Décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers

55

Indiquer la liste des diviseurs des entiers suivants. 1. $17$

2. $2\times 7\times 11$

3. $2^2\times 3^5$

56

Dans chaque cas, déterminer le $\mathrm{PGCD}$ des entiers $m$ et $n$. 1. $m=2\times 3\times 5$ et $n=3\times 7$.

2. $m=2^3$ et $n=3^2$.

3. $m=2^2\times 5^3$ et $n=2\times 7$.

58

[Calculer.]
Pour chaque fraction, déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur, puis en déduire une simplification en fraction irréductible. 1. $\frac{48}{90}$

2. $\frac{375}{1089}$

3. $\frac{4641}{2457}$

59

Démo

[Raisonner.]
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On veut montrer qu'il existe des nombres premiers $p_1$, $p_2$, … , $p_{\ell }$ et des entiers naturels non nuls ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ... , ${\alpha }_{\ell }$ tels que $n=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_{\ell }^{{\alpha }_{\ell }}$.
Pour cela, on va raisonner par récurrence sur la proposition ${\mathrm{P}}_n$ : « Tout entier $r$ compris entre $2$ et $n$ se décompose en produit de nombres premiers. » 1. Pour quelle valeur de $n$ doit‑on initialiser le raisonnement ? Rédiger cette étape.

2. On suppose qu'il existe un entier $k$ tel que ${\mathrm{P}}_k$ est vraie. Rédiger la suite du raisonnement par récurrence, en utilisant une disjonction des cas en fonction de la primalité de $k+1$, puis conclure.

67

Démo

[Raisonner.]
On considère deux nombres entiers $n$ et $m$ dont la décomposition en produit de facteurs premiers est $n=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_k^{{\alpha }_k}$ et $m=p_1^{{\beta }_1}\times p_2^{{\beta }_2}\times \dots \times p_k^{{\beta }_k}$, les exposants nuls étant admis. 1. Montrer que :

$\mathrm{PGCD}(m;n)=p_1^{\min \left({\alpha }_1;{\beta }_1\right)}\times p_2^{\min \left({\alpha }_2;{\beta }_2\right)}\times \dots \times p_k^{\min \left({\alpha }_k;{\beta }_k\right)}$.

2. Montrer que :

$\mathrm{PPCM}(m;n)=p_1^{\max \left({\alpha }_1;{\beta }_1\right)}\times p_2^{\max \left({\alpha }_2;{\beta }_2\right)}\times \dots \times p_k^{\max \left({\alpha }_k;{\beta }_k\right)}$.

68

[[Calculer.]
1. Montrer que pour tous entiers naturels$n$ et $m$ :

$\mathrm{PGCD}(m;n)\times \mathrm{PPCM}(m;n)=m\times n$.

2. Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels. Déterminer l'ensemble des couples $(m;n)$ tels que :

$\mathrm{PGCD}(m;n)=12$ et $\mathrm{PPCM}(m;n)=60$.

3. Reprendre la question précédente avec :

$\mathrm{PGCD}(m;n)=6$ et $\mathrm{PPCM}(m;n)=180$.