Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs

Ch. 1

Arithmétique

Ch. 2

Nombres relatifs

Ch. 3

Nombres fractionnaires

Ch. 4

Calcul littéral

Ch. 5

Équations et inéquations

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Puissances

Thème 2 : Organisation et gestion de données

Ch. 8

Statistiques

Ch. 9

Probabilités

Ch. 10

Fonctions

Thème 3 : Grandeurs et mesures

Ch. 11

Grandeurs et mesures

Thème 4 : Espace et géométrie

Ch. 12

Transformations dans le plan

Ch. 13

Triangles

Ch. 14

Angles et droites parallèles

Ch. 15

Géometrie dans l'espace

Ch. 16

Théorème de pythagore

Ch. 17

Agrandissements - réductions

Ch. 18

Trigonométrie

Annexes

Livret algorithmique et programmation

Pistes EPI

Dossier brevet

Chapitre 14

J'apprends

Angles et droites parallèles

A
Angles et parallélisme

Je découvre

1
Droites parallèles

Rappels

Deux droites qui ont un seul point commun sont dites sécantes.
Deux droites qui ne sont pas sécantes sont parallèles.
Deux droites qui ont deux points distincts en commun sont dites confondues. Elles ont alors tous leurs points en commun.

Exercices n° 1 à 12
p.312-314

2
Couples d'angles

Définitions

Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté en commun et s'ils sont de part et d'autre de ce côté en commun.

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Quand on coupe un angle plat en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut 180°.
On dit qu'ils sont supplémentaires.

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Quand on coupe un angle droit en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut 90°.
On dit qu'ils sont complémentaires.

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Exercices n° 1 à 12
p. 312-314.

Définition

Soit deux droites

d

d^{'}

sécantes en un point A. Les angles

A_{1}

A_{3}

sont dits opposés par le sommet et

A_{1} = A_{3}

. De même, les angles

A_{2}

A_{4}

sont opposés par le sommet et

A_{2} = A_{4}

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Exercices n° 1 à 12
p. 312-314.

Définitions

On considère deux droites

d_{1}

d_{2}

coupées par une sécante

d

. Il existe plusieurs couples d'angles remarquables, dont :

les angles alternes-internes

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les angles correspondants

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Exercices n° 1 à 12
p. 312-314.

J'applique

Consigne :
Dans la figure suivante, quelle est la nature des angles suivants ?
a.

ABC

DBE

DBE

BEF

DBE

GEH

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Correction :
a. Les angles

ABC

DBE

sont opposés par le sommet.
b. Les angles

DBE

BEF

sont de part et d'autre de la sécante et à l'intérieur des deux droites. Ils sont donc alternes-internes.
c. Les angles

DBE

GEH

sont du même côté de la sécante.

DBE

est à l'intérieur mais

GEH

à l'extérieur. Ils sont donc correspondants.

3
Parallélisme

Propriété

Si $d_{1}$ et $d_{2}$ sont parallèles et coupées par $d$ , alors deux angles alternes-internes ou correspondants sont de même mesure.
Si deux angles alternes-internes ou correspondants sont de même mesure, alors $d_{1}$ et $d_{2}$ sont parallèles.
Si deux angles alternes-internes ou correspondants n'ont pas la même mesure, alors $d_{1}$ et $d_{2}$ ne sont pas parallèles.

Exercices n° 1 à 12
p. 312-314.

J'applique

Consigne :
On considère la figure ci-dessous dans laquelle les droites

(AB)

(ED)

sont parallèles. Quelle est la mesure de l'angle

BCD

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Correction :
Les angles

EDF

ACD

sont correspondants.
Comme les droites (AB) et (ED) sont parallèles,

EDF = ACD = 4 5^{\circ}

.
Or les angles

ACD

BCD

sont supplémentaires, donc

ACD + BCD = 18 0^{\circ}

.
Donc

BCD = 13 5^{\circ}

Consigne :
Les droites

(AB)

(CD)

sont-elles parallèles ?

représentations de 3 droites dont 2 parallèles

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Crédits :

Correction :
Les angles

HGA

BGE

sont opposés par le sommet ; ils ont donc la même mesure.
Or les angles

HGA

CHF

sont correspondants et n'ont pas la même mesure. Donc les droites

(AB)

(CD)

ne sont pas parallèles.

B
Parallélogrammes quelconques

Je découvre

1
Propriétés des parallélogrammes

Définition

Un parallélogramme ABCD est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Donc (AB) ⁄⁄ (DC) et (AD) ⁄⁄ (BC).

Exercices n° 13 à 26
p. 314-315.

Propriétés

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. Ce point est un centre de symétrie du quadrilatère.

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Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux.

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Exercices n° 13 à 26
p. 314-315.

J'applique

Consigne :
On reprend le parallélogramme

ABCD

suivant.
On sait que AD = 3 cm et que OB = 2 cm. Quelles sont les valeurs des longueurs des segments :
a.

[BC]

? b.

[BD]

?

Correction :
a.

[BC]

est le segment opposé à

[AD]

, donc

BC = AD = 3 cm

.
b.

[AC]

[BD]

se croisent en leur milieu, donc :

BD = OD + OB = 2 \times OB

BD = 4

cm.

Remarque :
L'image de A par la symétrie de centre O est C ; l'image de B par cette même symétrie est D.

2
Caractérisations des parallélogramme

Propriétés

Un quadrilatère qui vérifie au moins l'une de ces propriétés est un parallélogramme.
Un parallélogramme vérifie toutes ces propriétés.
Un quadrilatère qui ne vérifie pas l'une d'entre elles n'est donc pas un parallélogramme.
(AB) // (CD) et (BC) // (AD)

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Exercices n°
p. .

C
Parallélogrammes particuliers

Je découvre

1
Quelques parallélogrammes particuliers

Rappel

Les carrés, les losanges et les rectangles sont des parallélogrammes. Toutes les propriétés des parallélogrammes s'appliquent à eux, mais ils en possèdent d'autres qui leur sont propres.

Rectangle : Tous ses angles sont droits et ses diagonales sont de même longueur.

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Losange : Ses diagonales sont perpendiculaires et tous ses côtés sont de même longueur.

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Carré : C'est un parallélogramme particulier qui est à la fois un rectangle et un losange.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Exercices n° 27 à 48
p. 315-317.

2
Reconnaitre un parallélogramme particulier.

Méthodes

Un parallélogramme ayant un angle droit ou des diagonales de même longueur est un rectangle.
Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur ou des diagonales perpendiculaires est un losange.

Exercices n° 27 à 48
p. 315-317.

J'applique

Consigne :
Le quadrilatère

ABCD

suivant est-il un quadrilatère particulier ?

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Correction :

$ABCD$ est-il un parallélogramme ?
On remarque que $AB = CD$ et que $AD = BC$ . Les côtés opposés sont donc de même longueur.
$ABCD$ est donc un parallélogramme.
$ABCD$ est-il un rectangle ?
L'angle $DAB$ vaut 124°. Il n'est donc pas droit. $ABCD$ n'est donc pas un rectangle
$ABCD$ est-il un losange ?
L'angle entre les diagonales $[AC]$ et $[DB]$ vaut 93°. Ses diagonales ne sont pas perpendiculaires. $ABCD$ n'est donc pas un losange.

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Angles et droites parallèles