Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Cours 5
Entraînement 3

Le petit théorème de Fermat

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Différenciation
Parcours 1 : exercices  ;  ;  ;  ; et
Parcours 2 : exercices  ;  ;  ; et
Parcours 3 : exercices  ;  ;  ; et
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70
Flash

Calculer, en simplifiant au maximum, les puissances suivantes.

1. modulo .

2. modulo .

3. modulo .
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71
Flash

Pour chaque cas déterminer, sans poser la division euclidienne, le reste de la division euclidienne de par .

1. et .

2. et .

3. et .
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72
[Calculer.]

Dans chaque cas, déterminer le reste de la division euclidienne de par .

1. et .

2. et .

3. et .
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73
[Calculer.]
1. On note .
a. Justifier que .

b. Justifier que .

c. En déduire que .

d. Calculer, en simplifiant au maximum, modulo .

2. En utilisant la même méthode que précédemment, montrer que . Calculer ensuite modulo .

3. Calculer modulo .
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[Communiquer.]

1. Démontrer que, pour tout entier naturel , .

2. Prouver à l'aide du petit théorème de Fermat que est divisible par .

3. Pour , déterminer le reste de la division euclidienne de par . En déduire que, pour tout entier , le nombre est divisible par .

4. Pour quels entiers naturels le nombre est‑il divisible par  ?

5. À l'aide des questions précédentes, déterminer quatre diviseurs premiers de .
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[Chercher.]

Montrer que, pour tout entier naturel non nul, .
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[Raisonner.]
1. En utilisant le petit théorème de Fermat, déterminer le chiffre des unités de .
On pourra commencer par étudier modulo et modulo
Aide

2. En utilisant la même méthode, déterminer le chiffre des unités de .
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77
[Raisonner.]
Le but de cet exercice est de montrer que, pour tout , est divisible par .

1. En utilisant le petit théorème de Fermat, montrer que, pour tout , est divisible par .

2. Montrer que est divisible par . Conclure.

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