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Le petit théorème de Fermat

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 37 ; 44 ; 57 ; 58 ; 61 et 72
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 47 ; 60 ; 66 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 39 ; 46 ; 59 ; 64 et 75

70

Calculer, en simplifiant au maximum, les puissances suivantes.

1. $22^4$ modulo $5$.


2. $35^6$ modulo $7$.


3. $12^{17}$ modulo $17$.

71

Pour chaque cas déterminer, sans poser la division euclidienne, le reste de la division euclidienne de $n$ par $p$.

1. $n=2^{16}$ et $p=17$.


2. $n=3^{19}$ et $p=19$.


3. $n=4^{13}$ et $p=7$.

72

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chaque cas, déterminer le reste de la division euclidienne de $n$ par $p$.

1. $n=3^{52}$ et $p=23$.


2. $n=4^{89}$ et $p=29$.


3. $n=15^{100}$ et $p=97$.

73

[Calculer.]
1. On note $n=3^{4\times 6}$.
a. Justifier que $n\equiv 1[5]$.


b. Justifier que $n\equiv 1[7]$.


c. En déduire que $n\equiv 1[35]$.


d. Calculer, en simplifiant au maximum, $3^{75}$ modulo $35$.


2. En utilisant la même méthode que précédemment, montrer que $3^{72}\equiv 1[95]$. Calculer ensuite $3^{75}$ modulo $95$.


3. Calculer $4^{207}$ modulo $55$.

74

[Communiquer.] ◉◉◉
1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $4^n\equiv 1[3]$.


2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat que $4^{28}-1$ est divisible par $29$.


3. Pour $1⩽n⩽4$, déterminer le reste de la division euclidienne de $4^n$ par $17$. En déduire que, pour tout entier $k$, le nombre $4^{4k}-1$ est divisible par $17$.


4. Pour quels entiers naturels $n$ le nombre $4^n-1$ est‑il divisible par $5$ ?


5. À l’aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de $4^{28}-1$.

75

[Chercher.] ◉◉◉
Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $15^{15^n}\equiv 1[11]$.

76

[Raisonner.]
1. En utilisant le petit théorème de Fermat, déterminer le chiffre des unités de $3^{80}$.




2. En utilisant la même méthode, déterminer le chiffre des unités de $7^{28}$.

77

[Raisonner.]
Le but de cet exercice est de montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $n^7-n$ est divisible par $14$.

1. En utilisant le petit théorème de Fermat, montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $n^7-n$ est divisible par $7$.


2. Montrer que $n^7-n$ est divisible par $2$. Conclure.