2

Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 37 ; 44 ; 57 ; 58 ; 61 et 72
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 47 ; 60 ; 66 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 39 ; 46 ; 59 ; 64 et 75

54

Déterminer la décomposition en facteurs premiers des nombres entiers suivants :

$17$ ;


$56$ ;


$85$ ;


$96$.

55

Indiquer la liste des diviseurs des entiers suivants.

1. $17$


2. $2 \times 7 \times 11$


3. $2^{2} \times 3^{5}$

56

Dans chaque cas, déterminer le $\mathrm{PGCD}$ des entiers $m$ et $n$.

1. $m=2 \times 3 \times 5$ et $n=3 \times 7$.


2. $m=2^{3}$ et $n=3^{2}$.


3. $m=2^{2} \times 5^{3}$ et $n=2 \times 7$.

57

[Calculer.] ◉◉◉
Déterminer l’ensemble des diviseurs des entiers suivants.

1. $153$


2. $330$


3. $352$


4. $840$

58

[Calculer.] ◉◉◉
Pour chaque fraction, déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur, puis en déduire une simplification en fraction irréductible.

1. $\dfrac{48}{90}$


2. $\dfrac{375}{1 089}$


3. $\dfrac{4 641}{2 457}$

59

[Raisonner.] ◉◉◉  

[DÉMO]

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On veut montrer qu’il existe des nombres premiers $p_1$, $p_2$, … , $p_{\ell}$ et des entiers naturels non nuls $\alpha_1$, $\alpha_2$, ... , $\alpha_{\ell}$ tels que $n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{\ell}^{\alpha_{\ell}}$.
Pour cela, on va raisonner par récurrence sur la proposition $\mathrm{P}_n$ : « Tout entier $r$ compris entre $2$ et $n$ se décompose en produit de nombres premiers. »

1. Pour quelle valeur de $n$ doit‑on initialiser le raisonnement ? Rédiger cette étape.


2. On suppose qu’il existe un entier $k$ tel que $\mathrm{P}_k$ est vraie. Rédiger la suite du raisonnement par récurrence, en utilisant une disjonction des cas en fonction de la primalité de $k+1$, puis conclure.

60

[Chercher.] ◉◉◉
Déterminer les trois plus petits entiers naturels $n$ tels que $n^2 - 1$ soit le produit de trois nombres premiers distincts.

61

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chaque cas, déterminer le $\mathrm{PGCD}$ des entiers $m$ et $n$.

1. $m=24$ et $n=80$.


2. $m=179$ et $n=181$.


3. $m=3 757$ et $n=2 873$.

62

[Raisonner.]
1. On considère un entier naturel $n \geqslant 4$ dont la décomposition en produit de facteurs premiers est : $n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{r}^{\alpha_{r}}$. Démontrer que $n$ est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants $\alpha_i$ sont des entiers pairs.


2. Existe‑t‑il un entier naturel $n$ tel que $n$ et $2n$ soient des carrés parfaits ? Justifier.


3. Montrer que $n$ est un carré parfait si, et seulement si, il admet un nombre impair de diviseurs.


4. On choisit au hasard un nombre entier compris entre $1$ et $100$. Quelle est la probabilité qu’il admette un nombre pair de diviseurs ?

63

PYTHON

[Modéliser.]
Le programme ci‑dessous, rédigé en langage Python, permet de déterminer la décomposition d’un nombre entier en produit de facteurs premiers.

1. Expliquer la signification des commandes % et append. Expliquer également le rôle de chacune des variables présentes dans l’algorithme.


2. Effectuer à la main les opérations successives de l’algorithme, en prenant l’exemple de $n=24$ en entrée.


3. Pourquoi est‑on sûr que les entiers qui apparaissent dans la liste D sont nécessairement des nombres premiers ?


4. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de $n$.

5. Élaborer un algorithme plus efficace permettant d’éviter certains calculs.

64

[Raisonner.] ◉◉◉

[DÉMO]

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
On note $p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{r}^{\alpha_{r}}$ et $q_{1}^{\beta_{1}} \times q_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times q_{s}^{\beta_{s}}$, deux décompositions de $n$ en produit de facteurs premiers, ces nombres premiers étant rangés dans l’ordre croissant.
En utilisant le théorème de Gauss, montrer que ces décompositions sont en réalité identiques.

65

[Raisonner.] ◉◉◉
1. On considère un entier $n$ dont la décomposition en produit de facteur premiers est $n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}$.
a. Montrer que si, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $k$, $0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}$, alors l’entier $p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}}$ divise $n$.


b. Réciproquement, montrer que si un entier naturel $d$ divise $p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}$, alors $d$ admet une décomposition en produit de facteur premiers de la forme $d=p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}}$ avec, pour tout $i \in\{1\,;\,\ldots\,; k\}$, $0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}$.


2. En raisonnant à l’aide d’un arbre de dénombrement, exprimer le nombre de diviseurs que possède $n$ en fonction des exposants $\alpha_1$, $\alpha_2$, … , $\alpha_k$.

Effacer tout

Couleurs

Formes

Dessinez ici

66

[Chercher.] ◉◉◉
Montrer que, pour tout $n \leqslant 10^{9}$, la décomposition de $n$ en produit de facteurs premiers fait apparaître moins de dix facteurs premiers distincts.

67

[Raisonner.]  

[DÉMO]

On considère deux nombres entiers $n$ et $m$ dont la décomposition en produit de facteurs premiers est $n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}$ et $m=p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}}$, les exposants nuls étant admis.

1. Montrer que : $\mathrm{PGCD}(m\,; n)=p_{1}^{\min \left(\alpha_{1}\,;\,\beta_{1}\right)} \times p_{2}^{\min \left(\alpha_{2}\,;\,\beta_{2}\right)} \times \ldots \times p_{k}^{\min \left(\alpha_{k}\,;\,\beta_{k}\right)}$.

2. Montrer que : $\mathrm{PPCM}(m\,; n)=p_{1}^{\max \left(\alpha_{1}\,;\,\beta_{1}\right)} \times p_{2}^{\max \left(\alpha_{2}\,;\,\beta_{2}\right)} \times \ldots \times p_{k}^{\max \left(\alpha_{k}\,;\,\beta_{k}\right)}$.

68

[[Calculer.]
1. Montrer que pour tous entiers naturels$n$ et $m$ : $\mathrm{PGCD}(m\,; n) \times \operatorname{PPCM}(m\,; n)=m \times n$.

2. Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels. Déterminer l’ensemble des couples $(m\,; n)$ tels que : $\mathrm{PGCD}(m\,; n)=12$ et $\mathrm{PPCM}(m\,; n)=60$.

3. Reprendre la question précédente avec : $\mathrm{PGCD}(m\,; n)=6$ et $\mathrm{PPCM}(m\,; n)=180$.

69

[Calculer.]
1. Déterminer tous les nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à $20$ admettant exactement six diviseurs.


2. Déterminer quel est le plus petit entier naturel admettant exactement $21$ diviseurs.


3. Déterminer tous les couples de nombres entiers naturels dont le $\mathrm{PPCM}$ est $24$.