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1Les polynômes à coefficients dans \mathbb{R}
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Définitions
1. On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans \mathbb{R} toute suite de nombres réels nulle à partir d'un certain rang. Pour tout entier naturel k, on note \mathrm{X}^{k} la suite \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} telle que a_{k}=1 et, pour tout n \neq k, a_{n}=0. L'ensemble des polynômes à coefficients dans \mathbb{R} est noté \mathbb{R}[\mathrm{X}].
2. Soient \mathrm{A}=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} et \mathrm{B}=\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} deux polynômes à coefficients dans \mathbb{R}.
On définit la somme de \mathrm{A} et \mathrm{B}, notée \mathrm{A} + \mathrm{B}, comme étant la suite \left(a_{n}+b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}.
On définit le produit de \mathrm{A} et \mathrm{B}, noté \mathrm{A} \times \mathrm{B}, comme étant la suite \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} où, pour tout j \in \mathbb{N}, c_{j}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{j} a_{k} b_{j-k}.
3. Si \mathrm{A}=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} est un polynôme non nul, on pose d=\max \left\{n \in \mathbb{N} \,|\, a_{n} \neq 0\right\}.
Le nombre d est appelé degré de \mathbf{A} et est noté \operatorname{deg}(\mathrm{A}). Par convention, le polynôme nul a pour degré -\infty.
4. \mathrm{A}=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} est un polynôme non nul de degré d ; on peut exprimer \mathrm{A} de la façon suivante : \mathrm{A}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{d} a_{k} \mathrm{X}^{k}.
2. Soient \mathrm{A}=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} et \mathrm{B}=\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} deux polynômes à coefficients dans \mathbb{R}.
On définit la somme de \mathrm{A} et \mathrm{B}, notée \mathrm{A} + \mathrm{B}, comme étant la suite \left(a_{n}+b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}.
On définit le produit de \mathrm{A} et \mathrm{B}, noté \mathrm{A} \times \mathrm{B}, comme étant la suite \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} où, pour tout j \in \mathbb{N}, c_{j}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{j} a_{k} b_{j-k}.
3. Si \mathrm{A}=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} est un polynôme non nul, on pose d=\max \left\{n \in \mathbb{N} \,|\, a_{n} \neq 0\right\}.
Le nombre d est appelé degré de \mathbf{A} et est noté \operatorname{deg}(\mathrm{A}). Par convention, le polynôme nul a pour degré -\infty.
4. \mathrm{A}=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} est un polynôme non nul de degré d ; on peut exprimer \mathrm{A} de la façon suivante : \mathrm{A}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{d} a_{k} \mathrm{X}^{k}.
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Exemple
Le polynôme (1\,;-2\,; 4\,; 0\,;\,\ldots\,; 0\,;\,\ldots) correspond à 1-2 \mathrm{X}+4 \mathrm{X}^{2}. Il s'agit d'un polynôme de degré 2.
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Exercices
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1
1. On considère les polynômes \mathrm{A}=(-1\,; 3\,;-5\,; 2\,; 0\,; 0\,;\,\dots) et \mathrm{B}=(1\,; 0\,; 1\,; 0\,; 0\,;\,\ldots).
a. Déterminer le polynôme \mathrm{C}=\mathrm{A}+\mathrm{B}.
b. Déterminer le polynôme \mathrm{D}=\mathrm{A} \times \mathrm{B}.
2. a. Justifier que l'on peut écrire \mathrm{A}=-1+3 \mathrm{X}-5 \mathrm{X}^{2}+2 \mathrm{X}^{3}.
b. Exprimer les polynômes \mathrm{B}, \mathrm{C} et \mathrm{D} en fonction de \mathrm{X}.
a. Déterminer le polynôme \mathrm{C}=\mathrm{A}+\mathrm{B}.
b. Déterminer le polynôme \mathrm{D}=\mathrm{A} \times \mathrm{B}.
2. a. Justifier que l'on peut écrire \mathrm{A}=-1+3 \mathrm{X}-5 \mathrm{X}^{2}+2 \mathrm{X}^{3}.
b. Exprimer les polynômes \mathrm{B}, \mathrm{C} et \mathrm{D} en fonction de \mathrm{X}.
3. a. Soient n et p deux entiers naturels non nuls et \lambda et \mu deux réels. En utilisant les définitions d'un polynôme et du produit de deux polynômes, montrer que \lambda \mathrm{X}^{n} \times \mu \mathrm{X}^{p}=\lambda \mu \mathrm{X}^{n+p}.
b. Soient \text{P}, \text{Q} et \text{R} trois polynômes à coefficients dans \mathbb{R}.
Montrer que (\mathrm{P}+\mathrm{Q}) \times \mathrm{R}=\mathrm{P} \times \mathrm{R}+\mathrm{Q} \times \mathrm{R}.
4. À l'aide de la question 3. et des notations pour \text{A} et \text{B} introduites à la question 2., retrouver l'expression du polynôme \text{D} en fonction de \text{X}.
b. Soient \text{P}, \text{Q} et \text{R} trois polynômes à coefficients dans \mathbb{R}.
Montrer que (\mathrm{P}+\mathrm{Q}) \times \mathrm{R}=\mathrm{P} \times \mathrm{R}+\mathrm{Q} \times \mathrm{R}.
4. À l'aide de la question 3. et des notations pour \text{A} et \text{B} introduites à la question 2., retrouver l'expression du polynôme \text{D} en fonction de \text{X}.
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2
Dans la suite, on admet que si \text{P} et \text{Q} sont deux polynômes quelconques, \operatorname{deg}(\mathrm{P} \times \mathrm{Q})=\operatorname{deg}(\mathrm{P})+\operatorname{deg}(\mathrm{Q}).
Soient \text{P} et \text{Q} deux polynômes quelconques vérifiant \mathrm{P} \times \mathrm{Q}=0. On suppose par l'absurde que \mathrm{P} \neq 0 et \mathrm{Q} \neq 0. 1. Que peut‑on dire du degré de \mathrm{P} \times \mathrm{Q} ?
2. Exprimer le degré de \text{P} en fonction du degré de \text{Q}.
3. En déduire que les polynômes \text{P} et \text{Q} sont des polynômes constants.
4. En déduire l'ensemble des polynômes \text{P} et \text{Q} tels que \mathrm{P} \times \mathrm{Q}=0.
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3
On considère les polynômes \mathrm{P}=1+\mathrm{X}+\mathrm{X}^{2}+\mathrm{X}^{3}, \mathrm{Q}=-5+4 \mathrm{X} et \mathrm{R}=1-\mathrm{X}^{3}. 1. Déterminer le degré de ces polynômes.
2. a. Déterminer l'expression du polynôme \mathrm{P} \times \mathrm{Q}, puis l'expression du polynôme \mathrm{P} \times \mathrm{R}.
b. Préciser le degré de ces polynômes.
c. Que peut‑on conjecturer concernant le degré de \mathrm{P} \times \mathrm{Q} si \mathrm{P} et \mathrm{Q} sont quelconques ?
d. Démontrer cette conjecture.
3. Peut‑on dire que \operatorname{deg}(\mathrm{P}+\mathrm{Q})=\max (\operatorname{deg}(\mathrm{P})\,; \operatorname{deg}(\mathrm{Q})) ? Justifier.
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4
Soient \mathrm{P}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} a_{k} \mathrm{X}^{k} et \text{Q} deux polynômes à coefficients réels.
On définit \mathrm{P} \circ \mathrm{Q} comme étant le polynôme \mathrm{P}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} a_{k} \mathrm{Q}^{k}.
1. On suppose que \mathrm{P}=1+\mathrm{X}+\mathrm{X}^{2} et \mathrm{Q}=\mathrm{X}^{3}+2.
a. Déterminer le polynôme \mathrm{P} \circ \mathrm{Q}.
b. Que peut‑on dire du degré de \mathrm{P} \circ \mathrm{Q} ? Justifier.
a. Déterminer le polynôme \mathrm{P} \circ \mathrm{Q}.
b. Que peut‑on dire du degré de \mathrm{P} \circ \mathrm{Q} ? Justifier.
2. Démontrer que \operatorname{deg}(\mathrm{P} \circ \mathrm{P})=\operatorname{deg}(\mathrm{P})^{2}.
3. Soit \text{P} un polynôme tel que \mathrm{P} \circ \mathrm{P}=\mathrm{P}.
a. Montrer que \operatorname{deg}(\mathrm{P})=0 ou \operatorname{deg}(\mathrm{P})=1.
b. En déduire l'ensemble des polynômes \text{P} qui vérifient \mathrm{P} \circ \mathrm{P}=\mathrm{P}.
3. Soit \text{P} un polynôme tel que \mathrm{P} \circ \mathrm{P}=\mathrm{P}.
a. Montrer que \operatorname{deg}(\mathrm{P})=0 ou \operatorname{deg}(\mathrm{P})=1.
b. En déduire l'ensemble des polynômes \text{P} qui vérifient \mathrm{P} \circ \mathrm{P}=\mathrm{P}.
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5
Déterminer tous les polynômes \text{P} à coefficients réels tels que \mathrm{P}\left(\mathrm{X}^{2}\right)=\left(\mathrm{X}^{2}+1\right) \mathrm{P}(\mathrm{X}).
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