Analyse

Les recherches astronomiques anciennes (Mésopotamie, Grèce hellénistique) ont rapidement conduit à construire les bases de la trigonométrie (ou « mesure des triangles »), à la base des tables astronomiques permettant de calculer le mouvement des astres. Les traités de Claude Ptolémée (Almageste) ou Menelaus d'Alexandrie (Sphériques) serviront de référence dans les mondes Byzantin, Islamique ou Latin, en parallèle des travaux de nombreux mathématiciens indiens qui développeront un mode de calcul par position (base 10 et 60) dont s'inspirera au IX^e siècle l'astronome et géographe al-Khwârizmî dans son Traité du calcul indien, l'ancêtre des algorismes latins et du calcul par puissances de 10. Au XVI^e siècle, les calculs astronomiques prennent de l'ampleur parallèlement au développement des nouvelles routes maritimes. Afin de simplifier ces calculs, on cherche des méthodes pour transformer des multiplications en additions. En s'inspirant de la comparaison entre croissances arithmétiques et géométriques, intrinsèque au calcul indien et connu théoriquement depuis Archimède, John Napier (1550-1617) détermine et publie en 1614 la première table de logarithmes ou « compteurs de raison ».
Le londonien Henry Briggs (1556-1630) suggère à Napier de perfectionner sa méthode et publie en 1617 dans Logarithmorum Chilias prima la première table de logarithmes décimaux (exemples pour les entiers de 1 à 18 ci-contre).

Une équation différentielle est une équation dont les inconnues sont des fonctions et leurs dérivées successives, à une ou plusieurs variables. Depuis le travail fondateur de Newton au XVII^e siècle, elles servent principalement à construire des modèles mathématiques, indispensables dans des domaines allant des sciences physiques à la biologie en passant par les mathématiques financières. L'évolution des techniques de calcul différentiel permet de résoudre un nombre de plus en plus important de ces équations.

Sofia Kovalevskaïa (1850-1891), mathématicienne et écrivaine, découvre les mathématiques dans une pièce de sa maison natale qui était tapissée des cours du mathématicien Ostrogradski. On lui refuse l'accès aux cours de l'université de Berlin parce qu'elle est une femme et c'est le mathématicien Weierstrass qui lui donnera des cours privés. Elle devient célèbre par ses travaux sur les équations aux dérivées partielles qui permettent de démontrer le cas général d'un cas particulier étudié par Cauchy (théorème de Cauchy-Kovalevski). Pour ces résultats, elle obtient le prix de l'Académie des Sciences de Paris (1888). En 1874, elle devient la deuxième femme de l'histoire à être nommée professeur d'université (Göttingen).

Augustin Cauchy (1789-1857) publie son Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821) qui devient une référence durant tout le XIX^e siècle. Si ses définitions demeurent empreintes d'intuitions géométriques et utilisent des notions qualitatives (« quantité infiniment petite »), les mathématiciens les prendront comme références pour leurs recherches analytiques durant le XIX^e siècle.