Déterminer la décomposition en facteurs premiers des nombres entiers suivants :
17 ;
56 ;
85 ;
96.
55
FLASH
Indiquer la liste des diviseurs des entiers suivants.
1.17
2.2×7×11
3.22×35
56
FLASH
Dans chaque cas, déterminer le PGCD des entiers m et n.
1.m=2×3×5 et n=3×7.
2.m=23 et n=32.
3.m=22×53 et n=2×7.
57
[Calculer.]◉◉◉
Déterminer l’ensemble des diviseurs des entiers suivants.
1.153
2.330
3.352
4.840
58
[Calculer.]◉◉◉
Pour chaque fraction, déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur, puis en déduire une simplification en fraction irréductible.
1.9048
2.1089375
3.24574641
59
[Raisonner.]◉◉◉
[DÉMO]
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On veut montrer qu’il existe des nombres premiers p1, p2, … , pℓ et des entiers naturels non nuls α1, α2, ... , αℓ tels que n=p1α1×p2α2×…×pℓαℓ.
Pour cela, on va raisonner par récurrence sur la proposition Pn : « Tout entier r compris entre 2 et n se décompose en produit de nombres premiers. »
1. Pour quelle valeur de n doit‑on initialiser le raisonnement ? Rédiger cette étape.
2. On suppose qu’il existe un entier k tel que Pk est vraie. Rédiger la suite du raisonnement par récurrence, en utilisant une disjonction des cas en fonction de la primalité de k+1, puis conclure.
60
[Chercher.]◉◉◉
Déterminer les trois plus petits entiers naturels n tels que
n2−1 soit le produit de trois nombres premiers distincts.
61
[Calculer.]◉◉◉
Dans chaque cas, déterminer le PGCD des entiers m et n.
1.m=24 et n=80.
2.m=179 et n=181.
3.m=3757 et n=2873.
62
[Raisonner.] 1. On considère un entier naturel n⩾4 dont la décomposition en produit de facteurs premiers est :
n=p1α1×p2α2×…×prαr.
Démontrer que n est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants αi sont des entiers pairs.
2. Existe‑t‑il un entier naturel n tel que n et 2n soient des carrés parfaits ? Justifier.
3. Montrer que n est un carré parfait si, et seulement si, il admet un nombre impair de diviseurs.
4. On choisit au hasard un nombre entier compris entre 1 et 100. Quelle est la probabilité qu’il admette un nombre pair de diviseurs ?
63
PYTHON
[Modéliser.]
Le programme ci‑dessous, rédigé en langage Python, permet de déterminer la décomposition d’un nombre entier en produit de facteurs premiers.
1. Expliquer la signification des commandes % et append. Expliquer également le rôle de chacune des variables présentes dans l’algorithme.
2. Effectuer à la main les opérations successives de l’algorithme, en prenant l’exemple de n=24 en entrée.
3. Pourquoi est‑on sûr que les entiers qui apparaissent dans la liste D sont nécessairement des nombres premiers ?
4. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de n.
5. Élaborer un algorithme plus efficace permettant d’éviter certains calculs.
64
[Raisonner.]◉◉◉
[DÉMO]
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On note p1α1×p2α2×…×prαr et q1β1×q2β2×…×qsβs, deux
décompositions de n en produit de facteurs premiers, ces nombres premiers étant rangés dans l’ordre croissant.
En utilisant le théorème de Gauss, montrer que ces décompositions sont en réalité identiques.
65
[Raisonner.]◉◉◉ 1. On considère un entier n dont la décomposition en produit de facteur premiers est n=p1α1×p2α2×…×pkαk.
a. Montrer que si, pour tout entier i compris entre 1 et k, 0⩽βi⩽αi, alors l’entier p1β1×p2β2×…×pkβk divise n.
b. Réciproquement, montrer que si un entier naturel d divise p1α1×p2α2×…×pkαk, alors d admet une décomposition en produit de facteur premiers de la forme d=p1β1×p2β2×…×pkβk avec, pour tout i∈{1;…;k}, 0⩽βi⩽αi.
2. En raisonnant à l’aide d’un arbre de dénombrement, exprimer le nombre de diviseurs que possède n en fonction des exposants α1, α2, … , αk.
Dessinez ici
66
[Chercher.]◉◉◉
Montrer que, pour tout n⩽109, la décomposition de n en produit de facteurs premiers fait apparaître moins de dix facteurs premiers distincts.
67
[Raisonner.]
[DÉMO]
On considère deux nombres entiers n et m dont la décomposition en produit de facteurs premiers est n=p1α1×p2α2×…×pkαk et m=p1β1×p2β2×…×pkβk, les exposants nuls étant admis.