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1. L’ensemble des nombres premiers
P.148-149

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COURS 1


1
L’ensemble des nombres premiers




A
Définition


Définition

Un entier naturel est un nombre premier s’il admet exactement deux diviseurs positifs : et lui‑même.

Remarques

n’est pas un nombre premier car il n’admet qu’un seul diviseur positif : lui‑même. n’est pas non plus un nombre premier car il admet une infinité de diviseurs.

Exemple

La liste des nombres premiers inférieurs à est la suivante :  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; .

B
Test de primalité


Propriété

Tout entier naturel supérieur ou égal à est divisible par un nombre premier.

DÉMONSTRATION

Soit un entier supérieur ou égal à .
On note la proposition : « Tout entier naturel compris entre et admet un diviseur premier. »

Initialisation : Pour
est divisible par qui est premier donc on en déduit que est vraie.

Hérédité : On considère un entier naturel tel que est vraie (hypothèse de récurrence). On souhaite démontrer que est vraie.
Puisque est vraie, tous les entiers naturels compris entre et admettent un diviseur premier. Il suffit donc de montrer que admet un diviseur premier.
  • Si est premier, il admet alors un diviseur premier : lui‑même.
  • Sinon, il existe deux entiers et compris entre et tels que .

étant un entier naturel inférieur ou égal à , l’hypothèse de récurrence donne l’existence d’un diviseur premier de noté .
D’où et donc et ainsi est vraie.
Ainsi, est vraie et, pour tout entier , si est vraie, alors est vraie aussi.
D’après le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout entier , est vraie donc que tout entier naturel supérieur ou égal à est divisible par un nombre premier.

Remarque

La propriété est un peu particulière ici : elle concerne tout entier inférieur ou égal à et pas seulement l’entier . On dit qu’il s’agit d’une propriété de récurrence forte.

Propriété

Tout entier qui n’est pas premier admet un diviseur premier compris entre et .

Remarque

On peut donc tester la primalité d’un entier en étudiant sa divisibilité par les nombres premiers compris entre et .

DÉMONSTRATION

Voir exercice 
42
p. 157
.

Application et méthode - 1

Énoncé

Montrer que l’entier est premier.

Méthode

Pour démontrer qu’un entier est un nombre premier :
  • on dresse la liste de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à  ;
  • on vérifie qu’aucun de ces nombres ne divise , en montrant par exemple que le reste de la division euclidienne de par ces nombres n’est pas nul.

Solution


Supposons par l’absurde que n’est pas premier.
D’après les propriétés précédentes, il existe alors un diviseur premier de inférieur à . Comme , on doit tester tous les nombres premiers strictement inférieurs à , à savoir  ;  ;  et .
  • D’après les critères de divisibilité, il est clair que n’est ni divisible par , ni par , ni par .
  • ne divise pas car le reste de la division euclidienne de par est .

Finalement, aucun de ces nombres ne divise , donc est premier.

Pour s'entraîner : exercices 23, 24 et 25 p. 156

C
Une infinité de nombres premiers


Propriété

Il existe une infinité de nombres premiers.

DÉMONSTRATION

Voir activité 
B
p. 146
.

Exemple

On peut démontrer, en utilisant un raisonnement similaire, qu’il existe également une infinité de nombres premiers de la forme (voir exercice
51
p. 158
).
Par exemple, , et sont premiers.
Certains nombres premiers, cependant, ne peuvent pas s’écrire sous cette forme. C’est notamment le cas de ou de . De même, tout nombre s’écrivant sous la forme n’est pas nécessairement premier. C’est notamment le cas de .
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