2. Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers
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COURS 2
2
Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers
A
Existence et unicité de la décomposition
Propriété
Tout entier n supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers.
Plus précisément, si n⩾2, il existe des nombres premiers p1, p2, … , pk et des entiers naturels non nuls α1, α2, … , αk tels que n=p1α1×p2α2×…×pkαk.
Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.
Décomposer l’entier 132 en produit de facteurs premiers.
B
Application à la détermination des diviseurs d’un entier
Propriétés
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 dont la décomposition en produit de facteurs premiers est la suivante : n=p1α1×p2α2×…×pkαk. Alors :
les diviseurs de n sont exactement les nombres de la forme :
p1β1×p2β2×…×pkβk, avec 0⩽βi⩽αi.
le nombre de diviseurs de n est égal à (α1+1)×(α2+1)×…×(αk+1).
Soient m et n deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. On suppose, quitte à utiliser des exposants nuls, que m et n peuvent s’écrire sous forme de produit de facteurs premiers de la manière suivante :
n=p1α1×p2α2×…×pkαk et m=p1β1×p2β2×…×pkβk.
Si a et b sont deux entiers non nuls, on appelle plus petit multiple commun de a et de b, et on note PPCM(a;b), le plus petit des multiples communs positifs de a et de b.
Les décompositions de 24 et de 84 en produit de facteurs premiers sont 24=23×31×70 et 84=22×31×71.
Par conséquent, PGCD(24;84)=22×31×70=12.
On a également PPCM(24;84)=23×31×71=168.
Remarque
En général, l’algorithme d’Euclide est plus efficace pour calculer le PGCD.
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