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Divisibilité dans $\mathbb{R}[\mathrm{X}]$

1. Soient $\text{A}$ et $\text{B}$ deux polynômes de $\mathbb{R}[\mathrm{X}]$.
On dit que $\text{A}$ divise $\text{B}$ lorsqu'il existe un polynôme $\text{C}$ de $\mathbb{R}[\mathrm{X}]$ tel que $\mathrm{B}=\mathrm{AC}$.

2. Division euclidienne de deux polynômes :
Pour tous $\text{A}$ et $\text{B}$ de $\mathbb{R}[\mathrm{X}]$, avec $\text{B}$ non nul, il existe deux polynômes uniques $\text{Q}$ et $\text{R}$ de $\mathbb{R}[\mathrm{X}]$ tels que $\mathrm{A}=\mathrm{BQ}+\mathrm{R}$, avec $\mathrm{deg}(\mathrm{R})<\mathrm{deg}(\mathrm{B})$.
On dit alors que $\text{Q}$ est le quotient et $\text{R}$ le reste de la division euclidienne de $\text{A}$ par $\text{B}$.

3. Pour deux polynômes $\text{A}$ et $\text{B}$, si $\text{A}$ divise $\text{B}$ et $\text{B}$ divise $\text{A}$, on dit que $\text{A}$ et $\text{B}$ sont associés.

4. On dit que deux polynômes $\text{A}$ et $\text{B}$ sont premiers entre eux si les seuls diviseurs communs à $\text{A}$ et à $\text{B}$ sont les polynômes de degré $0$ (donc les réels non nuls).

On considère le polynôme $\mathrm{P}={\mathrm{X}}^3-4{\mathrm{X}}^2-16\mathrm{X}+24$.
Peut‑on trouver trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que :

$\mathrm{P}=\left(a{\mathrm{X}}^2+b\mathrm{X}+c\right)(\mathrm{X}-6)$ ?

Que peut‑on en déduire ?

On considère les polynômes $\mathrm{A}=3{\mathrm{X}}^3+17{\mathrm{X}}^2+5\mathrm{X}-25$ et $\mathrm{B}={\mathrm{X}}^2+4\mathrm{X}-5$. 1. Déterminer les valeurs $\alpha$ telles que $\mathrm{B}(\alpha )=0$.

On note $\mathcal{S}$ l'ensemble de ces valeurs.

2. Soit $\alpha \in \mathcal{S}$. Calculer $\mathrm{A}(\alpha )$.

3. On note $\text{Q}$ et $\text{R}$ respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de $\text{A}$ par $\text{B}$.
a. Justifier qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\mathrm{R}=a\mathrm{X}+b$.

b. Montrer que $a=b=0$. Que peut‑on en déduire ?