Théorème de Gauss et applications

102

[Calculer.]
On souhaite constituer des colis de 4 500 g avec des bloc‑notes et des cartouches d'encre. Un bloc-note pèse 702 g et une cartouche d'encre pèse 45 g.
On note $x$ le nombre de bloc-notes et $y$ le nombre de cartouches d'encre.

1. Justifier que $x$ et $y$ sont deux entiers naturels solution de l'équation $\text{(E)}:702x+45y=4500$.

Insérer une formule mathématique

2. Déterminer une solution particulière $(x_0;y_0)$ de cette équation dans ${\mathbb{Z}}^2$.

Insérer une formule mathématique

3. Montrer que si $(x_0;y_0)\in {\mathbb{Z}}^2$ est une solution de l'équation $\text{(E)}$, alors tout couple $(x;y)\in {\mathbb{Z}}^2$ solution de $\text{(E)}$ vérifie $702(x-x_0)=45(y_0-y)$.

Insérer une formule mathématique

4. En déduire dans ${\mathbb{Z}}^2$ l'ensemble des solutions de $\text{(E)}$.

Insérer une formule mathématique

5. En déduire les valeurs possibles de $x$ et de $y$ dans ce problème.

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103

[Raisonner.]
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels. On admet que $a$ et $b$ ont une infinité de multiples communs positifs et qu'il en existe un plus petit que les autres, noté $\text{PPCM}(a;b).$

1. a. Justifier que l'ensemble des multiples communs positifs à $a$ et $b$ est non vide.

Insérer une formule mathématique

b. Lister les cinq premiers multiples strictement positifs de $24$ et de $36$ puis en déduire $\text{PPCM}(24;36).$

Insérer une formule mathématique

On souhaite démontrer que le produit de deux nombres entiers naturels est égal au produit de leur $\text{PGCD}$ et de leur $\text{PPCM}$.

2. Vérifier que $24\times 36=\text{PGCD}(24;36)\times \text{PPCM}(24;36)$.

Insérer une formule mathématique

3. Soient $(a;b)\in {\mathbb{N}}^2$. On pose $d=\text{PGCD}(a;b)$ et on considère $(a^{\prime };b^{\prime })\in {\mathbb{N}}^2$ tel que $a=d{a}^{\prime }$ et $b=d{b}^{\prime }$. Justifier que $a^{\prime }{b}^{\prime }d$ est un multiple commun positif à $a$ et $b$.

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4. a. Que peut-on dire de $a^{\prime }$ et $b^{\prime }$ ?

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b. Soit $m\in \text{N}$. Montrer que si $m$ est un multiple commun positif à $a$ et $b$, alors $m$ est un multiple de $a^{\prime }{b}^{\prime }d$.

Insérer une formule mathématique

5. En déduire que $a^{\prime }{b}^{\prime }d$ est le plus petit multiple commun positif à $a$ et $b$.

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6. On note $m=a^{\prime }{b}^{\prime }d$ le plus petit multiple commun positif de $a$ et $b$. Montrer que $m\times d=a\times b.$

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106

[Calculer.]
Un groupe d'amis a mangé pendant plusieurs jours au restaurant de leur hôtel. Ils avaient le choix entre le menu du jour à 24 € et le menu gastronomique à 45 €. L'addition s'élevant à 903 €, ils cherchent à retrouver combien de fois chaque menu a été choisi.
On note $a$ le nombre de menus du jour et $b$ le nombre de menus gastronomiques choisis.

1. Écrire une équation diophantienne associée à cette situation.

Insérer une formule mathématique

2. Montrer qu'une solution de cette équation est $(a_0;b_0)=(2;19)$.

Insérer une formule mathématique

3. Montrer que si $(a;b)\in {\mathbb{Z}}^2$ est une solution de l'équation, alors $8(a-2)=15(19-b)$.

Insérer une formule mathématique

4. En déduire l'ensemble des solutions cherchées.

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5. S'ils savent seulement que le nombre de repas pris est un multiple de $7$, peuvent‑ils connaître la répartition des choix de menus ?

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111

[Chercher.]

Le cycle solaire est une révolution de 28 ans après lesquels chaque jour de la semaine revient à la même date.
Le cycle lunaire est une période de 19 ans après lesquels les lunaisons retombent aux mêmes dates du mois.
Ces deux cycles ont commencé simultanément en l'an –457.
Donner l'ensemble des années auxquelles ces deux cycles se trouvent à nouveau coordonnés, c'est‑à‑dire que les lunaisons et les jours des semaines se trouvent aux mêmes dates qu'en –457.

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Carl-Friedrich Gauss (1777-1855) est l'un des plus célèbres mathématiciens Européens du XIX^e siècle. À 19 ans, il détermina une méthode pour construire un polygone régulier à 17 côtés à la règle et au compas et indiqua en général quels sont ceux qu'on peut ou non construire de cette façon. Dans sa thèse soutenue en 1799, il utilise les nombres imaginaires (qu'il appellera plus tard « complexes ») pour factoriser tous les polynômes et démontre le théorème fondamental de l'algèbre énoncé par d'Alembert. C'est dans ses Disquisitiones arithmaticae publiées en 1801 et qui reste une référence en arithmétique, qu'on trouve le théorème qui porte son nom. La même année, il détermine la trajectoire de Cérès, une planète naine qui venait d'être aperçue pour la première fois et introduit à cette occasion la méthode des moindres carrés. Il travaillera aussi sur l'électromagnétisme, les probabilités et sur la géométrie.