Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Synthèse
P.162-163

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




Synthèse





78
SYSTÈME DE CRYPTOGRAPHIE RSA
[Calculer, Modéliser.]
D’après bac S, Centres étrangers, juin 2018

Le but de cet exercice est d’envisager une méthode de cryptage à clé publique d’une information numérique, appelée système RSA. Les questions 1. et 2. sont des questions préparatoires, la question 3. aborde le cryptage et la question 4. le décryptage.

1. Cette question envisage de calculer le reste dans la division euclidienne par de certaines puissances de .
a. Vérifier que . En déduire le reste dans la division euclidienne de par .


b. Vérifier que , puis déduire de la question a. le reste dans la division euclidienne par de .


2. Dans cette question, on considère l’équation , dont les solutions sont des couples d’entiers relatifs.
a. Justifier le fait que admet au moins un couple solution.


b. Donner une solution particulière de .


c. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de .


d. En déduire qu’il existe un unique entier vérifiant les conditions et .


3. Cryptage dans le système RSA
Une personne A choisit deux nombres premiers et , puis calcule les produits et .
Elle choisit également un entier naturel premier avec . La personne A publie le couple , qui est une clé publique permettant à quiconque de lui envoyer un nombre crypté. Les messages sont numérisés et transformés en une suite d’entiers compris entre et .
Pour crypter un entier , on calcule le reste dans la division euclidienne par du nombre . Le nombre crypté est alors l’entier .
Dans la pratique, cette méthode est sûre si la personne A choisit des nombres premiers et très grands, s’écrivant avec plusieurs dizaines de chiffres. On va l’envisager ici avec des nombres plus simples : et . La personne A choisit aussi .

a. Calculer les nombres et , puis justifier que la valeur de vérifie la condition voulue.


b. Un émetteur souhaite envoyer à la personne A le nombre .
Déterminer la valeur du nombre crypté .


4. Décryptage dans le système RSA
La personne A calcule dans un premier temps l’unique entier naturel vérifiant les conditions et . Elle garde secret ce nombre qui lui permet, à elle seule, de décrypter les nombres qui lui ont été envoyés cryptés avec sa clé publique.
Pour décrypter un nombre crypté , la personne A calcule le reste dans la division euclidienne par du nombre , et le nombre en clair – c’est‑à‑dire le nombre avant cryptage – est le nombre . Pour cette question, les nombres choisis par A sont encore , et .

a. Quelle est la valeur de  ?


b. En appliquant la règle de décryptage, retrouver le nombre en clair lorsque le nombre crypté est .


Remarque

On pourra aussi consulter le TP 2 p. 155.
Voir les réponses

79
[Calculer, Chercher.]
On définit la fonction d’Euler de la manière suivante : , où désigne le nombre d’entiers naturels inférieurs ou égaux à et premiers avec .

1. Déterminer , , , et .


2. Si est un nombre premier, exprimer en fonction de .


3. Si est un nombre premier et si est un entier naturel non nul, montrer que .


4. On admet que si et sont deux entiers premiers entre eux, alors .
On considère un nombre entier qui se décompose en produit de facteurs premiers de la façon suivante : .
Montrer alors que 
.


5. Déterminer le nombre d’entiers compris entre et et premiers avec .
Voir les réponses

80
PETIT THÉORÈME DE FERMAT
[Raisonner.]
[DÉMO]

Le but de l’exercice est de démontrer la propriété suivante du cours : « Si est un nombre premier, alors, pour tout nombre entier , . »
Dans tout l’exercice, désigne un nombre premier fixé.

1. Montrer que, pour tout entier compris entre et , divise puis en déduire que divise .


2. On va démontrer par récurrence que la propriété  : «  » est vraie, pour tout entier compris entre et .
a. Vérifier que est vraie.


b. On suppose que est vraie pour un certain tel que . Montrer en utilisant le résultat de la question préliminaire que est vraie.


3. Déduire des questions précédentes que, pour tout entier naturel , .
Voir les réponses

81
[Calculer, Modéliser.]
D’après bac S, Pondichéry, mai 2018

À toute lettre de l’alphabet, on associe un nombre entier entre et  : à , à , … et à .
Alice veut communiquer de manière sécurisée. Elle choisit deux nombres premiers et et un entier naturel tel que . Elle publie les nombres et et garde secrets les nombres et .
Si Bob veut envoyer un message secret à Alice, il le code lettre par lettre.
Le codage d’une lettre représentée par l’entier est le nombre tel que et .
Dans tout l’exercice, on prend , et .

1. Bob veut envoyer la lettre à Alice. Quel nombre crypté doit‑il lui transmettre ?


2. Alice a reçu un message crypté qui commence par le nombre . Elle doit donc déterminer l’entier compris entre et tel que .
a. Montrer que cette équation équivaut à :
.


b. En déduire que si, et seulement si, .


c. Déterminer les entiers tels que :
et .


d. Déterminer les entiers tels que :
et .


e. En déduire que l’entier recherché est congru à ou modulo et qu’il est congru à ou modulo .


3. En énumérant les différentes possibilités, Alice peut-elle connaître la première lettre du message envoyé par Bob ? Cette méthode de chiffrement est‑elle utilisable pour décoder un message lettre par lettre ? Justifier.
Voir les réponses

82
APPROFONDISSEMENT
[Chercher, Communiquer.]
Nombres de Fermat

On considère un entier et on définit l’entier appelé ‑ième nombre de Fermat.

1. En utilisant la calculatrice, montrer que , , et sont des nombres premiers.


2. Soit un nombre premier impair. On note le plus petit entier non nul tel que . Justifier que existe, puis montrer que, pour tout entier non nul tel que , divise .


3. Dans cette question, on suppose . Soit un diviseur premier de .
L’objectif est de montrer que .
a. Justifier que est impair, puis montrer que et que .


b. En utilisant le résultat de la question 2., en déduire que est le plus petit entier tel que .


c. Justifier que .


d. En utilisant de nouveau le résultat de la question 2., déduire des questions précédentes que .


4. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer un diviseur premier de inférieur à .
Voir les réponses

Le Grand Oral

Entraînez-vous au Grand Oral et enregistrez-vous sur LLS.fr/GrandOralMaths


Comme le suggère le programme, les problèmes abordés en maths expertes peuvent servir d’appui à des questions de Grand Oral.
Voici un exemple, basé sur l’enseignement de spécialité, utilisant des notions de ce chapitre.

Plusieurs points du chapitre peuvent être utilisés pour illustrer des notions rencontrées au cours de l’enseignement de spécialité. En voici quelques exemples.

1. La décomposition d’un entier naturel supérieur ou égal à en produit de facteurs premiers est l’occasion d’illustrer une méthode du chapitre Combinatoire et dénombrement pour déterminer le nombre de diviseurs positifs de cet entier naturel.

2. On dispose d’un résultat donnant une approximation du nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à un entier  : ce nombre vaut environ . Ce résultat est connu sous le nom du théorème des nombres premiers (voir exercice 53 page 159) et expose une application surprenante de la fonction logarithme népérien étudiée au cours de l’enseignement de spécialité.

3. La fonction logarithme peut également être utilisée pour déterminer le nombre de chiffres d’un nombre entier strictement positif écrit en base . Expliquer comment puis appliquer ce résultat à la détermination du nombre de chiffres de .

Méthodologie
Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 244
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.