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2. Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers
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COURS 2


2
Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers




A
Existence et unicité de la décomposition


Propriété

Tout entier nn supérieur ou égal à 22 se décompose en produit de facteurs premiers.
Plus précisément, si n2n \geqslant 2, il existe des nombres premiers p1p_1p2p_2, … , pkp_k et des entiers naturels non nuls α1\alpha_1, α2\alpha_2, … , αk\alpha_k tels que n=p1α1×p2α2××pkαkn=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}.
Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

DÉMONSTRATION

Voir exercices 
59
et
64
p. 160
.

Application et méthode - 2

Énoncé

Décomposer l’entier 132132 en produit de facteurs premiers.

Méthode

  • On cherche un diviseur premier du nombre en question, en s’aidant éventuellement des règles de divisibilité.
  • On effectue alors la division du nombre par le facteur premier et on recommence l’opération avec le quotient obtenu.

Solution


132132 est divisible par 22 car 132=2×66132=2 \times 66.
6666 est lui‑même divisible par 22, on a donc : 132=22×33132=2^{2} \times 33.
Finalement, comme 3333 est divisible par 33, on peut écrire 132=22×3×11132=2^{2} \times 3 \times 11, qui est la décomposition en produit de facteurs premiers de 132132.

Pour s'entraîner : exercices 26 et 27 p. 156

B
Application à la détermination des diviseurs d’un entier


Propriétés

Soit nn un entier naturel supérieur ou égal à 22 dont la décomposition en produit de facteurs premiers est la suivante : n=p1α1×p2α2××pkαkn=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}. Alors :
  • les diviseurs de nn sont exactement les nombres de la forme :
    p1β1×p2β2××pkβkp_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}}, avec 0βiαi0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}.
  • le nombre de diviseurs de nn est égal à (α1+1)×(α2+1)××(αk+1)\left(\alpha_{1}+1\right) \times\left(\alpha_{2}+1\right) \times \ldots \times\left(\alpha_{k}+1\right).

DÉMONSTRATION

Voir exercice 
65
p. 160
.

Application et méthode - 3

Énoncé

Déterminer l’ensemble des diviseurs de 132132.

Méthode

Pour déterminer les diviseurs d’un nombre :
  • on commence par chercher la décomposition de ce nombre en produit de facteurs premiers ;
  • l’énumération des diviseurs se fait alors de manière méthodique, en listant toutes les combinaisons de puissances possibles.
    On peut, pour cela, utiliser un arbre.

Solution


132=22×3×11132=2^{2} \times 3 \times 11 donc ses diviseurs sont de la forme 2β1×3β2×11β32^{\beta_{1}} \times 3^{\beta_{2}} \times 11^{\beta_{3}}, avec 0β120 \leqslant \beta_{1} \leqslant 2, 0β210 \leqslant \beta_{2} \leqslant 1 et 0β310 \leqslant \beta_{3} \leqslant 1.
L’arbre suivant permet de déterminer toutes les combinaisons de puissances possibles.

maths expertes - chapitre 5 - Nombre premiers - Cours - Inverse et quotient

Finalement, les diviseurs de 13232 sont 11 ; 22 ; 33 ; 44 ; 66 ; 1111 ; 1212 ; 2222 ; 3333 ; 4444 ; 6666 et 132132.

Pour s'entraîner : exercices 28 et 29 p. 156

C
Application à la détermination du PGCD\mathbf{PGCD} et du PPCM\mathbf{PPCM}


Propriété

Soient mm et nn deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 22. On suppose, quitte à utiliser des exposants nuls, que mm et nn peuvent s’écrire sous forme de produit de facteurs premiers de la manière suivante :
n=p1α1×p2α2××pkαkn=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}} et m=p1β1×p2β2××pkβkm=p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}}.

On a alors :
  • PGCD(m ; n)=p1min(α1 ; β1)×p2min(α2 ; β2)××pkmin(αk ; βk)\mathrm{PGCD}(m ; n)=p_{1}^{\min \left(\alpha_{1} ; \beta_{1}\right)} \times p_{2}^{\min \left(\alpha_{2} ; \beta_{2}\right)} \times \ldots \times p_{k}^{\min \left(\alpha_{k} ; \beta_{k}\right)}
  • PPCM(m ; n)=p1max(α1 ; β1)×p2max(α2 ; β2)××pkmax(αk ; βk)\mathrm{PPCM}(m ; n)=p_{1}^{\max \left(\alpha_{1} ; \beta_{1}\right)} \times p_{2}^{\max \left(\alpha_{2} ; \beta_{2}\right)} \times \ldots \times p_{k}^{\max \left(\alpha_{k} ; \beta_{k}\right)}

Remarque

Si aa et bb sont deux entiers non nuls, on appelle plus petit multiple commun de a\boldsymbol{a} et de b\boldsymbol{b}, et on note PPCM(a ; b)\operatorname{PPCM}(a ; b), le plus petit des multiples communs positifs de aa et de bb.

DÉMONSTRATION

Voir exercice 
67
p. 161
.

Exemple

Les décompositions de 2424 et de 8484 en produit de facteurs premiers sont 24=23×31×7024=2^{3} \times 3^{1} \times 7^{0} et 84=22×31×7184=2^{2} \times 3^{1} \times 7^{1}.
Par conséquent, PGCD(24;84)=22×31×70=12\mathrm{PGCD}(24\,; 84)=2^{2} \times 3^{1} \times 7^{0}=12.
On a également PPCM(24;84)=23×31×71=168\operatorname{PPCM}(24\,; 84)=2^{3} \times 3^{1} \times 7^{1}=168.

Remarque

En général, l’algorithme d’Euclide est plus efficace pour calculer le PGCD\mathrm{PGCD}.
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