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Vers le supérieur - Arithmétique
P.166-169
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Vers le supérieur


1
Les polynômes à coefficients dans R\mathbb{R}





Définitions
1. On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans R\mathbb{R} toute suite de nombres réels nulle à partir d’un certain rang. Pour tout entier naturel kk, on note Xk\mathrm{X}^{k} la suite (an)n∈N\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} telle que ak=1a_{k}=1 et, pour tout n≠kn \neq k, an=0a_{n}=0. L’ensemble des polynômes à coefficients dans R\mathbb{R} est noté R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}].

2. Soient A=(an)n∈N\mathrm{A}=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} et B=(bn)n∈N\mathrm{B}=\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} deux polynômes à coefficients dans R\mathbb{R}.
On définit la somme de A\mathrm{A} et B\mathrm{B}, notée A+B\mathrm{A} + \mathrm{B}, comme étant la suite (an+bn)n∈N\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}.
On définit le produit de A\mathrm{A} et B\mathrm{B}, noté A×B\mathrm{A} \times \mathrm{B}, comme étant la suite (cn)n∈N\left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} où, pour tout j∈Nj \in \mathbb{N}, cj=∑k=0jakbj−kc_{j}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{j} a_{k} b_{j-k}.

3. Si A=(an)n∈N\mathrm{A}=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} est un polynôme non nul, on pose d=max⁡{n∈N ∣ an≠0}d=\max \left\{n \in \mathbb{N} \,|\, a_{n} \neq 0\right\}.
Le nombre dd est appelé degré de A\mathbf{A} et est noté deg⁡(A)\operatorname{deg}(\mathrm{A}). Par convention, le polynôme nul a pour degré −∞-\infty.

4. A=(an)n∈N\mathrm{A}=\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} est un polynôme non nul de degré dd ; on peut exprimer A\mathrm{A} de la façon suivante : A=∑k=0dakXk\mathrm{A}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{d} a_{k} \mathrm{X}^{k}.

Exemple

Le polynôme (1 ;−2 ;4 ;0 ; … ;0 ; …)(1\,;-2\,; 4\,; 0\,;\,\ldots\,; 0\,;\,\ldots) correspond à 1−2X+4X21-2 \mathrm{X}+4 \mathrm{X}^{2}. Il s’agit d’un polynôme de degré 22.

1

1. On considère les polynômes A=(−1 ;3 ;−5 ;2 ;0 ;0 ; … )\mathrm{A}=(-1\,; 3\,;-5\,; 2\,; 0\,; 0\,;\,\dots) et B=(1 ;0 ;1 ;0 ;0 ; …)\mathrm{B}=(1\,; 0\,; 1\,; 0\,; 0\,;\,\ldots).
a. Déterminer le polynôme C=A+B\mathrm{C}=\mathrm{A}+\mathrm{B}.


b. Déterminer le polynôme D=A×B\mathrm{D}=\mathrm{A} \times \mathrm{B}.


2. a. Justifier que l’on peut écrire A=−1+3X−5X2+2X3\mathrm{A}=-1+3 \mathrm{X}-5 \mathrm{X}^{2}+2 \mathrm{X}^{3}.


b. Exprimer les polynômes B\mathrm{B}, C\mathrm{C} et D\mathrm{D} en fonction de X\mathrm{X}.


3. a. Soient nn et pp deux entiers naturels non nuls et λ\lambda et μ\mu deux réels. En utilisant les définitions d’un polynôme et du produit de deux polynômes, montrer que λXn×μXp=λμXn+p\lambda \mathrm{X}^{n} \times \mu \mathrm{X}^{p}=\lambda \mu \mathrm{X}^{n+p}.


b. Soient P\text{P}, Q\text{Q} et R\text{R} trois polynômes à coefficients dans R\mathbb{R}.
Montrer que (P+Q)×R=P×R+Q×R(\mathrm{P}+\mathrm{Q}) \times \mathrm{R}=\mathrm{P} \times \mathrm{R}+\mathrm{Q} \times \mathrm{R}.


4. À l’aide de la question 3. et des notations pour A\text{A} et B\text{B} introduites à la question 2., retrouver l’expression du polynôme D\text{D} en fonction de X\text{X}.
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2

Dans la suite, on admet que si P\text{P} et Q\text{Q} sont deux polynômes quelconques, deg⁡(P×Q)=deg⁡(P)+deg⁡(Q)\operatorname{deg}(\mathrm{P} \times \mathrm{Q})=\operatorname{deg}(\mathrm{P})+\operatorname{deg}(\mathrm{Q}).
Soient P\text{P} et Q\text{Q} deux polynômes quelconques vérifiant P×Q=0\mathrm{P} \times \mathrm{Q}=0. On suppose par l’absurde que P≠0\mathrm{P} \neq 0 et Q≠0\mathrm{Q} \neq 0.

1. Que peut‑on dire du degré de P×Q\mathrm{P} \times \mathrm{Q} ?


2. Exprimer le degré de P\text{P} en fonction du degré de Q\text{Q}.


3. En déduire que les polynômes P\text{P} et Q\text{Q} sont des polynômes constants.


4. En déduire l’ensemble des polynômes P\text{P} et Q\text{Q} tels que P×Q=0\mathrm{P} \times \mathrm{Q}=0.
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3

On considère les polynômes P=1+X+X2+X3\mathrm{P}=1+\mathrm{X}+\mathrm{X}^{2}+\mathrm{X}^{3}, Q=−5+4X\mathrm{Q}=-5+4 \mathrm{X} et R=1−X3\mathrm{R}=1-\mathrm{X}^{3}.

1. Déterminer le degré de ces polynômes.


2. a. Déterminer l’expression du polynôme P×Q\mathrm{P} \times \mathrm{Q}, puis l’expression du polynôme P×R\mathrm{P} \times \mathrm{R}.


b. Préciser le degré de ces polynômes.


c. Que peut‑on conjecturer concernant le degré de P×Q\mathrm{P} \times \mathrm{Q} si P\mathrm{P} et Q\mathrm{Q} sont quelconques ?


d. Démontrer cette conjecture.


3. Peut‑on dire que deg⁡(P+Q)=max⁡(deg⁡(P) ;deg⁡(Q))\operatorname{deg}(\mathrm{P}+\mathrm{Q})=\max (\operatorname{deg}(\mathrm{P})\,; \operatorname{deg}(\mathrm{Q})) ? Justifier.
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4

Soient P=∑k=0nakXk\mathrm{P}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} a_{k} \mathrm{X}^{k} et Q\text{Q} deux polynômes à coefficients réels.
On définit P∘Q\mathrm{P} \circ \mathrm{Q} comme étant le polynôme P=∑k=0nakQk\mathrm{P}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} a_{k} \mathrm{Q}^{k}.

1. On suppose que P=1+X+X2\mathrm{P}=1+\mathrm{X}+\mathrm{X}^{2} et Q=X3+2\mathrm{Q}=\mathrm{X}^{3}+2.
a. Déterminer le polynôme P∘Q\mathrm{P} \circ \mathrm{Q}.


b. Que peut‑on dire du degré de P∘Q\mathrm{P} \circ \mathrm{Q} ? Justifier.


2. Démontrer que deg⁡(P∘P)=deg⁡(P)2\operatorname{deg}(\mathrm{P} \circ \mathrm{P})=\operatorname{deg}(\mathrm{P})^{2}.


3. Soit P\text{P} un polynôme tel que P∘P=P\mathrm{P} \circ \mathrm{P}=\mathrm{P}.
a. Montrer que deg⁡(P)=0\operatorname{deg}(\mathrm{P})=0 ou deg⁡(P)=1\operatorname{deg}(\mathrm{P})=1.


b. En déduire l’ensemble des polynômes P\text{P} qui vérifient P∘P=P\mathrm{P} \circ \mathrm{P}=\mathrm{P}.
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5

Déterminer tous les polynômes P\text{P} à coefficients réels tels que P(X2)=(X2+1)P(X)\mathrm{P}\left(\mathrm{X}^{2}\right)=\left(\mathrm{X}^{2}+1\right) \mathrm{P}(\mathrm{X}).
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Vers le supérieur


2
Divisibilité dans R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}]





Définitions
1. Soient A\text{A} et B\text{B} deux polynômes de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}].
On dit que A\text{A} divise B\text{B} lorsqu’il existe un polynôme C\text{C} de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}] tel que B=AC\mathrm{B}=\mathrm{AC}.

2. Division euclidienne de deux polynômes :
Pour tous A\text{A} et B\text{B} de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}], avec B\text{B} non nul, il existe deux polynômes uniques Q\text{Q} et R\text{R} de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}] tels que A=BQ+R\mathrm{A}=\mathrm{BQ}+\mathrm{R}, avec deg⁡(R)<deg⁡(B)\operatorname{deg}(\mathrm{R})\lt\operatorname{deg}(\mathrm{B}).
On dit alors que Q\text{Q} est le quotient et R\text{R} le reste de la division euclidienne de A\text{A} par B\text{B}.

3. Pour deux polynômes A\text{A} et B\text{B}, si A\text{A} divise B\text{B} et B\text{B} divise A\text{A}, on dit que A\text{A} et B\text{B} sont associés.

4. On dit que deux polynômes A\text{A} et B\text{B} sont premiers entre eux si les seuls diviseurs communs à A\text{A} et à B\text{B} sont les polynômes de degré 00 (donc les réels non nuls).

6

On considère le polynôme P=X3−4X2−16X+24\mathrm{P}=\mathrm{X}^{3}-4 \mathrm{X}^{2}-16 \mathrm{X}+24.
Peut‑on trouver trois réels aa, bb et cc tels que :
P=(aX2+bX+c)(X−6)\mathrm{P}=\left(a \mathrm{X}^{2}+b \mathrm{X}+c\right)(\mathrm{X}-6) ?
Que peut‑on en déduire ?
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7

Soient deux polynômes non nuls A\text{A} et B\text{B}.

1. On suppose dans cette question qu’il existe un réel non nul λ\lambda tel que B=λA\mathrm{B}=\lambda \mathrm{A}. Justifier que A\text{A} et B\text{B} sont associés.


2. On suppose que A\text{A} divise B\text{B}. Comparer deg⁡(A)\operatorname{deg}(\mathrm{A}) et deg⁡(B)\operatorname{deg}(\mathrm{B}).


3. On suppose que A\text{A} divise B\text{B} et que B\text{B} divise A\text{A}.
a. Montrer que deg⁡(A)=deg⁡(B)\operatorname{deg}(\mathrm{A})=\operatorname{deg}(\mathrm{B}).


b. Montrer qu’il existe un réel non nul λ\lambda tel que A=λB\mathrm{A}=\lambda \mathrm{B}.
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8

On considère les polynômes A=3X3+17X2+5X−25\mathrm{A}=3 \mathrm{X}^{3}+17 \mathrm{X}^{2}+5 \mathrm{X}-25 et B=X2+4X−5\mathrm{B}=\mathrm{X}^{2}+4 \mathrm{X}-5.

1. Déterminer les valeurs α\alpha telles que B(α)=0\mathrm{B}(\alpha)=0.


On note S\mathcal{S} l’ensemble de ces valeurs.

2. Soit α∈S\alpha \in \mathcal{S}. Calculer A(α)\mathrm{A}(\alpha).


3. On note Q\text{Q} et R\text{R} respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de A\text{A} par B\text{B}.
a. Justifier qu’il existe deux réels aa et bb tels que R=aX+b\mathrm{R}=a \mathrm{X}+b.


b. Montrer que a=b=0a=b=0. Que peut‑on en déduire ?
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9

On considère les polynômes A=X4+2\mathrm{A}=\mathrm{X}^{4}+2 et B=X2+3X−10\mathrm{B}=\mathrm{X}^{2}+3 \mathrm{X}-10.

1. On note respectivement Q\text{Q} et R\text{R} le quotient et le reste dans la division euclidienne de A\text{A} par B\text{B}.
Déterminer le degré de R\text{R}.


2. Déterminer les valeurs α\alpha telles que B(α)=0\mathrm{B}(\alpha)=0.


3. En déduire les polynômes Q\text{Q} et R\text{R}.
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10

Soient P\text{P} un polynôme de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}] et aa un nombre réel.

1. On suppose que X−a\mathrm{X}-a divise P\text{P}. Montrer que P(a)=0\mathrm{P}(a)=0.


2. On suppose que P(a)=0\mathrm{P}(a)=0.
a. Justifier qu’il existe A∈R[X]\mathrm{A} \in \mathbb{R}[\mathrm{X}] et un nombre réel λ\lambda tels que P=A(X−a)+λ\mathrm{P}=\mathrm{A}(\mathrm{X}-a)+\lambda.


b. Déterminer la valeur de λ\lambda.


c. Que peut‑on en déduire ?


3. Le polynôme X3+2X2−4X−6\mathrm{X}^{3}+2 \mathrm{X}^{2}-4 \mathrm{X}-6 est‑il divisible par X+5\mathrm{X}+5 ? Justifier.
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11

Soient A\text{A} et B\text{B} deux polynômes non nuls de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}].
On admet qu’il existe un unique polynôme D\text{D} vérifiant les conditions suivantes :
  • D∣A\mathrm{D} | \mathrm{A} et D∣B\mathrm{D} | \mathrm{B} ;
  • D\text{D} est unitaire : le coefficient dominant (associé au terme de plus haut degré) vaut 11 ;
  • si un polynôme unitaire E\text{E} divise A\text{A} et B\text{B}, alors E∣D\mathrm{E} | \mathrm{D}.

Ce polynôme est appelé PGCD\text{PGCD} de A\text{A} et B\text{B}.
On admet aussi qu’il existe deux polynômes U\text{U} et V\text{V} à coefficients dans R\mathbb{R} tels que AU+BV=D\mathrm{AU}+\mathrm{BV}=\mathrm{D}.

1. a. On suppose que A\text{A} et B\text{B} sont premiers entre eux.
Déterminer le PGCD\text{PGCD} de A\text{A} et B\text{B}.


b. On suppose qu’il existe deux polynômes U\text{U} et V\text{V} tels que AU+BV=1\mathrm{AU}+\mathrm{BV}=1.
Montrer que A\text{A} et B\text{B} sont premiers entre eux.


2. Les polynômes X2+X+1\mathrm{X}^{2}+\mathrm{X}+1 et X+1\mathrm{X}+1 sont‑ils premiers entre eux ? Justifier.


3. Soit C\text{C} un polynôme de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}].
a. Montrer que si A\text{A} et B\text{B} sont premiers entre eux et si A\text{A} divise BC\text{BC}, alors A\text{A} divise C\text{C}.


b. Montrer que si A\text{A} et B\text{B} sont premiers entre eux et si A\text{A} et B\text{B} divisent C\text{C}, alors AB\text{AB} divise C\text{C}.
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Vers le supérieur


3
Polynômes irréductibles





Dans cette partie, l’ensemble K\mathbb{K} désigne l’ensemble R\mathbb{R} ou C\mathbb{C}.

Définitions
1. On dit qu’un polynôme appartient à K[X]\mathbb{K}[\mathrm{X}] lorsque ses coefficients sont dans K\mathbb{K}.

2. On appelle polynôme irréductible de K[X]\mathbb{K}[\mathrm{X}] tout polynôme P\text{P} dont le degré est supérieur ou égal à 11 et dont les seuls diviseurs sont :
→ les éléments de K∗\mathbb{K}^{*} ;
→ les polynômes de la forme λP\lambda\mathrm{P}, où λ∈K∗\lambda \in \mathbb{K}^{*}.

3. Théorème de d’Alembert : Tout polynôme non constant de C[X]\mathbb{C}[\mathrm{X}] possède au moins une racine dans C\mathbb{C}.

Exemple

X2−1\mathrm{X}^{2}-1 n’est pas un polynôme irréductible de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}] car X2−1=(X+1)(X−1)\mathrm{X}^{2}-1=(\mathrm{X}+1)(\mathrm{X}-1) et donc (X+1)∣(X2−1)(\mathrm{X}+1) |\left(\mathrm{X}^{2}-1\right).

12

On considère un polynôme P\text{P} irréductible de K[X]\mathbb{K}[\mathrm{X}].
On suppose qu’il existe deux polynômes A\text{A} et B\text{B} de K[X]\mathbb{K}[\mathrm{X}] tels que P=AB\mathrm{P}=\mathrm{AB}.
Montrer que deg⁡(A)=0\operatorname{deg}(\mathrm{A})=0 ou deg⁡(B)=0\operatorname{deg}(\mathrm{B})=0.
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13

Soit P\text{P} un polynôme de K[X]\mathbb{K}[\mathrm{X}].
On suppose qu’il existe α∈K\alpha \in \mathbb{K} tel que P(α)=0\mathrm{P}(\alpha)=0.
Montrer que P\text{P} n’est pas irréductible dans K[X]\mathbb{K}[\mathrm{X}].
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14

Les polynômes de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}] suivants sont‑ils irréductibles ?

1. P=X2−1\mathrm{P}=\mathrm{X}^{2}-1


2. Q=X4+1\mathrm{Q}=\mathrm{X}^{4}+1


3. R=X3+2X2−4X+3\mathrm{R}=\mathrm{X}^{3}+2 \mathrm{X}^2-4 \mathrm{X}+3
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15

On considère le polynôme P=X2+X+1\mathrm{P}=\mathrm{X}^{2}+\mathrm{X}+1.

1. Justifier que P\text{P} est à la fois un élément de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}] et un élément de C[X]\mathbb{C}[\mathrm{X}].


2. Montrer que P\text{P} est irréductible dans R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}].


3. Le polynôme P\text{P} est‑il irréductible dans C[X]\mathbb{C}[\mathrm{X}] ? Justifier.
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16

Dans cet exercice, on souhaite déterminer les polynômes irréductibles de C[X]\mathbb{C}[\mathrm{X}].
Soit P\text{P} un polynôme de C[X]\mathbb{C}[\mathrm{X}].

1. On suppose que P\text{P} est de degré 11. Le polynôme P\text{P} est‑il irréductible ?


2. a. On suppose que le degré de P\text{P} est supérieur ou égal à 22. Montrer qu’il existe α∈C\alpha \in \mathbb{C} tel que X−α\mathrm{X}-\alpha divise P\text{P}.


b. Que peut‑on en déduire ?


3. Déterminer tous les polynômes irréductibles de C[X]\mathbb{C}[\mathrm{X}].


4. Justifier que tout polynôme non constant de C[X]\mathbb{C}[\mathrm{X}] peut s’exprimer comme produit de polynômes irréductibles.
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17

On considère les polynômes P=X3−9X2+26X−24\mathrm{P}=\mathrm{X}^{3}-9 \mathrm{X}^{2}+26 \mathrm{X}-24 et Q=X3−7X2+7X+15\mathrm{Q}=\mathrm{X}^{3}-7 \mathrm{X}^{2}+7 \mathrm{X}+15.

1. a. Montrer qu’il existe trois réels aa, bb et cc tels que :
P=(X−3)(aX2+bX+c)\mathrm{P}=(\mathrm{X}-3)\left(a \mathrm{X}^{2}+b \mathrm{X}+c\right).


b. En déduire une décomposition du polynôme P\text{P} en produit de polynômes irréductibles de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}].


2. a. Les polynômes P\text{P} et Q\text{Q} ont une racine commune. Déterminer cette racine.


b. En déduire une décomposition du polynôme Q\text{Q} en produit de polynômes irréductibles de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}].
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18

On considère dans R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}] le polynôme P=X4+2X2+1\mathrm{P}=\mathrm{X}^{4}+2 \mathrm{X}^{2}+1.

1. Montrer qu’il n’existe pas de réel α\alpha tel que P(α)=0\mathrm{P}(\alpha)=0.


2. Peut‑on dire que le polynôme P\text{P} est irréductible ? Justifier.


3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’un polynôme de degré 22 soit irréductible dans R[X].\mathbb{R}[\mathrm{X}].
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19

1. Montrer que les polynômes de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}] de degré 22 dont le discriminant est négatif sont irréductibles dans R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}].


2. Soit P\text{P} un polynôme de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}] non constant.
Justifier qu’il existe α∈C\alpha \in \mathbb{C} tel que P(α)=0\mathrm{P}(\alpha)=0. Que peut‑on dire de α‾\overline{\alpha} ?


3. On suppose que le degré de P\text{P} est strictement supérieur à 22.
Montrer que P\text{P} n’est pas irréductible dans R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}].


4. En déduire les polynômes irréductibles de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}].
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Problème de concours


20
D’après Concours Communs Polytechniques, 2016
L’objectif de ce problème est l’étude des polynômes d’interpolation de Hermite.
On note R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}] l’ensemble des polynômes à coefficients réels et on note R(X)\mathbb{R}(\mathrm{X}) l’ensemble des éléments de la forme PQ\dfrac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}, où P\text{P} et Q\text{Q} sont deux polynômes de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}] avec Q\text{Q} non nul.
Si P=∑k=0nakXk\mathrm{P}=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} a_{k} \mathrm{X}^{k}, on note P′\mathrm{P}^\prime le polynôme dérivé de P\text{P} défini par :
P′=∑k=1nkakXk−1\mathrm{P}^{\prime}=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} k a_{k} \mathrm{X}^{k-1}.

Les propriétés des opérations sur la dérivation des polynômes sont semblables à celles des fonctions.

Partie A
Soit nn un entier naturel non nul.

1. Soient P\text{P} et Q\text{Q} deux polynômes non nuls à coefficients complexes.
a. Démontrer que si P\text{P} et Q\text{Q} n’ont aucune racine complexe commune, alors P\text{P} et Q\text{Q} sont premiers entre eux.


Aide
 On pourra raisonner par l’absurde.


b. On suppose que P\text{P} et Q\text{Q} sont premiers entre eux.
Montrer que si P\text{P} et Q\text{Q} divisent un troisième polynôme R\text{R} à coefficients complexes, alors il en est de même du polynôme PQ\text{PQ}.


2. Soit (Pi)1⩽i⩽n\left(\mathrm{P}_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant n} une famille de polynômes non nuls de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}].
On considère le polynôme P∈R[X]\mathrm{P} \in \mathbb{R}[\mathrm{X}] et la fraction rationnelle Q∈R(X)\mathrm{Q} \in \mathbb{R}(\mathrm{X}), définis par :
P=∏i=1nPi\mathrm{P}=\mathop{\prod}\limits_{i=1}\limits^{n} \mathrm{P}_{i} et Q=P′P\mathrm{Q}=\dfrac{\mathrm{P}^{\prime}}{\mathrm{P}}.

Montrer par récurrence que Q=∑i=1nPi′Pi\mathrm{Q}=\mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{n} \dfrac{\mathrm{P}_{i}^{\prime}}{\mathrm{P}_{i}}.


Partie B
Soit I\text{I} un intervalle non vide de R\mathbb{R}, pp un entier naturel non nul, (xi)1⩽i⩽p\left(x_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant p} une famille d’éléments de I\text{I} distincts deux à deux.

1. a. Soit P∈R[X]\mathrm{P} \in \mathbb{R}[\mathrm{X}] et a∈Ra \in \mathbb{R}. Montrer que si P(a)=P′(a)=0\mathrm{P}(a)=\mathrm{P}^{\prime}(a)=0, alors (X−a)2(\mathrm{X}-a)^{2} divise P\text{P}.


b. Soit P∈R[X]\mathrm{P} \in \mathbb{R}[\mathrm{X}] de degré 2p−12p-1 tel que, pour tout entier ii avec 1⩽i⩽p1 \leqslant i \leqslant p, P(xi)=0\mathrm{P}\left(x_{i}\right)=0 et P′(xi)=0\mathrm{P}^{\prime}\left(x_{i}\right)=0.
Montrer que P=0\mathrm{P} = 0.


2. Soit P∈R[X]\mathrm{P} \in \mathbb{R}[\mathrm{X}] de degré 2p−12p-1.
Soit ϕ\phi la fonction qui à P\text{P} associe (P(x1) ;P(x2) ; … ;P(xp) ;P′(x1);P′(x2) ; … ;P′(xp))\left(\mathrm{P}\left(x_{1}\right)\,; \mathrm{P}\left(x_{2}\right)\,;\,\ldots\,; \mathrm{P}\left(x_{p}\right)\,; \mathrm{P}^{\prime}\left(x_{1}\right) ; \mathrm{P}^{\prime}\left(x_{2}\right)\,;\,\ldots\,; \mathrm{P}^{\prime}\left(x_{p}\right)\right).
Soient P\text{ P} et Q\text{Q} de degré 2p−12p-1 tels que ϕ(P)=ϕ(Q)\phi(\mathrm{P})=\phi(\mathrm{Q}).
Montrer que P=Q\mathrm{P}=\mathrm{Q}.


3. Pour tout entier ii tel que 1⩽i⩽p1 \leqslant i \leqslant p, on considère le polynôme Qi=∏j=1j≠ip(X−xjxi−xj)2\mathrm{Q}_{i}=\mathop{\prod}\limits_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}\limits^{p}\left(\dfrac{\mathrm{X}-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}\right)^{2}.
Soient deux entiers ii et kk compris entre 11 et pp.
a. Calculer Qi(xk)\mathrm{Q}_{i}\left(x_{k}\right).


b. Montrer que {Qi′(xk)=0 si k≠iQi′(xi)=∑j=1j≠1p2xi−xjsinon⁡\left\{\begin{aligned}\mathrm{Q}_{i}^{\prime}\left(x_{k}\right)&=0 \text { si } k \neq i \\ \mathrm{Q}_{i}^{\prime}\left(x_{i}\right)&=\sum_{j=1 \atop j \neq 1}^{p} \dfrac{2}{x_{i}-x_{j}} \operatorname{sinon}\end{aligned}\right..


4. Soient (ai)1⩽i⩽p\left(a_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant p} et (bi)1⩽i⩽p\left(b_{i}\right)_{1 \leqslant i \leqslant p} deux familles de réels quelconques. On admet qu’il existe un polynôme PH\mathrm{P}_{\mathrm{H}} de R[X]\mathbb{R}[\mathrm{X}] de degré 2p−12p-1, appelé polynôme d’interpolation de Hermite, tel que, pour tout entier ii vérifiant 1⩽i⩽p1 \leqslant i \leqslant p, on a PH(xi)=ai\mathrm{P}_{\mathrm{H}}\left(x_{i}\right)=a_{i} et PH′(xi)=bi\mathrm{P}_{\mathrm{H}}^{\prime}\left(x_{i}\right)=b_{i}.
a. Montrer que ce polynôme est unique.


b. Montre que PH=∑i=1p[(1−Qi′(xi)(X−xi))ai+(X−xi)bi]Qi\mathrm{P}_{\mathrm{H}}=\mathop{\sum}\limits_{i=1}\limits^{p}\left[\left(1-\mathrm{Q}_{i}^{\prime}\left(x_{i}\right)\left(\mathrm{X}-x_{i}\right)\right) a_{i}+\left(\mathrm{X}-x_{i}\right) b_{i}\right] \mathrm{Q}_{i}.


c. Déterminer le polynôme d’interpolation de Hermite lorsque p=2p=2, x1=−1x_1=-1, x2=1x_2=1, a1=1a_1=1, a2=0a_2=0, b1=−1b_1=-1 et b2=2b_2=2.
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Arithmétique dans N\mathbb{N}.
Arithmétique dans Z\mathbb{Z}.
Notion de division euclidienne.
Nombres premiers.		 Théorèmes usuels de l’arithmétique : théorème de Gauss, théorème de Bézout.
Notion de congruence, travail avec le reste de la division euclidienne. Décomposition en produit de facteurs premiers. Utilisation des nombres premiers en cryptographie.		 Arithmétique des polynômes ou plus généralement dans un anneau euclidien.
Utilisation des théorèmes de Gauss et de Bézout dans un cadre plus général.
Utilisation des morphismes d’anneaux.
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