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Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers

Propriété

Tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$ se décompose en produit de facteurs premiers.
Plus précisément, si $n⩾2$, il existe des nombres premiers $p_1$, $p_2$, … , $p_k$ et des entiers naturels non nuls ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, … , ${\alpha }_k$ tels que $n=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_k^{{\alpha }_k}$.
Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

Propriétés

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ dont la décomposition en produit de facteurs premiers est la suivante : $n=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_k^{{\alpha }_k}$. Alors :

• les diviseurs de $n$ sont exactement les nombres de la forme : $p_1^{{\beta }_1}\times p_2^{{\beta }_2}\times \dots \times p_k^{{\beta }_k}$, avec $0⩽{\beta }_i⩽{\alpha }_i$.
• le nombre de diviseurs de $n$ est égal à $\left({\alpha }_1+1\right)\times \left({\alpha }_2+1\right)\times \dots \times \left({\alpha }_k+1\right)$.

Propriété

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à $2$. On suppose, quitte à utiliser des exposants nuls, que $m$ et $n$ peuvent s’écrire sous forme de produit de facteurs premiers de la manière suivante : $n=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_k^{{\alpha }_k}$ et $m=p_1^{{\beta }_1}\times p_2^{{\beta }_2}\times \dots \times p_k^{{\beta }_k}$.
On a alors :

• $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(m;n)=p_1^{\min \left({\alpha }_1;{\beta }_1\right)}\times p_2^{\min \left({\alpha }_2;{\beta }_2\right)}\times \dots \times p_k^{\min \left({\alpha }_k;{\beta }_k\right)}$
• $\mathrm{P}\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{M}(m;n)=p_1^{\max \left({\alpha }_1;{\beta }_1\right)}\times p_2^{\max \left({\alpha }_2;{\beta }_2\right)}\times \dots \times p_k^{\max \left({\alpha }_k;{\beta }_k\right)}$