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Nombres complexes
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Nombres complexes, point de vue algébrique
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3Polynômes irréductibles
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Dans cette partie, l'ensemble \mathbb{K} désigne l'ensemble \mathbb{R} ou \mathbb{C}.
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Définitions
1. On dit qu'un polynôme appartient à \mathbb{K}[\mathrm{X}] lorsque ses coefficients sont dans \mathbb{K}.
2. On appelle polynôme irréductible de \mathbb{K}[\mathrm{X}] tout polynôme \text{P} dont le degré est supérieur ou égal à 1 et dont les seuls diviseurs sont :
→ les éléments de \mathbb{K}^{*} ;
→ les polynômes de la forme \lambda\mathrm{P}, où \lambda \in \mathbb{K}^{*}.
3. Théorème de d'Alembert : Tout polynôme non constant de \mathbb{C}[\mathrm{X}] possède au moins une racine dans \mathbb{C}.
2. On appelle polynôme irréductible de \mathbb{K}[\mathrm{X}] tout polynôme \text{P} dont le degré est supérieur ou égal à 1 et dont les seuls diviseurs sont :
→ les éléments de \mathbb{K}^{*} ;
→ les polynômes de la forme \lambda\mathrm{P}, où \lambda \in \mathbb{K}^{*}.
3. Théorème de d'Alembert : Tout polynôme non constant de \mathbb{C}[\mathrm{X}] possède au moins une racine dans \mathbb{C}.
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Exemples
\mathrm{X}^{2}-1 n'est pas un polynôme irréductible de \mathbb{R}[\mathrm{X}] car \mathrm{X}^{2}-1=(\mathrm{X}+1)(\mathrm{X}-1) et donc (\mathrm{X}+1) |\left(\mathrm{X}^{2}-1\right).
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On considère un polynôme \text{P} irréductible de \mathbb{K}[\mathrm{X}].
On suppose qu'il existe deux polynômes \text{A} et \text{B} de \mathbb{K}[\mathrm{X}] tels que \mathrm{P}=\mathrm{AB}.
Montrer que \operatorname{deg}(\mathrm{A})=0 ou \operatorname{deg}(\mathrm{B})=0.
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Soit \text{P} un polynôme de \mathbb{K}[\mathrm{X}].
On suppose qu'il existe \alpha \in \mathbb{K} tel que \mathrm{P}(\alpha)=0.
Montrer que \text{P} n'est pas irréductible dans \mathbb{K}[\mathrm{X}].
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Les polynômes de \mathbb{R}[\mathrm{X}] suivants sont‑ils irréductibles ? 1. \mathrm{P}=\mathrm{X}^{2}-1
2. \mathrm{Q}=\mathrm{X}^{4}+1
3. \mathrm{R}=\mathrm{X}^{3}+2 \mathrm{X}^2-4 \mathrm{X}+3
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On considère le polynôme \mathrm{P}=\mathrm{X}^{2}+\mathrm{X}+1. 1. Justifier que \text{P} est à la fois un élément de \mathbb{R}[\mathrm{X}] et un élément de \mathbb{C}[\mathrm{X}].
2. Montrer que \text{P} est irréductible dans \mathbb{R}[\mathrm{X}].
3. Le polynôme \text{P} est‑il irréductible dans \mathbb{C}[\mathrm{X}] ? Justifier.
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Dans cet exercice, on souhaite déterminer les polynômes irréductibles de \mathbb{C}[\mathrm{X}].
Soit \text{P} un polynôme de \mathbb{C}[\mathrm{X}]. 1. On suppose que \text{P} est de degré 1. Le polynôme \text{P} est‑il irréductible ?
2. a. On suppose que le degré de \text{P} est supérieur ou égal à 2. Montrer qu'il existe \alpha \in \mathbb{C} tel que \mathrm{X}-\alpha divise \text{P}.
b. Que peut‑on en déduire ?
3. Déterminer tous les polynômes irréductibles de \mathbb{C}[\mathrm{X}].
4. Justifier que tout polynôme non constant de \mathbb{C}[\mathrm{X}] peut s'exprimer comme produit de polynômes irréductibles.
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On considère les polynômes \mathrm{P}=\mathrm{X}^{3}-9 \mathrm{X}^{2}+26 \mathrm{X}-24 et \mathrm{Q}=\mathrm{X}^{3}-7 \mathrm{X}^{2}+7 \mathrm{X}+15. 1. a. Montrer qu'il existe trois réels a, b et c tels que :
\mathrm{P}=(\mathrm{X}-3)\left(a \mathrm{X}^{2}+b \mathrm{X}+c\right).
b. En déduire une décomposition du polynôme \text{P} en produit de polynômes irréductibles de \mathbb{R}[\mathrm{X}].
2. a. Les polynômes \text{P} et \text{Q} ont une racine commune. Déterminer cette racine.
b. En déduire une décomposition du polynôme \text{Q} en produit de polynômes irréductibles de \mathbb{R}[\mathrm{X}].
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On considère dans \mathbb{R}[\mathrm{X}] le polynôme \mathrm{P}=\mathrm{X}^{4}+2 \mathrm{X}^{2}+1. 1. Montrer qu'il n'existe pas de réel \alpha tel que \mathrm{P}(\alpha)=0.
2. Peut‑on dire que le polynôme \text{P} est irréductible ? Justifier.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme de degré 2 soit irréductible dans \mathbb{R}[\mathrm{X}].
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1. Montrer que les polynômes de \mathbb{R}[\mathrm{X}] de degré 2 dont le discriminant est négatif sont irréductibles dans \mathbb{R}[\mathrm{X}].
2. Soit \text{P} un polynôme de \mathbb{R}[\mathrm{X}] non constant.
Justifier qu'il existe \alpha \in \mathbb{C} tel que \mathrm{P}(\alpha)=0. Que peut‑on dire de \overline{\alpha} ?
3. On suppose que le degré de \text{P} est strictement supérieur à 2.
Montrer que \text{P} n'est pas irréductible dans \mathbb{R}[\mathrm{X}].
4. En déduire les polynômes irréductibles de \mathbb{R}[\mathrm{X}].
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