2. Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers
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COURS 2
2
Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers
A
Existence et unicité de la décomposition
Propriété
Tout entier n supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers.
Plus précisément, si n⩾2, il existe des nombres premiers p1, p2, … , pk et des entiers naturels non nuls α1, α2, … , αk tels que n=p1α1×p2α2×…×pkαk.
Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.
Décomposer l’entier 132 en produit de facteurs premiers.
Méthode
On cherche un diviseur premier du nombre en question, en s’aidant éventuellement des règles de divisibilité.
On effectue alors la division du nombre par le facteur premier et on recommence l’opération avec le quotient obtenu.
Solution
132 est divisible par 2 car 132=2×66.
66 est lui‑même divisible par 2, on a donc : 132=22×33.
Finalement, comme 33 est divisible par 3, on peut écrire 132=22×3×11, qui est la décomposition en produit de facteurs premiers de 132.
Application à la détermination des diviseurs d’un entier
Propriétés
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 dont la décomposition en produit de facteurs premiers est la suivante : n=p1α1×p2α2×…×pkαk. Alors :
les diviseurs de n sont exactement les nombres de la forme :
p1β1×p2β2×…×pkβk, avec 0⩽βi⩽αi.
le nombre de diviseurs de n est égal à (α1+1)×(α2+1)×…×(αk+1).
on commence par chercher la décomposition de ce nombre en produit de facteurs premiers ;
l’énumération des diviseurs se fait alors de manière méthodique, en listant toutes les combinaisons de puissances possibles.
On peut, pour cela, utiliser un arbre.
Solution
132=22×3×11 donc ses diviseurs sont de la forme 2β1×3β2×11β3, avec 0⩽β1⩽2, 0⩽β2⩽1 et 0⩽β3⩽1.
L’arbre suivant permet de déterminer toutes les combinaisons de puissances possibles.
Finalement, les diviseurs de 132 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 11 ; 12 ; 22 ; 33 ; 44 ; 66 et 132.
Soient m et n deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. On suppose, quitte à utiliser des exposants nuls, que m et n peuvent s’écrire sous forme de produit de facteurs premiers de la manière suivante :
n=p1α1×p2α2×…×pkαk et m=p1β1×p2β2×…×pkβk.
Si a et b sont deux entiers non nuls, on appelle plus petit multiple commun de a et de b, et on note PPCM(a;b), le plus petit des multiples communs positifs de a et de b.
Les décompositions de 24 et de 84 en produit de facteurs premiers sont 24=23×31×70 et 84=22×31×71.
Par conséquent, PGCD(24;84)=22×31×70=12.
On a également PPCM(24;84)=23×31×71=168.
Remarque
En général, l’algorithme d’Euclide est plus efficace pour calculer le PGCD.
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