1. Trouver les erreurs de l'élève et préciser les endroits où la rédaction est incomplète.

2. Le professeur souhaite distribuer un corrigé détaillé de l'exercice. Rédiger une telle correction.

1. Calculer la clé du code suivant : 923451•.

2. Un des chiffres du code suivant a été effacé : 134 • 752. Retrouver ce chiffre.

3. Dans cette question, deux des chiffres du code ont été intervertis : au lieu de saisir $x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5{x}_6{x}_7$, le dactylographe a saisi $x_1{x}_3{x}_2{x}_4{x}_5{x}_6{x}_7$.
Pour quelles valeurs de $x_2$ et de $x_3$ la clé de contrôle ne détecte‑t‑elle pas l'erreur ?

1. $\mathrm{N}=(9+3+5)+7\times (2+4+1)=17+49=66$. Or, $\frac{66}{10}=6,6$.
Le reste de la division euclidienne de $\mathrm{N}$ par $10$ est $6$. La clé de contrôle est donc $6$.

2. $\mathrm{N}=(1+4+7)+7\times \left(3+x_4+5\right)=68+7x_4$. Pour que $68+7x_4=10q+2$, il faut que $x_4=2$.
En effet $82=10\times 8+2$.

3. On a ${\mathrm{N}}_1=\left(x_1+x_3+x_5\right)+7\times \left(x_2+x_4+x_6\right)$ et ${\mathrm{N}}_2=\left(x_1+x_2+x_5\right)+7\times \left(x_3+x_4+x_6\right)$. Pour que l'erreur ne soit pas détectée, il faut que ${\mathrm{N}}_1\equiv {\mathrm{N}}_2[10]$, c'est‑à‑dire que $10|({\mathrm{N}}_1-{\mathrm{N}}_2)$.
Or, ${\mathrm{N}}_1-{\mathrm{N}}_2=6\left(x_2-x_3\right)$. ${\mathrm{N}}_1-{\mathrm{N}}_2$ est donc divisible par $10$ si $x_2-x_3=0$.
Il faut donc que les deux chiffres soient les mêmes pour que l'erreur ne soit pas détectée.