Sommaire

Mes pages

Ouverture

p. 1-11

Nombres complexes

Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3
Divisibilité dans Z

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 4
PGCD et applications

Ch. 5
Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7
Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Page précédente

Chapitre 5

Cours 2

Décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Existence et unicité de la décomposition

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriété

Tout entier

n

supérieur ou égal à

2

se décompose en produit de facteurs premiers.
Plus précisément, si

n ⩾ 2

, il existe des nombres premiers

p_{1}

p_{2}

, … ,

p_{k}

et des entiers naturels non nuls

α_{1}

α_{2}

, … ,

α_{k}

tels que

n = p_{1}^{α_{1}} \times p_{2}^{α_{2}} \times \dots \times p_{k}^{α_{k}}

.
Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démonstration

Voir exercices

64 p. 160

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Application et méthode - 2

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

Décomposer l'entier

132

en produit de facteurs premiers.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

On cherche un diviseur premier du nombre en question, en s'aidant éventuellement des règles de divisibilité.
On effectue alors la division du nombre par le facteur premier et on recommence l'opération avec le quotient obtenu.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

132

est divisible par

2

car

132 = 2 \times 66

66

est lui‑même divisible par

2

, on a donc :

132 = 2^{2} \times 33

.
Finalement, comme

33

est divisible par

3

, on peut écrire

132 = 2^{2} \times 3 \times 11

, qui est la décomposition en produit de facteurs premiers de

132

Pour s'entraîner

Exercices

p. 156

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Application à la détermination des diviseurs d'un entier

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriétés

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à

2

dont la décomposition en produit de facteurs premiers est la suivante :

n = p_{1}^{α_{1}} \times p_{2}^{α_{2}} \times \dots \times p_{k}^{α_{k}}

. Alors :

les diviseurs de $n$ sont exactement les nombres de la forme : $p_{1}^{β_{1}} \times p_{2}^{β_{2}} \times \dots \times p_{k}^{β_{k}}$ , avec $0 ⩽ β_{i} ⩽ α_{i}$ .
le nombre de diviseurs de $n$ est égal à $(α_{1} + 1) \times (α_{2} + 1) \times \dots \times (α_{k} + 1)$ .

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démonstration

Voir exercice

p. 160.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Application et méthode - 3

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Énoncé

Déterminer l'ensemble des diviseurs de

132.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Méthode

Pour déterminer les diviseurs d'un nombre :

on commence par chercher la décomposition de ce nombre en produit de facteurs premiers ;
l'énumération des diviseurs se fait alors de manière méthodique, en listant toutes les combinaisons de puissances possibles.
On peut, pour cela, utiliser un arbre.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Solution

132 = 2^{2} \times 3 \times 11

donc ses diviseurs sont de la forme

2^{β_{1}} \times 3^{β_{2}} \times 1 1^{β_{3}}

, avec

0 ⩽ β_{1} ⩽ 2

0 ⩽ β_{2} ⩽ 1

0 ⩽ β_{3} ⩽ 1

.
L'arbre suivant permet de déterminer toutes les combinaisons de puissances possibles.

maths expertes - chapitre 5 - Nombre premiers - Cours - Inverse et quotient

Finalement, les diviseurs de 1

32

sont

1

;

2

;

3

;

4

;

6

;

11

;

12

;

22

;

33

;

44

;

66

132

Pour s'entraîner

Exercices

p. 156

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

C
Application à la détermination du $PGCD$ et du $PPCM$

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Propriété

Soient

m

n

deux entiers naturels supérieurs ou égaux à

2

. On suppose, quitte à utiliser des exposants nuls, que

m

n

peuvent s'écrire sous forme de produit de facteurs premiers de la manière suivante :

n = p_{1}^{α_{1}} \times p_{2}^{α_{2}} \times \dots \times p_{k}^{α_{k}}

m = p_{1}^{β_{1}} \times p_{2}^{β_{2}} \times \dots \times p_{k}^{β_{k}}

.
On a alors :

$PGCD (m; n) = p_{1}^{m i n (α_{1}; β_{1})} \times p_{2}^{m i n (α_{2}; β_{2})} \times \dots \times p_{k}^{m i n (α_{k}; β_{k})}$
$PPCM (m; n) = p_{1}^{m a x (α_{1}; β_{1})} \times p_{2}^{m a x (α_{2}; β_{2})} \times \dots \times p_{k}^{m a x (α_{k}; β_{k})}$

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

a

b

sont deux entiers non nuls, on appelle plus petit multiple commun de $a$ et de $b$ , et on note

PPCM (a; b)

, le plus petit des multiples communs positifs de

a

et de

b

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Démonstration

Voir exercice

p. 161.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Exemple

Les décompositions de

24

et de

84

en produit de facteurs premiers sont

24 = 2^{3} \times 3^{1} \times 7^{0}

84 = 2^{2} \times 3^{1} \times 7^{1}

.
Par conséquent,

PGCD (24; 84) = 2^{2} \times 3^{1} \times 7^{0} = 12

.
On a également

PPCM (24; 84) = 2^{3} \times 3^{1} \times 7^{1} = 168

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Remarque

En général, l'algorithme d'Euclide est plus efficace pour calculer le

PGCD

Page suivante

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

j'ai une idée !

Oups, une coquille

Ch. 1 Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2 Nombres complexes, point de vue géométrique

Ch. 3 Divisibilité dans Z

Ch. 4PGCD et applications

Ch. 5 Nombres premiers

Ch. 6Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7Suites et matrices

Cahier d'algorithmique et de programmation

Décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers

AExistence et unicité de la décomposition

Énoncé

Méthode

BApplication à la détermination des diviseurs d'un entier

Méthode

CApplication à la détermination du PGCD et du PPCM

Remarque

Remarque

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique

Ch. 3
Divisibilité dans Z

Ch. 4
PGCD et applications

Ch. 5
Nombres premiers

Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7
Suites et matrices

A
Existence et unicité de la décomposition

B
Application à la détermination des diviseurs d'un entier

C
Application à la détermination du $PGCD$ et du $PPCM$