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p. 1-11

Nombres complexes

Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3
Divisibilité dans Z

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 4
PGCD et applications

Ch. 5
Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7
Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 4

Entraînement 2

Nombres premiers entre eux

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

102

106

Parcours 2 : exercices

;

105

107

Parcours 3 : exercices

;

103

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Flash

Justifier l'existence d'un couple d'entiers

(u; v)

tels que

130 u + 231 v = 1

et en déterminer un.

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Flash

Soit

n \in N

. Montrer à l'aide du théorème de Bézout que

PGCD (4 n + 3; 2 n + 1) = 1

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Flash

Pour quelles valeurs entières

n

l'équation

24 x + 32 y = n

admet-elle des solutions entières ?

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Flash

Soit

n \in N

. Donner une combinaison linéaire de

4 n + 3

3 n + 4

égale à

7

.
Peut‑on en déduire que

PGCD (4 n + 3; 3 n + 4) = 7

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86
[Calculer.]

On considère l'équation diophantienne

4 x - 27 y = 1

1. Justifier que cette équation admet des couples d'entiers solutions et en déterminer un.

2. Soit

(x_{0}; y_{0})

une solution particulière. On définit les suites arithmétiques

(x_{n})

de premier terme

x_{0}

et de raison

27

(y_{n})

de premier terme

y_{0}

et de raison

4

.
Montrer que, pour tout

n \in N

, le couple

(x_{n}; y_{n})

est solution.

3. À l'aide de la calculatrice, déterminer, en utilisant la question 1., dix couples solutions de l'équation.

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87
[Représenter.]

1. Montrer que l'équation

(E) : 54 x + 42 y = 24

est équivalente à

9 x + 7 y = 4

et qu'elle admet une solution dans

Z^{2}

2. Déterminer une solution particulière de

(E)

3. Justifier que les solutions entières de l'équation

(E)

sont, dans un repère du plan, des coordonnées de points de la droite d'équation

y = - \frac{9}{7} x + \frac{4}{7}

4. À l'aide du mode tableur de la calculatrice et en utilisant la fonction

x \to - \frac{9}{7} x + \frac{4}{7}

, construire, à l'aide d'une valeur initiale et d'un pas bien choisi, un tableau ne faisant apparaître que des points de la droite à coordonnées entières.

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88
Démo
[Raisonner.]
Le but de cet exercice est de démontrer la propriété : « Pour tous

a, b, c

entiers tels que

a

b

ne soient pas simultanément nuls, l'équation

a x + b y = c

admet des solutions si, et seulement si,

c

est un multiple de

PGCD (a; b) .

1. Montrer que si l'équation

a x + b y = c

admet des solutions, alors

PGCD (a; b) ∣ c

2. Réciproquement, supposons que

c

est un multiple de

PGCD (a; b)

. Soit

c^{'}

l'entier tel que

c = c^{'} PGCD (a; b)

. Déduire de l'identité de Bézout qu'il existe un couple solution de l'équation

a x + b y = c

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89
[Raisonner.]
Soit

(m; n) \in N^{* 2}

. Montrer qu'il existe

(a; b) \in Z^{2}

tel que

\frac{1}{nm} = \frac{a}{n} + \frac{b}{m}

si, et seulement si,

m

n

sont premiers entre eux.

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90
[Communiquer.]

1. Soit

n \in N^{*}

. Justifier que si

n

n'est pas un multiple de

3

, alors

n

3

sont premiers entre eux.

2. En utilisant le théorème de Bézout, montrer que si

n

est premier avec

3

, alors

n^{3}

est premier avec

9

3. Démontrer par contraposée la proposition : « Pour tout

n \in N

non nul, si

9∣ n^{3}

, alors

3∣ n .

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91
[Calculer.]

On souhaite constituer des colis de bloc-notes et de cartouches d'encre. Un bloc-note pèse 702 g et une cartouche d'encre pèse 45 g.

1. Le service de livraison propose des tarifs pour des colis de poids inférieur à 2 kg, 3 kg, 4,5 kg ou 9 kg. Parmi ces poids, quels sont ceux qui peuvent être exactement atteints avec ces fournitures ? Justifier.

2. Déterminer une constitution possible pour un colis pesant exactement 4,5 kg.

3. Déterminer, à l'aide de la remontée de l'algorithme d'Euclide, un couple de Bézout associé aux entiers

702

45

. Peut on utiliser ce couple dans ce contexte ?

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Vrai / Faux

[Calculer.]
Déterminer en justifiant si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.

1. Il existe un entier naturel

n

tel que

\frac{n - 7}{18}

\frac{n - 8}{15}

soient tous les deux entiers.

2. Il existe un entier naturel

n

tel que

\frac{n - 3}{16}

\frac{n - 11}{12}

soient tous les deux entiers.

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Approfondissement

[Communiquer.]

On souhaite chiffrer un texte en français avec des accents, ce qui donne un alphabet à

35

lettres. Chaque lettre est alors associée à un entier entre

0

34

1. On choisit la fonction de chiffrement affine

f : x \to 10 x + 3

qui, à tout entier

x \in {0; ...; 34}

, associe l'entier

y \in {0; ...; 34}

tel que

y \equiv 10 x + 3 [35]

.
a. Soit

y \in {0; ...; 34}

.
Montrer que si

y \equiv 10 x + 3 [35]

, alors il existe

k \in Z

tel que

10 x + 35 k = y - 3

b. Pour quelles valeurs de

y

cette équation admet‑elle des solutions entières ?

c. Que peut‑on en déduire pour cette fonction de chiffrement ?

2. On choisit la fonction de chiffrement affine

g : x \to 8 x + 5

qui, à tout entier

x \in {0; ...; 34}

, associe l'entier

y \in {0; ...; 34}

tel que

y \equiv 8 x + 5 [35]

.
a. Justifier qu'il existe

a \in Z

tel que

8 a \equiv 1 [35]

puis déterminer un tel entier.

b. En déduire que, pour tout

y \in {0; ...; 34}

, l'équation

y \equiv 8 x + 5 [35]

admet une unique solution

x \in {0; ...; 34}

et écrire la fonction de décodage permettant de la déterminer.

c. Quel est l'entier qui est chiffré par

9

avec cette fonction de chiffrement ?

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94
[Communiquer.]

On souhaite chiffrer un texte en français en tenant compte des accents, ce qui donne un alphabet à

35

lettres. On a choisi la fonction de chiffrement affine

h : x \to 7 x + 1

qui, à tout entier

x \in {0; ...; 34}

, associe l'entier

y \in {0; ...; 34}

défini par

y \equiv h (x) [35]

.
L'objectif est de montrer que cette fonction de codage est ambigüe.

1. Montrer par l'absurde et en utilisant le théorème de Bézout que

7 x + 1

ne peut pas être congru à

2

modulo

35

. Que peut‑on en déduire sur la lettre associée au nombre

2

dans le message chiffré ?

2. a. Déterminer deux entiers

x \in {0; ...; 34}

codés par

8

b. Combien d'entiers

x \in {0; ...; 34}

sont codés par

8

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95
[Calculer.]
On cherche à résoudre un problème de la forme

⎩ ⎨ ⎧ x \equiv a [3] x \equiv b [5] x \equiv c [7]

où

a

b

c

sont des entiers naturels non nuls.

1. Montrer que s'il existe des entiers

α

β

γ

tels que

⎩ ⎨ ⎧ 35 \times α \equiv 1 [3] 21 \times β \equiv 1 [5] 15 \times γ \equiv 1 [7]

, alors pour tout

k \in Z

x = 35 α \times a + 21 β \times b + 15 γ \times c + 105 \times k

est solution du système.

2. Justifier l'existence de ces entiers

α

β

γ

puis déterminer un triplet qui convient.

3. En déduire un ensemble de solutions du système. A-t-on démontré que cet ensemble les contient toutes ?

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96
[Représenter.]
D'après bac S, Centres étrangers, juin 2009

On note

(E)

l'équation

3 x + 2 y = 29

1. a. Déterminer un couple d'entiers solution de

(E)

b. On admet que les solutions sont données, pour tout entier

k

, par

(11 - 2 k; 3 k - 2)

.
Préciser les couples solutions pour lesquels on a à la fois

x \geq 0

y \geq 0

2. Soient

S

la surface d'équation

4 z = x y

dans un repère et

P

son intersection avec le plan d'équation

3 x + 2 y = 29

.
a. Soit

(x; y; z)

un point de

P

à coordonnées entières. Montrer que

PGCD (x; 4) = 1

et en déduire que

4

divise

y

b. Construire une table de congruence modulo

4

afin de déterminer, parmi les solutions de

(E)

, lesquelles vérifient

y \equiv 0 [4]

c. En déduire l'expression des coordonnées des points de

P

à coordonnées entières.

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Nombres premiers entre eux

Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique

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Nombres complexes, point de vue géométrique

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Divisibilité dans Z

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PGCD et applications

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Nombres premiers

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