Travailler les automatismes

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18

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s’il est premier ou non.

1. $1$


2. $49$


3. $61$


4. $93$


5. $72$

19

Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de l’entier $31^2-16^2$.

20

VRAI / FAUX

Déterminer en justifiant si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.

« Pour tout $n⩾5$, l’entier $n!$ admet $2^n$ diviseurs. »

21

Dans chaque cas, déterminer le $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}$ de $n$ et de $m$.

1. $n=4$ et $m=6$.


2. $n=9$ et $m=6$.


3. $n=77$ et $m=14$.


4. $n=120$ et $m=12$.


5. $n=51$ et $m=111$.

22

Dans chaque cas, déterminer le reste de la division euclidienne de $n$ par $p$.

1. $n=3^{16}$ et $p=17$.


2. $n=6^{11}$ et $p=11$.


3. $n=2^{16}$ et $p=5$.


4. $n=2^{20}$ et $p=17$.


5. $n=28^{31}$ et $p=29$.

23

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s’il est premier ou non.

1. $69$


2. $51$


3. $79$


4. $91$


5. $94$

24

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s’il est premier ou non.

1. $143$


2. $149$


3. $173$


4. $269$


5. $539$

25

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s’il est premier ou non.

1. $1049$


2. $1051$


3. $1053$


4. $1055$


5. $1057$

26

Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des entiers suivants.

1. $40$


2. $42$


3. $81$


4. $98$


5. $105$


6. $113$

27

Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des entiers suivants.

1. $143$


2. $147$


3. $308$


4. $1024$


5. $1715$


6. $9180$

28

On donne la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des nombres suivants. Déterminer le nombre de diviseurs de chacun de ces entiers.

1. $a=45=3^2\times 5$


2. $b=64=2^6$


3. $c=108=2^2\times 3^3$


4. $d=179$


5. $e=13110=2\times 3\times 5\times 19\times 23$

29

On donne la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des nombres suivants. Déterminer, pour chacun de ces nombres, l’ensemble de ses diviseurs.

1. $a=105=3\times 5\times 7$


2. $b=33=3\times 11$


3. $c=108=2^2\times 3^3$


4. $d=363=3\times 11^2$


5. $e=53361=3^2\times 7^2\times 11^2$


6. $f=30625=5^4\times 7^2$

30

Dans chaque cas, on donne la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers $m$ et $n$. Déterminer le $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}$ de ces deux nombres.

1. $m=5^2$ et $n=5\times 7$.


2. $m=2^2\times 7$ et $n=2\times 5\times 7$.


3. $m=2^3\times 3\times 5$ et $n=2^2\times 5\times 7$.


4. $m=5\times 11\times 17^3$ et $n=5\times 11\times 23^4$.


5. $m=157$ et $n=151$.


6. $m=5\times 7\times 31^3$ et $n=5\times 7\times 19$.


7. $m=2\times 5^3\times 41\times 43^2$ et $n=2^4\times 3\times 5^5\times 29^3$.

31

Dans chaque cas, on donne les valeurs de deux entiers $m$ et $n$. Déterminer le $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}$ de ces deux nombres.

1. $m=15$ et $n=21$.


2. $m=8$ et $n=32$.


3. $m=12$ et $n=18$.


4. $m=126$ et $n=28$.


5. $m=135$ et $n=225$.


6. $m=175$ et $n=33$.

32

Compléter en simplifiant au maximum les congruences suivantes.

1. $2^{16}\equiv \dots [17]$


2. $5^4\equiv \dots [5]$


3. $4^{18}\equiv \dots [19]$


4. $7^5\equiv \dots [5]$


5. $50^{11}\equiv \dots [11]$

33

Compléter en simplifiant au maximum les congruences suivantes.

1. $4^{28}\equiv \dots [29]$


2. $50^{59}\equiv \dots [59]$


3. $5^{60}\equiv \dots [59]$


4. $33^5\equiv \dots [11]$


5. $87^{15}\equiv \dots [29]$