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Jeu de stratégie entre David et Ilan
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TRAVAILLER ENSEMBLE


Jeu de stratégie entre David et Ilan





Maths expertes - Travailler ensemble - Jeu de stratégie entre David et Ilan - Bézauss pièces

Dans un jeu de stratégie à deux joueurs, les seules monnaies mises en circulation sont des pièces de sept Bézauss et de onze Bézauss.
David souhaiterait acheter à son adversaire Ilan un objet d’une valeur de 123 Bézauss.
On cherche alors à déterminer l’ensemble des manières différentes d’acheter cet objet, sachant qu’il a en sa possession 100 pièces de sept Bézauss et qu’Ilan possède 100 pièces de onze Bézauss.

Question préliminaire :

Soit le nombre de pièces de sept Bézauss remis par David à Ilan et le nombre de pièces de onze Bézauss remis par Ilan à David pour lui rendre la monnaie.
Montrer que le problème consiste à déterminer l’ensemble de tous les couples d’entiers positifs inférieurs ou égaux à 100 tels que .
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Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d’entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

PARTIE 1 ★★

1. Énoncer les théorèmes de Bézout et de Gauss.


2. Montrer que l’équation admet au moins un couple solution.


3. Déterminer un couple solution de puis en déduire un couple solution de .


4. Montrer que équivaut à :
.


5. En déduire que divise .


6. Déterminer l’ensemble de tous les couples solutions recherchés.
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PARTIE 2 ☆☆

1. Justifier que doit être un multiple de .


2. En déduire alors que doit aussi être un multiple de .


3. Compléter le tableau de congruence modulo ci‑dessous, où est le reste de la division euclidienne de par .


4. Justifier alors que doit s’écrire sous la forme , où est un entier naturel.


5. En déduire l’ensemble des solutions du problème de David et Ilan.
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PARTIE 3 ★★★

1. Écrire un programme en Python donnant tous les couples solutions recherchés.




2. Généraliser ce programme dans le cas où les seules monnaies mises en jeu sont des pièces de Bézauss et de Bézauss et que l’objet à acheter est d’une valeur de Bézauss, où , et sont tous trois des entiers fixés strictements positifs.

Mise en commun

1. Lister toutes les manières différentes d’acheter cet objet.


2. Est‑ce que David aurait pu acheter un objet d’une valeur de 10, 100 ou 1 000 Bézauss ?


3. Si, dans ce jeu, les seules monnaies étaient des pièces de quatorze et vingt‑et‑un Bézauss, serait‑il alors possible d’acheter un objet valant 123 Bézauss ? 476 Bézauss ?
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