Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes

Ch. 1

Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2

Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3

Divisibilité dans Z

Ch. 4

PGCD et applications

Ch. 5

Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6

Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7

Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 5

Cours 2

Décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers

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A
Existence et unicité de la décomposition

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Propriété

Tout entier

n

supérieur ou égal à

2

se décompose en produit de facteurs premiers.
Plus précisément, si

n ⩾ 2

, il existe des nombres premiers

p_{1}

p_{2}

, … ,

p_{k}

et des entiers naturels non nuls

α_{1}

α_{2}

, … ,

α_{k}

tels que

n = p_{1}^{α_{1}} \times p_{2}^{α_{2}} \times \dots \times p_{k}^{α_{k}}

.
Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.

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Démonstration

Voir exercices

64 p. 160

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Application et méthode - 2

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Énoncé

Décomposer l'entier

132

en produit de facteurs premiers.

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Méthode

On cherche un diviseur premier du nombre en question, en s'aidant éventuellement des règles de divisibilité.
On effectue alors la division du nombre par le facteur premier et on recommence l'opération avec le quotient obtenu.

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Solution

132

est divisible par

2

car

132 = 2 \times 66

66

est lui‑même divisible par

2

, on a donc :

132 = 2^{2} \times 33

.
Finalement, comme

33

est divisible par

3

, on peut écrire

132 = 2^{2} \times 3 \times 11

, qui est la décomposition en produit de facteurs premiers de

132

Pour s'entraîner

Exercices

p. 156

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B
Application à la détermination des diviseurs d'un entier

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Propriétés

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à

2

dont la décomposition en produit de facteurs premiers est la suivante :

n = p_{1}^{α_{1}} \times p_{2}^{α_{2}} \times \dots \times p_{k}^{α_{k}}

. Alors :

les diviseurs de $n$ sont exactement les nombres de la forme : $p_{1}^{β_{1}} \times p_{2}^{β_{2}} \times \dots \times p_{k}^{β_{k}}$ , avec $0 ⩽ β_{i} ⩽ α_{i}$ .
le nombre de diviseurs de $n$ est égal à $(α_{1} + 1) \times (α_{2} + 1) \times \dots \times (α_{k} + 1)$ .

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Démonstration

Voir exercice

p. 160.

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Application et méthode - 3

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Énoncé

Déterminer l'ensemble des diviseurs de

132 .

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Méthode

Pour déterminer les diviseurs d'un nombre :

on commence par chercher la décomposition de ce nombre en produit de facteurs premiers ;
l'énumération des diviseurs se fait alors de manière méthodique, en listant toutes les combinaisons de puissances possibles.
On peut, pour cela, utiliser un arbre.

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Solution

132 = 2^{2} \times 3 \times 11

donc ses diviseurs sont de la forme

2^{β_{1}} \times 3^{β_{2}} \times 1 1^{β_{3}}

, avec

0 ⩽ β_{1} ⩽ 2

0 ⩽ β_{2} ⩽ 1

0 ⩽ β_{3} ⩽ 1

.
L'arbre suivant permet de déterminer toutes les combinaisons de puissances possibles.

maths expertes - chapitre 5 - Nombre premiers - Cours - Inverse et quotient

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Finalement, les diviseurs de 1

32

sont

1

;

2

;

3

;

4

;

6

;

11

;

12

;

22

;

33

;

44

;

66

132

Pour s'entraîner

Exercices

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C
Application à la détermination du $PGCD$ et du $PPCM$

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Propriété

Soient

m

n

deux entiers naturels supérieurs ou égaux à

2

. On suppose, quitte à utiliser des exposants nuls, que

m

n

peuvent s'écrire sous forme de produit de facteurs premiers de la manière suivante :

n = p_{1}^{α_{1}} \times p_{2}^{α_{2}} \times \dots \times p_{k}^{α_{k}}

m = p_{1}^{β_{1}} \times p_{2}^{β_{2}} \times \dots \times p_{k}^{β_{k}}

.
On a alors :

$P G C D (m; n) = p_{1}^{m i n (α_{1}; β_{1})} \times p_{2}^{m i n (α_{2}; β_{2})} \times \dots \times p_{k}^{m i n (α_{k}; β_{k})}$
$P P C M (m; n) = p_{1}^{m a x (α_{1}; β_{1})} \times p_{2}^{m a x (α_{2}; β_{2})} \times \dots \times p_{k}^{m a x (α_{k}; β_{k})}$

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Remarque

a

b

sont deux entiers non nuls, on appelle plus petit multiple commun de $a$ et de $b$ , et on note

P P C M (a; b)

, le plus petit des multiples communs positifs de

a

et de

b

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Démonstration

Voir exercice

p. 161.

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Exemple

Les décompositions de

24

et de

84

en produit de facteurs premiers sont

24 = 2^{3} \times 3^{1} \times 7^{0}

84 = 2^{2} \times 3^{1} \times 7^{1}

.
Par conséquent,

P G C D (24; 84) = 2^{2} \times 3^{1} \times 7^{0} = 12

.
On a également

P P C M (24; 84) = 2^{3} \times 3^{1} \times 7^{1} = 168

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Remarque

En général, l'algorithme d'Euclide est plus efficace pour calculer le

P G C D

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