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35
Flash
Les entiers suivants ne sont pas des nombres premiers. Indiquer un diviseur premier pour chacun d'eux.
49 ;
10650 ;
1015 ;
774 ;
1911 ;
121.
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36
Flash
Combien y a‑t‑il de nombres premiers inférieurs ou égaux à 30 ?
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37
[Calculer.]
En utilisant la calculatrice, indiquer les nombres premiers parmi les entiers suivants :
4247 ;
5099 ;
7429 ;
7639.
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38
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Déterminer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
1. « La somme de deux entiers consécutifs peut être un nombre premier. »
2. « La somme de trois entiers impairs consécutifs peut être un nombre premier. »
3. « Pour tout entier p supérieur ou égal à 2, l'entier p2−1 n'est pas premier. »
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39
[Calculer.]
1. On souhaite déterminer tous les entiers naturels n tels que les nombres n+1, n+3, n+7, n+9, n+13 et
n+15 soient premiers.
a. Parmi les entiers n compris entre 0 et 5, quels sont ceux qui conviennent ?
b. Montrer qu'aucun nombre n strictement supérieur à 5 ne convient.
On pourra, pour cela, raisonner par disjonction de cas en fonction des valeurs de n modulo 5.
Aide
2. En utilisant la même méthode qu'à la question 1, déterminer tous les entiers naturels n tels que les nombres n, n+2, n+6, n+8, n+12 et n+14 soient
premiers.
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40
[Calculer.]
1. Prouver que, pour tout entier naturel n, l'un des trois entiers n, n+10 et n+20 est un multiple de 3.
2. En déduire l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles les entiers n, n+10 et n+20 sont tous les trois des nombres premiers.
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[Chercher.] Déterminer trois nombres premiers de la forme n4+m4 où m et n désignent des entiers naturels.
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42
Démo
[Raisonner.]
Soit n un entier naturel non premier supérieur à 2.
On veut démontrer que n admet au moins un diviseur premier p vérifiant p⩽n.
1. Justifier qu'il existe deux entiers naturels a et b supérieurs ou égaux à 2 tels que n=ab.
2. On suppose par l'absurde que a et b sont tous les deux strictement supérieurs à n.
Déterminer alors un minorant strict de ab et aboutir à une contradiction.
3. En déduire que n admet un diviseur premier p inférieur à n.
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43
[Raisonner.]
On considère trois entiers naturels consécutifs et non nuls que l'on note n, n+1 et n+2.
1. Montrer que la somme n+(n+1)+(n+2) n'est pas un nombre premier.
2. Montrer de même que la somme de cinq entiers consécutifs n'est pas un nombre premier.
3. Montrer que si k est un entier naturel impair et supérieur à 5, alors la somme de k entiers consécutifs n'est pas un nombre premier.
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44
[Calculer.]
Deux nombres premiers sont appelés des nombres premiers jumeaux lorsque leur différence est égale à 2.
Les nombres 3 et 5, par exemple, sont des nombres premiers jumeaux.
1. Donner cinq autres exemples de couples de nombres
premiers jumeaux inférieurs à 100.
2. Montrer que les nombres 1619 et 1621 sont des nombres premiers jumeaux.
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45
[Calculer.] 1. Montrer que pour tous nombres réels x et y :
x3−y3=(x−y)×(x2+xy+y2).
2. Déterminer l'ensemble des nombres premiers de la forme x3+8, où x est un nombre entier.
3. Déterminer l'ensemble des nombres premiers de la forme x3+1, où x est un nombre entier.
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46
[Chercher.]
1. Justifier que pour tous nombres réels x et y :
x4+4y4=(x2−2xy+2y2)(x2+2xy+2y2).
2. Déterminer l'ensemble des nombres premiers de la forme x4+4, où x est un nombre entier.
3. Montrer que l'entier 2854+4285 n'est pas premier.
Pourquoi n'est‑il pas envisageable de répondre à cette question en utilisant simplement un test classique de primalité tel que celui présenté dans le cours ?
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47
[Raisonner.]
On considère un nombre premier p supérieur ou égal à 5. L'objectif de l'exercice est de démontrer que p2−1 est divisible par 24.
1. Vérifier que cette propriété est vraie pour p=5, p=7 et p=11.
2.a. Justifier que p≡1[3] ou p≡2[3].
b. En déduire que p2−1 est divisible par 3.
3. Montrer que p2−1 est divisible par 8.
4. Déduire des questions 2. et 3. que p2−1≡0[24] et conclure.
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48
[Communiquer.]
On demande à un élève de donner une suite de six nombres consécutifs qui ne sont pas premiers. Voici sa
réponse : « Les nombres suivants ne sont pas premiers : 7!+2 ; 7!+3 ; 7!+4 ; 7!+5 ; 7!+6 ; 7!+7. »
1. Justifier, sans calculatrice, que la liste donnée par l'élève répond bien à la question.
2. On considère un entier naturel n⩾2.
Est‑il toujours possible de trouver une suite de n nombres entiers consécutifs qui ne sont pas premiers ? Justifier.
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49
[Chercher.] D'après bac S, Polynésie, septembre 2003
1. Montrer que si p est un nombre premier supérieur ou égal à 7, alors p4−1 est divisible par 240. On pourra montrer que p4−1 est divisible par 3, par 16 et par 5.
2. Existe‑t‑il quinze nombres premiers p1, p2, … , p15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l'entier p14+p24+…+p154 soit un nombre premier ?
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50
Python
[Modéliser.]
On considère un entier n supérieur ou égal à 2.
Le programme ci‑dessous, écrit en langage Python, renvoie True dans le cas où n est premier et False dans le cas contraire.
1. À quoi la commande % correspond‑elle ? Quelle est l'utilité de la variable R dans cet algorithme ?
2. Programmer cet algorithme en complétant la ligne 4.
def testpremier(n):
k = 2
R = 1
while ... :
R = n % k
k = k + 1
if k == n +1:
return True
else:
return False
3. Tester cet l'algorithme afin de déterminer si les nombres k=1067, ℓ=20903 et m=57590009 sont premiers ou non.
4. En pratique, si le nombre n est premier et supérieur ou égal à 3, il est nécessairement impair. Si n est impair, il s'avère alors inutile de tester la divisibilité de n par les nombres pairs. Afin de rendre l'algorithme précédent plus efficace, le modifier en tenant compte de cette remarque.
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51
[Communiquer, Raisonner.]
1. L'objectif de cette question est de montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3, avec n∈N, c'est‑à‑dire une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
Pour cela, on suppose par l'absurde qu'il n'en existe qu'un nombre fini que l'on note p1, p2, … , pk.
On pose alors N=4×p1p2…pk+3.
On suppose que, pour tout entier i compris entre 1 et k, on a pi>3.
a. Justifier que {pi,i∈N∗,1⩽i⩽k} est non vide.
b. Si q est un diviseur premier de N, montrer que q est impair, puis que q≡1[4].
Si q est impair, alors il est de la forme 4m+1 ou 4m+3.
Aide
c. Aboutir à une contradiction, puis en déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3.
2. En appliquant la même méthode, montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6n+5.
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52
[Raisonner.]
On considère un entier n⩾2 et on définit l'entier Mn=2n−1, appelé n‑ième nombre de Mersenne.
1. Vérifier que M2, M3 et M5 sont premiers.
2. Dans cette question, on suppose que n n'est pas un nombre premier. Par conséquent, il existe un nombre premier p⩾2 et un entier k⩾2 tels que n=pk.
a. Montrer que :
2n−1=(2p−1)×(1+2p+(2p)2+…+(2p)k−1).
b. En déduire que Mn est divisible par 2p−1.
3. Déduire de la question précédente que si Mn est un nombre premier, alors n est un nombre premier.
4. Montrer que la réciproque n'est pas vraie : si l'entier n est premier, alors l'entier Mn n'est pas nécessairement premier.
On pourra considérer le cas n=11.
Aide
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53
Python
[Modéliser.]
On considère un entier n supérieur ou égal à 2.
L'algorithme ci‑dessous, écrit en langage Python, renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à n.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1.a. Rappeler la signification des différentes commandes utilisées dans l'algorithme (range, sqrt, %, append, not, index).
b. À chaque étape de l'algorithme, que fait‑on avec les listes D et E ?
c. Pourquoi a‑t‑on choisi la condition k⩽n à la ligne 5 et non pas k⩽n ?
d. Effectuer à la main les opérations successives de l'algorithme, en prenant l'exemple de n=7 en entrée.
2. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de n.
3.a. Quelle commande Python permet de calculer le nombre d'éléments d'une liste ? Utiliser cette commande afin de déterminer le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à 1000.
b. Il est possible, bien que très délicat, de démontrer que lorsque n est grand, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n est environ égal à ln(n)n.
Vérifier cette propriété pour n=1000.
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