Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 15
Les maths autrement

Les solides de Platon

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Présentation

Platon
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits : Jim2k/Vladimir Bulatov's Polyhedra Stellations Applet/Wikimedia

Platon


Platon (428 av. J.-C. - 348 av. J.-C.) est un philosophe grec de l'Antiquité. C'est aussi un grand mathématicien qui voit les mathématiques comme la logique de l'esprit. Il a fondé l'Académie de Platon, dont la devise aurait été « Que nul n'entre ici s'il n'est géomètre ».
Selon Platon, le monde se fonde sur 5 éléments l'eau, la terre, le feu, l'air et l'éther (l'univers). Il ne peut donc y avoir que 5 solides convexes réguliers : un pour chaque éléments.
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Compétences travaillées

  • J'argumente et j'échange sur une démarche mathématique.
  • J'émets une hypothèse.
  • Je me repère sur une droite, dans le plan ou dans l'espace.
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Étape 1
Exactement 5 solides

Un siècle après Platon, Euclide démontre que ce nombre de 5 est exact. Nous allons le justifier.
Un solide est régulier si toutes ses arêtes et toutes ses faces sont identiques et si, à chaque sommet, autant dʼarêtes convergent. Un solide est convexe sʼil nʼa pas de « creux » ou de « pic », contrairement à celui-ci :
Illustration du solide.
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Crédits : Jim2k/Vladimir Bulatov's Polyhedra Stellations Applet/Wikimedia

1. Expliquez pourquoi les faces des solides de Platon sont des polygones réguliers.
2. Observons les solides possibles dont les faces sont des triangles équilatéraux.
    a. Combien de faces peut-on avoir adjacentes à un sommet ?

    b. Pour chaque possibilité, indiquez combien de faces aurait le solide.
Le nom du solide est obtenu par le nombre de faces, dit en grec « hédra », suivi du suffixe « -èdre ».

3. Observons les solides possibles dont les faces sont des carrés :
    a. Quel est le nombre de faces que lʼon peut avoir par sommet ?
    b. Comment sʼappelle le solide obtenu ?
4. Observons les solides possibles dont les faces sont des pentagones réguliers :
    a. Quel est le nombre de faces que lʼon peut avoir par sommet ?
    b. Combien de faces a le solide obtenu ?
5. Est-il possible que les faces du solide soient des hexagones ? Expliquez.
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Étape 2
La formule d'Euler

1. Pour chacun des solides obtenus, déterminez la valeur de est le nombre de faces, le nombre de sommets et le nombre dʼarêtes.
2. Que constatez-vous ?
Cette formule a été démontrée en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler ; elle est vraie pour tout polyèdre convexe.
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