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Vers le supérieur - Arithmétique
P.166-169

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Vers le supérieur


1
Les polynômes à coefficients dans





Définitions

1. On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans toute suite de nombres réels nulle à partir d’un certain rang. Pour tout entier naturel , on note la suite telle que et, pour tout , . L’ensemble des polynômes à coefficients dans est noté .

2. Soient et deux polynômes à coefficients dans .
On définit la somme de et , notée , comme étant la suite .
On définit le produit de et , noté , comme étant la suite où, pour tout , .

3. Si est un polynôme non nul, on pose .
Le nombre est appelé degré de et est noté . Par convention, le polynôme nul a pour degré .

4. est un polynôme non nul de degré  ; on peut exprimer de la façon suivante : .

Exemple

Le polynôme correspond à . Il s’agit d’un polynôme de degré .

1

1. On considère les polynômes et .
a. Déterminer le polynôme .


b. Déterminer le polynôme .


2. a. Justifier que l’on peut écrire .


b. Exprimer les polynômes , et en fonction de .


3. a. Soient et deux entiers naturels non nuls et et deux réels. En utilisant les définitions d’un polynôme et du produit de deux polynômes, montrer que .


b. Soient , et trois polynômes à coefficients dans .
Montrer que .


4. À l’aide de la question 3. et des notations pour et introduites à la question 2., retrouver l’expression du polynôme en fonction de .
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2

Dans la suite, on admet que si et sont deux polynômes quelconques, .
Soient et deux polynômes quelconques vérifiant . On suppose par l’absurde que et .

1. Que peut‑on dire du degré de  ?


2. Exprimer le degré de en fonction du degré de .


3. En déduire que les polynômes et sont des polynômes constants.


4. En déduire l’ensemble des polynômes et tels que .
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3

On considère les polynômes , et .

1. Déterminer le degré de ces polynômes.


2. a. Déterminer l’expression du polynôme , puis l’expression du polynôme .


b. Préciser le degré de ces polynômes.


c. Que peut‑on conjecturer concernant le degré de si et sont quelconques ?


d. Démontrer cette conjecture.


3. Peut‑on dire que  ? Justifier.
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4

Soient et deux polynômes à coefficients réels.
On définit comme étant le polynôme .

1. On suppose que et .
a. Déterminer le polynôme .


b. Que peut‑on dire du degré de  ? Justifier.


2. Démontrer que .


3. Soit un polynôme tel que .
a. Montrer que ou .


b. En déduire l’ensemble des polynômes qui vérifient .
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5

Déterminer tous les polynômes à coefficients réels tels que .
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Vers le supérieur


2
Divisibilité dans





Définitions

1. Soient et deux polynômes de .
On dit que divise lorsqu’il existe un polynôme de tel que .

2. Division euclidienne de deux polynômes :
Pour tous et de , avec non nul, il existe deux polynômes uniques et de tels que , avec .
On dit alors que est le quotient et le reste de la division euclidienne de par .

3. Pour deux polynômes et , si divise et divise , on dit que et sont associés.

4. On dit que deux polynômes et sont premiers entre eux si les seuls diviseurs communs à et à sont les polynômes de degré (donc les réels non nuls).

6

On considère le polynôme .
Peut‑on trouver trois réels , et tels que :
 ?
Que peut‑on en déduire ?
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7

Soient deux polynômes non nuls et .

1. On suppose dans cette question qu’il existe un réel non nul tel que . Justifier que et sont associés.


2. On suppose que divise . Comparer et .


3. On suppose que divise et que divise .
a. Montrer que .


b. Montrer qu’il existe un réel non nul tel que .
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8

On considère les polynômes et .

1. Déterminer les valeurs telles que .


On note l’ensemble de ces valeurs.

2. Soit . Calculer .


3. On note et respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de par .
a. Justifier qu’il existe deux réels et tels que .


b. Montrer que . Que peut‑on en déduire ?
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9

On considère les polynômes et .

1. On note respectivement et le quotient et le reste dans la division euclidienne de par .
Déterminer le degré de .


2. Déterminer les valeurs telles que .


3. En déduire les polynômes et .
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10

Soient un polynôme de et un nombre réel.

1. On suppose que divise . Montrer que .


2. On suppose que .
a. Justifier qu’il existe et un nombre réel tels que .


b. Déterminer la valeur de .


c. Que peut‑on en déduire ?


3. Le polynôme est‑il divisible par  ? Justifier.
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11

Soient et deux polynômes non nuls de .
On admet qu’il existe un unique polynôme vérifiant les conditions suivantes :
  • et  ;
  • est unitaire : le coefficient dominant (associé au terme de plus haut degré) vaut  ;
  • si un polynôme unitaire divise et , alors .

Ce polynôme est appelé de et .
On admet aussi qu’il existe deux polynômes et à coefficients dans tels que .

1. a. On suppose que et sont premiers entre eux.
Déterminer le de et .


b. On suppose qu’il existe deux polynômes et tels que .
Montrer que et sont premiers entre eux.


2. Les polynômes et sont‑ils premiers entre eux ? Justifier.


3. Soit un polynôme de .
a. Montrer que si et sont premiers entre eux et si divise , alors divise .


b. Montrer que si et sont premiers entre eux et si et divisent , alors divise .
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Vers le supérieur


3
Polynômes irréductibles





Dans cette partie, l’ensemble désigne l’ensemble ou .

Définitions

1. On dit qu’un polynôme appartient à lorsque ses coefficients sont dans .

2. On appelle polynôme irréductible de tout polynôme dont le degré est supérieur ou égal à et dont les seuls diviseurs sont :
→ les éléments de  ;
→ les polynômes de la forme , où .

3. Théorème de d’Alembert : Tout polynôme non constant de possède au moins une racine dans .

Exemple

n’est pas un polynôme irréductible de car et donc .

12

On considère un polynôme irréductible de .
On suppose qu’il existe deux polynômes et de tels que .
Montrer que ou .
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13

Soit un polynôme de .
On suppose qu’il existe tel que .
Montrer que n’est pas irréductible dans .
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14

Les polynômes de suivants sont‑ils irréductibles ?

1.


2.


3.
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15

On considère le polynôme .

1. Justifier que est à la fois un élément de et un élément de .


2. Montrer que est irréductible dans .


3. Le polynôme est‑il irréductible dans  ? Justifier.
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16

Dans cet exercice, on souhaite déterminer les polynômes irréductibles de .
Soit un polynôme de .

1. On suppose que est de degré . Le polynôme est‑il irréductible ?


2. a. On suppose que le degré de est supérieur ou égal à . Montrer qu’il existe tel que divise .


b. Que peut‑on en déduire ?


3. Déterminer tous les polynômes irréductibles de .


4. Justifier que tout polynôme non constant de peut s’exprimer comme produit de polynômes irréductibles.
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17

On considère les polynômes et .

1. a. Montrer qu’il existe trois réels , et tels que :
.


b. En déduire une décomposition du polynôme en produit de polynômes irréductibles de .


2. a. Les polynômes et ont une racine commune. Déterminer cette racine.


b. En déduire une décomposition du polynôme en produit de polynômes irréductibles de .
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18

On considère dans le polynôme .

1. Montrer qu’il n’existe pas de réel tel que .


2. Peut‑on dire que le polynôme est irréductible ? Justifier.


3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’un polynôme de degré soit irréductible dans
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19

1. Montrer que les polynômes de de degré dont le discriminant est négatif sont irréductibles dans .


2. Soit un polynôme de non constant.
Justifier qu’il existe tel que . Que peut‑on dire de  ?


3. On suppose que le degré de est strictement supérieur à .
Montrer que n’est pas irréductible dans .


4. En déduire les polynômes irréductibles de .
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Problème de concours


20
D’après Concours Communs Polytechniques, 2016
L’objectif de ce problème est l’étude des polynômes d’interpolation de Hermite.
On note l’ensemble des polynômes à coefficients réels et on note l’ensemble des éléments de la forme , où et sont deux polynômes de avec non nul.
Si , on note le polynôme dérivé de défini par :
.

Les propriétés des opérations sur la dérivation des polynômes sont semblables à celles des fonctions.

Partie A
Soit un entier naturel non nul.

1. Soient et deux polynômes non nuls à coefficients complexes.
a. Démontrer que si et n’ont aucune racine complexe commune, alors et sont premiers entre eux.


Aide
On pourra raisonner par l’absurde.


b. On suppose que et sont premiers entre eux.
Montrer que si et divisent un troisième polynôme à coefficients complexes, alors il en est de même du polynôme .


2. Soit une famille de polynômes non nuls de .
On considère le polynôme et la fraction rationnelle , définis par :
et .

Montrer par récurrence que .


Partie B
Soit un intervalle non vide de , un entier naturel non nul, une famille d’éléments de distincts deux à deux.

1. a. Soit et . Montrer que si , alors divise .


b. Soit de degré tel que, pour tout entier avec , et .
Montrer que .


2. Soit de degré .
Soit la fonction qui à associe .
Soient et de degré tels que .
Montrer que .


3. Pour tout entier tel que , on considère le polynôme .
Soient deux entiers et compris entre et .
a. Calculer .


b. Montrer que .


4. Soient et deux familles de réels quelconques. On admet qu’il existe un polynôme de de degré , appelé polynôme d’interpolation de Hermite, tel que, pour tout entier vérifiant , on a et .
a. Montrer que ce polynôme est unique.


b. Montre que .


c. Déterminer le polynôme d’interpolation de Hermite lorsque , , , , , et .
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Avant Maintenant Après
Arithmétique dans .
Arithmétique dans .
Notion de division euclidienne.
Nombres premiers.
Théorèmes usuels de l’arithmétique : théorème de Gauss, théorème de Bézout.
Notion de congruence, travail avec le reste de la division euclidienne. Décomposition en produit de facteurs premiers. Utilisation des nombres premiers en cryptographie.
Arithmétique des polynômes ou plus généralement dans un anneau euclidien.
Utilisation des théorèmes de Gauss et de Bézout dans un cadre plus général.
Utilisation des morphismes d’anneaux.
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