomposition en produit de facteurs premiers de 132.
66 est lui‑même divisible par 2, on a donc : 132=2^{2} \times 33.
Finalement, comme 33 est divisible par 3, on peut écrire 132=2^{2} \times 3 \times 11, qui est la décomposition en produit de facteurs premiers de 132.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 156
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BApplication à la détermination des diviseurs d'un entier
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Propriétés
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 dont la décomposition en produit de facteurs premiers est la suivante : n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}. Alors :
- les diviseurs de n sont exactement les nombres de la forme : p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}}, avec 0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}.
- le nombre de diviseurs de n est égal à \left(\alpha_{1}+1\right) \times\left(\alpha_{2}+1\right) \times \ldots \times\left(\alpha_{k}+1\right).
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Démonstration
Voir exercice p. 160.
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Application et méthode - 3
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Énoncé
Déterminer l'ensemble des diviseurs de 132.
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Pour déterminer les diviseurs d'un nombre :
- on commence par chercher la décomposition de ce nombre en produit de facteurs premiers ;
- l'énumération des diviseurs se fait alors de manière méthodique, en listant toutes les combinaisons de puissances possibles.
On peut, pour cela, utiliser un arbre.
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Solution
132=2^{2} \times 3 \times 11 donc ses diviseurs sont de la forme 2^{\beta_{1}} \times 3^{\beta_{2}} \times 11^{\beta_{3}}, avec 0 \leqslant \beta_{1} \leqslant 2, 0 \leqslant \beta_{2} \leqslant 1 et 0 \leqslant \beta_{3} \leqslant 1.
L'arbre suivant permet de déterminer toutes les combinaisons de puissances possibles.
Finalement, les diviseurs de 132 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 11 ; 12 ; 22 ; 33 ; 44 ; 66 et 132.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 156
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CApplication à la détermination du \text{PGCD} et du \text{PPCM}
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Propriété
Soient m et n deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. On suppose, quitte à utiliser des exposants nuls, que m et n peuvent s'écrire sous forme de produit de facteurs premiers de la manière suivante :
n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}} et m=p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}}.
On a alors :
On a alors :
- \mathrm{PGCD}(m ; n)=p_{1}^{\min \left(\alpha_{1} ; \beta_{1}\right)} \times p_{2}^{\min \left(\alpha_{2} ; \beta_{2}\right)} \times \ldots \times p_{k}^{\min \left(\alpha_{k} ; \beta_{k}\right)}
- \mathrm{PPCM}(m ; n)=p_{1}^{\max \left(\alpha_{1} ; \beta_{1}\right)} \times p_{2}^{\max \left(\alpha_{2} ; \beta_{2}\right)} \times \ldots \times p_{k}^{\max \left(\alpha_{k} ; \beta_{k}\right)}
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Si a et b sont deux entiers non nuls, on appelle plus petit multiple commun de \boldsymbol{a} et de \boldsymbol{b}, et on note \operatorname{PPCM}(a ; b), le plus petit des multiples communs positifs de a et de b.
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Démonstration
Voir exercice p. 161.
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Exemple
Les décompositions de 24 et de 84 en produit de facteurs premiers sont 24=2^{3} \times 3^{1} \times 7^{0} et 84=2^{2} \times 3^{1} \times 7^{1}.
Par conséquent, \mathrm{PGCD}(24\,; 84)=2^{2} \times 3^{1} \times 7^{0}=12.
On a également \operatorname{PPCM}(24\,; 84)=2^{3} \times 3^{1} \times 7^{1}=168.
Par conséquent, \mathrm{PGCD}(24\,; 84)=2^{2} \times 3^{1} \times 7^{0}=12.
On a également \operatorname{PPCM}(24\,; 84)=2^{3} \times 3^{1} \times 7^{1}=168.
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En général, l'algorithme d'Euclide est plus efficace pour calculer le \mathrm{PGCD}.
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