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Chapitre 14
Problèmes résolus
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51Soit ABCD un carré et A'B'C'D son symétrique par rapport à D.
✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème
✔ Je décompose un problème en sous-problèmes pour le simplifier et le résoudre
Montrez que ACA'C' est un carré.
✔ Je décompose un problème en sous-problèmes pour le simplifier et le résoudre
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Méthode 1
Pour prouver qu'un quadrilatère est un carré, on va montrer :
- Que ses diagonales se coupent en leur milieu : c'est un parallélogramme ;
- Que ses diagonales se coupent perpendiculairement : c'est un losange ;
- Que ses diagonales sont de même longueur : c'est un rectangle.
- A' est le symétrique de A par rapport à D, donc AD = DA'. De même, DC = DC'. [AA'] et [CC'] se coupent en D qui est leur milieu, donc ACA'C' est un parallélogramme.
- ABCD est un carré donc . Donc les diagonales [AA'] et [CC'] se coupent perpendiculairement. Donc ACA'C' est un losange.
- ABCD est un carré donc AD = DC. On sait de plus que AD = DA' et DC = DC'. D'où AA' = CC'. Les diagonales de ACA'C' sont de même longueur, c'est donc un rectangle.
- ACA'C' est à la fois un losange et un rectangle : c'est donc un carré.
Corrigé 1
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Méthode 2
Pour prouver qu'un quadrilatère est un carré, on va montrer :
- Que ses côtés sont deux à deux de même longueur : c'est un parallélogramme ;
- Que deux côtés consécutifs sont de même longueur : c'est un losange ;
- Qu'il possède un angle droit : c'est un rectangle.
- [A'C'] est le symétrique de [AC] par rapport à D, donc A'C' = AC. C est le symétrique de C' par rapport à D, donc l'image de [AC'] par la symétrie de centre D est [A'C], d'où AC' = A'C. Les côtés opposés de ACA'C' sont deux à deux de même longueur, donc ACA'C' est un parallélogramme.
- DC = DC' et (AD) et (CC') sont perpendiculaires donc C' est l'image de C par la symétrie d'axe (AD). Donc AC = AC', donc ACA'C' est un losange.
- ADC est un triangle isocèle rectangle en D. Donc . C' est le symétrique de C par rapport à (AD) donc .
Ainsi . ACA'C' est un parallélogramme avec un angle droit : c'est donc un rectangle. - ACA'C' est à la fois un losange et un rectangle : c'est donc un carré.
Corrigé 2
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52Problème similaireTriangle rectangle et losange.
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1. Reproduisez et placez le symétrique C' de C par rapport à (AB) et B' de B par rapport à (AC).
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2. Montrez que C'BCB' est un losange.
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