Le petit théorème de Fermat

70

Calculer, en simplifiant au maximum, les puissances suivantes. 1. $22^4$ modulo $5$.

2. $35^6$ modulo $7$.

3. $12^{17}$ modulo $17$.

71

Pour chaque cas déterminer, sans poser la division euclidienne, le reste de la division euclidienne de $n$ par $p$. 1. $n=2^{16}$ et $p=17$.

2. $n=3^{19}$ et $p=19$.

3. $n=4^{13}$ et $p=7$.

76

[Raisonner.]
1. En utilisant le petit théorème de Fermat, déterminer le chiffre des unités de $3^{80}$.

Aide

On pourra commencer par étudier $3^{80}$ modulo $5$ et $3^{80}$ modulo $2.$

2. En utilisant la même méthode, déterminer le chiffre des unités de $7^{28}$.

77

[Raisonner.]
Le but de cet exercice est de montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $n^7-n$ est divisible par $14$. 1. En utilisant le petit théorème de Fermat, montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $n^7-n$ est divisible par $7$.

2. Montrer que $n^7-n$ est divisible par $2$. Conclure.