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2. Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers
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COURS 2


2
Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers




A
Existence et unicité de la décomposition


Propriété

Tout entier supérieur ou égal à se décompose en produit de facteurs premiers.
Plus précisément, si , il existe des nombres premiers , … ,  et des entiers naturels non nuls , , … , tels que .
Cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près.

DÉMONSTRATION

Voir exercices 
59
et
64
p. 160
.

Application et méthode - 2

Énoncé

Décomposer l’entier en produit de facteurs premiers.

Méthode

  • On cherche un diviseur premier du nombre en question, en s’aidant éventuellement des règles de divisibilité.
  • On effectue alors la division du nombre par le facteur premier et on recommence l’opération avec le quotient obtenu.

Solution


est divisible par car .
est lui‑même divisible par , on a donc : .
Finalement, comme est divisible par , on peut écrire , qui est la décomposition en produit de facteurs premiers de .

Pour s'entraîner : exercices 26 et 27 p. 156

B
Application à la détermination des diviseurs d’un entier


Propriétés

Soit un entier naturel supérieur ou égal à dont la décomposition en produit de facteurs premiers est la suivante : . Alors :
  • les diviseurs de sont exactement les nombres de la forme :
    , avec .
  • le nombre de diviseurs de est égal à .

DÉMONSTRATION

Voir exercice 
65
p. 160
.

Application et méthode - 3

Énoncé

Déterminer l’ensemble des diviseurs de .

Méthode

Pour déterminer les diviseurs d’un nombre :
  • on commence par chercher la décomposition de ce nombre en produit de facteurs premiers ;
  • l’énumération des diviseurs se fait alors de manière méthodique, en listant toutes les combinaisons de puissances possibles.
    On peut, pour cela, utiliser un arbre.

Solution


donc ses diviseurs sont de la forme , avec , et .
L’arbre suivant permet de déterminer toutes les combinaisons de puissances possibles.

maths expertes - chapitre 5 - Nombre premiers - Cours - Inverse et quotient

Finalement, les diviseurs de 1 sont  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; et .

Pour s'entraîner : exercices 28 et 29 p. 156

C
Application à la détermination du et du


Propriété

Soient et deux entiers naturels supérieurs ou égaux à . On suppose, quitte à utiliser des exposants nuls, que et peuvent s’écrire sous forme de produit de facteurs premiers de la manière suivante :
et .

On a alors :

Remarque

Si et sont deux entiers non nuls, on appelle plus petit multiple commun de et de , et on note , le plus petit des multiples communs positifs de et de .

DÉMONSTRATION

Voir exercice 
67
p. 161
.

Exemple

Les décompositions de et de en produit de facteurs premiers sont et .
Par conséquent, .
On a également .

Remarque

En général, l’algorithme d’Euclide est plus efficace pour calculer le .
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