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2. Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers
P.159-160

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Entraînement


2
Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 37 ; 44 ; 57 ; 58 ; 61 et 72
◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 47 ; 60 ; 66 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 39 ; 46 ; 59 ; 64 et 75

54
FLASH

Déterminer la décomposition en facteurs premiers des nombres entiers suivants :

 ;


 ;


 ;


.
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55
FLASH

Indiquer la liste des diviseurs des entiers suivants.

1.


2.


3.
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56
FLASH

Dans chaque cas, déterminer le des entiers et .

1. et .


2. et .


3. et .
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57
[Calculer.] ◉◉
Déterminer l’ensemble des diviseurs des entiers suivants.

1.


2.


3.


4.
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58
[Calculer.] ◉◉
Pour chaque fraction, déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur, puis en déduire une simplification en fraction irréductible.

1.


2.


3.
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59
[Raisonner.] ◉◉◉
[DÉMO]

Soit un entier supérieur ou égal à . On veut montrer qu’il existe des nombres premiers , , … , et des entiers naturels non nuls , , ... , tels que .
Pour cela, on va raisonner par récurrence sur la proposition  : « Tout entier compris entre et se décompose en produit de nombres premiers. »

1. Pour quelle valeur de doit‑on initialiser le raisonnement ? Rédiger cette étape.


2. On suppose qu’il existe un entier tel que est vraie. Rédiger la suite du raisonnement par récurrence, en utilisant une disjonction des cas en fonction de la primalité de , puis conclure.
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60
[Chercher.] ◉◉
Déterminer les trois plus petits entiers naturels tels que soit le produit de trois nombres premiers distincts.
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61
[Calculer.] ◉◉
Dans chaque cas, déterminer le des entiers et .

1. et .


2. et .


3. et .
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62
[Raisonner.]
1. On considère un entier naturel dont la décomposition en produit de facteurs premiers est :
.
Démontrer que est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants sont des entiers pairs.


2. Existe‑t‑il un entier naturel tel que et soient des carrés parfaits ? Justifier.


3. Montrer que est un carré parfait si, et seulement si, il admet un nombre impair de diviseurs.


4. On choisit au hasard un nombre entier compris entre et . Quelle est la probabilité qu’il admette un nombre pair de diviseurs ?
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63
PYTHON
[Modéliser.]
Le programme ci‑dessous, rédigé en langage Python, permet de déterminer la décomposition d’un nombre entier en produit de facteurs premiers.

maths expertes - chapitre 5 - Nombres premiers - exercice 63

1. Expliquer la signification des commandes % et append. Expliquer également le rôle de chacune des variables présentes dans l’algorithme.


2. Effectuer à la main les opérations successives de l’algorithme, en prenant l’exemple de en entrée.


3. Pourquoi est‑on sûr que les entiers qui apparaissent dans la liste D sont nécessairement des nombres premiers ?


4. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de .




5. Élaborer un algorithme plus efficace permettant d’éviter certains calculs.



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64
[Raisonner.] ◉◉◉
[DÉMO]

Soit un entier naturel supérieur ou égal à .
On note et , deux décompositions de en produit de facteurs premiers, ces nombres premiers étant rangés dans l’ordre croissant.
En utilisant le théorème de Gauss, montrer que ces décompositions sont en réalité identiques.
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65
[Raisonner.] ◉◉◉
1. On considère un entier dont la décomposition en produit de facteur premiers est .
a. Montrer que si, pour tout entier compris entre et , , alors l’entier divise .


b. Réciproquement, montrer que si un entier naturel divise , alors admet une décomposition en produit de facteur premiers de la forme avec, pour tout , .


2. En raisonnant à l’aide d’un arbre de dénombrement, exprimer le nombre de diviseurs que possède en fonction des exposants , , … , .

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66
[Chercher.] ◉◉
Montrer que, pour tout , la décomposition de en produit de facteurs premiers fait apparaître moins de dix facteurs premiers distincts.
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67
[Raisonner.]
[DÉMO]

On considère deux nombres entiers et dont la décomposition en produit de facteurs premiers est et , les exposants nuls étant admis.

1. Montrer que :
.


2. Montrer que :
.
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68
[[Calculer.]
1. Montrer que pour tous entiers naturels et  :
.


2. Soient et deux entiers naturels. Déterminer l’ensemble des couples tels que :
et .


3. Reprendre la question précédente avec :
et .
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69
[Calculer.]
1. Déterminer tous les nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à admettant exactement six diviseurs.


2. Déterminer quel est le plus petit entier naturel admettant exactement diviseurs.


3. Déterminer tous les couples de nombres entiers naturels dont le est .
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