Travailler les automatismes

À L'ORAL

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18

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s’il est premier ou non.

1. $1$


2. $49$


3. $61$


4. $93$


5. $72$

19

Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de l’entier $31^{2} - 16^{2}$.

20

VRAI / FAUX

Déterminer en justifiant si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.

« Pour tout $n \geqslant 5$, l’entier $n!$ admet $2^n$ diviseurs. »

21

Dans chaque cas, déterminer le $\mathrm{PGCD}$ de $n$ et de $m$.

1. $n=4$ et $m=6$.


2. $n=9$ et $m=6$.


3. $n=77$ et $m=14$.


4. $n=120$ et $m=12$.


5. $n=51$ et $m=111$.

22

Dans chaque cas, déterminer le reste de la division euclidienne de $n$ par $p$.

1. $n=3^{16}$ et $p=17$.


2. $n=6^{11}$ et $p=11$.


3. $n=2^{16}$ et $p=5$.


4. $n=2^{20}$ et $p=17$.


5. $n=28^{31}$ et $p=29$.

23

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s’il est premier ou non.

1. $69$


2. $51$


3. $79$


4. $91$


5. $94$

24

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s’il est premier ou non.

1. $143$


2. $149$


3. $173$


4. $269$


5. $539$

25

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s’il est premier ou non.

1. $1 049$


2. $1 051$


3. $1 053$


4. $1 055$


5. $1 057$

26

Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des entiers suivants.

1. $40$


2. $42$


3. $81$


4. $98$


5. $105$


6. $113$

27

Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des entiers suivants.

1. $143$


2. $147$


3. $308$


4. $1 024$


5. $1 715$


6. $9 180$

28

On donne la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des nombres suivants. Déterminer le nombre de diviseurs de chacun de ces entiers.

1. $a=45=3^{2} \times 5$


2. $b=64=2^{6}$


3. $c=108=2^{2} \times 3^{3}$


4. $d=179$


5. $e=13 110=2 \times 3 \times 5 \times 19 \times 23$

29

On donne la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des nombres suivants. Déterminer, pour chacun de ces nombres, l’ensemble de ses diviseurs.

1. $a=105=3 \times 5 \times 7$


2. $b=33=3 \times 11$


3. $c=108=2^{2} \times 3^{3}$


4. $d=363=3 \times 11^{2}$


5. $e=53 361=3^{2} \times 7^{2} \times 11^{2}$


6. $f=30 625=5^{4} \times 7^{2}$

30

Dans chaque cas, on donne la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers $m$ et $n$. Déterminer le $\mathrm{PGCD}$ de ces deux nombres.

1. $m=5^{2}$ et $n=5 \times 7$.


2. $m=2^{2} \times 7$ et $n=2 \times 5 \times 7$.


3. $m=2^{3} \times 3 \times 5$ et $n=2^{2} \times 5 \times 7$.


4. $m=5 \times 11 \times 17^{3}$ et $n=5 \times 11 \times 23^{4}$.


5. $m=157$ et $n=151$.


6. $m=5 \times 7 \times 31^{3}$ et $n=5 \times 7 \times 19$.


7. $m=2 \times 5^{3} \times 41 \times 43^{2}$ et $n=2^{4} \times 3 \times 5^{5} \times 29^{3}$.

31

Dans chaque cas, on donne les valeurs de deux entiers $m$ et $n$. Déterminer le $\mathrm{PGCD}$ de ces deux nombres.

1. $m=15$ et $n=21$.


2. $m=8$ et $n=32$.


3. $m=12$ et $n=18$.


4. $m=126$ et $n=28$.


5. $m=135$ et $n=225$.


6. $m=175$ et $n=33$.

32

Compléter en simplifiant au maximum les congruences suivantes.

1. $2^{16} \equiv \ldots[17]$


2. $5^{4} \equiv \ldots[5]$


3. $4^{18} \equiv \ldots[19]$


4. $7^{5} \equiv \ldots[5]$


5. $50^{11} \equiv \ldots[11]$

33

Compléter en simplifiant au maximum les congruences suivantes.

1. $4^{28} \equiv \ldots[29]$


2. $50^{59} \equiv \ldots[59]$


3. $5^{60} \equiv \ldots[59]$


4. $33^{5} \equiv \ldots[11]$


5. $87^{15} \equiv \ldots[29]$