Mathématiques Expertes Terminale
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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
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1
Les polynômes à coefficients dans

Définitions
1. On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans toute suite de nombres réels nulle à partir d'un certain rang. Pour tout entier naturel , on note la suite telle que et, pour tout , . L'ensemble des polynômes à coefficients dans est noté .
2. Soient et deux polynômes à coefficients dans .
On définit la somme de et , notée , comme étant la suite .
On définit le produit de et , noté , comme étant la suite où, pour tout , .
3. Si est un polynôme non nul, on pose .
Le nombre est appelé degré de et est noté . Par convention, le polynôme nul a pour degré .
4. est un polynôme non nul de degré  ; on peut exprimer de la façon suivante : .
Exemple
Le polynôme correspond à . Il s'agit d'un polynôme de degré .
Exercices
1

1. On considère les polynômes et .
a. Déterminer le polynôme .

b. Déterminer le polynôme

2. a. Justifier que l'on peut écrire

b. Exprimer les polynômes , et en fonction de

3. a. Soient et deux entiers naturels non nuls et et deux réels. En utilisant les définitions d'un polynôme et du produit de deux polynômes, montrer que .

b. Soient , et trois polynômes à coefficients dans .
Montrer que .

4. À l'aide de la question 3. et des notations pour et introduites à la question 2., retrouver l'expression du polynôme en fonction de .
2

Dans la suite, on admet que si et sont deux polynômes quelconques, .
Soient et deux polynômes quelconques vérifiant . On suppose par l'absurde que et .

1. Que peut‑on dire du degré de  ?

2. Exprimer le degré de en fonction du degré de .

3. En déduire que les polynômes et sont des polynômes constants.

4. En déduire l'ensemble des polynômes et tels que .
3

On considère les polynômes , et .

1. Déterminer le degré de ces polynômes.

2. a. Déterminer l'expression du polynôme , puis l'expression du polynôme .

b. Préciser le degré de ces polynômes.

c. Que peut‑on conjecturer concernant le degré de si et sont quelconques ?

d. Démontrer cette conjecture.

3. Peut‑on dire que  ? Justifier.
4

Soient et deux polynômes à coefficients réels.
On définit comme étant le polynôme .

1. On suppose que et .
a. Déterminer le polynôme .

b. Que peut‑on dire du degré de  ? Justifier.

2. Démontrer que .

3. Soit un polynôme tel que .
a. Montrer que ou .

b. En déduire l'ensemble des polynômes qui vérifient .
5

Déterminer tous les polynômes à coefficients réels tels que .

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