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2. Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers
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Entraînement


2
Décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 37 ; 44 ; 57 ; 58 ; 61 et 72
◉◉ Parcours 2 : exercices 40 ; 47 ; 60 ; 66 et 74
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 39 ; 46 ; 59 ; 64 et 75

54
FLASH

Déterminer la décomposition en facteurs premiers des nombres entiers suivants :

1717 ;


5656 ;


8585 ;


9696.
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55
FLASH

Indiquer la liste des diviseurs des entiers suivants.

1. 1717


2. 2×7×112 \times 7 \times 11


3. 22×352^{2} \times 3^{5}
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56
FLASH

Dans chaque cas, déterminer le PGCD\mathrm{PGCD} des entiers mm et nn.

1. m=2×3×5m=2 \times 3 \times 5 et n=3×7n=3 \times 7.


2. m=23m=2^{3} et n=32n=3^{2}.


3. m=22×53m=2^{2} \times 5^{3} et n=2×7n=2 \times 7.
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57
[Calculer.] ◉◉
Déterminer l’ensemble des diviseurs des entiers suivants.

1. 153153


2. 330330


3. 352352


4. 840840
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58
[Calculer.] ◉◉
Pour chaque fraction, déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers du numérateur et du dénominateur, puis en déduire une simplification en fraction irréductible.

1. 4890\dfrac{48}{90}


2. 3751 089\dfrac{375}{1 089}


3. 4 6412 457\dfrac{4 641}{2 457}
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59
[Raisonner.] ◉◉◉
[DÉMO]

Soit nn un entier supérieur ou égal à 22. On veut montrer qu’il existe des nombres premiers p1p_1, p2p_2, … , pp_{\ell} et des entiers naturels non nuls α1\alpha_1, α2\alpha_2, ... , α\alpha_{\ell} tels que n=p1α1×p2α2××pαn=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{\ell}^{\alpha_{\ell}}.
Pour cela, on va raisonner par récurrence sur la proposition Pn\mathrm{P}_n : « Tout entier rr compris entre 22 et nn se décompose en produit de nombres premiers. »

1. Pour quelle valeur de nn doit‑on initialiser le raisonnement ? Rédiger cette étape.


2. On suppose qu’il existe un entier kk tel que Pk\mathrm{P}_k est vraie. Rédiger la suite du raisonnement par récurrence, en utilisant une disjonction des cas en fonction de la primalité de k+1k+1, puis conclure.
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60
[Chercher.] ◉◉
Déterminer les trois plus petits entiers naturels nn tels que n21n^2 - 1 soit le produit de trois nombres premiers distincts.
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61
[Calculer.] ◉◉
Dans chaque cas, déterminer le PGCD\mathrm{PGCD} des entiers mm et nn.

1. m=24m=24 et n=80n=80.


2. m=179m=179 et n=181n=181.


3. m=3 757m=3 757 et n=2 873n=2 873.
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62
[Raisonner.]
1. On considère un entier naturel n4n \geqslant 4 dont la décomposition en produit de facteurs premiers est :
n=p1α1×p2α2××prαrn=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{r}^{\alpha_{r}}.
Démontrer que nn est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants αi\alpha_i sont des entiers pairs.


2. Existe‑t‑il un entier naturel nn tel que nn et 2n2n soient des carrés parfaits ? Justifier.


3. Montrer que nn est un carré parfait si, et seulement si, il admet un nombre impair de diviseurs.


4. On choisit au hasard un nombre entier compris entre 11 et 100100. Quelle est la probabilité qu’il admette un nombre pair de diviseurs ?
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63
PYTHON
[Modéliser.]
Le programme ci‑dessous, rédigé en langage Python, permet de déterminer la décomposition d’un nombre entier en produit de facteurs premiers.

maths expertes - chapitre 5 - Nombres premiers - exercice 63

1. Expliquer la signification des commandes % et append. Expliquer également le rôle de chacune des variables présentes dans l’algorithme.


2. Effectuer à la main les opérations successives de l’algorithme, en prenant l’exemple de n=24n=24 en entrée.


3. Pourquoi est‑on sûr que les entiers qui apparaissent dans la liste D sont nécessairement des nombres premiers ?


4. Implémenter le programme puis le tester pour différentes valeurs de nn.




5. Élaborer un algorithme plus efficace permettant d’éviter certains calculs.



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64
[Raisonner.] ◉◉◉
[DÉMO]

Soit nn un entier naturel supérieur ou égal à 22.
On note p1α1×p2α2××prαrp_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{r}^{\alpha_{r}} et q1β1×q2β2××qsβsq_{1}^{\beta_{1}} \times q_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times q_{s}^{\beta_{s}}, deux décompositions de nn en produit de facteurs premiers, ces nombres premiers étant rangés dans l’ordre croissant.
En utilisant le théorème de Gauss, montrer que ces décompositions sont en réalité identiques.
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65
[Raisonner.] ◉◉◉
1. On considère un entier nn dont la décomposition en produit de facteur premiers est n=p1α1×p2α2××pkαkn=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}.
a. Montrer que si, pour tout entier ii compris entre 11 et kk, 0βiαi0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}, alors l’entier p1β1×p2β2××pkβkp_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}} divise nn.


b. Réciproquement, montrer que si un entier naturel dd divise p1α1×p2α2××pkαkp_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}}, alors dd admet une décomposition en produit de facteur premiers de la forme d=p1β1×p2β2××pkβkd=p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}} avec, pour tout i{1;;k}i \in\{1\,;\,\ldots\,; k\}, 0βiαi0 \leqslant \beta_{i} \leqslant \alpha_{i}.


2. En raisonnant à l’aide d’un arbre de dénombrement, exprimer le nombre de diviseurs que possède nn en fonction des exposants α1\alpha_1, α2\alpha_2, … , αk\alpha_k.

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66
[Chercher.] ◉◉
Montrer que, pour tout n109n \leqslant 10^{9}, la décomposition de nn en produit de facteurs premiers fait apparaître moins de dix facteurs premiers distincts.
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67
[Raisonner.]
[DÉMO]

On considère deux nombres entiers nn et mm dont la décomposition en produit de facteurs premiers est n=p1α1×p2α2××pkαkn=p_{1}^{\alpha_{1}} \times p_{2}^{\alpha_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\alpha_{k}} et m=p1β1×p2β2××pkβkm=p_{1}^{\beta_{1}} \times p_{2}^{\beta_{2}} \times \ldots \times p_{k}^{\beta_{k}}, les exposants nuls étant admis.

1. Montrer que :
PGCD(m;n)=p1min(α1;β1)×p2min(α2;β2)××pkmin(αk;βk)\mathrm{PGCD}(m\,; n)=p_{1}^{\min \left(\alpha_{1}\,;\,\beta_{1}\right)} \times p_{2}^{\min \left(\alpha_{2}\,;\,\beta_{2}\right)} \times \ldots \times p_{k}^{\min \left(\alpha_{k}\,;\,\beta_{k}\right)}.


2. Montrer que :
PPCM(m;n)=p1max(α1;β1)×p2max(α2;β2)××pkmax(αk;βk)\mathrm{PPCM}(m\,; n)=p_{1}^{\max \left(\alpha_{1}\,;\,\beta_{1}\right)} \times p_{2}^{\max \left(\alpha_{2}\,;\,\beta_{2}\right)} \times \ldots \times p_{k}^{\max \left(\alpha_{k}\,;\,\beta_{k}\right)}.
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68
[[Calculer.]
1. Montrer que pour tous entiers naturelsn n et mm :
PGCD(m;n)×PPCM(m;n)=m×n\mathrm{PGCD}(m\,; n) \times \operatorname{PPCM}(m\,; n)=m \times n.


2. Soient mm et nn deux entiers naturels. Déterminer l’ensemble des couples (m;n)(m\,; n) tels que :
PGCD(m;n)=12\mathrm{PGCD}(m\,; n)=12 et PPCM(m;n)=60\mathrm{PPCM}(m\,; n)=60.


3. Reprendre la question précédente avec :
PGCD(m;n)=6\mathrm{PGCD}(m\,; n)=6 et PPCM(m;n)=180\mathrm{PPCM}(m\,; n)=180.
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69
[Calculer.]
1. Déterminer tous les nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 2020 admettant exactement six diviseurs.


2. Déterminer quel est le plus petit entier naturel admettant exactement 2121 diviseurs.


3. Déterminer tous les couples de nombres entiers naturels dont le PPCM\mathrm{PPCM} est 2424.
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