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Les polynômes à coefficients dans $\mathbb{R}$

1. On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans $\mathbb{R}$ toute suite de nombres réels nulle à partir d'un certain rang. Pour tout entier naturel $k$, on note ${\mathrm{X}}^k$ la suite ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ telle que $a_k=1$ et, pour tout $n\ne k$, $a_n=0$. L'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{R}$ est noté $\mathbb{R}[\mathrm{X}]$.
2. Soient $\mathrm{A}={\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ et $\mathrm{B}={\left(b_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ deux polynômes à coefficients dans $\mathbb{R}$.
On définit la somme de $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$, notée $\mathrm{A}+\mathrm{B}$, comme étant la suite ${\left(a_n+b_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$.
On définit le produit de $\mathrm{A}$ et $\mathrm{B}$, noté $\mathrm{A}\times \mathrm{B}$, comme étant la suite ${\left(c_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ où, pour tout $j\in \mathbb{N}$, $c_j=\sum _{k=0}^j{a}_k{b}_{j-k}$.
3. Si $\mathrm{A}={\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est un polynôme non nul, on pose $d=\max \left\{n\in \mathbb{N}|a_n\ne 0\right\}$.
Le nombre $d$ est appelé degré de $\mathbf{A}$ et est noté $\mathrm{deg}(\mathrm{A})$. Par convention, le polynôme nul a pour degré $-\infty$.
4. $\mathrm{A}={\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ est un polynôme non nul de degré $d$ ; on peut exprimer $\mathrm{A}$ de la façon suivante : $\mathrm{A}=\sum _{k=0}^d{a}_k{\mathrm{X}}^k$.

Le polynôme $(1;-2;4;0;\dots ;0;\dots )$ correspond à $1-2\mathrm{X}+4{\mathrm{X}}^2$. Il s'agit d'un polynôme de degré $2$.

Déterminer tous les polynômes $\text{P}$ à coefficients réels tels que $\mathrm{P}\left({\mathrm{X}}^2\right)=\left({\mathrm{X}}^2+1\right)\mathrm{P}(\mathrm{X})$.