Chapitre 5
Exercices
Travailler les automatismes
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À l'oral
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Enregistreur audio
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19
Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de l'entier 31^{2} - 16^{2}.
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18
Pour chacun des nombres suivants, indiquer s'il est premier ou non.
1. 1
2. 49
3. 61
4. 93
5. 72
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20
Vrai / Faux
Déterminer en justifiant si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
« Pour tout n \geqslant 5, l'entier n! admet 2^n diviseurs. »
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21
Dans chaque cas, déterminer le \mathrm{PGCD} de n et de m. 1. n=4 et m=6.
2. n=9 et m=6.
3. n=77 et m=14.
4. n=120 et m=12.
5. n=51 et m=111.
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22
Dans chaque cas, déterminer le reste de la division euclidienne de n par p. 1. n=3^{16} et p=17.
2. n=6^{11} et p=11.
3. n=2^{16} et p=5.
4. n=2^{20} et p=17.
5. n=28^{31} et p=29.
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Test de primalité
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23
Pour chacun des nombres suivants, indiquer s'il est premier ou non. 1. 69
2. 51
3. 79
4. 91
5. 94
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24
Pour chacun des nombres suivants, indiquer s'il est premier ou non. 1. 143
2. 149
3. 173
4. 269
5. 539
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25
Pour chacun des nombres suivants, indiquer s'il est premier ou non.
1. 1 049
2. 1 051
3. 1 053
2. 1 051
3. 1 053
4. 1 055
5. 1 057
5. 1 057
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Décomposition en produit de facteurs premiers
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26
Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des entiers suivants. 1. 40
2. 42
3. 81
4. 98
5. 105
6. 113
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27
Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des entiers suivants. 1. 143
2. 147
3. 308
4. 1 024
5. 1 715
6. 9 180
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Applications de la décomposition en produit de facteurs premiers
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28
On donne la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des nombres suivants. Déterminer le nombre de diviseurs de chacun de ces entiers.
1. a=45=3^{2} \times 5
2. b=64=2^{6}
3. c=108=2^{2} \times 3^{3}
2. b=64=2^{6}
3. c=108=2^{2} \times 3^{3}
4. d=179
5. e=13 110=2 \times 3 \times 5 \times 19 \times 23
5. e=13 110=2 \times 3 \times 5 \times 19 \times 23
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29
On donne la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des nombres suivants. Déterminer, pour chacun de ces nombres, l'ensemble de ses diviseurs.
1. a=105=3 \times 5 \times 7
2. b=33=3 \times 11
3. c=108=2^{2} \times 3^{3}
2. b=33=3 \times 11
3. c=108=2^{2} \times 3^{3}
4. d=363=3 \times 11^{2}
5. e=53 361=3^{2} \times 7^{2} \times 11^{2}
6. f=30 625=5^{4} \times 7^{2}
5. e=53 361=3^{2} \times 7^{2} \times 11^{2}
6. f=30 625=5^{4} \times 7^{2}
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30
Dans chaque cas, on donne la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers m et n. Déterminer le \mathrm{PGCD} de ces deux nombres.
1. m=5^{2} et n=5 \times 7.
2. m=2^{2} \times 7 et n=2 \times 5 \times 7.
3. m=2^{3} \times 3 \times 5 et n=2^{2} \times 5 \times 7.
4. m=5 \times 11 \times 17^{3} et n=5 \times 11 \times 23^{4}.
2. m=2^{2} \times 7 et n=2 \times 5 \times 7.
3. m=2^{3} \times 3 \times 5 et n=2^{2} \times 5 \times 7.
4. m=5 \times 11 \times 17^{3} et n=5 \times 11 \times 23^{4}.
5. m=157 et n=151.
6. m=5 \times 7 \times 31^{3} et n=5 \times 7 \times 19.
7. m=2 \times 5^{3} \times 41 \times 43^{2} et n=2^{4} \times 3 \times 5^{5} \times 29^{3}.
6. m=5 \times 7 \times 31^{3} et n=5 \times 7 \times 19.
7. m=2 \times 5^{3} \times 41 \times 43^{2} et n=2^{4} \times 3 \times 5^{5} \times 29^{3}.
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31
Dans chaque cas, on donne les valeurs de deux entiers m et n. Déterminer le \mathrm{PGCD} de ces deux nombres.
1. m=15 et n=21.
2. m=8 et n=32.
3. m=12 et n=18.
2. m=8 et n=32.
3. m=12 et n=18.
4. m=126 et n=28.
5. m=135 et n=225.
6. m=175 et n=33.
5. m=135 et n=225.
6. m=175 et n=33.
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Petit théorème de Fermat
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32
Compléter en simplifiant au maximum les congruences suivantes. 1. 2^{16} \equiv \ldots[17]
2. 5^{4} \equiv \ldots[5]
3. 4^{18} \equiv \ldots[19]
4. 7^{5} \equiv \ldots[5]
5. 50^{11} \equiv \ldots[11]
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33
Compléter en simplifiant au maximum les congruences suivantes. 1. 4^{28} \equiv \ldots[29]
2. 50^{59} \equiv \ldots[59]
3. 5^{60} \equiv \ldots[59]
4. 33^{5} \equiv \ldots[11]
5. 87^{15} \equiv \ldots[29]
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