Exercice 51 : Soit ABCD un carré et A'B'C'D son symétrique par rapport à D.

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Montrez que ACA'C' est un carré.

Pour prouver qu’un quadrilatère est un carré, on va montrer :

• Que ses diagonales se coupent en leur milieu : c’est un parallélogramme ;
• Que ses diagonales se coupent perpendiculairement : c’est un losange ;
• Que ses diagonales sont de même longueur : c’est un rectangle.

D’après le cours, un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré.

• A' est le symétrique de A par rapport à D, donc AD = DA'. De même, DC = DC'. [AA'] et [CC'] se coupent en D qui est leur milieu, donc ACA'C' est un parallélogramme.
• ABCD est un carré donc $\widehat{\text{ADC}}=90^{\circ }$. Donc les diagonales [AA'] et [CC'] se coupent perpendiculairement. Donc ACA'C' est un losange.
• ABCD est un carré donc AD = DC. On sait de plus que AD = DA' et DC = DC'. D’où AA' = CC'. Les diagonales de ACA'C' sont de même longueur, c’est donc un rectangle.
• ACA'C' est à la fois un losange et un rectangle : c’est donc un carré.

Pour prouver qu’un quadrilatère est un carré, on va montrer :

• Que ses côtés sont deux à deux de même longueur : c’est un parallélogramme ;
• Que deux côtés consécutifs sont de même longueur : c’est un losange ;
• Qu’il possède un angle droit : c’est un rectangle.

D’après le cours, un parallélogramme qui est à la fois un rectangle et un losange est un carré.

• [A'C'] est le symétrique de [AC] par rapport à D, donc A'C' = AC. C est le symétrique de C' par rapport à D, donc l’image de [AC'] par la symétrie de centre D est [A'C], d’où AC' = A'C. Les côtés opposés de ACA'C' sont deux à deux de même longueur, donc ACA'C' est un parallélogramme.
• DC = DC' et (AD) et (CC') sont perpendiculaires donc C' est l’image de C par la symétrie d’axe (AD). Donc AC = AC', donc ACA'C' est un losange.
• ADC est un triangle isocèle rectangle en D. Donc $\widehat{\text{DAC}}=45^{\circ }$. C' est le symétrique de C par rapport à (AD) donc $\widehat{{\text{DAC}}^{\prime }}=45^{\circ }$. Ainsi $\widehat{{\text{CAC}}^{\prime }}=90^{\circ }$. ACA'C' est un parallélogramme avec un angle droit : c’est donc un rectangle.
• ACA'C' est à la fois un losange et un rectangle : c’est donc un carré.

Exercice 52 : Triangle rectangle et losange.

Soit le triangle ABC rectangle en A.

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Reproduisez et placez le symétrique C' de C par rapport à (AB) et B' de B par rapport à (AC).

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Montrez que C'BCB' est un losange.