Travailler autrement

On donne ci‑dessous un énoncé d’exercice et une copie d’élève.

1. Trouver les erreurs de l’élève et préciser les endroits où la rédaction est incomplète.


2. Le professeur souhaite distribuer un corrigé détaillé de l’exercice. Rédiger une telle correction.

Le code d’identification d’un article est composé de sept chiffres entre $0$ et $9$. Les six premiers chiffres identifient l’article, le septième est une clé de contrôle destinée à détecter une erreur dans l’écriture des six premiers chiffres. On notera $x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 x_7$ un tel code.
La clé de contrôle $x_7$ est le reste dans la division euclidienne par $10$ de la somme : $\mathrm{N}=\left(x_{1}+x_{3}+x_{5}\right)+7\left(x_{2}+x_{4}+x_{6}\right)$.

1. Calculer la clé du code suivant : 923451•.

2. Un des chiffres du code suivant a été effacé : 134 • 752. Retrouver ce chiffre.

3. Dans cette question, deux des chiffres du code ont été intervertis : au lieu de saisir $x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 x_7$, le dactylographe a saisi $x_1 x_3 x_2 x_4 x_5 x_6 x_7$.
Pour quelles valeurs de $x_2$ et de $x_3$ la clé de contrôle ne détecte‑t‑elle pas l’erreur ?

Copie d’élève

1. $\mathrm{N}=(9+3+5)+7 \times(2+4+1)=17+49=66$. Or, $\dfrac{66}{10}=6{,}6$.
Le reste de la division euclidienne de $\mathrm{N}$ par $10$ est $6$. La clé de contrôle est donc $6$.

2. $\mathrm{N}=(1+4+7)+7 \times\left(3+x_{4}+5\right)=68+7 x_{4}$. Pour que $68+7 x_{4}=10 q+2$, il faut que $x_{4}=2$.
En effet $82 = 10×8+2$.

3. On a $\mathrm{N}_{1}=\left(x_{1}+x_{3}+x_{5}\right)+7 \times\left(x_{2}+x_{4}+x_{6}\right)$ et $\mathrm{N}_{2}=\left(x_{1}+x_{2}+x_{5}\right)+7 \times\left(x_{3}+x_{4}+x_{6}\right)$. Pour que l’erreur ne soit pas détectée, il faut que $\mathrm{N}_{1} \equiv \mathrm{N}_{2}[10]$, c’est‑à‑dire que $10 |(\mathrm{N}_{1}-\mathrm{N}_{2})$.
Or, $\mathrm{N}_{1}-\mathrm{N}_{2}=6\left(x_{2}-x_{3}\right)$. $\mathrm{N}_{1}-\mathrm{N}_{2}$ est donc divisible par $10$ si $x_2 - x_3=0$.
Il faut donc que les deux chiffres soient les mêmes pour que l’erreur ne soit pas détectée.

1

Déterminer trois exemples d’équations diophantiennes pour lesquelles il n’existe pas de solution.

2

Déterminer une équation diophantienne pour laquelle l’ensemble des solutions est : $\{(3-2 k\,; 5+3 k) | k \in \mathbb{Z}\}$.

3

1. Déterminer deux exemples d’équations diophantiennes pour lesquelles $(2\,; 5)$ est un couple solution.


2. Déterminer une équation diophantienne pour laquelle $(1\,; 1)$ et $(3\,; 2)$ sont deux couples solutions.

4

Lors d’un devoir sur table, un élève écrit cette réponse juste :
« Le $\text{PGCD}$ des deux nombres vaut donc $30$ et le $\text{PPCM}$ des deux nombres vaut $3\,600$. » Rédiger un énoncé correspondant à cette réponse.

5

Lors d’une interrogation écrite, un élève écrit :
« Donc le nombre étudié possède 45 diviseurs. »
Donner trois exemples de tels nombres.

6

On considère l’équation diophantienne : $150 x+90 y=930$. Proposer un problème aboutissant à cette équation.

7

Voici la réponse à la question d’un énoncé : « Donc $9$ est un inverse de ce nombre modulo $14$. » Écrire un énoncé possible.