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Définitions
1. On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans R toute suite de nombres réels nulle à partir d'un certain rang. Pour tout entier naturel k, on note Xk la suite (an)n∈N telle que ak=1 et, pour tout n=k, an=0. L'ensemble des polynômes à coefficients dans R est noté R[X].
2. Soient A=(an)n∈N et B=(bn)n∈N deux polynômes à coefficients dans R.
On définit la somme de A et B, notée A+B, comme étant la suite (an+bn)n∈N.
On définit le produit de A et B, noté A×B, comme étant la suite (cn)n∈N où, pour tout j∈N, cj=k=0∑jakbj−k.
3. Si A=(an)n∈N est un polynôme non nul, on pose d=max{n∈N∣an=0}.
Le nombre d est appelé degré de A et est noté deg(A). Par convention, le polynôme nul a pour degré −∞.
4.A=(an)n∈N est un polynôme non nul de degré d ; on peut exprimer A de la façon suivante : A=k=0∑dakXk.
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Exemple
Le polynôme (1;−2;4;0;…;0;…) correspond à 1−2X+4X2. Il s'agit d'un polynôme de degré 2.
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Exercices
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1
1. On considère les polynômes A=(−1;3;−5;2;0;0;…) et B=(1;0;1;0;0;…).
a. Déterminer le polynôme C=A+B.
b. Déterminer le polynôme D=A×B.
2.a. Justifier que l'on peut écrire A=−1+3X−5X2+2X3.
b. Exprimer les polynômes B, C et D en fonction de X.
3.a. Soient n et p deux entiers naturels non nuls et λ et μ deux réels. En utilisant les définitions d'un polynôme et du produit de deux polynômes, montrer que λXn×μXp=λμXn+p.
b. Soient P, Q et R trois polynômes à coefficients dans R.
Montrer que (P+Q)×R=P×R+Q×R.
4. À l'aide de la question 3. et des notations pour A et B introduites à la question 2., retrouver l'expression du polynôme D en fonction de X.
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2
Dans la suite, on admet que si P et Q sont deux polynômes quelconques, deg(P×Q)=deg(P)+deg(Q).
Soient P et Q deux polynômes quelconques vérifiant P×Q=0. On suppose par l'absurde que P=0 et Q=0.
1. Que peut‑on dire du degré de P×Q ?
2. Exprimer le degré de P en fonction du degré de Q.
3. En déduire que les polynômes P et Q sont des polynômes constants.
4. En déduire l'ensemble des polynômes P et Q tels que P×Q=0.
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3
On considère les polynômes P=1+X+X2+X3, Q=−5+4X et R=1−X3.
1. Déterminer le degré de ces polynômes.
2.a. Déterminer l'expression du polynôme P×Q, puis l'expression du polynôme P×R.
b. Préciser le degré de ces polynômes.
c. Que peut‑on conjecturer concernant le degré de P×Q si P et Q sont quelconques ?
d. Démontrer cette conjecture.
3. Peut‑on dire que deg(P+Q)=max(deg(P);deg(Q)) ? Justifier.
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4
Soient P=k=0∑nakXk et Q deux polynômes à coefficients réels.
On définit P∘Q comme étant le polynôme P=k=0∑nakQk.
1. On suppose que P=1+X+X2 et Q=X3+2.
a. Déterminer le polynôme P∘Q.
b. Que peut‑on dire du degré de P∘Q ? Justifier.
2. Démontrer que deg(P∘P)=deg(P)2.
3. Soit P un polynôme tel que P∘P=P.
a. Montrer que deg(P)=0 ou deg(P)=1.
b. En déduire l'ensemble des polynômes P qui vérifient P∘P=P.
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5
Déterminer tous les polynômes P à coefficients réels tels que P(X2)=(X2+1)P(X).
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