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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Travailler ensemble
Jeu de stratégie entre David et Ilan
12 professeurs ont participé à cette page
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.
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Énoncé
Dans un jeu de stratégie à deux joueurs, les seules monnaies mises en circulation sont des pièces de sept Bézauss et de onze Bézauss.
David souhaiterait acheter à son adversaire Ilan un objet d'une valeur de 123 Bézauss.
On cherche alors à déterminer l'ensemble des manières différentes d'acheter cet objet, sachant qu'il a en sa possession 100 pièces de sept Bézauss et qu'Ilan possède 100 pièces de onze Bézauss.
Question préliminaire :
Soit x le nombre de pièces de sept Bézauss remis par David à Ilan et y le nombre de pièces de onze Bézauss remis par Ilan à David pour lui rendre la monnaie.
Montrer que le problème consiste à déterminer l'ensemble de tous les couples d'entiers positifs (x\,; y) inférieurs ou égaux à 100 tels que (\mathrm{F}): 7 x-11 y=123.
David souhaiterait acheter à son adversaire Ilan un objet d'une valeur de 123 Bézauss.
On cherche alors à déterminer l'ensemble des manières différentes d'acheter cet objet, sachant qu'il a en sa possession 100 pièces de sept Bézauss et qu'Ilan possède 100 pièces de onze Bézauss.
Question préliminaire :
Soit x le nombre de pièces de sept Bézauss remis par David à Ilan et y le nombre de pièces de onze Bézauss remis par Ilan à David pour lui rendre la monnaie.
Montrer que le problème consiste à déterminer l'ensemble de tous les couples d'entiers positifs (x\,; y) inférieurs ou égaux à 100 tels que (\mathrm{F}): 7 x-11 y=123.
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Partie 1
1. Énoncer les théorèmes de Bézout et de Gauss.
2. Montrer que l'équation (\mathrm{G}): 7 x-11 y=1 admet au moins un couple solution.
3. Déterminer un couple solution de (\mathrm{G}) puis en déduire un couple solution de (\mathrm{F}).
2. Montrer que l'équation (\mathrm{G}): 7 x-11 y=1 admet au moins un couple solution.
3. Déterminer un couple solution de (\mathrm{G}) puis en déduire un couple solution de (\mathrm{F}).
4. Montrer que (\mathrm{F}) équivaut à :
5. En déduire que 7 divise y-6.
6. Déterminer l'ensemble de tous les couples solutions recherchés.
7 x-11 y=7 \times 82-11 \times 41.
5. En déduire que 7 divise y-6.
6. Déterminer l'ensemble de tous les couples solutions recherchés.
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Partie 2
1. Justifier que 11y+123 doit être un multiple de 7.
2. En déduire alors que 4y+4 doit aussi être un multiple de 7.
3. Compléter le tableau de congruence modulo 7 ci‑dessous, où r est le reste de la division euclidienne de 4y+4 par 7.
4. Justifier alors que y doit s'écrire sous la forme 7k+6, où k est un entier naturel.
5. En déduire l'ensemble des solutions du problème de David et Ilan.
2. En déduire alors que 4y+4 doit aussi être un multiple de 7.
3. Compléter le tableau de congruence modulo 7 ci‑dessous, où r est le reste de la division euclidienne de 4y+4 par 7.
| \boldsymbol{y \equiv \ldots[7]} | \bold{0} | \bold{1} | \bold{2} | \bold{3} | \bold{4} | \bold{5} | \bold{6} |
| \boldsymbol{4y+4 \equiv \ldots[7]} | |||||||
| \boldsymbol{r=} |
4. Justifier alors que y doit s'écrire sous la forme 7k+6, où k est un entier naturel.
5. En déduire l'ensemble des solutions du problème de David et Ilan.
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Partie 3
1. Écrire un programme en Python
donnant tous les couples solutions recherchés.
2. Généraliser ce programme dans le cas où les seules monnaies mises en jeu sont des pièces de a Bézauss et de b Bézauss et que l'objet à acheter est d'une valeur de c Bézauss, où a, b et c sont tous trois des entiers fixés strictements positifs.
2. Généraliser ce programme dans le cas où les seules monnaies mises en jeu sont des pièces de a Bézauss et de b Bézauss et que l'objet à acheter est d'une valeur de c Bézauss, où a, b et c sont tous trois des entiers fixés strictements positifs.
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Mise en commun
1. Lister toutes les manières différentes d'acheter cet objet.
2. Est‑ce que David aurait pu acheter un objet d'une valeur de 10, 100 ou 1 000 Bézauss ?
2. Est‑ce que David aurait pu acheter un objet d'une valeur de 10, 100 ou 1 000 Bézauss ?
3. Si, dans ce jeu, les seules monnaies étaient des pièces de quatorze et vingt‑et‑un Bézauss, serait‑il alors possible d'acheter un objet valant 123 Bézauss ? 476 Bézauss ?
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah