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Production d’élève

On donne ci‑dessous un énoncé d’exercice et une copie d’élève.

1. Trouver les erreurs de l’élève et préciser les endroits où la rédaction est incomplète.


2. Le professeur souhaite distribuer un corrigé détaillé de l’exercice. Rédiger une telle correction.
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Énoncé

Le code d’identification d’un article est composé de sept chiffres entre 00 et 99. Les six premiers chiffres identifient l’article, le septième est une clé de contrôle destinée à détecter une erreur dans l’écriture des six premiers chiffres. On notera x1x2x3x4x5x6x7x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 x_7 un tel code.
La clé de contrôle x7x_7 est le reste dans la division euclidienne par 1010 de la somme : N=(x1+x3+x5)+7(x2+x4+x6)\mathrm{N}=\left(x_{1}+x_{3}+x_{5}\right)+7\left(x_{2}+x_{4}+x_{6}\right).

1. Calculer la clé du code suivant : 923451•.

2. Un des chiffres du code suivant a été effacé : 134 • 752. Retrouver ce chiffre.

3. Dans cette question, deux des chiffres du code ont été intervertis : au lieu de saisir x1x2x3x4x5x6x7x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6 x_7, le dactylographe a saisi x1x3x2x4x5x6x7x_1 x_3 x_2 x_4 x_5 x_6 x_7.
Pour quelles valeurs de x2x_2 et de x3x_3 la clé de contrôle ne détecte‑t‑elle pas l’erreur ?


Copie d’élève

1. N=(9+3+5)+7×(2+4+1)=17+49=66\mathrm{N}=(9+3+5)+7 \times(2+4+1)=17+49=66. Or, 6610=6,6\dfrac{66}{10}=6{,}6.
Le reste de la division euclidienne de N\mathrm{N} par 1010 est 66. La clé de contrôle est donc 66.

2. N=(1+4+7)+7×(3+x4+5)=68+7x4\mathrm{N}=(1+4+7)+7 \times\left(3+x_{4}+5\right)=68+7 x_{4}. Pour que 68+7x4=10q+268+7 x_{4}=10 q+2, il faut que x4=2x_{4}=2.
En effet 82=10×8+282 = 10×8+2.

3. On a N1=(x1+x3+x5)+7×(x2+x4+x6)\mathrm{N}_{1}=\left(x_{1}+x_{3}+x_{5}\right)+7 \times\left(x_{2}+x_{4}+x_{6}\right) et N2=(x1+x2+x5)+7×(x3+x4+x6)\mathrm{N}_{2}=\left(x_{1}+x_{2}+x_{5}\right)+7 \times\left(x_{3}+x_{4}+x_{6}\right). Pour que l’erreur ne soit pas détectée, il faut que N1N2[10]\mathrm{N}_{1} \equiv \mathrm{N}_{2}[10], c’est‑à‑dire que 10(N1N2)10 |(\mathrm{N}_{1}-\mathrm{N}_{2}).
Or, N1N2=6(x2x3)\mathrm{N}_{1}-\mathrm{N}_{2}=6\left(x_{2}-x_{3}\right). N1N2\mathrm{N}_{1}-\mathrm{N}_{2} est donc divisible par 1010 si x2x3=0x_2 - x_3=0.
Il faut donc que les deux chiffres soient les mêmes pour que l’erreur ne soit pas détectée.

Exercices inversés


1

Déterminer trois exemples d’équations diophantiennes pour lesquelles il n’existe pas de solution.
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2

Déterminer une équation diophantienne pour laquelle l’ensemble des solutions est :
{(32k;5+3k)kZ}\{(3-2 k\,; 5+3 k) | k \in \mathbb{Z}\}.
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3

1. Déterminer deux exemples d’équations diophantiennes pour lesquelles (2;5)(2\,; 5) est un couple solution.


2. Déterminer une équation diophantienne pour laquelle (1;1)(1\,; 1) et (3;2)(3\,; 2) sont deux couples solutions.
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4

Lors d’un devoir sur table, un élève écrit cette réponse juste :
« Le PGCD\text{PGCD} des deux nombres vaut donc 3030 et le PPCM\text{PPCM} des deux nombres vaut 36003\,600. »
Rédiger un énoncé correspondant à cette réponse.
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5

Lors d’une interrogation écrite, un élève écrit :
« Donc le nombre étudié possède 45 diviseurs. »
Donner trois exemples de tels nombres.
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6


On considère l’équation diophantienne :
150x+90y=930150 x+90 y=930.
Proposer un problème aboutissant à cette équation.
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7

Voici la réponse à la question d’un énoncé :
« Donc 99 est un inverse de ce nombre modulo 1414. »
Écrire un énoncé possible.
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Recherche / Exposé

Lors de l’activité (étude de la production d’un élève), on explique de quelle manière fonctionne la clé d’identification d’un article.
À l’aide d’une recherche sur internet, expliquer le fonctionnement de la clé correspondant au numéro de votre carte vitale (code INSEE).
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