1. Soient \text{A} et \text{B} deux polynômes de \mathbb{R}[\mathrm{X}].
On dit que \text{A} divise \text{B} lorsqu'il existe un polynôme \text{C} de \mathbb{R}[\mathrm{X}] tel que \mathrm{B}=\mathrm{AC}.

2. Division euclidienne de deux polynômes :
Pour tous \text{A} et \text{B} de \mathbb{R}[\mathrm{X}], avec \text{B} non nul, il existe deux polynômes uniques \text{Q} et \text{R} de \mathbb{R}[\mathrm{X}] tels que \mathrm{A}=\mathrm{BQ}+\mathrm{R}, avec \operatorname{deg}(\mathrm{R})\lt\operatorname{deg}(\mathrm{B}).
On dit alors que \text{Q} est le quotient et \text{R} le reste de la division euclidienne de \text{A} par \text{B}.

3. Pour deux polynômes \text{A} et \text{B}, si \text{A} divise \text{B} et \text{B} divise \text{A}, on dit que \text{A} et \text{B} sont associés.

4. On dit que deux polynômes \text{A} et \text{B} sont premiers entre eux si les seuls diviseurs communs à \text{A} et à \text{B} sont les polynômes de degré 0 (donc les réels non nuls).

On considère le polynôme \mathrm{P}=\mathrm{X}^{3}-4 \mathrm{X}^{2}-16 \mathrm{X}+24.
Peut‑on trouver trois réels a, b et c tels que :

\mathrm{P}=\left(a \mathrm{X}^{2}+b \mathrm{X}+c\right)(\mathrm{X}-6) ?

Que peut‑on en déduire ?

On considère les polynômes \mathrm{A}=3 \mathrm{X}^{3}+17 \mathrm{X}^{2}+5 \mathrm{X}-25 et \mathrm{B}=\mathrm{X}^{2}+4 \mathrm{X}-5. 1. Déterminer les valeurs \alpha telles que \mathrm{B}(\alpha)=0.

On note \mathcal{S} l'ensemble de ces valeurs.

2. Soit \alpha \in \mathcal{S}. Calculer \mathrm{A}(\alpha).

3. On note \text{Q} et \text{R} respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de \text{A} par \text{B}.
a. Justifier qu'il existe deux réels a et b tels que \mathrm{R}=a \mathrm{X}+b.

b. Montrer que a=b=0. Que peut‑on en déduire ?