Problèmes résolus

Exercice 49 : Démontrez le parallélisme.

A, B et C ne sont pas alignés. Posez A' et B', les symétriques de A et B par rapport à C.

1

Montrez que (AB) et (A'B') sont parallèles.

Pour montrer le parallélisme de deux droites.
On peut s’attacher à démontrer que deux angles alternes-internes ou correspondants sont égaux.

• A' et B' sont respectivement les images de A et B par la symétrie de centre C. Donc le triangle A'B'C est l’image de ABC par la symétrie de centre C.
• La symétrie centrale conserve les mesures des angles donc $\widehat{\text{BAC}}$ et $\widehat{\text{CA}^{\prime}\text{B}^{\prime}}$ sont égaux.
• Or ils sont alternes-internes.

Donc, d’après le cours, les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.

Pour montrer que deux droites sont parallèles, on peut aussi d’abord construire un quadrilatère dont deux arêtes appartiennent aux droites. Il faut alors montrer que ce quadrilatère est un parallélogramme et enfin en déduire que les droites sont parallèles.

• On sait que les symétries centrales préservent les distances.
  Donc AC = A'C et BC = B'C.
• Les diagonales du quadrilatère ABA'B' se coupent en C qui est leur milieu, donc ABA'B' un parallélogramme.
• Or les côtés d’un parallélogramme sont parallèles deux à deux, donc (AB) et (A'B') sont parallèles.

Exercice 50 : Cercle, triangle et quadrilatère.

$C$ est un cercle de centre O et de rayon $r = 6 \text{,} 2$ cm. A et B sont deux points de ce cercle.

1

Construisez le point M, symétrique de A par rapport à O, et le point N, symétrique de B par rapport à O. Justifiez que M et N appartiennent au cercle.

2

Quelle est la nature du quadrilatère ABMN ? Justifiez.