1

L’ensemble des nombres premiers

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 37 ; 44 ; 57 ; 58 ; 61 et 72
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 47 ; 60 ; 66 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 39 ; 46 ; 59 ; 64 et 75

34

Parmi les nombres suivants, indiquer ceux qui sont des nombres premiers : $1$ ; $2$ ; $5$ ; $17$ ; $27$ ; $29$ ; $31$ ; $78$ ; $87$ ; $97$ ; $99$ ; $101$ ; $103$.

35

Les entiers suivants ne sont pas des nombres premiers. Indiquer un diviseur premier pour chacun d’eux.

$49$ ;


$10 650$ ;


$1 015$ ;


$774$ ;


$1 911$ ;


$121$.

36

Combien y a‑t‑il de nombres premiers inférieurs ou égaux à $30$ ?

37

[Calculer.] ◉◉◉
En utilisant la calculatrice, indiquer les nombres premiers parmi les entiers suivants :

$4 247$ ;


$5 099$ ;


$7 429$ ;


$7 639$.

38

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
Déterminer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. « La somme de deux entiers consécutifs peut être un nombre premier. »


2. « La somme de trois entiers impairs consécutifs peut être un nombre premier. »


3. « Pour tout entier $p$ supérieur ou égal à $2$, l’entier $p^2 - 1$ n’est pas premier. »

39

[Calculer.] ◉◉◉
1. On souhaite déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que les nombres $n+1$, $n+3$, $n+7$, $n+9$, $n+13$ et $n+15$ soient premiers.
a. Parmi les entiers $n$ compris entre $0$ et $5$, quels sont ceux qui conviennent ?


b. Montrer qu’aucun nombre $n$ strictement supérieur à $5$ ne convient.




2. En utilisant la même méthode qu’à la question 1, déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que les nombres $n$, $n+2$, $n+6$, $n+8$, $n+12$ et $n+14$ soient premiers.

40

[Calculer.] ◉◉◉
1. Prouver que, pour tout entier naturel $n$, l’un des trois entiers $n$, $n+10$ et $n+20$ est un multiple de $3$.


2. En déduire l’ensemble des valeurs de $n$ pour lesquelles les entiers $n$, $n+10$ et $n+20$ sont tous les trois des nombres premiers.

41

[Chercher.]
Déterminer trois nombres premiers de la forme $n^4+m^4$ où $m$ et $n$ désignent des entiers naturels.

42

[Raisonner.]  

[DÉMO]

Soit $n$ un entier naturel non premier supérieur à $2$.
On veut démontrer que $n$ admet au moins un diviseur premier $p$ vérifiant $p \leqslant \sqrt{n}$.

1. Justifier qu’il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ supérieurs ou égaux à $2$ tels que $n=ab$.


2. On suppose par l’absurde que $a$ et $b$ sont tous les deux strictement supérieurs à $\sqrt{n}$.
Déterminer alors un minorant strict de $ab$ et aboutir à une contradiction.


3. En déduire que $n$ admet un diviseur premier $p$ inférieur à $\sqrt{n}$.

43

[Raisonner.]
On considère trois entiers naturels consécutifs et non nuls que l’on note $n$, $n+1$ et $n+2$.

1. Montrer que la somme $n+(n+1)+(n+2)$ n’est pas un nombre premier.


2. Montrer de même que la somme de cinq entiers consécutifs n’est pas un nombre premier.


3. Montrer que si $k$ est un entier naturel impair et supérieur à $5$, alors la somme de $k$ entiers consécutifs n’est pas un nombre premier.

44

[Calculer.] ◉◉◉
Deux nombres premiers sont appelés des nombres premiers jumeaux lorsque leur différence est égale à $2$.
Les nombres $3$ et $5$, par exemple, sont des nombres premiers jumeaux.

1. Donner cinq autres exemples de couples de nombres premiers jumeaux inférieurs à $100$.


2. Montrer que les nombres $1 619$ et $1 621$ sont des nombres premiers jumeaux.

45

[Calculer.]
1. Montrer que pour tous nombres réels $x$ et $y$ : $x^{3}-y^{3}=(x-y) \times\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)$.

2. Déterminer l’ensemble des nombres premiers de la forme $x^3 + 8$, où $x$ est un nombre entier.


3. Déterminer l’ensemble des nombres premiers de la forme $x^3 + 1$, où $x$ est un nombre entier.

46

[Chercher.] ◉◉◉
1. Justifier que pour tous nombres réels $x$ et $y$ : $x^{4}+4 y^{4}=\left(x^{2}-2 x y+2 y^{2}\right)\left(x^{2}+2 x y+2 y^{2}\right)$.

2. Déterminer l’ensemble des nombres premiers de la forme $x^4 + 4$, où $x$ est un nombre entier.


3. Montrer que l’entier $285^4+4^{285}$ n’est pas premier.
Pourquoi n’est‑il pas envisageable de répondre à cette question en utilisant simplement un test classique de primalité tel que celui présenté dans le cours ?

47

[Raisonner.] ◉◉◉
On considère un nombre premier $p$ supérieur ou égal à $5$. L’objectif de l’exercice est de démontrer que $p^2 - 1$ est divisible par $24$.

1. Vérifier que cette propriété est vraie pour $p=5$, $p=7$ et $p=11$.


2. a. Justifier que $p \equiv 1[3]$ ou $p \equiv 2[3]$.


b. En déduire que $p^2 - 1$ est divisible par $3$.


3. Montrer que $p^2 - 1$ est divisible par $8$.


4. Déduire des questions 2. et 3. que $p^{2}-1 \equiv 0[24]$ et conclure.

48

[Communiquer.]
On demande à un élève de donner une suite de six nombres consécutifs qui ne sont pas premiers. Voici sa réponse : « Les nombres suivants ne sont pas premiers : $7 !+2$ ; $7 !+3$ ; $7 !+4$ ; $7 !+5$ ; $7 !+6$ ; $7 !+7$. »

1. Justifier, sans calculatrice, que la liste donnée par l’élève répond bien à la question.


2. On considère un entier naturel $n \geqslant 2$.
Est‑il toujours possible de trouver une suite de $n$ nombres entiers consécutifs qui ne sont pas premiers ? Justifier.

49

[Chercher.]
D’après bac S, Polynésie, septembre 2003

1. Montrer que si $p$ est un nombre premier supérieur ou égal à $7$, alors $p^4 - 1$ est divisible par $240$. On pourra montrer que $p^4 - 1$ est divisible par $3$, par $16$ et par $5$.


2. Existe‑t‑il quinze nombres premiers $p_1$, $p_2$, … , $p_{15}$ supérieurs ou égaux à $7$ tels que l’entier $p_{1}^{4}+p_{2}^{4}+\ldots+p_{15}^{4}$ soit un nombre premier ?

50

PYTHON

[Modéliser.]
On considère un entier $n$ supérieur ou égal à $2$.
Le programme ci‑dessous, écrit en langage Python, renvoie True dans le cas où $n$ est premier et False dans le cas contraire.

1. À quoi la commande % correspond‑elle ? Quelle est l’utilité de la variable R dans cet algorithme ?


2. Programmer cet algorithme en complétant la ligne 4.

def testpremier(n):
	k = 2
	R = 1
	while ... :
		R = n % k
		k = k + 1
	if k == n +1:
		return True
	else:
		return False

3. Tester cet l’algorithme afin de déterminer si les nombres $k=1 067$, $\ell = 20 903$ et $m = 57 590 009$ sont premiers ou non.


4. En pratique, si le nombre $n$ est premier et supérieur ou égal à $3$, il est nécessairement impair. Si $n$ est impair, il s’avère alors inutile de tester la divisibilité de $n$ par les nombres pairs. Afin de rendre l’algorithme précédent plus efficace, le modifier en tenant compte de cette remarque.

51

[Communiquer, Raisonner.]
1. L’objectif de cette question est de montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4n+3$, avec $n \in \mathbb{N}$, c’est‑à‑dire une infinité de nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$.
Pour cela, on suppose par l’absurde qu’il n’en existe qu’un nombre fini que l’on note $p_1$, $p_2$, … , $p_k$.
On pose alors $\mathrm{N}=4 \times p_{1} p_{2} \ldots p_{k}+3$.
On suppose que, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $k$, on a $p_{i}>3$.

a. Justifier que $\left\{p_{i}, i \in \mathbb{N}^{*}, 1 \leqslant i \leqslant k\right\}$ est non vide.


b. Si $q$ est un diviseur premier de $\mathrm{N}$, montrer que $q$ est impair, puis que $q \equiv 1[4]$.




c. Aboutir à une contradiction, puis en déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme $4n + 3$.


2. En appliquant la même méthode, montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme $6n + 5$.

52

[Raisonner.]
On considère un entier $n \geqslant 2$ et on définit l’entier $\mathrm{M}_{n}=2^{n}-1$, appelé $n$‑ième nombre de Mersenne.

1. Vérifier que $\mathrm{M}_{2}$, $\mathrm{M}_{3}$ et $\mathrm{M}_{5}$ sont premiers.


2. Dans cette question, on suppose que $n$ n’est pas un nombre premier. Par conséquent, il existe un nombre premier $p \geqslant 2$ et un entier $k \geqslant 2$ tels que $n = pk$.
a. Montrer que : $2^{n}-1=\left(2^{p}-1\right) \times\left(1+2^{p}+\left(2^{p}\right)^{2}+\ldots+\left(2^{p}\right)^{k-1}\right)$.

b. En déduire que $\mathrm{M}_n$ est divisible par $2^p - 1$.


3. Déduire de la question précédente que si $\mathrm{M}_n$ est un nombre premier, alors $n$ est un nombre premier.


4. Montrer que la réciproque n’est pas vraie : si l’entier $n$ est premier, alors l’entier $\mathrm{M}_n$ n’est pas nécessairement premier.

53

[Modéliser.]

PYTHON

On considère un entier $n$ supérieur ou égal à $2$.
L’algorithme ci‑dessous, écrit en langage Python, renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$.

1. a. Rappeler la signification des différentes commandes utilisées dans l’algorithme (range, sqrt, %, append, not, index).


b. À chaque étape de l’algorithme, que fait‑on avec les listes D et E ?


c. Pourquoi a‑t‑on choisi la condition $k \leqslant \sqrt{n}$ à la ligne 5 et non pas $k \leqslant n$ ?


d. Effectuer à la main les opérations successives de l’algorithme, en prenant l’exemple de $n=7$ en entrée.


2. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de $n$.

3. a. Quelle commande Python permet de calculer le nombre d’éléments d’une liste ? Utiliser cette commande afin de déterminer le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $1 000$.


b. Il est possible, bien que très délicat, de démontrer que lorsque $n$ est grand, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$ est environ égal à $\dfrac{n}{\ln (n)}$.
Vérifier cette propriété pour $n=1 000$.