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p. 1-11

Nombres complexes

Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique

Arithmétique

Ch. 3
Divisibilité dans Z

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 4
PGCD et applications

Ch. 5
Nombres premiers

Graphes et matrices

Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7
Suites et matrices

Annexes

Exercices transversaux

Exercicesp. 238-243

Se préparer au Grand Oral

Grand oral

Présentation du Grand Oral

Grand oral

Conseils pour le Grand Oral

Méthode

Cahier d'algorithmique et de programmation

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3
Polynômes irréductibles

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Dans cette partie, l'ensemble

K

désigne l'ensemble

R

C

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Définitions

1. On dit qu'un polynôme appartient à

K [X]

lorsque ses coefficients sont dans

K

.

2. On appelle polynôme irréductible de

K [X]

tout polynôme

P

dont le degré est supérieur ou égal à

1

et dont les seuls diviseurs sont :
→ les éléments de

K^{*}

;
→ les polynômes de la forme

λ P

, où

λ \in K^{*}

.

3. Théorème de d'Alembert : Tout polynôme non constant de

C [X]

possède au moins une racine dans

C

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Exemples

X^{2} - 1

n'est pas un polynôme irréductible de

R [X]

car

X^{2} - 1 = (X + 1) (X - 1)

et donc

(X + 1) ∣ (X^{2} - 1)

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On considère un polynôme

P

irréductible de

K [X]

.
On suppose qu'il existe deux polynômes

A

B

K [X]

tels que

P = AB

.
Montrer que

deg (A) = 0

deg (B) = 0

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Soit

P

un polynôme de

K [X]

.
On suppose qu'il existe

α \in K

tel que

P (α) = 0

.
Montrer que

P

n'est pas irréductible dans

K [X]

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Les polynômes de

R [X]

suivants sont‑ils irréductibles ? 1.

P = X^{2} - 1

Q = X^{4} + 1

R = X^{3} + 2 X^{2} - 4 X + 3

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On considère le polynôme

P = X^{2} + X + 1

. 1. Justifier que

P

est à la fois un élément de

R [X]

et un élément de

C [X]

2. Montrer que

P

est irréductible dans

R [X]

3. Le polynôme

P

est‑il irréductible dans

C [X]

? Justifier.

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Dans cet exercice, on souhaite déterminer les polynômes irréductibles de

C [X]

.
Soit

P

un polynôme de

C [X]

. 1. On suppose que

P

est de degré

1

. Le polynôme

P

est‑il irréductible ?

2. a. On suppose que le degré de

P

est supérieur ou égal à

2

. Montrer qu'il existe

α \in C

tel que

X - α

divise

P

b. Que peut‑on en déduire ?

3. Déterminer tous les polynômes irréductibles de

C [X]

4. Justifier que tout polynôme non constant de

C [X]

peut s'exprimer comme produit de polynômes irréductibles.

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On considère les polynômes

P = X^{3} - 9 X^{2} + 26 X - 24

Q = X^{3} - 7 X^{2} + 7 X + 15

. 1. a. Montrer qu'il existe trois réels

a

b

c

tels que :

P = (X - 3) (a X^{2} + b X + c)

b. En déduire une décomposition du polynôme

P

en produit de polynômes irréductibles de

R [X]

2. a. Les polynômes

P

Q

ont une racine commune. Déterminer cette racine.

b. En déduire une décomposition du polynôme

Q

en produit de polynômes irréductibles de

R [X]

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On considère dans

R [X]

le polynôme

P = X^{4} + 2 X^{2} + 1

. 1. Montrer qu'il n'existe pas de réel

α

tel que

P (α) = 0

2. Peut‑on dire que le polynôme

P

est irréductible ? Justifier.

3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme de degré

2

soit irréductible dans

R [X] .

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1. Montrer que les polynômes de

R [X]

de degré

2

dont le discriminant est négatif sont irréductibles dans

R [X]

2. Soit

P

un polynôme de

R [X]

non constant.
Justifier qu'il existe

α \in C

tel que

P (α) = 0

. Que peut‑on dire de

α

3. On suppose que le degré de

P

est strictement supérieur à

2

.
Montrer que

P

n'est pas irréductible dans

R [X]

4. En déduire les polynômes irréductibles de

R [X]

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Ch. 1 Nombres complexes, point de vue algébrique

Ch. 2 Nombres complexes, point de vue géométrique

Ch. 3 Divisibilité dans Z

Ch. 4PGCD et applications

Ch. 5 Nombres premiers

Ch. 6Calcul matriciel et applications aux graphes

Ch. 7Suites et matrices

Cahier d'algorithmique et de programmation

3Polynômes irréductibles

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Ch. 6
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