Maths autrement : Les solides de Platon

Platon (428 av. J.-C. - 348 av. J.-C.) est un philosophe grec de l’Antiquité. C’est aussi un grand mathématicien qui voit les mathématiques comme la logique de l’esprit. Il a fondé l’Académie de Platon, dont la devise aurait été « Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre ». Selon Platon, le monde se fonde sur 5 éléments l’eau, la terre, le feu, l’air et l’éther (l’univers). Il ne peut donc y avoir que 5 solides convexes réguliers : un pour chaque éléments.

Exercice 1 : Étape 1 : Exactement 5 solides

Un siècle après Platon, Euclide démontre que ce nombre de 5 est exact. Nous allons le justifier. Un solide est régulier si toutes ses arêtes et toutes ses faces sont identiques et si, à chaque  sommet, autant dʼarêtes convergent. Un solide est convexe sʼil nʼa pas de « creux » ou de « pic », contrairement à celui-ci :

1

Expliquez pourquoi les faces des solides de Platon sont des polygones réguliers.

2

Observons les solides possibles dont les faces sont des triangles équilatéraux. Combien de faces peut-on avoir adjacentes à un sommet ? Pour chaque possibilité, indiquez combien de faces aurait le solide.

3

Le nom du solide est obtenu par le nombre de faces, dit en grec « hédra », suivi du suffixe « -èdre ». Observons les solides possibles dont les faces sont des carrés. Quel est le nombre de faces que lʼon peut avoir par sommet ? Comment sʼappelle le solide obtenu ?

4

Observons les solides possibles dont les faces sont des pentagones réguliers. Quel est le nombre de faces que lʼon peut avoir par sommet ? Combien de faces a le solide obtenu ?

5

Est-il possible que les faces du solide soient des hexagones ? Expliquez.

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• Regardez une vidéo qui présente les 5 solides de Platon.
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Exercice 2 : Étape 2 : La formule d’Euler

Cette formule a été démontrée en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler ; elle est vraie pour tout polyèdre convexe.

1

Pour chacun des solides obtenus, déterminez la valeur de $F+S-A$ où $F$ est le nombre de faces, $S$ le nombre de sommets et $A$ le nombre dʼarêtes.

2

Que constatez-vous ?