Mathématiques Expertes Terminale

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Cours 5
Entraînement 3

Le petit théorème de Fermat

13 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Différenciation
Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ; et
Parcours 2 : exercices  ;  ;  ; et
Parcours 3 : exercices  ;  ;  ; et
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
70
Flash

Calculer, en simplifiant au maximum, les puissances suivantes.

1. 22^4 modulo 5.

2. 35^6 modulo 7.

3. 12^{17} modulo 17.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
71
Flash

Pour chaque cas déterminer, sans poser la division euclidienne, le reste de la division euclidienne de n par p.

1. n=2^{16} et p=17.

2. n=3^{19} et p=19.

3. n=4^{13} et p=7.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
72
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer le reste de la division euclidienne de n par p.

1. n=3^{52} et p=23.

2. n=4^{89} et p=29.

3. n=15^{100} et p=97.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
73
[Calculer.]
1. On note n=3^{4 \times 6}.
a. Justifier que n \equiv 1[5].

b. Justifier que n \equiv 1[7].

c. En déduire que n \equiv 1[35].

d. Calculer, en simplifiant au maximum, 3^{75} modulo 35.

2. En utilisant la même méthode que précédemment, montrer que 3^{72} \equiv 1[95]. Calculer ensuite 3^{75} modulo 95.

3. Calculer 4^{207} modulo 55.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
74
[Communiquer.]

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 4^{n} \equiv 1[3].

2. Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat que 4^{28}-1 est divisible par 29.

3. Pour 1 \leqslant n \leqslant 4, déterminer le reste de la division euclidienne de 4^n par 17. En déduire que, pour tout entier k, le nombre 4^{4k}-1 est divisible par 17.

4. Pour quels entiers naturels n le nombre 4^{n}-1 est‑il divisible par 5 ?

5. À l'aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de 4^{28}-1.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
75
[Chercher.]

Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, 15^{15^{n}} \equiv 1[11].
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
76
[Raisonner.]
1. En utilisant le petit théorème de Fermat, déterminer le chiffre des unités de 3^{80}.
Aide
On pourra commencer par étudier 3^{80} modulo 5 et 3^{80} modulo 2.

2. En utilisant la même méthode, déterminer le chiffre des unités de 7^{28}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
77
[Raisonner.]
Le but de cet exercice est de montrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, n^{7}-n est divisible par 14.

1. En utilisant le petit théorème de Fermat, montrer que, pour tout n \in \mathbb{N}, n^{7}-n est divisible par 7.

2. Montrer que n^{7}-n est divisible par 2. Conclure.
Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.