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Exercices numériques
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Mathématiques - Je résous des problèmes


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Exercice 50 : Scratch : Course folle de cafards fous

Nous allons utiliser un algorithme pour comprendre comment évoluent les probabilités de chaque issue quand lʼenvironnement dans lequel se situe un évènement évolue.Douze cafards fous organisent une course. Elle se déroule comme suit. Chaque cafard porte un numéro. Ils choisissent ensuite un nombre au hasard, compris entre 1 et 12. Le cafard qui porte pour numéro le nombre choisi avance dʼun pas. Puis ils recommencent jusquʼà ce que lʼun dʼentre eux passe la ligne dʼarrivée. Ouvrez le fichier Scratch de lʼexercice.

1
Dans la scène, modifiez le script du lutin afin que la course se déroule selon la règle établie par les cafards.



2
Est-il vrai que si lʼon fait 12 courses, chaque cafard gagnera une fois ?



3
Les douze cafards changent de règle. Dorénavant, ils choisiront deux nombres au hasard compris entre 1 et 6. Le cafard qui porte pour numéro la somme des deux nombres choisis avance dʼun pas. Puis ils recommencent jusquʼà ce que lʼun dʼentre eux passe à la ligne dʼarrivée. Choisissez deux nombres au hasard entre 1 et 6 et calculez leur somme.



4
Le cafard numéro 1 déclare forfait. Pourquoi ? Comment se nomme lʼévènement « Le cafard 1 gagne la course » ?



5
Dans la scène, modifiez le script du lutin afin que la course se déroule selon la règle établie par les cafards.



6
Les onze cafards restants ont-ils la même chance de gagner ? Sauriez-vous expliquer pourquoi ?



7
Saurez-vous trouver une règle du jeu qui fasse que ce soit le cafard numéro 8 qui ait plus de chance de gagner que les autres ? (Ne choisir que le nombre 8 ne compte pas comme une règle valide : les autres cafards déclareraient forfait !)



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Exercice 51 : Tableur : Un dé bien étrange

Graphique lié à l'exercice 1
Nous allons simuler et étudier des probabilités à lʼaide dʼun tableur en travaillant sur la fréquence dʼapparition de chaque face dʼun dé.Créez un nouveau document tableur et recopiez les cases du tableau ci-contre.

1
Quelle est la probabilité dʼobtenir chaque face lorsquʼon lance un dé à 6 faces ?



2
À lʼaide de la commande =ALEA.ENTRE.BORNES( ), simulez dans la colonne A plusieurs lancers où les nombres de 1 à 6 représentent chacune des faces du dé.



3
À lʼaide des commandes =NB.SI( ) et =NB( ), complétez le tableau de fréquences. Construisez lʼhistogramme des valeurs (sélectionnez les cellules D1 à I2, puis Diagramme). À la lecture du graphique (ou des pourcentages), retrouvez-vous les probabilités décrites à la question précédente ?



4
Recopiez la formule de la colonne A sur des centaines de lignes. Combien de lancers faut-il effectuer pour que les fréquences se rapprochent, de façon satisfaisante, des valeurs auxquelles on sʼattend ?



5
Ouvrez ce document tableur . On y a simulé 3 750 lancers dʼun dé à 6 faces et noté les fréquences dʼapparition de chaque face. Complétez le tableau dʼeffectifs et de fréquences à lʼaide des commandes =NB.SI( ) et =NB( ).



6
Construisez un diagramme qui permette de visualiser la répartition des fréquences dʼapparition des faces. Que pensez-vous de ce dé ?



7
Lorsquʼon lance un dé à 6 faces 3 750 fois, est-il possible de ne jamais obtenir la face 6 ? Est-ce probable ?



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