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Mathématiques Cycle 4

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Grandeurs et mesures
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Angles et droites parallèles
Angles et droites parallèles
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Problèmes résolus
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Exercices

Questions Flash - Je m'entraine

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Questions flash

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1. 
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 1</stamp> Les angles $$\widehat{\text{AIJ}}$$ et $$\widehat{\text{IJD}}$$ sont :
Les angles \widehat{\text{AIJ}} et \widehat{\text{IJD}} sont :




2.  \text{D, O} et \text{A} sont alignés. \text{C, O} et \text{E} sont alignés.
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 2</stamp> D, O et A sont alignés. C, O et E sont alignés.






3.  Les droites \text{(AB)} et \text{(DE)} sont parallèles entre elles.
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 3</stamp> Les droites (AB) et (DE) sont parallèles entre elles.



4.  Les droites \text{(AB)} et \text{(ED)} sont parallèles entre elles. Lʼangle \widehat{\text { EDF }} vaut :
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 4</stamp> Les droites (AB) et (ED) sont parallèles entre elles. Lʼangle $$\widehat{\text{EDF}}$$ vaut :




5.  Les droites \text{(AB)} et \text{(ED)} sont parallèles. Laquelle de ces affirmations est vraie ?
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 5</stamp> Les droites (AB) et (ED) sont parallèles. Laquelle de ces affirmations est vraie ?





6.  Un parallélogramme...





7.  Le périmètre dʼun parallélogramme \text{ABCD} tel que \text{AB = 8,3} cm et \text{AD = 4,9} cm est :





8.  BACD est un parallélogramme.
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 6</stamp> BACD est un parallélogramme.



9.  Laquelle de ces affirmations est fausse ?




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Je m'entraine

Angles et droites
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1
Tracez une parallèle.

1.  Tracez une droite \text{(AB)}.
 2.  Tracez la droite \text{(AC)} telle que \widehat{\text{BAC}} = 90^{\circ}.
 3.  Tracez la droite \text{(DC)} telle que \widehat{\text{ACD}} = 90^{\circ}.
 4.  Justifiez que \text{(AB)} et \text{(CD)} sont parallèles.
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2
Les droites d et d' ne sont pas parallèles.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème

figure avec 3 droites
1.  Complétez ces phrases :

\widehat{\text{A}_\text{2}} et \widehat{\text{B}_\text{1}} sont 
.
\widehat{\text{B}_\text{1}} et \widehat{\text{B}_\text{3}} sont 
.
\widehat{\text{A}_\text{2}} et \widehat{\text{B}_\text{3}} sont 
.
\widehat{\text{A}_\text{1}} et \widehat{\text{A}_\text{2}} sont 
.

2. Dans quelle phrase peut-on rajouter « et égaux » ?
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3
Les droites \text{(AB)} et \text{(CD)} sont parallèles.

2 droites parallèles
1.  Donnez la mesure de l'angle \widehat{\text{EGD}}.
 2.  Quelle est la mesure de l'angle \widehat{\text{EFB}} ? Justifiez.
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5
Droites parallèles

✔ J'émets une hypothèse

Graphique lié à l'exercice 11
1.  Complétez la tableau suivant.

d_1 // d_2 ?
\widehat{\text{AOC}} = 117° \widehat{\text{BUD}} = 63°
\widehat{\text{FUD}} = 125° \widehat{\text{AOC}} = 125°
\widehat{\text{UOE}} = 101° \widehat{\text{OUB}} = 99°
\widehat{\text{BUD}} = 67° \widehat{\text{COE}} = 67°

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4
Droites parallèles

1.  Les droites d et d' sont-elles parallèles (schéma a.) ?
(schéma a.)
 2. Les droites d et d' sont-elles parallèles (schéma b.) ?
(schéma b.)
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6
Les droites d et d' sont parallèles.

figure droite parallèle
1.  Calculez la mesure de lʼangle rouge.
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7
Les droites d et d' sont parallèles.

Figure droites parallèles
1.  Calculez la mesure de lʼangle rouge.
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8
Mesure d'angles.

✔ Je structure mon raisonnement

1.  Donnez la mesure de l'angle rouge (schéma a.).
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 14</stamp> a.
 2. Donnez la mesure de l'angle rouge (schéma b.).
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 15</stamp> b.
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9
On considère la figure suivante.

figure 4 droites dont 2 parallèles
1.  Montrez que \text{(BG)} et \text{(CF)} sont parallèles.
 2.  Calculez les mesures des angles de \text{IJKL}. Que vaut la somme de leurs mesures ?
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10
Mesures d'angles.

On considère un triangle \text{MNL}, tel que \widehat{\text{MNL}} = 102^{\circ} ; \widehat{\text{NLM}} = 43^{\circ} et \widehat{\text{LMN}} = 35^{\circ}.

1. On appelle \text{P} le symétrique de \text{L} par rapport à \text{N}. Donnez la mesure de l'angle \widehat{\text{MNP}}.
 2.  On appelle \text{Q} le symétrique de \text{M} par rapport à \text{N}. Donnez la mesure des angles \widehat{\text{PNQ}} et \widehat{\text{QNL}}.
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11
Les droites d et d' sont parallèles.

figure de 3 droites dont 2 parallèles
1.  Calculez la mesure de lʼangle rouge.
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12
Savoir refaire
Mesure d'angles en fonction de variables.

✔ Je mène à bien un calcul littéral

Figure
On donne :
  • \widehat{\text{COE}}=x ;
  • \widehat{\text{DOA}}=y ;
  • \text{(O D) // (A B)}
  • \text{(O E) // (A F)}

1.  Donnez les mesures des angles \widehat{\text{BAO}} et \widehat{\text{BAF}} en fonction de x et y.
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Parallélogrammes
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13
Acrobate

✔ Je modélise une situation à l'aide d'un schéma, d'un tableau ou d'un arbre
Placeholder pour Illustration : acrobate en poirier, combinaison rouge à étoiles jaunes.Illustration : acrobate en poirier, combinaison rouge à étoiles jaunes.
1.  Cette acrobate forme-t-elle un parallélogramme avec ses pieds et ses mains ?
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14
Quadrilatères.

1. Montrez que ce quadrilatère (figure a.) n'est pas un parallélogramme.
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 20</stamp> a.
 2. Montrez que ce quadrilatère (figure b.) n'est pas un parallélogramme.
<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 21</stamp> b.
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15
Construisez plusieurs parallélogrammes.

1.  Placez 3 points \text{A, B} et \text{C} non alignés.
2.  Construisez le point \text{D} tel que \text{ABCD} soit un parallélogramme ;
3.  Construisez le point \text{E} tel que \text{ABEC} soit un parallélogramme ;
4.  Construisez le point \text{F} tel que \text{AFBC} soit un parallélogramme.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin


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16
Les quadrilatères \text{ABCD} et \text{CDEF} sont des parallélogrammes.

✔ Je structure mon raisonnement
parallélogramme
1.  Montrez que \text{AEFB} est aussi un parallélogramme.
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17
Aidez Pierre à finir sa construction dʼun parallélogramme.

✔ Je représente des objets et des figures géométriques
parallélogramme
1.  Pour cela, reproduisez le début de sa construction et complétez-la, uniquement à l'aide d'un compas et d'une règle non graduée.
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18
Construction de parallélogramme

1.  Construisez le parallélogramme \text{EFGH} tel que \text{EF} = 4\text{,}8 cm ; \text{EH} = 10\text{,}1 cm ; \widehat{\text{HEF}} = 45^{\circ}.
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19
Construction de parallélogramme

1.  Construisez le parallélogramme \text{GHTP} tel que \text{GH = 10} cm ; \text{GP = 4,9} cm et \text{PH = 7,5} cm.
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20
Construction de parallélogramme

1.  Construisez le parallélogramme \text{RHED} tel que ses diagonales mesurent 7 cm et 10 cm et forment un angle de 46^{\circ}.

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21
Construction de parallélogramme

✔ J'utilise des cas particuliers pour orienter ma démarche de résolution

1.  Construisez un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur, mais qui ne soit pas un parallélogramme.
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22
Construction de parallélogramme

1.  Construisez un quadrilatère avec 2 côtés opposés parallèles et 2 côtés opposés de même longueur mais qui ne soit pas un parallélogramme.
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23
Tracez un parallélogramme quelconque \text{ABCD}.

1.  Placez alors le point \text{E}, symétrique de \text{C} par rapport à \text{D}, puis le point \text{F}, symétrique de \text{A} par rapport à \text{D}.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2.  Quelle relation a-t-on entre \text{[AD]} et \text{[DF]} ? Entre \text{[DE]} et \text{[DC]} ?
 3.  Déduisez-en la nature des quadrilatères \text{ABDE}, \text{DBCF} et \text{EACF}.
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24
Savoir refaire
Soit le triangle \textbf{ABC}.

✔ J'envisage plusieurs méthodes de résolution

1.  Tracez le triangle \text{ABC} tel que \text{AB = 5} cm ; \text{AC = 6,5} cm et \text{BC = 9} cm.
2.  \text{I} est le milieu de \text{[BC]}. Construisez le symétrique de \text{A} par rapport à \text{I}. On appelle ce point \text{D}.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin

3.  Démontrez que \text{ABDC} est un parallélogramme.
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25
\text{ABCD} est un parallélogramme tel que \text{AB} = x et tel que son périmètre soit 7x.

1.  Exprimez les longueurs des côtés de \text{ABCD} en fonction de x.
 2.  Choisissez une valeur pour x et construisez un parallélogramme \text{ABCD} correspondant.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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26
Savoir refaire
Soit \text{DEFG} un parallélogramme.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème

1.  \text{[DF]} et \text{[EG]} se coupent en un point \text{M}. Montrez que \text{M} est le centre de symétrie de \text{DEFG}.
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Parallélogrammes particuliers
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27
Parallélogrammes particuliers.

1.  Complétez le tableau récapitulatif sur les parallélogrammes particuliers suivant.
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28
Texte à trous.

1.  Complétez ce texte.

\text{A, B} et \text{C} sont trois points avec \widehat{\text{ABC}} =
.
On trace la droite d passant par \text{C} avec l'angle alterne-interne associé à \widehat{\text{ABC}} valant 135^{\circ}.
On trace ensuite la droite d' passant par \text{A} coupant \text{(AB)} avec l'angle correspondant à \widehat{\text{ABC}} valant
.
\text{D} est le point d'intersection de d et d'. Alors \text{ABCD} est un parallélogramme.

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29
Vrai ou faux ? Justifiez par un dessin à main levée lorsque l'affirmation est fausse.

1.  Un quadrilatère qui a deux angles droits est un rectangle.
   
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
2.  Un quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur est un carré.
   
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
3.  Un rectangle dont deux côtés consécutifs sont de même longueur est un carré.
   
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
4.  Un carré est un rectangle.
   
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
5.  Un losange est un parallélogramme.
   
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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30
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?

✔ J'utilise des cas particuliers pour orienter ma démarche de résolution
Si nécessaire, ajoutez une hypothèse pour corriger la proposition.

1.  Le quadrilatère ABCD tel que AB = 6 cm ; BC = 5,2 cm ; CD = 6 cm ; DA = 5,2 cm et AC = BD est un rectangle.
 2.  Le parallélogramme GBRS tel que GB = BR est un losange.
 3.  Si les droites (FP) et (MC) sont parallèles et PM = MC = 8,1 cm alors FPCM est un losange.
 4.  Le parallélogramme RECT avec (RC) perpendiculaire à (ET) est un carré.
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31
Construisez les parallélogrammes suivants. Sont-ils particuliers ?

✔ Je représente des objets et des figures géométriques

1.  ABCD avec AB = BC = 2,5 cm et \widehat{\text{ABC}} = 60^{\circ}.
 2.  EFGH avec EG = 4 cm, FH = 3,9 cm et l'angle \widehat{\text{EOH}} = 30^{\circ} (O étant le milieu de [EG]).
 3.  IJKL avec IJ = 2 cm, JK = 3 cm et IJK = 90^{\circ}.
 4.  PQRS avec PR = 6 cm, TQ = 3 cm, T le milieu de [PR] et les droites (PR) et (QS) perpendiculaires.
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32
Périmètre

1.  Quel est le périmètre dʼun rectangle ABCD avec AB = 2,9 cm et DA = 1,8 cm ?
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33
Périmètre

1.  Quel est le périmètre dʼun losange ABCD avec AB = 2,1 cm ?
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34
Construisez les quadrilatères suivants. Sont-ils des parallélogrammes ?

1.  \text{EFGH} avec \text{(EG)} perpendiculaire à \text{(FH)}, de point d'intersection \text{O}, et \text{EO = FO = GO = 3 cm }et \text{HO = 4 cm}.
 2.  \text{PQRS} avec \text{PQ = RS = 4 cm}, \text{QR = 2 cm}, \widehat{\text{PQR}} = \text{45}^{\circ} et \widehat{\text{QRS}} = \text{135}^{\circ}.
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36
Texte à trous.

1.  Complétez ce texte.

A et C sont deux points du plan. On place O le milieu de [AC], puis B un point n'appartenant pas à (AC) avec OB =
. On trace la droite (OB) ; on place D sur (OB) distinct de B pour que OD =
. Ainsi, ABCD est un rectangle.

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35
\text{ABCD} est un rectangle.

✔ Je structure mon raisonnement
Un rectangle ABCD
1.  Montrez que les angles \widehat{\text{ADB}} et \widehat{\text{DBC}} sont égaux.
 2.  On donne \widehat{\text{BDC}} = 35^{\circ}. Calculez \widehat{\text{ADB}}. Déduisez-en la mesure de \widehat{\text{DBC}}.
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37
Savoir refaire
Tracez un segment [AD] de longueur 7 cm.

✔ Je représente des objets et des figures géométriques

1.  Tracez les droites perpendiculaires à [AD] passant respectivement par A et par D.
2.  Placez deux points B et C tels que le quadrilatère ADBC soit un rectangle dont les diagonales mesurent 8 cm.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin

3.  Montrez qu'on peut tracer deux rectangles vérifiant les conditions du 2. , et que ces deux rectangles sont symétriques par rapport à (AD).
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38
Tracez un rectangle ABCD.

1.  Placez alors le point E, symétrique de C par rapport à D, puis le point F, symétrique de A par rapport à D.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2.  Quelle relation a-t-on entre [AD] et [DF] ? Entre [DE] et [DC] ?
 3.  Déduisez-en la nature des quadrilatères ABDE, DBCF et EACF.
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39
Tracez un carré ABCD, de centre O. Puis tracez les points suivants.

✔ J'émets une hypothèse

  • E, symétrique de O par rapport à A.
  • F, symétrique de O par rapport à B.
  • G, symétrique de O par rapport à C.
  • H, symétrique de O par rapport à D.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

1.  Montrez que EFGH est un carré.
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40
Construisez les quadrilatères suivants. Sont-ils des carrés ?

✔ Je choisis un cadre adapté (numérique, algèbrique ou géométrique) pour traiter un problème

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1.  Le rectangle ABCD avec BC = 6,7 cm et CD = 5,3 cm.
 2.  Le rectangle MILO avec ML = 5 cm, et (ML) perpendiculaire à (IO).
 3.  Le losange ESCU avec SC = 8,1 cm et \widehat{\text{ESC}} = 95^{\circ}.
 4.  Le losange TURC avec UC = TR = 3 cm.
 5.  Le losange LEMO avec MO = 9,5 cm et \widehat{\text{EMO}} = 90^{\circ}.
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41
Texte à trous.

1.  Complétez le texte suivant.

A et C sont deux points du plan. On trace la médiatrice d du segment [AC]. B est un point de d avec AB = 2AC. On trace D le symétrique de
par rapport à
. Alors ABCD est un losange.
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42
Savoir refaire
Tracez le triangle ABC tel que AB = AC = 8,4 cm et \widehat{\textbf{BAC}} = 90^{\circ}.

✔ Je structure mon raisonnement

1.  Quelles sont les particularités de ce triangle ?
 2.  O est le milieu de [BC]. Placez le point D symétrique de A par rapport à O.
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3.  Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifiez.
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43
Serviette en papier.

1.  On prend une serviette rectangulaire et on la plie en saisissant le milieu de deux bords opposés. Obtient-on un parallélogramme en pliant ainsi ? Si oui, est-il particulier ?
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44
Savoir refaire
Construction.

✔ Je représente des objets et des figures géométriques

1.  Construisez un losange IJKL de centre O tel que IO = 4,6 cm et KL = 9 cm.
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45
Table à repasser.

1.  Cette table à repasser est-elle parallèle au sol ?
Illustration d'une table à repasser
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46
Savoir refaire
Soit DEF un triangle quelconque.

✔ Je représente des objets et des figures géométriques

1.  Tracez la droite passant par D et par le milieu M de [EF].
Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2.  Soit G le symétrique de D par rapport à M. Quelle est la nature du quadrilatère DEGF ? Justifiez.
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47
Soit un polygone ABCD avec AB = 4 cm et BC = x cm. On sait que ABCD est un parallélogramme.

1.  Que vaut son périmètre si x = 2 ?
 2.  Pour quelle valeur de x a-t-on un périmètre de 16 cm ? Dans ce cas, ABCD est-il particulier ?
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48
Parallèles ou non ?

✔ J'extrais et j'exploite les informations utiles d'un document
Graphique lié à l'exercice 27
1.  Les droites d et d' sont-elles parallèles ? Justifiez.
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Parcours de compétences

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Énoncé

✔ Je structure mon raisonnement.

Construisez un parallélogramme ABCD. Les droites d et d' coupent les angles \widehat{\text{ABC}} et \widehat{\text{ABC}} en deux angles égaux. On appelle F leur point d'intersection.

1.  Démontrez que les droites d et d' sont perpendiculaires.
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Niveau 1

Je comprends les étapes d'un raisonnement mathématique lorsqu'il m'est proposé.

Coup de pouce
Regardez les corrigés des problèmes résolus p.
318
-
319
 et essayez de distinguer les différentes étapes de leurs raisonnements.
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Niveau 2

J'identifie ce que je dois démontrer.

Coup de pouce
Qu'est ce que l'énoncé attend de vous ?
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Niveau 3

J'emploie des connecteurs logiques pour articuler les informations qui me sont données.

Coup de pouce
Faites une phrase à l'aide des informations de lʼénoncé et de votre cours qui comporte : « Je sais que », « or » et « donc ».
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Niveau 4

Je structure mes arguments de manière logique pour démontrer.

Coup de pouce
Listez les différents éléments que vous devez démontrer et rappelez vous les points du cours qui y correspondent.

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