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3. Le petit théorème de Fermat
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Entraînement


3
Le petit théorème de Fermat





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 37 ; 44 ; 57 ; 58 ; 61 et 72
◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 47 ; 60 ; 66 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 39 ; 46 ; 59 ; 64 et 75

70
FLASH

Calculer, en simplifiant au maximum, les puissances suivantes.

1. 22422^4 modulo 55.


2. 35635^6 modulo 77.


3. 121712^{17} modulo 1717.
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71
FLASH

Pour chaque cas déterminer, sans poser la division euclidienne, le reste de la division euclidienne de nn par pp.

1. n=216n=2^{16} et p=17p=17.


2. n=319n=3^{19} et p=19p=19.


3. n=413n=4^{13} et p=7p=7.
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72
[Calculer.] ◉◉
Dans chaque cas, déterminer le reste de la division euclidienne de nn par pp.

1. n=352n=3^{52} et p=23p=23.


2. n=489n=4^{89} et p=29p=29.


3. n=15100n=15^{100} et p=97p=97.
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73
[Calculer.]
1. On note n=34×6n=3^{4 \times 6}.
a. Justifier que n1[5]n \equiv 1[5].


b. Justifier que n1[7]n \equiv 1[7].


c. En déduire que n1[35]n \equiv 1[35].


d. Calculer, en simplifiant au maximum, 3753^{75} modulo 3535.


2. En utilisant la même méthode que précédemment, montrer que 3721[95]3^{72} \equiv 1[95]. Calculer ensuite 3753^{75} modulo 9595.


3. Calculer 42074^{207} modulo 5555.
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74
[Communiquer.] ◉◉
1. Démontrer que, pour tout entier naturel nn, 4n1[3]4^{n} \equiv 1[3].


2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat que 42814^{28}-1 est divisible par 2929.


3. Pour 1n41 \leqslant n \leqslant 4, déterminer le reste de la division euclidienne de 4n4^n par 1717. En déduire que, pour tout entier kk, le nombre 44k14^{4k}-1 est divisible par 1717.


4. Pour quels entiers naturels nn le nombre 4n14^{n}-1 est‑il divisible par 55 ?


5. À l’aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de 42814^{28}-1.
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75
[Chercher.] ◉◉◉
Montrer que, pour tout entier naturel nn non nul, 1515n1[11]15^{15^{n}} \equiv 1[11].
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76
[Raisonner.]
1. En utilisant le petit théorème de Fermat, déterminer le chiffre des unités de 3803^{80}.


Aide
On pourra commencer par étudier 3803^{80} modulo 55 et 3803^{80} modulo 22.


2. En utilisant la même méthode, déterminer le chiffre des unités de 7287^{28}.
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77
[Raisonner.]
Le but de cet exercice est de montrer que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, n7nn^{7}-n est divisible par 1414.

1. En utilisant le petit théorème de Fermat, montrer que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, n7nn^{7}-n est divisible par 77.


2. Montrer que n7nn^{7}-n est divisible par 22. Conclure.
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