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Nombres premiers
P.144-145

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Chapitre 5


Nombres premiers





maths expertes - chapitre 5 - Nombres premiers - Ouverture - supercalculateurs


Pour savoir si un nombre est premier ou non, il est nécessaire de réaliser un test de primalité. Si le nombre à tester est grand, le temps de calcul peut être très long, ce qui explique l’utilisation de supercalculateurs.

Capacités attendues - chapitre 1

1. Déterminer si un nombre est premier ou non.

2. Dresser la liste des nombres premiers inférieurs à un nombre entier donné.

3. Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.

4. Déterminer les diviseurs d’un nombre entier.

5. Déterminer le PGCD\mathrm{PGCD} de deux nombres entiers à l’aide d’une décomposition en produit de facteurs premiers.

6. Calculer des puissances modulo un nombre premier en utilisant le petit théorème de Fermat.

Avant de commencer

Prérequis

1. Connaître les règles de divisibilité par 22, par 33, par 55, par 99, par 1010 et par les puissances de 22.
2. Factoriser une expression algébrique.
3. Effectuer des divisions euclidiennes.
4. Calculer un PGCD\mathrm{PGCD} avec l’algorithme d’Euclide.
5. Calculer avec des puissances.
6. Calculer et simplifier des congruences.

1
Trouver un diviseur

Pour chacun des nombres suivants déterminer, sans calculatrice, au moins un de ses diviseurs qui n’est pas 11 ou lui‑même :

1616 ;


190190 ;


3939 ;


951951 ;


121121 ;


365365 ;


187187.
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2
Critères de divisibilité

Dans chaque cas, indiquer si l’entier nn divise l’entier mm sans effectuer la division.

1. m=15 335 410m=15 335 410 et n=5n=5.


2. m=15 513 552m=15 513 552 et n=9n=9.


3. m=8 596 312m=8 596 312 et n=3n=3.


4. m=542 468 530m=542 468 530 et n=4n=4.


5. m=454 548 128m=454 548 128 et n=8n=8.
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3
Factoriser une expression algébrique

1. Factoriser dans R\mathbb{R} les expressions suivantes, où pp désigne un nombre réel.
a. p21p^{2}-1


b. 9(p+2)29-(p+2)^{2}


c. 168p+p216-8 p+p^{2}


d. 1625(p1)216-25(p-1)^{2}


2. On considère un entier naturel nn non nul.
Factoriser 4n14^n - 1 en produit de deux entiers.
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4
Effectuer des divisions euclidiennes

Dans chaque cas, écrire la division euclidienne de mm par n.

1. m=547m=547 et n=65n=65.


2. m=332m=332 et n=1 124n=1 124.


3. m=3 578m=3 578 et n=3 575n=3 575.
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5
Déterminer un PGCD\mathbf{PGCD}

En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le PGCD\mathrm{PGCD} de mm et de nn dans chacun des cas.

1. m=77m=77 et n=35n=35.


2. m=175m=175 et n=300n=300.


3. m=1 873m=1 873 et n=1 871n=1 871.


4. m=140m=140 et n=475n=475.
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6
Calculer avec des puissances

Soient nn et mm deux entiers naturels non nuls. Simplifier, si possible, les expressions suivantes.

1. 32×3n3^{2} \times 3^{n}


2. 5n×7n5^{n} \times 7^{n}


3. (3m)n\left(3^{m}\right)^{n}


4. 2n2n2\dfrac{2^{n}}{2^{n-2}}


5. 1m×mn\dfrac{1}{m} \times m^{n}


6. 2mn2^{m^{n}}
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7
Déterminer les racines d’un trinôme

Recopier et compléter en simplifiant au maximum et sans calculatrice les relations de congruence suivantes.

1. 15×43[7]15 \times 43 \equiv \ldots[7]


2. 86×107[4]86 \times 107 \equiv \ldots[4]


3. 1 804×1 911[100]1 804 \times 1 911 \equiv \ldots[100]


4. 450[7]4^{50} \equiv \ldots[7]


5. 38[10]3^{8} \equiv \ldots[10]
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8
Problème

On considère deux entiers n=14 535n=14 535 et m=495m=495.

1. Justifier que nn et mm sont divisibles par 99.


2. Justifier que nn et mm sont divisibles par 55.


3. Déduire des questions précédentes que 4545 divise le PGCD\mathrm{PGCD} de mm et de nn.


4. Effectuer les divisions euclidiennes de mm et de nn par 4545. On note aa et bb les quotients obtenus.


5. Calculer le PGCD\mathrm{PGCD} de aa et de bb en utilisant l’algorithme d’Euclide, puis en déduire le PGCD\mathrm{PGCD} de mm et de nn.
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Anecdote

Le nn-ième nombre de Smarandache‑Wellin est la concaténation des nn premiers nombres premiers en base 10.
Les cinq premiers nombres de Smarandache‑Wellin sont donc 2 ; 23 ; 235 ; 2 357 ; 235 711.
On a actuellement seulement démontré que sept d’entre eux sont premiers : le 1er, le 2e, le 4e, le 128e, le 174e, le 342e et le 435e.
On ignore s’il existe un huitième nombre de Smarandache‑Wellin premier mais le 1 429e est un nombre premier probable. Il contient 5 719 chiffres.
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