Les entiers suivants ne sont pas des nombres premiers. Indiquer un diviseur premier pour chacun d’eux.
49 ;
10650 ;
1015 ;
774 ;
1911 ;
121.
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36
FLASH
Combien y a‑t‑il de nombres premiers inférieurs ou égaux à 30 ?
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37
[Calculer.]◉◉◉
En utilisant la calculatrice, indiquer les nombres premiers parmi les entiers suivants :
4247 ;
5099 ;
7429 ;
7639.
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38
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Déterminer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. « La somme de deux entiers consécutifs peut être un nombre premier. »
2. « La somme de trois entiers impairs consécutifs peut être un nombre premier. »
3. « Pour tout entier p supérieur ou égal à 2, l’entier p2−1 n’est pas premier. »
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39
[Calculer.]◉◉◉ 1. On souhaite déterminer tous les entiers naturels n tels que les nombres n+1, n+3, n+7, n+9, n+13 et
n+15 soient premiers.
a. Parmi les entiers n compris entre 0 et 5, quels sont ceux qui conviennent ?
b. Montrer qu’aucun nombre n strictement supérieur à 5 ne convient.
Aide
On pourra, pour cela, raisonner par disjonction de cas en fonction des valeurs de n modulo 5.
2. En utilisant la même méthode qu’à la question 1, déterminer tous les entiers naturels n tels que les nombres n, n+2, n+6, n+8, n+12 et n+14 soient
premiers.
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40
[Calculer.]◉◉◉ 1. Prouver que, pour tout entier naturel n, l’un des trois entiers n, n+10 et n+20 est un multiple de 3.
2. En déduire l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles les entiers n, n+10 et n+20 sont tous les trois des nombres premiers.
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41
[Chercher.]
Déterminer trois nombres premiers de la forme n4+m4 où m et n désignent des entiers naturels.
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42
[Raisonner.]
[DÉMO]
Soit n un entier naturel non premier supérieur à 2.
On veut démontrer que n admet au moins un diviseur premier p vérifiant p⩽n.
1. Justifier qu’il existe deux entiers naturels a et b supérieurs ou égaux à 2 tels que n=ab.
2. On suppose par l’absurde que a et b sont tous les deux strictement supérieurs à n.
Déterminer alors un minorant strict de ab et aboutir à une contradiction.
3. En déduire que n admet un diviseur premier p inférieur à n.
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43
[Raisonner.]
On considère trois entiers naturels consécutifs et non nuls que l’on note n, n+1 et n+2.
1. Montrer que la somme n+(n+1)+(n+2) n’est pas un nombre premier.
2. Montrer de même que la somme de cinq entiers consécutifs n’est pas un nombre premier.
3. Montrer que si k est un entier naturel impair et supérieur à 5, alors la somme de k entiers consécutifs n’est pas un nombre premier.
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44
[Calculer.]◉◉◉
Deux nombres premiers sont appelés des nombres premiers jumeaux lorsque leur différence est égale à 2.
Les nombres 3 et 5, par exemple, sont des nombres premiers jumeaux.
1. Donner cinq autres exemples de couples de nombres
premiers jumeaux inférieurs à 100.
2. Montrer que les nombres 1619 et 1621 sont des nombres premiers jumeaux.
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45
[Calculer.] 1. Montrer que pour tous nombres réels x et y :
x3−y3=(x−y)×(x2+xy+y2).
2. Déterminer l’ensemble des nombres premiers de la forme x3+8, où x est un nombre entier.
3. Déterminer l’ensemble des nombres premiers de la forme x3+1, où x est un nombre entier.
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46
[Chercher.]◉◉◉ 1. Justifier que pour tous nombres réels x et y :
x4+4y4=(x2−2xy+2y2)(x2+2xy+2y2).
2. Déterminer l’ensemble des nombres premiers de la forme x4+4, où x est un nombre entier.
3. Montrer que l’entier 2854+4285 n’est pas premier.
Pourquoi n’est‑il pas envisageable de répondre à cette question en utilisant simplement un test classique de primalité tel que celui présenté dans le cours ?
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47
[Raisonner.]◉◉◉
On considère un nombre premier p supérieur ou égal à 5. L’objectif de l’exercice est de démontrer que p2−1 est divisible par 24.
1. Vérifier que cette propriété est vraie pour p=5, p=7 et p=11.
2.a. Justifier que p≡1[3] ou p≡2[3].
b. En déduire que p2−1 est divisible par 3.
3. Montrer que p2−1 est divisible par 8.
4. Déduire des questions 2. et 3. que p2−1≡0[24] et conclure.
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48
[Communiquer.]
On demande à un élève de donner une suite de six nombres consécutifs qui ne sont pas premiers. Voici sa
réponse : « Les nombres suivants ne sont pas premiers : 7!+2 ; 7!+3 ; 7!+4 ; 7!+5 ; 7!+6 ; 7!+7. »
1. Justifier, sans calculatrice, que la liste donnée par l’élève répond bien à la question.
2. On considère un entier naturel n⩾2.
Est‑il toujours possible de trouver une suite de n nombres entiers consécutifs qui ne sont pas premiers ? Justifier.
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49
[Chercher.] D’après bac S, Polynésie, septembre 2003
1. Montrer que si p est un nombre premier supérieur ou égal à 7, alors p4−1 est divisible par 240. On pourra montrer que p4−1 est divisible par 3, par 16 et par 5.
2. Existe‑t‑il quinze nombres premiers p1, p2, … , p15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l’entier p14+p24+…+p154 soit un nombre premier ?
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50
PYTHON
[Modéliser.]
On considère un entier n supérieur ou égal à 2.
Le programme ci‑dessous, écrit en langage Python, renvoie True dans le cas où n est premier et False dans le cas contraire.
1. À quoi la commande % correspond‑elle ? Quelle est l’utilité de la variable R dans cet algorithme ?
2. Programmer cet algorithme en complétant la ligne 4.
def testpremier(n):
k = 2
R = 1
while ... :
R = n % k
k = k + 1
if k == n +1:
return True
else:
return False
3. Tester cet l’algorithme afin de déterminer si les nombres k=1067, ℓ=20903 et m=57590009 sont premiers ou non.
4. En pratique, si le nombre n est premier et supérieur ou égal à 3, il est nécessairement impair. Si n est impair, il s’avère alors inutile de tester la divisibilité de n par les nombres pairs. Afin de rendre l’algorithme précédent plus efficace, le modifier en tenant compte de cette remarque.
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51
[Communiquer, Raisonner.] 1. L’objectif de cette question est de montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3, avec n∈N, c’est‑à‑dire une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
Pour cela, on suppose par l’absurde qu’il n’en existe qu’un nombre fini que l’on note p1, p2, … , pk.
On pose alors N=4×p1p2…pk+3.
On suppose que, pour tout entier i compris entre 1 et k, on a pi>3.
a. Justifier que {pi,i∈N∗,1⩽i⩽k} est non vide.
b. Si q est un diviseur premier de N, montrer que q est impair, puis que q≡1[4].
Aide
Si q est impair, alors il est de la forme 4m+1 ou 4m+3.
c. Aboutir à une contradiction, puis en déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3.
2. En appliquant la même méthode, montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6n+5.
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52
[Raisonner.]
On considère un entier n⩾2 et on définit l’entier Mn=2n−1, appelé n‑ième nombre de Mersenne.
1. Vérifier que M2, M3 et M5 sont premiers.
2. Dans cette question, on suppose que n n’est pas un nombre premier. Par conséquent, il existe un nombre premier p⩾2 et un entier k⩾2 tels que n=pk.
a. Montrer que :
2n−1=(2p−1)×(1+2p+(2p)2+…+(2p)k−1).
b. En déduire que Mn est divisible par 2p−1.
3. Déduire de la question précédente que si Mn est un nombre premier, alors n est un nombre premier.
4. Montrer que la réciproque n’est pas vraie : si l’entier n est premier, alors l’entier Mn n’est pas nécessairement premier.
Aide
On pourra considérer le cas n=11.
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Histoire des maths
Marin Mersenne (1588‑1648) a étudié les nombres de la forme 2n−1 au début du XVIIe siècle, ce qui explique leur appellation.
Il n’était néanmoins pas le premier : les mathématiciens grecs s’étaient déjà intéressés à ces nombres dès l’Antiquité.
Aujourd’hui encore, ces nombres sont utilisés dans la recherche de grands nombres premiers. Le plus grand nombre premier connu aujourd’hui, découvert en décembre 2018, est d’ailleurs un nombre de Mersenne. Il s’agit de 282589933−1, qui comporte près de 25 millions de chiffres en écriture décimale.
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[Modéliser.]
PYTHON
On considère un entier n supérieur ou égal à 2.
L’algorithme ci‑dessous, écrit en langage Python, renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à n.
1.a. Rappeler la signification des différentes commandes utilisées dans l’algorithme (range, sqrt, %, append, not, index).
b. À chaque étape de l’algorithme, que fait‑on avec les listes D et E ?
c. Pourquoi a‑t‑on choisi la condition k⩽n à la ligne 5 et non pas k⩽n ?
d. Effectuer à la main les opérations successives de l’algorithme, en prenant l’exemple de n=7 en entrée.
2. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de n.
3.a. Quelle commande Python permet de calculer le nombre d’éléments d’une liste ? Utiliser cette commande afin de déterminer le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à 1000.
b. Il est possible, bien que très délicat, de démontrer que lorsque n est grand, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n est environ égal à ln(n)n.
Vérifier cette propriété pour n=1000.
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Histoire des maths
En 1896, Charles‑Jean de la Vallée Poussin (1866‑1962) a démontré qu’il y a environ ln(n)n nombres premiers inférieurs à n lorsque n est grand. Il a découvert cette preuve indépendamment de Jacques Hadamard qui, lui aussi, est parvenu à démontrer ce résultat la même année. Cette propriété a en fait été conjecturée dès la fin du XVIIIe siècle par Johann Carl Friedrich Gauss et par Adrien‑Marie Legendre.
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