D'après bac S, Polynésie, juin 2014

Un magicien propose le tour suivant : « Multipliez par 12 le numéro de votre jour de naissance. Ajoutez à ce résultat le numéro de votre mois de naissance multiplié par 31. Je vais deviner votre date de naissance ».

Gros plan d'un calendrier ; les dates sont imprimées en noir, sauf le 3 en rouge.

andy0man / Shutterstock

1. Résoudre dans

Z^{2}

l'équation

(E_{0}) : 12 X = 31 Y

2. Déterminer une solution particulière dans

Z^{2}

de l'équation

(E_{1}) : 12 x + 31 y = 1

3. En déduire une solution particulière

(x_{0}; y_{0}) \in Z^{2}

de l'équation

(E) : 12 x + 31 y = 503

4. Montrer que si

(x; y) \in Z^{2}

est solution de l'équation

(E)

, alors le couple

(x - x_{0}; y_{0} - y)

est solution de

(E_{0})

. En déduire l'ensemble des solutions de

(E)

5. Justifier que

(E)

admet une unique solution vérifiant

1 ⩽ y ⩽ 12

et la déterminer. Quelle est la date de naissance d'une personne obtenant 503 ?

6. a. On considère l'algorithme suivant.

Pour x allant de 1 a ˋ 31 faire : Pour y allant de 1 a ˋ 12 faire : z \leftarrow 12 x + 31 y Afficher z Fin Pour Fin Pour

Modifier cet algorithme afin qu'il prenne en argument un nombre entier

m

et retourne les valeurs de

x

et de

y

telles que

12 x + 31 y = m

1 ⩽ y ⩽ 12

b. Programmer et exécuter cet algorithme afin de déterminer la date de naissance d'une personne qui obtient 355.

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113
[Calculer, Raisonner.]
Soit

n

un entier naturel tel que

n \equiv 9 [17]

n \equiv 3 [5]

1. Montrer qu'il existe un couple

(u; v) \in Z^{2}

tel que

n = 17 u + 9

n = 5 v + 3

5 v - 17 u = 6

2. Justifier que l'équation

5 v - 17 u = 6

admet des solutions entières et en déterminer une.

3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation

5 v - 17 u = 6

puis en déduire que

n \in {43 + 85 k

k \in Z}

4. Montrer que, pour tout entier relatif

k

43 + 85 k

est solution du problème. Conclure.

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114
Démo
[Communiquer, Raisonner.]
Soient

a

b

deux entiers relatifs non nuls. On pose

d = PGCD (a; b)

1. On considère deux entiers

u

v

tels que

a u + b v = 1

a. Justifier que

d

divise

a u + b v

b. En déduire alors que

a

b

sont premiers entre eux.

2. On suppose à présent que

a

b

sont premiers entre eux (on a alors

d = 1

). On cherche à démontrer qu'il existe deux entiers

u

v

tels que

a u + b v = 1

. On note

E

l'ensemble des entiers strictement positifs pouvant s'écrire sous la forme

a u + b v

.
Justifier que l'ensemble

E

n'est pas vide ; autrement dit qu'il existe un entier

k > 0

tel que

a u + b v = k

On admet pour toute la suite que

E

admet un plus petit élément noté

c

3. a. Écrire la division euclidienne de

a

par

c

en notant

q

le quotient et

r

le reste.

b. Justifier qu'il existe deux entiers

U

V

tels que

r = a U + b V

et en déduire que si

r > 0

, alors

r \in E

c. En déduire alors que

r = 0

et donc que

c ∣ a

4. a. Démontrer que

c ∣ b

b. En déduire alors que

c = 1

c. Conclure en rédigeant intégralement la propriété démontrée par les questions 2. à 4..

5. Quelle équivalence cet exercice a-il permis de démontrer ?

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115
[Calculer, Chercher.]

Théorème des restes chinois

Coffre trésor plage coucher soleil or sabre

Fer Gregory/Shutterstock

Dix‑sept pirates ont gagné un gros butin. Ils comptent qu'en prenant tous la même part, il reste trois pièces pour le cuisinier chinois.
Un soir, une mutinerie éclate au cours de laquelle six pirates sont tués. Ils comptent alors qu'en se répartissant le butin, il reste quatre pièces pour le cuisinier.
Or, avant qu'ils aient distribué cet argent, cinq autres membres meurent du scorbut. Le cuisinier chinois compte alors qu'en donnant la même somme à chaque pirate restant, il lui reviendra cinq pièces.
On cherche à déterminer de combien de pièces est constitué ce butin.

1. Soit

b

le butin des pirates. Traduire l'énoncé par un système de trois congruences.

2. À la fin, chaque pirate a 84 pièces de plus que dans le premier partage. Montrer que si

b \in N

est une solution du système, alors il existe trois entiers naturels

x

y

z

tels que

17 x - 11 y = 1

11 y - 6 z = 1

z - x = 84

3. Déterminer l'ensemble des solutions de chacune des deux premières équations.

4. En utilisant l'équation

z - x = 84

, donner la relation entre les deux paramètres définissant les solutions des équations

17 x - 11 y = 1

11 y - 6 z = 1

5. En déduire la valeur de ces paramètres, puis la solution du problème.

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116
[Calculer, Chercher.]
Chiffrement

1. a. Déterminer un entier

u_{0}

tel que

5 u_{0} \equiv 1 [28]

b. Soient

u

v

deux entiers tels que

5 u + 28 v = 1

.
Montrer que

5 u - 5 u_{0} \equiv 0 [28]

et en déduire les valeurs de

u

v

telles que

u \in {0; ...; 28}

2. On chiffre un message de la manière suivante : à chaque lettre est associé un entier entre

0

25

en suivant l'ordre alphabétique.
Un entier

n \in {0; ...; 25}

sera codé par l'unique entier

m \in {0; ...; 28}

tel que

m \equiv n^{5} [29]

.
a. Soient

n \in {0; ...; 25}

m \in {0; ...; 28}

la version chiffrée de

n

. Montrer que

m^{17} \equiv n \times n^{28 \times 3} [29]

b. On admet que

n^{28} \equiv 1 [29]

.
Déduire de ce qui précède que la fonction de décodage consiste à calculer le reste de la division euclidienne de

m^{17}

par

29

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117
Devoir maison
[Communiquer, Modéliser.]

Photo : main utilisant un distributeur automatique, sélectionnant un produit via le clavier numérique.

Syda Productions/Shutterstock

Un distributeur de pièces ne dispose que de deux sortes de pièces de montants

a

b

, où

a

b

sont des entiers naturels non nuls. Pour distribuer une somme

S

, il doit trouver une combinaison linéaire à coefficients entiers positifs de

a

b

1. On suppose que

a = 2

et que

b

est un entier impair supérieur ou égal à

3

.
a. Montrer que le distributeur peut payer toutes les sommes paires.

Soient

S ⩾ b

un entier naturel impair et respectivement

q

r

le quotient et le reste de la division euclidienne de

S

par

b

b. Montrer que si

q

est impair, alors

r

est pair, et que si

q

est pair, alors

b + r

est pair. En déduire que le distributeur peut payer toutes les sommes supérieures ou égales à

b

c. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous, qui prend en argument la somme à payer supposée impaire et retourne les nombres

n_{a}

n_{b}

de pièces de chaque valeur à donner.

Demander S q \leftarrow E (S / b) r \leftarrow S - b \times q Si q est impair : ⎩ ⎨ ⎧ n_{a} = ... n_{b} = ... S = ... Sinon : ⎩ ⎨ ⎧ n_{a} = ... n_{b} = ... S = ...

2. Supposons que

a

b

sont deux entiers naturels supérieurs ou égaux à

2

et premiers entre eux.
On souhaite montrer qu'on ne peut pas payer la somme

ab - a - b

.
Supposons donc par l'absurde qu'il existe

(x; y) \in N^{2}

tel que

a x + b y = ab - a - b

a. Montrer qu'il existe alors

k \in Z

tel que

x + 1 = k b

b. En déduire que

y = a - 1 - ak

c. Montrer que l'égalité

x + 1 = k b

implique que

k > 0

et que l'égalité

y = a - 1 - ak

implique que

k < 1

d. Conclure.

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118
[Calculer, Raisonner.]
Soit

(a; b)

un couple d'entiers strictement positifs tels que

a^{2} = b^{3}

. On note

d = PGCD (a; b)

. Soient

x

y

les entiers tels que

a = d x

b = d y

.

1. Montrer le lemme suivant : « Pour tous entiers

x

y

premiers entre eux,

y ∣ x^{2} \Rightarrow y ∣ x

. »

2. Montrer que

x^{2} = d y^{3}

3. Justifier que

y ∣ x

et en déduire que

y = 1

4. En déduire que

a

b

sont respectivement le cube et le carré d'un même entier.

5. Soit

x

un entier naturel non nul.
a. Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de

x^{2}

par

7

? Et de

x^{6}

par

7

b. En déduire que si

n

est le carré d'un entier et le cube d'un autre entier, alors

n \equiv 0 [7]

n \equiv 1 [7]

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119
[Calculer, Chercher.]
Une jeune fille portait des œufs pour les vendre au marché. Elle rencontra un jeune homme qui voulut jouer avec elle et qui cassa tous ses œufs sans les lui rembourser.
Le juge condamna le jeune homme à payer les œufs. Mais le juge ne savait pas combien il y en avait et le demanda à la jeune fille.
Elle prétendit ne pas les avoir comptés, mais qu'elle avait essayé de les ranger par 2 et qu'il restait 1 oeuf, puis par 3 et qu'il en restait encore 1, puis par 4, par 5 et par 6 et que, dans chaque cas, il en restait 1 et enfin par 7 et que cette fois il n'y avait pas d'œuf en reste.

1. Traduire cet énoncé par un système de congruences.

2. En déduire que le nombre d'œufs

n

vérifie

n \equiv 1 [60]

n \equiv 0 [7]

3. En déduire qu'il existe des entiers

a

b

tels que

n = 7 a = 60 b + 1

et déterminer l'ensemble des couples

(a; b)

d'entiers vérifiant

7 a = 60 b + 1

4. En déduire le plus petit nombre d'œufs possible de la jeune fille.

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120
Un problème chinois

Le problème des cent volailles a été énoncé au V^e siècle en Chin : « Un coq vaut cinq pièces, une poule trois pièces et trois poussins valent une pièce. Avec cent pièces, on achète cent volailles. Combien y a‑t‑il de coqs, de poules et de poussins ? »
L'auteur donne une méthode pour trouver toutes les solutions à partir d'une solution particulière : accroître les coqs chaque fois par 4, décroître les poules chaque fois par 7 et accroître les poussins chaque fois par 3.

1. Soient

x

le nombre de coqs,

y

le nombre de poules et

z

le nombre de poussins.
Montrer que

(x; y; z)

vérifie

{z = 100 - x - y 14 x + 8 y = 200

2. Soit

(x_{0}; y_{0}; z_{0})

une solution particulière.

a. Montrer que

7 (x - x_{0}) = 4 (y_{0} - y)

et en déduire les expressions de

x

y

en fonction de

x_{0}

y_{0}

. Vérifier que cela confirme la méthode donnée.

b. Justifier que le nombre de poussins augmente de 3 entre chaque triplet solution.

3. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'ensemble des triplets de solutions.

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121
Racines rationnelles d'un polynôme

Partie A : Étude d'un cas particulier
Le but est de déterminer les éventuelles solutions rationnelles de l'équation polynomiale

15 x^{3} - 7 x + 3 = 0

1. a. Soit

x \in Z

.
Que peut‑on dire du

PGCD

x

x^{3}

b. Supposons qu'il existe une solution entière

x

. Justifier que

x

ne peut valoir que

- 3

;

- 1

;

1

3

c. Conclure sur l'existence de solutions entières.

2. Soient

p

q

deux entiers relatifs premiers entre eux et tels que

\frac{p}{q}

soit solution de l'équation.

a. Montrer que

15 p^{3} - 7 p q^{2} = - 3 q^{3}

b. En appliquant le théorème de Gauss, démontrer que

p

divise

3

c. De même, montrer que

q

divise

15 p^{3}

, puis que

q

divise

15

d. En déduire les valeurs positives possibles de

\frac{p}{q}

. Sont‑elles solutions ?

Partie B : Étude d'un cas plus général

1. Soient

a

b

c

trois entiers naturels non nuls. Montrer que pour tout

n \in N

, si

c ∣ a \times b^{n}

PGCD (b; c) = 1

, alors

c ∣ a

2. On considère l'équation polynomiale à coefficients entiers

a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0

.
Soit

(p; q) \in Z^{2}

avec

q \neq = 0

tel que

\frac{p}{q}

soit solution de cette équation avec

PGCD (p; q) = 1

a. Montrer que :

a_{5} p^{5} + a_{4} p^{4} q + a_{3} p^{3} q^{2} + a_{2} p^{2} q^{3} + a_{1} p q^{4} = - a_{0} q^{5}

.
En déduire que

p

divise

a_{0}

b. De même, montrer que

q

divise

a_{5}

3. Application

a. Déduire de ce qui précède que l'ensemble des rationnels non entiers solutions de l'équation

2 x^{5} + 41 x^{4} - 7 x - 6 = 0

est inclus dans

{\frac{1}{2}; \frac{- 1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{- 3}{2}}

b. En déduire l'ensemble des solutions rationnelles de cette équation.

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122
Triplets pythagoriciens

Un triplet pythagoricien est un triplet

(x; y; z)

d'entiers naturels non nuls tels que

x^{2} + y^{2} = z^{2} (E)

1. Peut‑il y avoir des solutions si

z = 1

z = 2

2. Supposons que

z > 2

et que

(x; y; z)

est un triplet pythagoricien.
Que peut‑on dire du

PGCD

x

y

3. Montrer que si

x

y

ont la même parité, alors

z

est pair, et que s'ils sont de parités différentes, alors

z

est impair.

4. On suppose dans la suite que

x

est pair.
Soit

x^{'}

tel que

x = 2 x^{'}

.
Vérifier que

4 x^{'2} = (z - y) (z + y)

5. Justifier que

z - y

z + y

sont pairs et montrer que si

PGCD (y; z) = 1

, alors

PGCD (\frac{z - y}{2}; \frac{z + y}{2}) = 1

6. On suppose dans la suite de l'exercice que

PGCD (y; z) = 1

.
On admet le lemme suivant : « Soient

a

b

c

trois entiers naturels tels que

PGCD (a; b) = 1

ab = c^{2}

. Alors il existe deux entiers relatifs

u

v

premiers entre eux tels que

a = u^{2}

b = v^{2}

. »
En déduire qu'il existe deux entiers relatifs premiers entre eux tels que

\frac{z - y}{2} = u^{2}

\frac{z + y}{2} = v^{2}

7. En déduire que

z

est la somme des carrés de deux entiers, et exprimer

x

y

en fonction de ces entiers.

8. Application : Les équations

x^{2} + y^{2} = 25

x^{2} + y^{2} = 49

admettent-elles des solutions ?

Schéma graphique: plusieurs triangles rectangles illustrent le théorème de Pythagore. Côté opposé, adjacent et hypoténuse sont indiqués.

Exemples de triplets pythagoriciens représentés par des triangles rectangles.

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123
Casse-tête

Un jour, dans une auberge, s'arrête un groupe de voyageurs. Des hommes, mais aussi des femmes, en moindre nombre mais tout autant affamées, s'attablent. Il est convenu à l'issue du repas que les hommes paieront chacun 19 sous et les femmes 13 sous chacune. L'aubergiste récolte ainsi exactement 1 000 sous.
Combien y avait‑il d'hommes et de femmes dans ce groupe ?

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124
Défi

Un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois côtés ont des mesures entières.
Le triangle de mesures

3

4

5

est par exemple un triangle pythagoricien.
Déterminer les

20

triplets pythagoriciens qu'on obtiendrait si on construisait les triangles successifs comme sur le schéma ci-dessous.

Aide

Le petit côté du triangle augmente toujours de 2.

Le tout petit carré central a pour côté

1

. Quel est le côté du carré au centre de la 2^e série de triangles ?

Illustration géométrique : spirale de triangles imbriqués démontrant le théorème de Pythagore avec les triplets (3, 4, 5) et (5, 12, 13).

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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre :

p. 238

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Le Grand Oral

Entraînez-vous au Grand Oral et enregistrez-vous sur

LLS.fr/GrandOralMaths

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Consigne générale

Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d'appui à des questions de Grand Oral. Voici un exemple, basé sur l'enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.

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Dans le cadre de l'enseignement de spécialité, vous avez étudié le théorème des valeurs intermédiaires.

1. Citer ce théorème en précisant ses hypothèses de validité.

2. a. Utiliser ce théorème pour montrer que l'équation

8 x^{3} + 15 x^{2} + 22 x - 3 = 0

admet une unique solution

α

sur

R

b. Quelle méthode connaissez-vous pour obtenir une approximation de la valeur de la solution

α

3. Expliquer en quoi les méthodes du chapitre permettent de déterminer les éventuelles solutions rationnelles de l'équation

8 x^{3} + 15 x^{2} + 22 x - 3 = 0

. Quelle valeur de la solution obtient‑on ?

4. Citer des exemples de situations concrètes faisant intervenir une équation de cette forme.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le

Grand Oral p. 244

Page suivante

Ch. 1 Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2 Nombres complexes, point de vue géométrique

Ch. 3 Divisibilité dans Z

Ch. 4PGCD et applications

Ch. 5 Nombres premiers

Ch. 6Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7Suites et matrices

Cahier d'algorithmique et de programmation

Exercices de synthèse

Consigne générale

Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique

Ch. 3
Divisibilité dans Z

Ch. 4
PGCD et applications

Ch. 5
Nombres premiers

Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7
Suites et matrices