2

Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 37 ; 44 ; 57 ; 58 ; 61 et 72
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 47 ; 60 ; 66 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 39 ; 46 ; 59 ; 64 et 75

54

Déterminer la décomposition en facteurs premiers des nombres entiers suivants :

$17$ ;


$56$ ;


$85$ ;


$96$.

55

Indiquer la liste des diviseurs des entiers suivants.

1. $17$


2. $2\times 7\times 11$


3. $2^2\times 3^5$

56

Dans chaque cas, déterminer le $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}$ des entiers $m$ et $n$.

1. $m=2\times 3\times 5$ et $n=3\times 7$.


2. $m=2^3$ et $n=3^2$.


3. $m=2^2\times 5^3$ et $n=2\times 7$.

57

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer l’ensemble des diviseurs des entiers suivants.

1. $153$


2. $330$


3. $352$


4. $840$

58

[Calculer.] ◉◉◉
Pour chaque fraction, déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur, puis en déduire une simplification en fraction irréductible.

1. $\frac{48}{90}$


2. $\frac{375}{1089}$


3. $\frac{4641}{2457}$

59

[Raisonner.] ◉◉◉  

[DÉMO]

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On veut montrer qu’il existe des nombres premiers $p_1$, $p_2$, … , $p_{\ell }$ et des entiers naturels non nuls ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, ... , ${\alpha }_{\ell }$ tels que $n=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_{\ell }^{{\alpha }_{\ell }}$.
Pour cela, on va raisonner par récurrence sur la proposition ${\mathrm{P}}_n$ : « Tout entier $r$ compris entre $2$ et $n$ se décompose en produit de nombres premiers. »

1. Pour quelle valeur de $n$ doit‑on initialiser le raisonnement ? Rédiger cette étape.


2. On suppose qu’il existe un entier $k$ tel que ${\mathrm{P}}_k$ est vraie. Rédiger la suite du raisonnement par récurrence, en utilisant une disjonction des cas en fonction de la primalité de $k+1$, puis conclure.

60

[Chercher.] ◉◉◉
Déterminer les trois plus petits entiers naturels $n$ tels que $n^2-1$ soit le produit de trois nombres premiers distincts.

61

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chaque cas, déterminer le $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}$ des entiers $m$ et $n$.

1. $m=24$ et $n=80$.


2. $m=179$ et $n=181$.


3. $m=3757$ et $n=2873$.

62

[Raisonner.]
1. On considère un entier naturel $n⩾4$ dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : $n=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_r^{{\alpha }_r}$. Démontrer que $n$ est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants ${\alpha }_i$ sont des entiers pairs.


2. Existe‑t‑il un entier naturel $n$ tel que $n$ et $2n$ soient des carrés parfaits ? Justifier.


3. Montrer que $n$ est un carré parfait si, et seulement si, il admet un nombre impair de diviseurs.


4. On choisit au hasard un nombre entier compris entre $1$ et $100$. Quelle est la probabilité qu’il admette un nombre pair de diviseurs ?

63

PYTHON

[Modéliser.]
Le programme ci‑dessous, rédigé en langage Python, permet de déterminer la décomposition d’un nombre entier en produit de facteurs premiers.

1. Expliquer la signification des commandes % et append. Expliquer également le rôle de chacune des variables présentes dans l’algorithme.


2. Effectuer à la main les opérations successives de l’algorithme, en prenant l’exemple de $n=24$ en entrée.


3. Pourquoi est‑on sûr que les entiers qui apparaissent dans la liste D sont nécessairement des nombres premiers ?


4. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de $n$.

5. Élaborer un algorithme plus efficace permettant d’éviter certains calculs.

64

[Raisonner.] ◉◉◉

[DÉMO]

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
On note $p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_r^{{\alpha }_r}$ et $q_1^{{\beta }_1}\times q_2^{{\beta }_2}\times \dots \times q_s^{{\beta }_s}$, deux décompositions de $n$ en produit de facteurs premiers, ces nombres premiers étant rangés dans l’ordre croissant.
En utilisant le théorème de Gauss, montrer que ces décompositions sont en réalité identiques.

65

[Raisonner.] ◉◉◉
1. On considère un entier $n$ dont la décomposition en produit de facteur premiers est $n=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_k^{{\alpha }_k}$.
a. Montrer que si, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $k$, $0⩽{\beta }_i⩽{\alpha }_i$, alors l’entier $p_1^{{\beta }_1}\times p_2^{{\beta }_2}\times \dots \times p_k^{{\beta }_k}$ divise $n$.


b. Réciproquement, montrer que si un entier naturel $d$ divise $p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_k^{{\alpha }_k}$, alors $d$ admet une décomposition en produit de facteur premiers de la forme $d=p_1^{{\beta }_1}\times p_2^{{\beta }_2}\times \dots \times p_k^{{\beta }_k}$ avec, pour tout $i\in \{1;\dots ;k\}$, $0⩽{\beta }_i⩽{\alpha }_i$.


2. En raisonnant à l’aide d’un arbre de dénombrement, exprimer le nombre de diviseurs que possède $n$ en fonction des exposants ${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$, … , ${\alpha }_k$.

Effacer tout

Couleurs

Formes

Dessinez ici

66

[Chercher.] ◉◉◉
Montrer que, pour tout $n⩽10^9$, la décomposition de $n$ en produit de facteurs premiers fait apparaître moins de dix facteurs premiers distincts.

67

[Raisonner.]  

[DÉMO]

On considère deux nombres entiers $n$ et $m$ dont la décomposition en produit de facteurs premiers est $n=p_1^{{\alpha }_1}\times p_2^{{\alpha }_2}\times \dots \times p_k^{{\alpha }_k}$ et $m=p_1^{{\beta }_1}\times p_2^{{\beta }_2}\times \dots \times p_k^{{\beta }_k}$, les exposants nuls étant admis.

1. Montrer que : $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(m;n)=p_1^{\min \left({\alpha }_1;{\beta }_1\right)}\times p_2^{\min \left({\alpha }_2;{\beta }_2\right)}\times \dots \times p_k^{\min \left({\alpha }_k;{\beta }_k\right)}$.

2. Montrer que : $\mathrm{P}\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{M}(m;n)=p_1^{\max \left({\alpha }_1;{\beta }_1\right)}\times p_2^{\max \left({\alpha }_2;{\beta }_2\right)}\times \dots \times p_k^{\max \left({\alpha }_k;{\beta }_k\right)}$.

68

[[Calculer.]
1. Montrer que pour tous entiers naturels$n$ et $m$ : $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(m;n)\times \mathrm{PPCM}(m;n)=m\times n$.

2. Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels. Déterminer l’ensemble des couples $(m;n)$ tels que : $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(m;n)=12$ et $\mathrm{P}\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{M}(m;n)=60$.

3. Reprendre la question précédente avec : $\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{C}\mathrm{D}(m;n)=6$ et $\mathrm{P}\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{M}(m;n)=180$.

69

[Calculer.]
1. Déterminer tous les nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à $20$ admettant exactement six diviseurs.


2. Déterminer quel est le plus petit entier naturel admettant exactement $21$ diviseurs.


3. Déterminer tous les couples de nombres entiers naturels dont le $\mathrm{P}\mathrm{P}\mathrm{C}\mathrm{M}$ est $24$.