1. Déterminer si un nombre est premier ou non.
2. Dresser la liste des nombres premiers inférieurs à un nombre entier donné.
3. Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.
4. Déterminer les diviseurs d'un nombre entier.
5. Déterminer le $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}$ de deux nombres entiers à l'aide d'une décomposition en produit de facteurs premiers.
6. Calculer des puissances modulo un nombre premier en utilisant le petit théorème de Fermat.

Prérequis

1. Connaître les règles de divisibilité par $2$, par $3$, par $5$, par $9$, par $10$ et par les puissances de $2$.
2. Factoriser une expression algébrique.
3. Effectuer des divisions euclidiennes.
4. Calculer un $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}$ avec l'algorithme d'Euclide.
5. Calculer avec des puissances.
6. Calculer et simplifier des congruences.

Le $n$-ième nombre de Smarandache‑Wellin est la concaténation des $n$ premiers nombres premiers en base 10. Les cinq premiers nombres de Smarandache‑Wellin sont donc 2 ; 23 ; 235 ; 2 357 ; 235 711.
On a actuellement seulement démontré que sept d'entre eux sont premiers : le 1^er, le 2^e, le 4^e, le 128^e, le 174^e, le 342^e et le 435^e.
On ignore s'il existe un huitième nombre de Smarandache‑Wellin premier mais le 1 429^e est un nombre premier probable. Il contient 5 719 chiffres.

2

Critères de divisibilité

Dans chaque cas, indiquer si l'entier $n$ divise l'entier $m$ sans effectuer la division. 1. $m=15335410$ et $n=5$.

2. $m=15513552$ et $n=9$.

3. $m=8596312$ et $n=3$.

4. $m=542468530$ et $n=4$.

5. $m=454548128$ et $n=8$.

3

Factoriser une expression algébrique

1. Factoriser dans $\mathbb{R}$ les expressions suivantes, où $p$ désigne un nombre réel.
a. $p^2-1$

b. $9-(p+2{)}^2$

c. $16-8p+p^2$

d. $16-25(p-1{)}^2$

2. On considère un entier naturel $n$ non nul.
Factoriser $4^n-1$ en produit de deux entiers.

4

Effectuer des divisions euclidiennes

Dans chaque cas, écrire la division euclidienne de $m$ par n. 1. $m=547$ et $n=65$.

2. $m=332$ et $n=1124$.

3. $m=3578$ et $n=3575$.

5

Déterminer un $\mathbf{P}\mathbf{G}\mathbf{C}\mathbf{D}$

En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer le $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}$ de $m$ et de $n$ dans chacun des cas. 1. $m=77$ et $n=35$.

2. $m=175$ et $n=300$.

3. $m=1873$ et $n=1871$.

4. $m=140$ et $n=475$.

6

Calculer avec des puissances

Soient $n$ et $m$ deux entiers naturels non nuls. Simplifier, si possible, les expressions suivantes. 1. $3^2\times 3^n$

2. $5^n\times 7^n$

3. ${\left(3^m\right)}^n$

4. $\frac{2^n}{2^{n-2}}$

5. $\frac{1}{m}\times m^n$

6. $2^{m^n}$

7

Déterminer les racines d'un trinôme

Recopier et compléter en simplifiant au maximum et sans calculatrice les relations de congruence suivantes. 1. $15\times 43\equiv \dots [7]$

2. $86\times 107\equiv \dots [4]$

3. $1804\times 1911\equiv \dots [100]$

4. $4^{50}\equiv \dots [7]$

5. $3^8\equiv \dots [10]$