D’après Concours Communs Polytechniques, 2016
L’objectif de ce problème est l’étude des polynômes d’interpolation de Hermite.
On note
R[X] l’ensemble des polynômes à coefficients réels et on note
R(X) l’ensemble des éléments de la forme
QP, où
P et
Q sont deux polynômes de
R[X] avec
Q non nul.
Si
P=k=0∑nakXk, on note
P′ le polynôme dérivé de
P défini par :
P′=k=1∑nkakXk−1.
Les propriétés des opérations sur la dérivation des polynômes sont semblables à celles des fonctions.
Partie A
Soit
n un entier naturel non nul.
1. Soient
P et
Q deux polynômes non nuls à coefficients complexes.
a. Démontrer que si
P et
Q n’ont aucune racine complexe commune, alors
P et
Q sont premiers entre eux.
On pourra raisonner par l’absurde.
b. On suppose que
P et
Q sont premiers entre eux.
Montrer que si
P et
Q divisent un troisième polynôme
R à coefficients complexes, alors il en est de même du polynôme
PQ.
2. Soit
(Pi)1⩽i⩽n une famille de polynômes non nuls de
R[X].
On considère le polynôme
P∈R[X] et la fraction rationnelle
Q∈R(X), définis par :
P=i=1∏nPi et Q=PP′.
Montrer par récurrence que
Q=i=1∑nPiPi′.
Partie B
Soit
I un intervalle non vide de
R,
p un entier naturel non nul,
(xi)1⩽i⩽p une famille d’éléments de
I distincts deux à deux.
1. a. Soit
P∈R[X] et
a∈R. Montrer que si
P(a)=P′(a)=0, alors
(X−a)2 divise
P.
b. Soit
P∈R[X] de degré
2p−1 tel que, pour tout entier
i avec
1⩽i⩽p,
P(xi)=0 et
P′(xi)=0.
Montrer que
P=0.
2. Soit
P∈R[X] de degré
2p−1.
Soit
ϕ la fonction qui à
P associe
(P(x1);P(x2);…;P(xp);P′(x1);P′(x2);…;P′(xp)).
Soient
P et
Q de degré
2p−1 tels que
ϕ(P)=ϕ(Q).
Montrer que
P=Q.
3. Pour tout entier
i tel que
1⩽i⩽p, on considère le polynôme
Qi=j=1j=i∏p(xi−xjX−xj)2.
Soient deux entiers
i et
k compris entre
1 et
p.
a. Calculer
Qi(xk).
b. Montrer que
⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧Qi′(xk)Qi′(xi)=0 si k=i=j=1j=1∑pxi−xj2sinon.
4. Soient
(ai)1⩽i⩽p et
(bi)1⩽i⩽p deux familles de réels quelconques. On admet qu’il existe un polynôme
PH de
R[X] de degré
2p−1, appelé polynôme d’interpolation de Hermite, tel que, pour tout entier
i vérifiant
1⩽i⩽p, on a
PH(xi)=ai et
PH′(xi)=bi.
a. Montrer que ce polynôme est unique.
b. Montre que
PH=i=1∑p[(1−Qi′(xi)(X−xi))ai+(X−xi)bi]Qi.
c. Déterminer le polynôme d’interpolation de Hermite lorsque
p=2,
x1=−1,
x2=1,
a1=1,
a2=0,
b1=−1 et
b2=2.