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Je résous des problèmes
P.320-323

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Mathématiques - Je résous des problèmes


Je résous des problèmes




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Exercice 53 : Un parallélogramme ?

Graphique lié à l'exercice 1
Considérez la figure suivante. Soit D le symétrique de B par rapport à (AC).

1
Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ?



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Exercice 54 : ABCD

1
ABCD est un rectangle de centre O tel que ODC^=63\widehat{\text{ODC}} = 63^{\circ}.Que vaut lʼangle AOD^\widehat{\text{AOD}} ?



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Exercice 55 : ABCD est un parallélogramme.

Z est le symétrique de B par rapport à A, F le symétrique de C par rapport à D, G le symétrique de F par rapport à Z et H le symétrique de C par rapport à B.

1
Faites un dessin.



2
Montrez que ZBCF est un parallélogramme.



3
Montrez que CFGH est un parallélogramme.



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Exercice 56 : Vrai ou faux ?

Graphique lié à l'exercice 2
En considérant que (MP) est parallèle à (NQ), ces affirmations sont-elles vraies ? Justifiez.

1
L'affirmation (AJ) // (BK) est-elle vraie ?



2
L'affirmation (AJ) // (CL) est-elle vraie ?



3
L'affirmation (BK) // (CL) est-elle vraie ?



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Exercice 57 : Triangle et droites parallèles.

Graphique lié à l'exercice 3
1
Tracez un triangle ABC. Placez le milieu M du segment [AB]. Tracez la droite parallèle à (BC) passant par le point M. Cette droite coupe le segment [AC] en N. Tracez la droite parallèle à (AB) passant par le point N. Cette droite coupe le segment [BC] en O.



2
Quelle est la nature du quadrilatère MNOB ? Justifiez. Déduisez-en une relation entre les longueurs MB, MA et NO.



3
Démontrez alors que MANO est un parallélogramme. Que pouvez-vous en déduire quant aux droites (MO) et (AC) ? Quant aux longueurs AN et MO ?



4
Démontrez enfin que MNCO est un parallélogramme, puis que MO = NC.



5
Déduisez des deux questions précédentes que N est le milieu de [AC].



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Exercice 58 : Parallélisme et angles.

Graphique lié à l'exercice 4
1
Les droites (AB) et (HE) sont-elles parallèles ?



2
Calculer l’angle GCI^\widehat{\text{GCI}}.



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Exercice 59 : Droites parallèles ?

Graphique lié à l'exercice 5
1
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. La droite (EF) est-elle parallèle à (AB) ?



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Exercice 60 : Des angles à calculer.

Graphique lié à l'exercice 6
1
Sachant que les droites dd et dd' sont parallèles, donnez la mesure des angles du triangle ABC.



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Exercice 61 : Angles manquants

Graphique lié à l'exercice 7
Les droites (DF) et (BC) sont parallèles.A, F, C d’une part et A, E, B d’autre part sont alignés.

1
Donnez la mesure des angles manquants de EFCB.



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Exercice 62 : Trapèze.

Graphique lié à l'exercice 8
1
Construisez le trapèze ABCD



2
Tracez la demi-droite [DA), puis placez-y un point E n’appartenant pas au segment [DA]



3
Sans les mesurer directement, donnez en justifiant la mesure de EAB^\widehat{\text{EAB}} puis celle de ADC^\widehat{\text{ADC}}.



4
Faites le même raisonnement pour trouver la mesure de l’angle BCD^\widehat{\text{BCD}}.



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Exercice 63 : Mesure d'angle

Graphique lié à l'exercice 9
La droite (DE) est parallèle à dd.

1
Donnez la mesure de l’angle BO’O^\widehat{\text{BO'O}}.



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Exercice 64 : Construction d'un parallélogramme.

1
Tracez un segment [GA] de longueur 12 cm.



2
Tracez la médiatrice dd de [GA]. On appelle M le milieu de [GA].



3
Tracez un cercle CC de centre M et dont vous choisissez le rayon. Le cercle coupe la droite dd en deux points : N et H. Montrez alors que, quel que soit l’écartement de compas choisi, GNAH est un parallélogramme.



4
Quel écartement doit-on choisir pour que GNAH soit un carré ?



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Exercice 65 : Tracez un parallélogramme à partir de cercles.

1
Tracez au compas deux cercles de même centre mais de rayons différents. En vous aidant de ces deux cercles, tracez un parallélogramme non aplati uniquement à l’aide d’une règle, sans vous servir des graduations.



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Exercice 66 : Démontrez que des quadrilatères sont des parallélogrammes.

ABCD est un rectangle, E le milieu de [AB], F le milieu de [BC], G le milieu de [CD] et H le milieu de [AD].On note O l’intersection des droites (EG) et (FH).

1
Montrez que ABFH et EBCG sont des parallélogrammes.



2
Montrez que BFOE est un parallélogramme.



3
Montrez que EFGH est un parallélogramme.



4
Montrez que BFOE est un rectangle.



5
Montrez que EFGH est un losange.



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Exercice 67 : Parallélogramme et parallélisme.

ABCD est un parallélogramme de centre O.Les points I et J appartiennent à [AC] avec AI = IJ = JC.

1
Faites un schéma.



2
Montrez que les droites (IB) et (DJ) sont parallèles.



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Exercice 68 : Cercles et quadrilatères.

1
Tracez un cercle CC de centre O et de rayon rr = 7,5 cm. Conservez cet écartement de compas.



2
Placez deux points A et B sur le cercle C, non diamétralement opposés.



3
Tracez alors deux cercles : l’un de centre A, l’autre de centre B, de même rayon que le cercle CC. Ces deux cercles se coupent en O et en D.



4
Pourquoi les deux cercles se coupent-ils en O ?



5
Quelle est la nature du quadrilatère ADBO ?

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Exercice 69 : Forme d'une table.

1
Comment montrer que votre table est ou nʼest pas rectangulaire, à lʼaide dʼun mètre ruban ? Alors, lʼest-elle ?



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Exercice 70 : Triangle et parallélogramme.

Soit un triangle ABC.On construit le point D, symétrique de A par rapport à la droite (BC).

1
À quelle condition portant sur le triangle ABC le quadrilatère ABDC est-il un parallélogramme ?



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Exercice 71 : Triangle, symétrique et parallélogramme.

Graphique lié à l'exercice 10
1
Reproduisez le triangle ABC ci-contre.



2
Tracez O le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à O.



3
Montrez que ABCD est un parallélogramme.



4
Déduisez-en la valeur de l’aire de ABCD.



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Exercice 72 : ABCD est un parallélogramme et ABC'D' son symétrique par rapport à (AB).

1
Montrez que CDD'C' est un parallélogramme.



2
Montrez que (DD') et (DC) sont perpendiculaires.



3
Déduisez-en que CDD'C' est un rectangle.



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Exercice 73 : Diagonales et losanges.

ABCD est un parallélogramme et O le point d’intersection de ses diagonales.P et Q sont des points de [AB] et [BC].Les droites (OP) et (OQ) coupent respectivement [CD] et [AD] en R et S.

1
Montrez que O est le milieu de [PR].



2
Montrez que PQRS est un parallélogramme.



3
Par cette méthode, combien de losanges peut-on créer à partir de ABCD ?



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Exercice 74 : Symétrique et médiatrices.

Soit le segment [AB], H son milieu, et D un point de sa médiatrice tel que DAH^=45\widehat{\text{DAH}} = 45^{\circ}.Soit O le milieu de [DB].

1
Faites la figure.



2
Placez C et G, les symétriques de A et H par rapport à O.



3
Montrez que ABCD est un parallélogramme. Est-il particulier ?



4
Montrez que BGDH est un parallélogramme. Est-il particulier ?



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Exercice 75 : Symétriques.

dd est une droite.O appartient à dd et A n’appartient pas à dd.(OA) n’est pas perpendiculaire à dd.B est le symétrique de A par rapport à dd et C et D ceux de A et B par rapport à O.

1
Montrez que ABCD est un parallélogramme.



2
ABCD est-il un parallélogramme particulier ?



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Tâche complexe : Un phare, un chameau et un puits.

Graphique lié à l'exercice 4
Pendant lʼAntiquité, alors que lʼÉgypte était encore gouvernée par des descendants des Grecs qui avaient accompagné Alexandre le Grand, Ératosthène parvint à calculer la circonférence de la Terre avec un phare, un puits et un chameau.

1
Sauriez-vous faire de même ?



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Doc. 1
Extrait de la biographie d'Ératosthène.

Tout d’abord, des voyageurs lui rapportèrent qu’à Syène, au solstice d’été, il n’y avait aucune ombre projetée dans les puits de la ville. Ératosthène en déduisit que les rayons de Soleil étaient donc alignés avec les bords des puits, et donc que les rayons du Soleil étaient alignés avec le centre de la Terre.
Ératosthène, qui se trouvait alors à Alexandrie, en profita pour mesurer l’ombre projetée par le phare d’Alexandrie le jour du solstice d’été, pour être sûr que les mesures seraient comparables à celles faites à Syène. Il en déduisit que l’angle formé par les rayons de lumière et l’axe sommet du phare – centre de la Terre mesurait 7,2°.
Enfin, à l’aide d’un chameau, qui servait à l’époque à calculer les distances grâce à ses pas très réguliers, il mesura que la distance entre Syène et Alexandrie était d’environ 5 000 stades.

Doc. 2
Hypothèses de travail.

Du temps d’Ératosthène, les scientifiques étaient très bons en astronomie, mais ils ne disposaient pas de certaines connaissances d’aujourd’hui, faute d’instruments de mesure adaptés pour vérifier leurs hypothèses. Voici les hypothèses qui permirent à Ératosthène de calculer la circonférence de la Terre : a. La Terre est ronde.
b. Le Soleil est une sphère immense, plus grande que la Terre.
c. Puisque le Soleil est extrêmement loin, ses rayons frappent la Terre comme s’ils étaient parallèles entre eux.

Doc. 3
Le stade.

Stade Mètres
1 157,5
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