Jeu de stratégie entre David et Ilan

Dans un jeu de stratégie à deux joueurs, les seules monnaies mises en circulation sont des pièces de sept Bézauss et de onze Bézauss.
David souhaiterait acheter à son adversaire Ilan un objet d'une valeur de 123 Bézauss.
On cherche alors à déterminer l'ensemble des manières différentes d'acheter cet objet, sachant qu'il a en sa possession 100 pièces de sept Bézauss et qu'Ilan possède 100 pièces de onze Bézauss.

Question préliminaire :
Soit $x$ le nombre de pièces de sept Bézauss remis par David à Ilan et $y$ le nombre de pièces de onze Bézauss remis par Ilan à David pour lui rendre la monnaie.
Montrer que le problème consiste à déterminer l'ensemble de tous les couples d'entiers positifs $(x;y)$ inférieurs ou égaux à 100 tels que $(\mathrm{F}):7x-11y=123$.

1. Énoncer les théorèmes de Bézout et de Gauss.

2. Montrer que l'équation $(\mathrm{G}):7x-11y=1$ admet au moins un couple solution.

3. Déterminer un couple solution de $(\mathrm{G})$ puis en déduire un couple solution de $(\mathrm{F})$.

4. Montrer que $(\mathrm{F})$ équivaut à :

$7x-11y=7\times 82-11\times 41$.

5. En déduire que $7$ divise $y-6$.

6. Déterminer l'ensemble de tous les couples solutions recherchés.

1. Lister toutes les manières différentes d'acheter cet objet.

2. Est‑ce que David aurait pu acheter un objet d'une valeur de 10, 100 ou 1 000 Bézauss ?

3. Si, dans ce jeu, les seules monnaies étaient des pièces de quatorze et vingt‑et‑un Bézauss, serait‑il alors possible d'acheter un objet valant 123 Bézauss ? 476 Bézauss ?