Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 14
Exercices

Je résous des problèmes

53
Un parallélogramme ?

Triangle ABC où l'angle ACB = 27° et l'angle BAC = 64°
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Considérez la figure suivante. Soit D le symétrique de B par rapport à .
1. Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ?

54
ABCD.

1. ABCD est un rectangle de centre O tel que . Que vaut lʼangle ?

55
ABCD est un parallélogramme.

Z est le symétrique de B par rapport à A, F le symétrique de C par rapport à D, G le symétrique de F par rapport à Z et H le symétrique de C par rapport à B.

1. Faites un dessin.

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2. Montrez que ZBCF est un parallélogramme.
3. Montrez que CFGH est un parallélogramme.

56
Vrai ou faux ?

Graphique lié à l'exercice 56
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En considérant que (MP) est parallèle à (NQ), ces affirmations sont-elles vraies ? Justifiez.

1. L'affirmation (AJ) // (BK) est-elle vraie ?
2. L'affirmation (AJ) // (CL) est-elle vraie ?
3. L'affirmation (BK) // (CL) est-elle vraie ?

57
Triangle et droites parallèles.

  • Tracez un triangle ABC.
  • Placez le milieu M du segment [AB].
  • Tracez la droite parallèle à (BC) passant par le point M.
  • Cette droite coupe le segment [AC] en N.
  • Tracez la droite parallèle à (AB) passant par le point N.
  • Cette droite coupe le segment [BC] en O.
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1. Quelle est la nature du quadrilatère MNOB ? Justifiez. Déduisez-en une relation entre les longueurs MB, MA et NO.
2. Démontrez alors que MANO est un parallélogramme. Que pouvez-vous en déduire quant aux droites (MO) et (AC) ? Quant aux longueurs AN et MO ?
3. Démontrez enfin que MNCO est un parallélogramme, puis que MO = NC.
4. Déduisez des deux questions précédentes que N est le milieu de [AC].

On a démontré le théorème de la droite des milieux, qui dit que si, dans un triangle, une droite parallèle à un côté passe par le milieu d'un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Triangle ABC où une droite d coupe AC et AB en leur milieu. d est parallèle à CB
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58
Parallélisme et angles.

Graphique lié à l'exercice 58
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1. Les droites (AB) et (HE) sont-elles parallèles ?
Comparez les angles et .
Coup de pouce

2. Calculer l'angle .
Utilisez l'angle .
Coup de pouce

59
Savoir refaire
Droites parallèles ?

Graphique lié à l'exercice 59
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1. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. La droite (EF) est-elle parallèle à (AB) ?

60
Des angles à calculer.

Graphique lié à l'exercice 60
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1. Sachant que les droites et sont parallèles, donnez la mesure des angles du triangle ABC.

61
Angles manquants.

Graphique lié à l'exercice 61
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Les droites (DF) et (BC) sont parallèles. A, F, C d'une part et A, E, B d'autre part sont alignés.

1. Donnez la mesure des angles manquants de EFCB.

62
Trapèze.

1. Construisez le trapèze ABCD suivant.
Trapèze ABCD où AD = 5,1 cm, l'angle DAB = 116°, l'angle ABC = 109° et AB parallèle à CD
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2. Tracez la demi-droite [DA), puis placez-y un point E n'appartenant pas au segment [DA].

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3. Sans les mesurer directement, donnez en justifiant la mesure de puis celle de .
4. Faites le même raisonnement pour trouver la mesure de l'angle .

63
Mesure d'angle.

Graphique lié à l'exercice 63
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La droite (DE) est parallèle à .

1. Donnez la mesure de l'angle .

64
Savoir refaire
Construction d'un parallélogramme.

Tracez un segment [GA] de longueur 12 cm.

1. Tracez la médiatrice de [GA]. On appelle M le milieu de [GA]. 2. Tracez un cercle de centre M et dont vous choisissez le rayon. Le cercle coupe la droite en deux points : N et H. Montrez alors que, quel que soit l'écartement de compas choisi, GNAH est un parallélogramme.
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3. Quel écartement doit-on choisir pour que GNAH soit un carré ?

65
Tracez un parallélogramme à partir de cercles.

1. Tracez au compas deux cercles de même centre mais de rayons différents. En vous aidant de ces deux cercles, tracez un parallélogramme non aplati uniquement à l'aide d'une règle, sans vous servir des graduations.

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66
Démontrez que des quadrilatères sont des parallélogrammes.

ABCD est un rectangle, E le milieu de [AB], F le milieu de [BC], G le milieu de [CD] et H le milieu de [AD]. On note O l'intersection des droites (EG) et (FH).

1. Montrez que ABFH et EBCG sont des parallélogrammes.
2. Montrez que BFOE est un parallélogramme.
3. Montrez que EFGH est un parallélogramme.
4. Montrez que BFOE est un rectangle.
5. Montrez que EFGH est un losange.

67
Parallélogramme et parallélisme.

ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points I et J appartiennent à [AC] avec AI = IJ = JC.

1. Faites un schéma.
2. Montrez que les droites (IB) et (DJ) sont parallèles.
Étudiez la symétrie par rapport à O de la figure.
Coup de pouce
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68
Cercles et quadrilatères.

Tracez un cercle de centre O et de rayon Conservez cet écartement de compas.
  • Placez deux points A et B sur le cercle , non diamétralement opposés.
  • Tracez alors deux cercles : l'un de centre A, l'autre de centre B, de même rayon que le cercle . Ces deux cercles se coupent en O et en D.
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1. Pourquoi les deux cercles se coupent-ils en O ?
2. Quelle est la nature du quadrilatère ADBO ?

69
Forme d'une table.

1. Comment montrer que votre table est ou nʼest pas rectangulaire, à lʼaide dʼun mètre ruban ? Alors, lʼest-elle ?

70
Triangle et parallélogramme.

Soit un triangle ABC. On construit le point D, symétrique de A par rapport à la droite (BC).

1. À quelle condition portant sur le triangle ABC le quadrilatère ABDC est-il un parallélogramme ?

71
Triangle, symétrique et parallélogramme.

Triangle ABC
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1. Reproduisez le triangle ABC précédent.
2. Tracez O le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à O.

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3. Montrez que ABCD est un parallélogramme.
4. Déduisez-en la valeur de l'aire de ABCD.

72
ABCD et ABC'D'.

ABCD est un parallélogramme et ABC'D' son symétrique par rapport à (AB).

1. Montrez que CDD'C' est un parallélogramme.
2. Montrez que (DD') et (DC) sont perpendiculaires.
3. Déduisez-en que CDD'C' est un rectangle.

73
Diagonales et losanges.

ABCD est un parallélogramme et O le point d'intersection de ses diagonales. P et Q sont des points de [AB] et [BC]. Les droites (OP) et (OQ) coupent respectivement [CD] et [AD] en R et S.

1. Montrez que O est le milieu de [PR].
2. Montrez que PQRS est un parallélogramme.
3. Par cette méthode, combien de losanges peut-on créer à partir de ABCD ?

74
Symétrique et médiatrices.

Soit le segment [AB], H son milieu, et D un point de sa médiatrice tel que . Soit O le milieu de [DB].

1. Faites la figure.
2. Placez C et G, les symétriques de A et H par rapport à O.
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3. Montrez que ABCD est un parallélogramme. Est-il particulier ?
4. Montrez que BGDH est un parallélogramme. Est-il particulier ?

75
Symétriques.

est une droite. O appartient à et A n'appartient pas à . (OA) n'est pas perpendiculaire à . B est le symétrique de A par rapport à et C et D ceux de A et B par rapport à O.

1. Montrez que ABCD est un parallélogramme.
2. ABCD est-il un parallélogramme particulier ?

Tâche complexe
Un phare, un chameau et un puits.

Énoncé

Pendant lʼAntiquité, alors que lʼÉgypte était encore gouvernée par des descendants des Grecs qui avaient accompagné Alexandre le Grand, Ératosthène parvint à calculer la circonférence de la Terre avec un phare, un puits et un chameau.

1. Sauriez-vous faire de même ?

Doc. 1
Extrait de la biographie d'Ératosthène.

Tout d'abord, des voyageurs lui rapportèrent qu'à Syène, au solstice d'été, il n'y avait aucune ombre projetée dans les puits de la ville. Ératosthène en déduisit que les rayons de Soleil étaient donc alignés avec les bords des puits, et donc que les rayons du Soleil étaient alignés avec le centre de la Terre.
Ératosthène, qui se trouvait alors à Alexandrie, en profita pour mesurer l'ombre projetée par le phare d'Alexandrie le jour du solstice d'été, pour être sûr que les mesures seraient comparables à celles faites à Syène. Il en déduisit que l'angle formé par les rayons de lumière et l'axe sommet du phare – centre de la Terre mesurait 7,2°.
Enfin, à l'aide d'un chameau, qui servait à l'époque à calculer les distances grâce à ses pas très réguliers, il mesura que la distance entre Syène et Alexandrie était d'environ 5 000 stades.

Doc. 2
Hypothèses de travail.

Du temps d'Ératosthène, les scientifiques étaient très bons en astronomie, mais ils ne disposaient pas de certaines connaissances d'aujourd'hui, faute d'instruments de mesure adaptés pour vérifier leurs hypothèses. Voici les hypothèses qui permirent à Ératosthène de calculer la circonférence de la Terre :
a. La Terre est ronde.
b. Le Soleil est une sphère immense, plus grande que la Terre.
c. Puisque le Soleil est extrêmement loin, ses rayons frappent la Terre comme s'ils étaient parallèles entre eux.

Doc. 3
Le stade.

Table de conversion d'un stade, l'unité de mesure des grandes distances des Grecs d'Égypte.

StadeMètres
1157,5

Doc. 4
Schéma de la Terre frappée par les rayons du Soleil.

Schéma de la Terre frappée par les
rayons du Soleil.
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