Mathématiques Expertes Terminale

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Vers le supérieur

2
Divisibilité dans \mathbb{R}[\mathrm{X}]

16 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Définitions
1. Soient \text{A} et \text{B} deux polynômes de \mathbb{R}[\mathrm{X}].
On dit que \text{A} divise \text{B} lorsqu'il existe un polynôme \text{C} de \mathbb{R}[\mathrm{X}] tel que \mathrm{B}=\mathrm{AC}.

2. Division euclidienne de deux polynômes :
Pour tous \text{A} et \text{B} de \mathbb{R}[\mathrm{X}], avec \text{B} non nul, il existe deux polynômes uniques \text{Q} et \text{R} de \mathbb{R}[\mathrm{X}] tels que \mathrm{A}=\mathrm{BQ}+\mathrm{R}, avec \operatorname{deg}(\mathrm{R})\lt\operatorname{deg}(\mathrm{B}).
On dit alors que \text{Q} est le quotient et \text{R} le reste de la division euclidienne de \text{A} par \text{B}.

3. Pour deux polynômes \text{A} et \text{B}, si \text{A} divise \text{B} et \text{B} divise \text{A}, on dit que \text{A} et \text{B} sont associés.

4. On dit que deux polynômes \text{A} et \text{B} sont premiers entre eux si les seuls diviseurs communs à \text{A} et à \text{B} sont les polynômes de degré 0 (donc les réels non nuls).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
6

On considère le polynôme \mathrm{P}=\mathrm{X}^{3}-4 \mathrm{X}^{2}-16 \mathrm{X}+24.
Peut‑on trouver trois réels a, b et c tels que :
\mathrm{P}=\left(a \mathrm{X}^{2}+b \mathrm{X}+c\right)(\mathrm{X}-6) ?
Que peut‑on en déduire ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
7

Soient deux polynômes non nuls \text{A} et \text{B}.

1. On suppose dans cette question qu'il existe un réel non nul \lambda tel que \mathrm{B}=\lambda \mathrm{A}. Justifier que \text{A} et \text{B} sont associés.

2. On suppose que \text{A} divise \text{B}. Comparer \operatorname{deg}(\mathrm{A}) et \operatorname{deg}(\mathrm{B}).

3. On suppose que \text{A} divise \text{B} et que \text{B} divise \text{A}.
a. Montrer que \operatorname{deg}(\mathrm{A})=\operatorname{deg}(\mathrm{B}).

b. Montrer qu'il existe un réel non nul \lambda tel que \mathrm{A}=\lambda \mathrm{B}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
8

On considère les polynômes \mathrm{A}=3 \mathrm{X}^{3}+17 \mathrm{X}^{2}+5 \mathrm{X}-25 et \mathrm{B}=\mathrm{X}^{2}+4 \mathrm{X}-5.

1. Déterminer les valeurs \alpha telles que \mathrm{B}(\alpha)=0.

On note \mathcal{S} l'ensemble de ces valeurs.

2. Soit \alpha \in \mathcal{S}. Calculer \mathrm{A}(\alpha).

3. On note \text{Q} et \text{R} respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de \text{A} par \text{B}.
a. Justifier qu'il existe deux réels a et b tels que \mathrm{R}=a \mathrm{X}+b.

b. Montrer que a=b=0. Que peut‑on en déduire ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
9

On considère les polynômes \mathrm{A}=\mathrm{X}^{4}+2 et \mathrm{B}=\mathrm{X}^{2}+3 \mathrm{X}-10.

1. On note respectivement \text{Q} et \text{R} le quotient et le reste dans la division euclidienne de \text{A} par \text{B}.
Déterminer le degré de \text{R}.

2. Déterminer les valeurs \alpha telles que \mathrm{B}(\alpha)=0.

3. En déduire les polynômes \text{Q} et \text{R}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
10

Soient \text{P} un polynôme de \mathbb{R}[\mathrm{X}] et a un nombre réel.

1. On suppose que \mathrm{X}-a divise \text{P}. Montrer que \mathrm{P}(a)=0.

2. On suppose que \mathrm{P}(a)=0.
a. Justifier qu'il existe \mathrm{A} \in \mathbb{R}[\mathrm{X}] et un nombre réel \lambda tels que \mathrm{P}=\mathrm{A}(\mathrm{X}-a)+\lambda.

b. Déterminer la valeur de \lambda.

c. Que peut‑on en déduire ?

3. Le polynôme \mathrm{X}^{3}+2 \mathrm{X}^{2}-4 \mathrm{X}-6 est‑il divisible par \mathrm{X}+5 ? Justifier.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
11

Soient \text{A} et \text{B} deux polynômes non nuls de \mathbb{R}[\mathrm{X}].
On admet qu'il existe un unique polynôme \text{D} vérifiant les conditions suivantes :
  • \mathrm{D} | \mathrm{A} et \mathrm{D} | \mathrm{B} ;
  • \text{D} est unitaire : le coefficient dominant (associé au terme de plus haut degré) vaut 1 ;
  • si un polynôme unitaire \text{E} divise \text{A} et \text{B}, alors \mathrm{E} | \mathrm{D}.

Ce polynôme est appelé \text{PGCD} de \text{A} et \text{B}.
On admet aussi qu'il existe deux polynômes \text{U} et \text{V} à coefficients dans \mathbb{R} tels que \mathrm{AU}+\mathrm{BV}=\mathrm{D}.

1. a. On suppose que \text{A} et \text{B} sont premiers entre eux.
Déterminer le \text{PGCD} de \text{A} et \text{B}.

b. On suppose qu'il existe deux polynômes \text{U} et \text{V} tels que \mathrm{AU}+\mathrm{BV}=1.
Montrer que \text{A} et \text{B} sont premiers entre eux.

2. Les polynômes \mathrm{X}^{2}+\mathrm{X}+1 et \mathrm{X}+1 sont‑ils premiers entre eux ? Justifier.

3. Soit \text{C} un polynôme de \mathbb{R}[\mathrm{X}].
a. Montrer que si \text{A} et \text{B} sont premiers entre eux et si \text{A} divise \text{BC}, alors \text{A} divise \text{C}.

b. Montrer que si \text{A} et \text{B} sont premiers entre eux et si \text{A} et \text{B} divisent \text{C}, alors \text{AB} divise \text{C}.
Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.