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Nombres premiers
P.144-145

Chapitre 5


Nombres premiers





maths expertes - chapitre 5 - Nombres premiers - Ouverture - supercalculateurs


Pour savoir si un nombre est premier ou non, il est nécessaire de réaliser un test de primalité. Si le nombre à tester est grand, le temps de calcul peut être très long, ce qui explique l’utilisation de supercalculateurs.

Capacités attendues - chapitre 1

1. Déterminer si un nombre est premier ou non.

2. Dresser la liste des nombres premiers inférieurs à un nombre entier donné.

3. Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers.

4. Déterminer les diviseurs d’un nombre entier.

5. Déterminer le de deux nombres entiers à l’aide d’une décomposition en produit de facteurs premiers.

6. Calculer des puissances modulo un nombre premier en utilisant le petit théorème de Fermat.

Avant de commencer

Prérequis

1. Connaître les règles de divisibilité par , par , par , par , par et par les puissances de .
2. Factoriser une expression algébrique.
3. Effectuer des divisions euclidiennes.
4. Calculer un avec l’algorithme d’Euclide.
5. Calculer avec des puissances.
6. Calculer et simplifier des congruences.

1
Trouver un diviseur

Pour chacun des nombres suivants déterminer, sans calculatrice, au moins un de ses diviseurs qui n’est pas ou lui‑même :

 ;


 ;


 ;


 ;


 ;


 ;


.
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2
Critères de divisibilité

Dans chaque cas, indiquer si l’entier divise l’entier sans effectuer la division.

1. et .


2. et .


3. et .


4. et .


5. et .
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3
Factoriser une expression algébrique

1. Factoriser dans les expressions suivantes, où désigne un nombre réel.
a.


b.


c.


d.


2. On considère un entier naturel non nul.
Factoriser en produit de deux entiers.
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4
Effectuer des divisions euclidiennes

Dans chaque cas, écrire la division euclidienne de par n.

1. et .


2. et .


3. et .
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5
Déterminer un

En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le de et de dans chacun des cas.

1. et .


2. et .


3. et .


4. et .
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6
Calculer avec des puissances

Soient et deux entiers naturels non nuls. Simplifier, si possible, les expressions suivantes.

1.


2.


3.


4.


5.


6.
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7
Déterminer les racines d’un trinôme

Recopier et compléter en simplifiant au maximum et sans calculatrice les relations de congruence suivantes.

1.


2.


3.


4.


5.
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8
Problème

On considère deux entiers et .

1. Justifier que et sont divisibles par .


2. Justifier que et sont divisibles par .


3. Déduire des questions précédentes que divise le de et de .


4. Effectuer les divisions euclidiennes de et de par . On note et les quotients obtenus.


5. Calculer le de et de en utilisant l’algorithme d’Euclide, puis en déduire le de et de .
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Anecdote

Le -ième nombre de Smarandache‑Wellin est la concaténation des premiers nombres premiers en base 10.
Les cinq premiers nombres de Smarandache‑Wellin sont donc 2 ; 23 ; 235 ; 2 357 ; 235 711.
On a actuellement seulement démontré que sept d’entre eux sont premiers : le 1er, le 2e, le 4e, le 128e, le 174e, le 342e et le 435e.
On ignore s’il existe un huitième nombre de Smarandache‑Wellin premier mais le 1 429e est un nombre premier probable. Il contient 5 719 chiffres.
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