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Travailler les automatismes
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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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18

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s’il est premier ou non.

1. 11


2. 4949


3. 6161


4. 9393


5. 7272
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19

Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de l’entier 31216231^{2} - 16^{2}.
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20
VRAI / FAUX

Déterminer en justifiant si l’affirmation suivante est vraie ou fausse.

« Pour tout n5n \geqslant 5, l’entier n!n! admet 2n2^n diviseurs. »
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21

Dans chaque cas, déterminer le PGCD\mathrm{PGCD} de nn et de mm.

1. n=4n=4 et m=6m=6.


2. n=9n=9 et m=6m=6.


3. n=77n=77 et m=14m=14.


4. n=120n=120 et m=12m=12.


5. n=51n=51 et m=111m=111.
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22

Dans chaque cas, déterminer le reste de la division euclidienne de nn par pp.

1. n=316n=3^{16} et p=17p=17.


2. n=611n=6^{11} et p=11p=11.


3. n=216n=2^{16} et p=5p=5.


4. n=220n=2^{20} et p=17p=17.


5. n=2831n=28^{31} et p=29p=29.
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Test de primalité


23

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s’il est premier ou non.

1. 6969


2. 5151


3. 7979


4. 9191


5. 9494
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24

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s’il est premier ou non.

1. 143143


2. 149149


3. 173173


4. 269269


5. 539539
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25

Pour chacun des nombres suivants, indiquer s’il est premier ou non.

1. 1 0491 049


2. 1 0511 051


3. 1 0531 053


4. 1 0551 055


5. 1 0571 057
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Décomposition en produit de facteurs premiers


26

Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des entiers suivants.

1. 4040


2. 4242


3. 8181


4. 9898


5. 105105


6. 113113
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27

Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des entiers suivants.

1. 143143


2. 147147


3. 308308


4. 1 0241 024


5. 1 7151 715


6. 9 1809 180
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Applications de la décomposition en produit de facteurs premiers


28

On donne la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des nombres suivants. Déterminer le nombre de diviseurs de chacun de ces entiers.

1. a=45=32×5a=45=3^{2} \times 5


2. b=64=26b=64=2^{6}


3. c=108=22×33c=108=2^{2} \times 3^{3}


4. d=179d=179


5. e=13 110=2×3×5×19×23e=13 110=2 \times 3 \times 5 \times 19 \times 23
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29

On donne la décomposition en produit de facteurs premiers de chacun des nombres suivants. Déterminer, pour chacun de ces nombres, l’ensemble de ses diviseurs.

1. a=105=3×5×7a=105=3 \times 5 \times 7


2. b=33=3×11b=33=3 \times 11


3. c=108=22×33c=108=2^{2} \times 3^{3}


4. d=363=3×112d=363=3 \times 11^{2}


5. e=53 361=32×72×112e=53 361=3^{2} \times 7^{2} \times 11^{2}


6. f=30 625=54×72f=30 625=5^{4} \times 7^{2}
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30

Dans chaque cas, on donne la décomposition en produit de facteurs premiers des entiers mm et nn. Déterminer le PGCD\mathrm{PGCD} de ces deux nombres.

1. m=52m=5^{2} et n=5×7n=5 \times 7.


2. m=22×7m=2^{2} \times 7 et n=2×5×7n=2 \times 5 \times 7.


3. m=23×3×5m=2^{3} \times 3 \times 5 et n=22×5×7n=2^{2} \times 5 \times 7.


4. m=5×11×173m=5 \times 11 \times 17^{3} et n=5×11×234n=5 \times 11 \times 23^{4}.


5. m=157m=157 et n=151n=151.


6. m=5×7×313m=5 \times 7 \times 31^{3} et n=5×7×19n=5 \times 7 \times 19.


7. m=2×53×41×432m=2 \times 5^{3} \times 41 \times 43^{2} et n=24×3×55×293n=2^{4} \times 3 \times 5^{5} \times 29^{3}.
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31

Dans chaque cas, on donne les valeurs de deux entiers mm et nn. Déterminer le PGCD\mathrm{PGCD} de ces deux nombres.

1. m=15m=15 et n=21n=21.


2. m=8m=8 et n=32n=32.


3. m=12m=12 et n=18n=18.


4. m=126m=126 et n=28n=28.


5. m=135m=135 et n=225n=225.


6. m=175m=175 et n=33n=33.
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Petit théorème de Fermat


32

Compléter en simplifiant au maximum les congruences suivantes.

1. 216[17]2^{16} \equiv \ldots[17]


2. 54[5]5^{4} \equiv \ldots[5]


3. 418[19]4^{18} \equiv \ldots[19]


4. 75[5]7^{5} \equiv \ldots[5]


5. 5011[11]50^{11} \equiv \ldots[11]
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33

Compléter en simplifiant au maximum les congruences suivantes.

1. 428[29]4^{28} \equiv \ldots[29]


2. 5059[59]50^{59} \equiv \ldots[59]


3. 560[59]5^{60} \equiv \ldots[59]


4. 335[11]33^{5} \equiv \ldots[11]


5. 8715[29]87^{15} \equiv \ldots[29]
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