Mathématiques Expertes Terminale

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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Cours 1

L'ensemble des nombres premiers

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A
Définition

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Définition
Un entier naturel est un nombre premier s'il admet exactement deux diviseurs positifs : et lui‑même.
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Remarque

n'est pas un nombre premier car il n'admet qu'un seul diviseur positif : lui‑même. n'est pas non plus un nombre premier car il admet une infinité de diviseurs.
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Exemple
La liste des nombres premiers inférieurs à est la suivante :  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; .
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B
Test de primalité

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Propriété
Tout entier naturel supérieur ou égal à est divisible par un nombre premier.
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Démonstration
Soit un entier supérieur ou égal à .
On note la proposition : « Tout entier naturel compris entre et admet un diviseur premier. »

Initialisation : Pour
est divisible par qui est premier donc on en déduit que est vraie.

Hérédité : On considère un entier naturel tel que est vraie (hypothèse de récurrence). On souhaite démontrer que est vraie.
Puisque est vraie, tous les entiers naturels compris entre et admettent un diviseur premier. Il suffit donc de montrer que admet un diviseur premier.
  • Si est premier, il admet alors un diviseur premier : lui‑même.
  • Sinon, il existe deux entiers et compris entre et tels que .

étant un entier naturel inférieur ou égal à , l'hypothèse de récurrence donne l'existence d'un diviseur premier de noté .
D'où et donc et ainsi est vraie.
Ainsi, est vraie et, pour tout entier , si est vraie, alors est vraie aussi.
D'après le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout entier , est vraie donc que tout entier naturel supérieur ou égal à est divisible par un nombre premier.
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Remarque

La propriété est un peu particulière ici : elle concerne tout entier inférieur ou égal à et pas seulement l'entier . On dit qu'il s'agit d'une propriété de récurrence forte.
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Propriété
Tout entier qui n'est pas premier admet un diviseur premier compris entre et .
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Remarque

On peut donc tester la primalité d'un entier en étudiant sa divisibilité par les nombres premiers compris entre et .
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Démonstration
Voir exercice  p. 157.
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Application et méthode - 1
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Énoncé
Montrer que l'entier est premier.
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Méthode

Pour démontrer qu'un entier est un nombre premier :
  • on dresse la liste de tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à  ;
  • on vérifie qu'aucun de ces nombres ne divise , en montrant par exemple que le reste de la division euclidienne de par ces nombres n'est pas nul.
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Solution
Supposons par l'absurde que n'est pas premier.
D'après les propriétés précédentes, il existe alors un diviseur premier de inférieur à . Comme , on doit tester tous les nombres premiers strictement inférieurs à , à savoir  ;  ;  et .
  • D'après les critères de divisibilité, il est clair que n'est ni divisible par , ni par , ni par .
  • ne divise pas car le reste de la division euclidienne de par est .

Finalement, aucun de ces nombres ne divise , donc est premier.

Pour s'entraîner
Exercices , et p. 156
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C
Une infinité de nombres premiers

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Propriété
Il existe une infinité de nombres premiers.
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Démonstration
Voir activité  p. 146.
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Exemple
On peut démontrer, en utilisant un raisonnement similaire, qu'il existe également une infinité de nombres premiers de la forme (voir exercice p. 158).
Par exemple, , et sont premiers.
Certains nombres premiers, cependant, ne peuvent pas s'écrire sous cette forme. C'est notamment le cas de ou de . De même, tout nombre s'écrivant sous la forme n'est pas nécessairement premier. C'est notamment le cas de .

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