1. On souhaite déterminer tous les entiers naturels n tels que les nombres n+1, n+3, n+7, n+9, n+13 et n+15 soient premiers.
a. Parmi les entiers n compris entre 0 et 5, quels sont ceux qui conviennent ?

b. Montrer qu'aucun nombre n strictement supérieur à 5 ne convient.

Aide

On pourra, pour cela, raisonner par disjonction de cas en fonction des valeurs de n modulo 5.

2. En utilisant la même méthode qu'à la question 1, déterminer tous les entiers naturels n tels que les nombres n, n+2, n+6, n+8, n+12 et n+14 soient premiers.

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40
[Calculer.]

1. Prouver que, pour tout entier naturel n, l'un des trois entiers n, n+10 et n+20 est un multiple de 3.

2. En déduire l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles les entiers n, n+10 et n+20 sont tous les trois des nombres premiers.

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41
[Chercher.]
Déterminer trois nombres premiers de la forme n^4+m^4 où m et n désignent des entiers naturels.

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42
Démo
[Raisonner.]
Soit n un entier naturel non premier supérieur à 2.
On veut démontrer que n admet au moins un diviseur premier p vérifiant p \leqslant \sqrt{n}.

1. Justifier qu'il existe deux entiers naturels a et b supérieurs ou égaux à 2 tels que n=ab.

2. On suppose par l'absurde que a et b sont tous les deux strictement supérieurs à \sqrt{n}.
Déterminer alors un minorant strict de ab et aboutir à une contradiction.

3. En déduire que n admet un diviseur premier p inférieur à \sqrt{n}.

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43
[Raisonner.]
On considère trois entiers naturels consécutifs et non nuls que l'on note n, n+1 et n+2.

1. Montrer que la somme n+(n+1)+(n+2) n'est pas un nombre premier.

2. Montrer de même que la somme de cinq entiers consécutifs n'est pas un nombre premier.

3. Montrer que si k est un entier naturel impair et supérieur à 5, alors la somme de k entiers consécutifs n'est pas un nombre premier.

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44
[Calculer.]

Deux nombres premiers sont appelés des nombres premiers jumeaux lorsque leur différence est égale à 2.
Les nombres 3 et 5, par exemple, sont des nombres premiers jumeaux.

1. Donner cinq autres exemples de couples de nombres premiers jumeaux inférieurs à 100.

2. Montrer que les nombres 1 619 et 1 621 sont des nombres premiers jumeaux.

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45
[Calculer.]
1. Montrer que pour tous nombres réels x et y :

x^{3}-y^{3}=(x-y) \times\left(x^{2}+x y+y^{2}\right).

2. Déterminer l'ensemble des nombres premiers de la forme x^3 + 8, où x est un nombre entier.

3. Déterminer l'ensemble des nombres premiers de la forme x^3 + 1, où x est un nombre entier.

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46
[Chercher.]

1. Justifier que pour tous nombres réels x et y :

x^{4}+4 y^{4}=\left(x^{2}-2 x y+2 y^{2}\right)\left(x^{2}+2 x y+2 y^{2}\right).

2. Déterminer l'ensemble des nombres premiers de la forme x^4 + 4, où x est un nombre entier.

3. Montrer que l'entier 285^4+4^{285} n'est pas premier.
Pourquoi n'est‑il pas envisageable de répondre à cette question en utilisant simplement un test classique de primalité tel que celui présenté dans le cours ?

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47
[Raisonner.]

On considère un nombre premier p supérieur ou égal à 5. L'objectif de l'exercice est de démontrer que p^2 - 1 est divisible par 24.

1. Vérifier que cette propriété est vraie pour p=5, p=7 et p=11.

2. a. Justifier que p \equiv 1[3] ou p \equiv 2[3].

b. En déduire que p^2 - 1 est divisible par 3.

3. Montrer que p^2 - 1 est divisible par 8.

4. Déduire des questions 2. et 3. que p^{2}-1 \equiv 0[24] et conclure.

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48
[Communiquer.]
On demande à un élève de donner une suite de six nombres consécutifs qui ne sont pas premiers. Voici sa réponse : « Les nombres suivants ne sont pas premiers : 7 !+2 ; 7 !+3 ; 7 !+4 ; 7 !+5 ; 7 !+6 ; 7 !+7. »

1. Justifier, sans calculatrice, que la liste donnée par l'élève répond bien à la question.

2. On considère un entier naturel n \geqslant 2.
Est‑il toujours possible de trouver une suite de n nombres entiers consécutifs qui ne sont pas premiers ? Justifier.

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49
[Chercher.]
D'après bac S, Polynésie, septembre 2003

1. Montrer que si p est un nombre premier supérieur ou égal à 7, alors p^4 - 1 est divisible par 240. On pourra montrer que p^4 - 1 est divisible par 3, par 16 et par 5.

2. Existe‑t‑il quinze nombres premiers p_1, p_2, … , p_{15} supérieurs ou égaux à 7 tels que l'entier p_{1}^{4}+p_{2}^{4}+\ldots+p_{15}^{4} soit un nombre premier ?

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50
Python
[Modéliser.]
On considère un entier n supérieur ou égal à 2.
Le programme ci‑dessous, écrit en langage Python, renvoie True dans le cas où n est premier et False dans le cas contraire.

1. À quoi la commande % correspond‑elle ? Quelle est l'utilité de la variable R dans cet algorithme ?

2. Programmer cet algorithme en complétant la ligne 4.

def testpremier(n):
	k = 2
	R = 1
	while ... :
		R = n % k
		k = k + 1
	if k == n +1:
		return True
	else:
		return False

3. Tester cet l'algorithme afin de déterminer si les nombres k=1 067, \ell = 20 903 et m = 57 590 009 sont premiers ou non.

4. En pratique, si le nombre n est premier et supérieur ou égal à 3, il est nécessairement impair. Si n est impair, il s'avère alors inutile de tester la divisibilité de n par les nombres pairs. Afin de rendre l'algorithme précédent plus efficace, le modifier en tenant compte de cette remarque.

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51
[Communiquer, Raisonner.]

1. L'objectif de cette question est de montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3, avec n \in \mathbb{N}, c'est‑à‑dire une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
Pour cela, on suppose par l'absurde qu'il n'en existe qu'un nombre fini que l'on note p_1, p_2, … , p_k.
On pose alors \mathrm{N}=4 \times p_{1} p_{2} \ldots p_{k}+3.
On suppose que, pour tout entier i compris entre 1 et k, on a p_{i}>3.

a. Justifier que \left\{p_{i}, i \in \mathbb{N}^{*}, 1 \leqslant i \leqslant k\right\} est non vide.

b. Si q est un diviseur premier de \mathrm{N}, montrer que q est impair, puis que q \equiv 1[4].

Aide

Si q est impair, alors il est de la forme 4m+ 1 ou 4m+ 3.

c. Aboutir à une contradiction, puis en déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3.

2. En appliquant la même méthode, montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6n + 5.

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52
[Raisonner.]
On considère un entier n \geqslant 2 et on définit l'entier \mathrm{M}_{n}=2^{n}-1, appelé n‑ième nombre de Mersenne.

1. Vérifier que \mathrm{M}_{2}, \mathrm{M}_{3} et \mathrm{M}_{5} sont premiers.

2. Dans cette question, on suppose que n n'est pas un nombre premier. Par conséquent, il existe un nombre premier p \geqslant 2 et un entier k \geqslant 2 tels que n = pk.
a. Montrer que :

2^{n}-1=\left(2^{p}-1\right) \times\left(1+2^{p}+\left(2^{p}\right)^{2}+\ldots+\left(2^{p}\right)^{k-1}\right).

b. En déduire que \mathrm{M}_n est divisible par 2^p - 1.

3. Déduire de la question précédente que si \mathrm{M}_n est un nombre premier, alors n est un nombre premier.

4. Montrer que la réciproque n'est pas vraie : si l'entier n est premier, alors l'entier \mathrm{M}_n n'est pas nécessairement premier.

Aide

On pourra considérer le cas n=11.

Histoire des maths

maths expertes - chapitre 5 - Nombres premiers - Marin Mersenne

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Crédits : Maksim / Wikimedia

Marin Mersenne (1588‑1648) a étudié les nombres de la forme 2^n - 1 au début du XVII^e siècle, ce qui explique leur appellation. Il n'était néanmoins pas le premier : les mathématiciens grecs s'étaient déjà intéressés à ces nombres dès l'Antiquité. Aujourd'hui encore, ces nombres sont utilisés dans la recherche de grands nombres premiers. Le plus grand nombre premier connu aujourd'hui, découvert en décembre 2018, est d'ailleurs un nombre de Mersenne. Il s'agit de 2^{82 589 933}-1, qui comporte près de 25 millions de chiffres en écriture décimale.

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53
Python
[Modéliser.]
On considère un entier n supérieur ou égal à 2.
L'algorithme ci‑dessous, écrit en langage Python, renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à n.

maths expertes - chapitre 5 - Nombres premiers - exercice 53

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1. a. Rappeler la signification des différentes commandes utilisées dans l'algorithme (range, sqrt, %, append, not, index).

b. À chaque étape de l'algorithme, que fait‑on avec les listes D et E ?

c. Pourquoi a‑t‑on choisi la condition k \leqslant \sqrt{n} à la ligne 5 et non pas k \leqslant n ?

d. Effectuer à la main les opérations successives de l'algorithme, en prenant l'exemple de n=7 en entrée.

2. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de n.

3. a. Quelle commande Python permet de calculer le nombre d'éléments d'une liste ? Utiliser cette commande afin de déterminer le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à 1 000.

b. Il est possible, bien que très délicat, de démontrer que lorsque n est grand, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à n est environ égal à \frac{n}{\ln (n)}.
Vérifier cette propriété pour n=1 000.

Histoire des maths

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : Sonuwe / Wikimedia

En 1896, Charles‑Jean de la Vallée Poussin (1866‑1962) a démontré qu'il y a environ \frac{n}{\ln (n)} nombres premiers inférieurs à n lorsque n est grand. Il a découvert cette preuve indépendamment de Jacques Hadamard qui, lui aussi, est parvenu à démontrer ce résultat la même année. Cette propriété a en fait été conjecturée dès la fin du XVIII^e siècle par Johann Carl Friedrich Gauss et par Adrien‑Marie Legendre.

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