Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Maths autrement : Les solides de Platon
P.345

Mathématiques - Les maths autrement


Maths autrement : Les solides de Platon





Platon (428 av. J.-C. - 348 av. J.-C.) est un philosophe grec de l’Antiquité. C’est aussi un grand mathématicien qui voit les mathématiques comme la logique de l’esprit. Il a fondé l’Académie de Platon, dont la devise aurait été « Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre ». Selon Platon, le monde se fonde sur 5 éléments l’eau, la terre, le feu, l’air et l’éther (l’univers). Il ne peut donc y avoir que 5 solides convexes réguliers : un pour chaque éléments.

Platon

Platon

Voir les réponses

Exercice 1 : Étape 1 : Exactement 5 solides

Un siècle après Platon, Euclide démontre que ce nombre de 5 est exact. Nous allons le justifier. Un solide est régulier si toutes ses arêtes et toutes ses faces sont identiques et si, à chaque  sommet, autant dʼarêtes convergent. Un solide est convexe sʼil nʼa pas de « creux » ou de « pic », contrairement à celui-ci :

1
Expliquez pourquoi les faces des solides de Platon sont des polygones réguliers.



2
Observons les solides possibles dont les faces sont des triangles équilatéraux. Combien de faces peut-on avoir adjacentes à un sommet ? Pour chaque possibilité, indiquez combien de faces aurait le solide.



3
Le nom du solide est obtenu par le nombre de faces, dit en grec « hédra », suivi du suffixe « -èdre ». Observons les solides possibles dont les faces sont des carrés. Quel est le nombre de faces que lʼon peut avoir par sommet ? Comment sʼappelle le solide obtenu ?



4
Observons les solides possibles dont les faces sont des pentagones réguliers. Quel est le nombre de faces que lʼon peut avoir par sommet ? Combien de faces a le solide obtenu ?



5
Est-il possible que les faces du solide soient des hexagones ? Expliquez.




<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 1</stamp>

Doc. 2

Envie d’en savoir plus ?
Voir les réponses

Exercice 2 : Étape 2 : La formule d’Euler

Cette formule a été démontrée en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler ; elle est vraie pour tout polyèdre convexe.

1
Pour chacun des solides obtenus, déterminez la valeur de F+SAF + S - AFF est le nombre de faces, SS le nombre de sommets et AA le nombre dʼarêtes.



2
Que constatez-vous ?



Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.