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1. L’ensemble des nombres premiers
P.157-159

Entraînement


1
L’ensemble des nombres premiers





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 37 ; 44 ; 57 ; 58 ; 61 et 72
◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 47 ; 60 ; 66 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 39 ; 46 ; 59 ; 64 et 75

34
FLASH

Parmi les nombres suivants, indiquer ceux qui sont des nombres premiers :
 ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; .
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35
FLASH

Les entiers suivants ne sont pas des nombres premiers. Indiquer un diviseur premier pour chacun d’eux.

 ;


 ;


 ;


 ;


 ;


.
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36
FLASH

Combien y a‑t‑il de nombres premiers inférieurs ou égaux à  ?
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37
[Calculer.] ◉◉
En utilisant la calculatrice, indiquer les nombres premiers parmi les entiers suivants :

 ;


 ;


 ;


.
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38
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Déterminer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. « La somme de deux entiers consécutifs peut être un nombre premier. »


2. « La somme de trois entiers impairs consécutifs peut être un nombre premier. »


3. « Pour tout entier supérieur ou égal à , l’entier n’est pas premier. »
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39
[Calculer.] ◉◉◉
1. On souhaite déterminer tous les entiers naturels tels que les nombres , , , , et soient premiers.
a. Parmi les entiers compris entre et , quels sont ceux qui conviennent ?


b. Montrer qu’aucun nombre strictement supérieur à ne convient.


Aide
On pourra, pour cela, raisonner par disjonction de cas en fonction des valeurs de modulo .


2. En utilisant la même méthode qu’à la question 1, déterminer tous les entiers naturels tels que les nombres , , , , et soient premiers.
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40
[Calculer.] ◉◉
1. Prouver que, pour tout entier naturel , l’un des trois entiers , et est un multiple de .


2. En déduire l’ensemble des valeurs de pour lesquelles les entiers , et sont tous les trois des nombres premiers.
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41
[Chercher.]
Déterminer trois nombres premiers de la forme et désignent des entiers naturels.
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42
[Raisonner.]
[DÉMO]

Soit un entier naturel non premier supérieur à .
On veut démontrer que admet au moins un diviseur premier vérifiant .

1. Justifier qu’il existe deux entiers naturels et supérieurs ou égaux à tels que .


2. On suppose par l’absurde que et sont tous les deux strictement supérieurs à .
Déterminer alors un minorant strict de et aboutir à une contradiction.


3. En déduire que admet un diviseur premier inférieur à .
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43
[Raisonner.]
On considère trois entiers naturels consécutifs et non nuls que l’on note , et .

1. Montrer que la somme n’est pas un nombre premier.


2. Montrer de même que la somme de cinq entiers consécutifs n’est pas un nombre premier.


3. Montrer que si est un entier naturel impair et supérieur à , alors la somme de entiers consécutifs n’est pas un nombre premier.
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44
[Calculer.] ◉◉
Deux nombres premiers sont appelés des nombres premiers jumeaux lorsque leur différence est égale à .
Les nombres et , par exemple, sont des nombres premiers jumeaux.

1. Donner cinq autres exemples de couples de nombres premiers jumeaux inférieurs à .


2. Montrer que les nombres et sont des nombres premiers jumeaux.
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45
[Calculer.]
1. Montrer que pour tous nombres réels et  :
.


2. Déterminer l’ensemble des nombres premiers de la forme , où est un nombre entier.


3. Déterminer l’ensemble des nombres premiers de la forme , où est un nombre entier.
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46
[Chercher.] ◉◉◉
1. Justifier que pour tous nombres réels et  :
.


2. Déterminer l’ensemble des nombres premiers de la forme , où est un nombre entier.


3. Montrer que l’entier n’est pas premier.
Pourquoi n’est‑il pas envisageable de répondre à cette question en utilisant simplement un test classique de primalité tel que celui présenté dans le cours ?
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47
[Raisonner.] ◉◉
On considère un nombre premier supérieur ou égal à . L’objectif de l’exercice est de démontrer que est divisible par .

1. Vérifier que cette propriété est vraie pour , et .


2. a. Justifier que ou .


b. En déduire que est divisible par .


3. Montrer que est divisible par .


4. Déduire des questions 2. et 3. que et conclure.
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48
[Communiquer.]
On demande à un élève de donner une suite de six nombres consécutifs qui ne sont pas premiers. Voici sa réponse : « Les nombres suivants ne sont pas premiers :  ;  ;  ;  ;  ; . »

1. Justifier, sans calculatrice, que la liste donnée par l’élève répond bien à la question.


2. On considère un entier naturel .
Est‑il toujours possible de trouver une suite de nombres entiers consécutifs qui ne sont pas premiers ? Justifier.
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49
[Chercher.]
D’après bac S, Polynésie, septembre 2003

1. Montrer que si est un nombre premier supérieur ou égal à , alors est divisible par . On pourra montrer que est divisible par , par et par .


2. Existe‑t‑il quinze nombres premiers , , … , supérieurs ou égaux à tels que l’entier soit un nombre premier ?
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50
PYTHON
[Modéliser.]
On considère un entier supérieur ou égal à .
Le programme ci‑dessous, écrit en langage Python, renvoie True dans le cas où est premier et False dans le cas contraire.

1. À quoi la commande % correspond‑elle ? Quelle est l’utilité de la variable R dans cet algorithme ?


2. Programmer cet algorithme en complétant la ligne 4.

def testpremier(n):
	k = 2
	R = 1
	while ... :
		R = n % k
		k = k + 1
	if k == n +1:
		return True
	else:
		return False


3. Tester cet l’algorithme afin de déterminer si les nombres , et sont premiers ou non.


4. En pratique, si le nombre est premier et supérieur ou égal à , il est nécessairement impair. Si est impair, il s’avère alors inutile de tester la divisibilité de par les nombres pairs. Afin de rendre l’algorithme précédent plus efficace, le modifier en tenant compte de cette remarque.
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51
[Communiquer, Raisonner.]
1. L’objectif de cette question est de montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme , avec , c’est‑à‑dire une infinité de nombres premiers congrus à modulo .
Pour cela, on suppose par l’absurde qu’il n’en existe qu’un nombre fini que l’on note , , … , .
On pose alors .
On suppose que, pour tout entier compris entre et , on a .

a. Justifier que est non vide.


b. Si est un diviseur premier de , montrer que est impair, puis que .


Aide
Si est impair, alors il est de la forme ou .


c. Aboutir à une contradiction, puis en déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme .


2. En appliquant la même méthode, montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme .
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52
[Raisonner.]
On considère un entier et on définit l’entier , appelé ‑ième nombre de Mersenne.

1. Vérifier que , et sont premiers.


2. Dans cette question, on suppose que n’est pas un nombre premier. Par conséquent, il existe un nombre premier et un entier tels que .
a. Montrer que :
.


b. En déduire que est divisible par .


3. Déduire de la question précédente que si est un nombre premier, alors est un nombre premier.


4. Montrer que la réciproque n’est pas vraie : si l’entier est premier, alors l’entier n’est pas nécessairement premier.


Aide
On pourra considérer le cas .
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maths expertes - chapitre 5 - Nombres premiers - Marin Mersenne

Histoire des maths

Marin Mersenne (1588‑1648) a étudié les nombres de la forme au début du XVIIe siècle, ce qui explique leur appellation.
Il n’était néanmoins pas le premier : les mathématiciens grecs s’étaient déjà intéressés à ces nombres dès l’Antiquité.
Aujourd’hui encore, ces nombres sont utilisés dans la recherche de grands nombres premiers. Le plus grand nombre premier connu aujourd’hui, découvert en décembre 2018, est d’ailleurs un nombre de Mersenne. Il s’agit de , qui comporte près de 25 millions de chiffres en écriture décimale.

53
[Modéliser.]
PYTHON

On considère un entier supérieur ou égal à .
L’algorithme ci‑dessous, écrit en langage Python, renvoie la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à .

maths expertes - chapitre 5 - Nombres premiers - exercice 53

1. a. Rappeler la signification des différentes commandes utilisées dans l’algorithme (range, sqrt, %, append, not, index).


b. À chaque étape de l’algorithme, que fait‑on avec les listes D et E ?


c. Pourquoi a‑t‑on choisi la condition à la ligne 5 et non pas  ?


d. Effectuer à la main les opérations successives de l’algorithme, en prenant l’exemple de en entrée.


2. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de .




3. a. Quelle commande Python permet de calculer le nombre d’éléments d’une liste ? Utiliser cette commande afin de déterminer le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à .


b. Il est possible, bien que très délicat, de démontrer que lorsque est grand, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à est environ égal à .
Vérifier cette propriété pour .
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 Charles‑Jean de la Vallée Poussin

Histoire des maths

En 1896, Charles‑Jean de la Vallée Poussin (1866‑1962) a démontré qu’il y a environ nombres premiers inférieurs à lorsque est grand. Il a découvert cette preuve indépendamment de Jacques Hadamard qui, lui aussi, est parvenu à démontrer ce résultat la même année. Cette propriété a en fait été conjecturée dès la fin du XVIIIe siècle par Johann Carl Friedrich Gauss et par Adrien‑Marie Legendre.
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