Chapitre 5
Travailler autrement
On donne ci‑dessous un énoncé d'exercice et une copie d'élève.
1. Trouver les erreurs de l'élève et préciser les endroits où la rédaction est incomplète.
2. Le professeur souhaite distribuer un corrigé détaillé de l'exercice. Rédiger une telle correction.
Le code d'identification d'un article est composé de sept chiffres entre
0 et
9. Les six premiers chiffres identifient l'article, le septième est une clé de contrôle destinée à détecter une erreur dans l'écriture des six premiers chiffres. On notera
x1x2x3x4x5x6x7 un tel code.
La clé de contrôle
x7 est le reste dans la division euclidienne par
10 de la somme :
N=(x1+x3+x5)+7(x2+x4+x6).
1. Calculer la clé du code suivant : 923451•.
2. Un des chiffres du code suivant a été effacé : 134 • 752. Retrouver ce chiffre.
3. Dans cette question, deux des chiffres du code ont été intervertis : au lieu de saisir x1x2x3x4x5x6x7, le dactylographe a saisi x1x3x2x4x5x6x7.
Pour quelles valeurs de x2 et de x3 la clé de contrôle ne détecte‑t‑elle pas l'erreur ?
1. N=(9+3+5)+7×(2+4+1)=17+49=66. Or, 1066=6,6.
Le reste de la division euclidienne de N par 10 est 6. La clé de contrôle est donc 6.
2. N=(1+4+7)+7×(3+x4+5)=68+7x4. Pour que 68+7x4=10q+2, il faut que x4=2.
En effet 82=10×8+2.
3. On a N1=(x1+x3+x5)+7×(x2+x4+x6) et N2=(x1+x2+x5)+7×(x3+x4+x6). Pour que l'erreur ne soit pas détectée, il faut que N1≡N2[10], c'est‑à‑dire que 10∣(N1−N2).
Or, N1−N2=6(x2−x3). N1−N2 est donc divisible par 10 si x2−x3=0.
Il faut donc que les deux chiffres soient les mêmes pour que l'erreur ne soit pas détectée.
1
Déterminer trois exemples d'équations diophantiennes pour lesquelles il n'existe pas de solution.
2
Déterminer une équation diophantienne pour laquelle l'ensemble des solutions est :
{(3−2k;5+3k)∣k∈Z}.
3
1. Déterminer deux exemples d'équations diophantiennes pour lesquelles (2;5) est un couple solution.
2. Déterminer une équation diophantienne pour laquelle (1;1) et (3;2) sont deux couples solutions.
4
Lors d'un devoir sur table, un élève écrit cette réponse juste :
« Le PGCD des deux nombres vaut donc 30 et le PPCM des deux nombres vaut 3600. »
Rédiger un énoncé correspondant à cette réponse.
5
Lors d'une interrogation écrite, un élève écrit :
« Donc le nombre étudié possède 45 diviseurs. »
Donner trois exemples de tels nombres.
6
On considère l'équation diophantienne :
150x+90y=930.
Proposer un problème aboutissant à cette équation.
7
Voici la réponse à la question d'un énoncé :
« Donc 9 est un inverse de ce nombre modulo 14. »
Écrire un énoncé possible.
Lors de l'activité (étude de la production d'un élève), on explique de quelle manière fonctionne la clé d'identification d'un article.
À l'aide d'une recherche sur internet, expliquer le fonctionnement de la clé correspondant au numéro de votre carte vitale (code INSEE).
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