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Nombres complexes
Ch. 1
Nombres complexes, point de vue algébrique
Ch. 2
Nombres complexes, point de vue géométrique
Arithmétique
Ch. 3
Divisibilité dans Z
Ch. 4
PGCD et applications
Ch. 5
Nombres premiers
Graphes et matrices
Ch. 6
Calcul matriciel et applications aux graphes
Ch. 7
Suites et matrices
Annexes
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 5
Entraînement 2
Décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers
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54
Flash
Déterminer la décomposition en facteurs premiers des nombres entiers suivants :
17 ;
56 ;
56 ;
85 ;
96.
96.
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55
Flash
Indiquer la liste des diviseurs des entiers suivants. 1. 17
2. 2 \times 7 \times 11
3. 2^{2} \times 3^{5}
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56
Flash
Dans chaque cas, déterminer le \mathrm{PGCD} des entiers m et n. 1. m=2 \times 3 \times 5 et n=3 \times 7.
2. m=2^{3} et n=3^{2}.
3. m=2^{2} \times 5^{3} et n=2 \times 7.
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57
[Calculer.]
Déterminer l'ensemble des diviseurs des entiers suivants.
1. 153
2. 330
2. 330
3. 352
4. 840
4. 840
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58
[Calculer.]
Pour chaque fraction, déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur, puis en déduire une simplification en fraction irréductible. 1. \frac{48}{90}
2. \frac{375}{1 089}
3. \frac{4 641}{2 457}
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59
Démo
[Raisonner.]
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On veut montrer qu'il existe des nombres premiers p_1, p_2, … , p_{\ell} et des entiers naturels non nuls \alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_{\ell} tels que n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{\ell}^{\alpha_{\ell}}.
Pour cela, on va raisonner par récurrence sur la proposition \mathrm{P}_n : « Tout entier r compris entre 2 et n se décompose en produit de nombres premiers. » 1. Pour quelle valeur de n doit‑on initialiser le raisonnement ? Rédiger cette étape.
2. On suppose qu'il existe un entier k tel que \mathrm{P}_k est vraie. Rédiger la suite du raisonnement par récurrence, en utilisant une disjonction des cas en fonction de la primalité de k+1, puis conclure.
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60
[Chercher.]
Déterminer les trois plus petits entiers naturels n tels que n^2 - 1 soit le produit de trois nombres premiers distincts.
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61
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer le \mathrm{PGCD} des entiers m et n. 1. m=24 et n=80.
2. m=179 et n=181.
3. m=3 757 et n=2 873.
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62
[Raisonner.]
1. On considère un entier naturel n \geqslant 4 dont la décomposition en produit de facteurs premiers est :
n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{r}^{\alpha_{r}}.
Démontrer que n est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants \alpha_i sont des entiers pairs.2. Existe‑t‑il un entier naturel n tel que n et 2n soient des carrés parfaits ? Justifier.
3. Montrer que n est un carré parfait si, et seulement si, il admet un nombre impair de diviseurs.
4. On choisit au hasard un nombre entier compris entre 1 et 100. Quelle est la probabilité qu'il admette un nombre pair de diviseurs ?
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63
Python
[Modéliser.]
Le programme ci‑dessous, rédigé en langage Python, permet de déterminer la décomposition d'un nombre entier en produit de facteurs premiers.
1. Expliquer la signification des commandes % et append. Expliquer également le rôle de chacune des variables présentes dans l'algorithme.
2. Effectuer à la main les opérations successives de l'algorithme, en prenant l'exemple de n=24 en entrée.
3. Pourquoi est‑on sûr que les entiers qui apparaissent dans la liste D sont nécessairement des nombres premiers ?
4. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de n.
2. Effectuer à la main les opérations successives de l'algorithme, en prenant l'exemple de n=24 en entrée.
3. Pourquoi est‑on sûr que les entiers qui apparaissent dans la liste D sont nécessairement des nombres premiers ?
4. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de n.
5. Élaborer un algorithme plus efficace permettant d'éviter certains calculs.
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64
Démo
[Raisonner.]
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On note p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{r}^{\alpha_{r}} et q_{1}^{\beta_{1}} \times q_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times q_{s}^{\beta_{s}}, deux décompositions de n en produit de facteurs premiers, ces nombres premiers étant rangés dans l'ordre croissant.
En utilisant le théorème de Gauss, montrer que ces décompositions sont en réalité identiques.
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65
[Raisonner.]
1. On considère un entier n dont la décomposition en produit de facteur premiers est n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}.
a. Montrer que si, pour tout entier i compris entre 1 et k, 0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}, alors l'entier p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}} divise n.
b. Réciproquement, montrer que si un entier naturel d divise p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}, alors d admet une décomposition en produit de facteur premiers de la forme d=p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}} avec, pour tout i \in\{1\,;\,\ldots\,; k\}, 0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}.
2. En raisonnant à l'aide d'un arbre de dénombrement, exprimer le nombre de diviseurs que possède n en fonction des exposants \alpha_1, \alpha_2, … , \alpha_k.
a. Montrer que si, pour tout entier i compris entre 1 et k, 0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}, alors l'entier p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}} divise n.
b. Réciproquement, montrer que si un entier naturel d divise p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}, alors d admet une décomposition en produit de facteur premiers de la forme d=p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}} avec, pour tout i \in\{1\,;\,\ldots\,; k\}, 0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}.
2. En raisonnant à l'aide d'un arbre de dénombrement, exprimer le nombre de diviseurs que possède n en fonction des exposants \alpha_1, \alpha_2, … , \alpha_k.
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66
[Chercher.]
Montrer que, pour tout n \leqslant 10^{9}, la décomposition de n en produit de facteurs premiers fait apparaître moins de dix facteurs premiers distincts.
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67
Démo
[Raisonner.]
On considère deux nombres entiers n et m dont la décomposition en produit de facteurs premiers est n=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}} et m=p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}}, les exposants nuls étant admis. 1. Montrer que :
\mathrm{PGCD}(m\,; n)=p_{1}^{\min \left(\alpha_{1}\,;\,\beta_{1}\right)} \times p_{2}^{\min \left(\alpha_{2}\,;\,\beta_{2}\right)} \times \ldots \times p_{k}^{\min \left(\alpha_{k}\,;\,\beta_{k}\right)}.
2. Montrer que :
\mathrm{PPCM}(m\,; n)=p_{1}^{\max \left(\alpha_{1}\,;\,\beta_{1}\right)} \times p_{2}^{\max \left(\alpha_{2}\,;\,\beta_{2}\right)} \times \ldots \times p_{k}^{\max \left(\alpha_{k}\,;\,\beta_{k}\right)}.
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68
[[Calculer.]
1. Montrer que pour tous entiers naturels n et m :
\mathrm{PGCD}(m\,; n) \times \operatorname{PPCM}(m\,; n)=m \times n.
2. Soient m et n deux entiers naturels. Déterminer l'ensemble des couples (m\,; n) tels que :
\mathrm{PGCD}(m\,; n)=12 et \mathrm{PPCM}(m\,; n)=60.
3. Reprendre la question précédente avec :
\mathrm{PGCD}(m\,; n)=6 et \mathrm{PPCM}(m\,; n)=180.
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69
[Calculer.]
1. Déterminer tous les nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 20 admettant exactement six diviseurs.
2. Déterminer quel est le plus petit entier naturel admettant exactement 21 diviseurs.
3. Déterminer tous les couples de nombres entiers naturels dont le \mathrm{PPCM} est 24.
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