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1. L’ensemble des nombres premiers
P.157-159

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Entraînement


1
L’ensemble des nombres premiers





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 37 ; 44 ; 57 ; 58 ; 61 et 72
◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 47 ; 60 ; 66 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 39 ; 46 ; 59 ; 64 et 75

34
FLASH

Parmi les nombres suivants, indiquer ceux qui sont des nombres premiers :
11 ; 22 ; 55 ; 1717 ; 2727 ; 2929 ; 3131 ; 7878 ; 8787 ; 9797 ; 9999 ; 101101 ; 103103.
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35
FLASH

Les entiers suivants ne sont pas des nombres premiers. Indiquer un diviseur premier pour chacun d’eux.

4949 ;


10 65010 650 ;


1 0151 015 ;


774774 ;


1 9111 911 ;


121121.
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36
FLASH

Combien y a‑t‑il de nombres premiers inférieurs ou égaux à 3030 ?
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37
[Calculer.] ◉◉
En utilisant la calculatrice, indiquer les nombres premiers parmi les entiers suivants :

4 2474 247 ;


5 0995 099 ;


7 4297 429 ;


7 6397 639.
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38
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Déterminer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. « La somme de deux entiers consécutifs peut être un nombre premier. »


2. « La somme de trois entiers impairs consécutifs peut être un nombre premier. »


3. « Pour tout entier pp supérieur ou égal à 22, l’entier p21p^2 - 1 n’est pas premier. »
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39
[Calculer.] ◉◉◉
1. On souhaite déterminer tous les entiers naturels nn tels que les nombres n+1n+1, n+3n+3, n+7n+7, n+9n+9, n+13n+13 et n+15n+15 soient premiers.
a. Parmi les entiers nn compris entre 00 et 55, quels sont ceux qui conviennent ?


b. Montrer qu’aucun nombre nn strictement supérieur à 55 ne convient.


Aide
On pourra, pour cela, raisonner par disjonction de cas en fonction des valeurs de nn modulo 55.


2. En utilisant la même méthode qu’à la question 1, déterminer tous les entiers naturels nn tels que les nombres nn, n+2n+2, n+6n+6, n+8n+8, n+12n+12 et n+14n+14 soient premiers.
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40
[Calculer.] ◉◉
1. Prouver que, pour tout entier naturel nn, l’un des trois entiers nn, n+10n+10 et n+20n+20 est un multiple de 33.


2. En déduire l’ensemble des valeurs de nn pour lesquelles les entiers nn, n+10n+10 et n+20n+20 sont tous les trois des nombres premiers.
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41
[Chercher.]
Déterminer trois nombres premiers de la forme n4+m4n^4+m^4mm et nn désignent des entiers naturels.
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42
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit nn un entier naturel non premier supérieur à 22.
On veut démontrer que nn admet au moins un diviseur premier pp vérifiant pnp \leqslant \sqrt{n}.

1. Justifier qu’il existe deux entiers naturels aa et bb supérieurs ou égaux à 22 tels que n=abn=ab.


2. On suppose par l’absurde que aa et bb sont tous les deux strictement supérieurs à n\sqrt{n}.
Déterminer alors un minorant strict de abab et aboutir à une contradiction.


3. En déduire que nn admet un diviseur premier pp inférieur à n\sqrt{n}.
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43
[Raisonner.]
On considère trois entiers naturels consécutifs et non nuls que l’on note nn, n+1n+1 et n+2n+2.

1. Montrer que la somme n+(n+1)+(n+2)n+(n+1)+(n+2) n’est pas un nombre premier.


2. Montrer de même que la somme de cinq entiers consécutifs n’est pas un nombre premier.


3. Montrer que si kk est un entier naturel impair et supérieur à 55, alors la somme de kk entiers consécutifs n’est pas un nombre premier.
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44
[Calculer.] ◉◉
Deux nombres premiers sont appelés des nombres premiers jumeaux lorsque leur différence est égale à 22.
Les nombres 33 et 55, par exemple, sont des nombres premiers jumeaux.

1. Donner cinq autres exemples de couples de nombres premiers jumeaux inférieurs à 100100.


2. Montrer que les nombres 1 6191 619 et 1 6211 621 sont des nombres premiers jumeaux.
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45
[Calculer.]
1. Montrer que pour tous nombres réels xx et yy :
x3y3=(xy)×(x2+xy+y2)x^{3}-y^{3}=(x-y) \times\left(x^{2}+x y+y^{2}\right).


2. Déterminer l’ensemble des nombres premiers de la forme x3+8x^3 + 8, où xx est un nombre entier.


3. Déterminer l’ensemble des nombres premiers de la forme x3+1x^3 + 1, où xx est un nombre entier.
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46
[Chercher.] ◉◉◉
1. Justifier que pour tous nombres réels xx et yy :
x4+4y4=(x22xy+2y2)(x2+2xy+2y2)x^{4}+4 y^{4}=\left(x^{2}-2 x y+2 y^{2}\right)\left(x^{2}+2 x y+2 y^{2}\right).


2. Déterminer l’ensemble des nombres premiers de la forme x4+4x^4 + 4, où xx est un nombre entier.


3. Montrer que l’entier 2854+4285285^4+4^{285} n’est pas premier.
Pourquoi n’est‑il pas envisageable de répondre à cette question en utilisant simplement un test classique de primalité tel que celui présenté dans le cours ?
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47
[Raisonner.] ◉◉
On considère un nombre premier pp supérieur ou égal à 55. L’objectif de l’exercice est de démontrer que p21p^2 - 1 est divisible par 2424.

1. Vérifier que cette propriété est vraie pour p=5p=5, p=7p=7 et p=11p=11.


2. a. Justifier que p1[3]p \equiv 1[3] ou p2[3]p \equiv 2[3].


b. En déduire que p21p^2 - 1 est divisible par 33.


3. Montrer que p21p^2 - 1 est divisible par 88.


4. Déduire des questions 2. et 3. que p210[24]p^{2}-1 \equiv 0[24] et conclure.
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48
[Communiquer.]
On demande à un élève de donner une suite de six nombres consécutifs qui ne sont pas premiers. Voici sa réponse : « Les nombres suivants ne sont pas premiers : 7!+27 !+2 ; 7!+37 !+3 ; 7!+47 !+4 ; 7!+57 !+5 ; 7!+67 !+6 ; 7!+77 !+7. »

1. Justifier, sans calculatrice, que la liste donnée par l’élève répond bien à la question.


2. On considère un entier naturel n2n \geqslant 2.
Est‑il toujours possible de trouver une suite de nn nombres entiers consécutifs qui ne sont pas premiers ? Justifier.
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49
[Chercher.]
D’après bac S, Polynésie, septembre 2003

1. Montrer que si pp est un nombre premier supérieur ou égal à 77, alors p41p^4 - 1 est divisible par 240240. On pourra montrer que p41p^4 - 1 est divisible par 33, par 1616 et par 55.


2. Existe‑t‑il quinze nombres premiers p1p_1, p2p_2, … , p15p_{15} supérieurs ou égaux à 77 tels que l’entier p14+p24++p154p_{1}^{4}+p_{2}^{4}+\ldots+p_{15}^{4} soit un nombre premier ?
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50
PYTHON
[Modéliser.]
On considère un entier nn supérieur ou égal à 22.
Le programme ci‑dessous, écrit en langage Python, renvoie True dans le cas où nn est premier et False dans le cas contraire.

1. À quoi la commande % correspond‑elle ? Quelle est l’utilité de la variable R dans cet algorithme ?


2. Programmer cet algorithme en complétant la ligne 4.

def testpremier(n):
	k = 2
	R = 1
	while ... :
		R = n % k
		k = k + 1
	if k == n +1:
		return True
	else:
		return False


3. Tester cet l’algorithme afin de déterminer si les nombres k=1 067k=1 067, =20 903\ell = 20 903 et m=57 590 009m = 57 590 009 sont premiers ou non.


4. En pratique, si le nombre nn est premier et supérieur ou égal à 33, il est nécessairement impair. Si nn est impair, il s’avère alors inutile de tester la divisibilité de nn par les nombres pairs. Afin de rendre l’algorithme précédent plus efficace, le modifier en tenant compte de cette remarque.
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51
[Communiquer, Raisonner.]
1. L’objectif de cette question est de montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+34n+3, avec nNn \in \mathbb{N}, c’est‑à‑dire une infinité de nombres premiers congrus à 33 modulo 44.
Pour cela, on suppose par l’absurde qu’il n’en existe qu’un nombre fini que l’on note p1p_1, p2p_2, … , pkp_k.
On pose alors N=4×p1p2pk+3\mathrm{N}=4 \times p_{1} p_{2} \ldots p_{k}+3.
On suppose que, pour tout entier ii compris entre 11 et kk, on a pi>3p_{i}>3.

a. Justifier que {pi,iN,1ik}\left\{p_{i}, i \in \mathbb{N}^{*}, 1 \leqslant i \leqslant k\right\} est non vide.


b. Si qq est un diviseur premier de N\mathrm{N}, montrer que qq est impair, puis que q1[4]q \equiv 1[4].


Aide
Si qq est impair, alors il est de la forme 4m+14m+ 1 ou 4m+34m+ 3.


c. Aboutir à une contradiction, puis en déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+34n + 3.


2. En appliquant la même méthode, montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6n+56n + 5.
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52
[Raisonner.]
On considère un entier n2n \geqslant 2 et on définit l’entier Mn=2n1\mathrm{M}_{n}=2^{n}-1, appelé nn‑ième nombre de Mersenne.

1. Vérifier que M2\mathrm{M}_{2}, M3\mathrm{M}_{3} et M5\mathrm{M}_{5} sont premiers.


2. Dans cette question, on suppose que nn n’est pas un nombre premier. Par conséquent, il existe un nombre premier p2p \geqslant 2 et un entier k2k \geqslant 2 tels que n=pkn = pk.
a. Montrer que :
2n1=(2p1)×(1+2p+(2p)2++(2p)k1)2^{n}-1=\left(2^{p}-1\right) \times\left(1+2^{p}+\left(2^{p}\right)^{2}+\ldots+\left(2^{p}\right)^{k-1}\right).


b. En déduire que Mn\mathrm{M}_n est divisible par 2p12^p - 1.


3. Déduire de la question précédente que si Mn\mathrm{M}_n est un nombre premier, alors nn est un nombre premier.


4. Montrer que la réciproque n’est pas vraie : si l’entier nn est premier, alors l’entier Mn\mathrm{M}_n n’est pas nécessairement premier.


Aide
On pourra considérer le cas n=11n=11.
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maths expertes - chapitre 5 - Nombres premiers - Marin Mersenne

Histoire des maths

Marin Mersenne (1588‑1648) a étudié les nombres de la forme 2n12^n - 1 au début du XVIIe siècle, ce qui explique leur appellation.
Il n’était néanmoins pas le premier : les mathématiciens grecs s’étaient déjà intéressés à ces nombres dès l’Antiquité.
Aujourd’hui encore, ces nombres sont utilisés dans la recherche de grands nombres premiers. Le plus grand nombre premier connu aujourd’hui, découvert en décembre 2018, est d’ailleurs un nombre de Mersenne. Il s’agit de 282 589 93312^{82 589 933}-1, qui comporte près de 25 millions de chiffres en écriture décimale.

53
[Modéliser.]
PYTHON

On considère un entier nn supérieur ou égal à 22.
L’algorithme ci‑dessous, écrit en langage Python, renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à nn.

maths expertes - chapitre 5 - Nombres premiers - exercice 53

1. a. Rappeler la signification des différentes commandes utilisées dans l’algorithme (range, sqrt, %, append, not, index).


b. À chaque étape de l’algorithme, que fait‑on avec les listes D et E ?


c. Pourquoi a‑t‑on choisi la condition knk \leqslant \sqrt{n} à la ligne 5 et non pas knk \leqslant n ?


d. Effectuer à la main les opérations successives de l’algorithme, en prenant l’exemple de n=7n=7 en entrée.


2. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de nn.




3. a. Quelle commande Python permet de calculer le nombre d’éléments d’une liste ? Utiliser cette commande afin de déterminer le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à 1 0001 000.


b. Il est possible, bien que très délicat, de démontrer que lorsque nn est grand, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à nn est environ égal à nln(n)\dfrac{n}{\ln (n)}.
Vérifier cette propriété pour n=1 000n=1 000.
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 Charles‑Jean de la Vallée Poussin

Histoire des maths

En 1896, Charles‑Jean de la Vallée Poussin (1866‑1962) a démontré qu’il y a environ nln(n)\dfrac{n}{\ln (n)} nombres premiers inférieurs à nn lorsque nn est grand. Il a découvert cette preuve indépendamment de Jacques Hadamard qui, lui aussi, est parvenu à démontrer ce résultat la même année. Cette propriété a en fait été conjecturée dès la fin du XVIIIe siècle par Johann Carl Friedrich Gauss et par Adrien‑Marie Legendre.
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